Trigonometriai redukciós példák. Öntési képletek. Gyors és könnyű

a szépség

És még egy B11-es feladat ugyanabban a témában - a matematika valódi USE-ból.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Ebből a rövid oktatóvideóból megtudjuk, hogyan kell jelentkezni redukciós képletek matematika vizsgáról B11 valós feladatok megoldására. Mint látható, két trigonometrikus kifejezés áll előttünk, amelyek mindegyike szinuszokat és koszinuszokat, valamint meglehetősen brutális numerikus argumentumokat tartalmaz.

Mielőtt megoldanánk ezeket a problémákat, emlékezzünk arra, hogy melyek azok a redukciós képletek. Tehát, ha vannak olyan kifejezéseink, mint:

Ekkor speciális szabályok szerint megszabadulhatunk az első (k · π/2 alakú) tagtól. Rajzoljunk trigonometrikus kört, jelöljük meg rajta a főbb pontokat: 0, π/2; π; 3π/2 és 2π. Ezután nézzük az első tagot a trigonometrikus függvény jele alatt. Nekünk van:

Ha a számunkra érdekes tag a trigonometrikus kör függőleges tengelyén fekszik (például: 3π / 2; π / 2 stb.), akkor az eredeti függvényt egy kofüggvénnyel helyettesítjük: a szinusz helyére egy koszinusz, és a koszinusz helyébe egy szinusz kerül.
Ha a kifejezésünk a vízszintes tengelyen fekszik, akkor az eredeti függvény nem változik. Csak távolítsa el az első kifejezést a kifejezésből – és kész.

Így olyan trigonometrikus függvényt kapunk, amely nem tartalmazza a k · π/2 alakú tagokat. A redukciós képletekkel végzett munka azonban ezzel nem ér véget. A helyzet az, hogy az első tag "elutasítása" után kapott új függvényünk előtt plusz vagy mínusz jel is lehet. Hogyan lehet azonosítani ezt a jelet? Most megtudjuk.

Képzeljük el, hogy az α szög, amely a transzformációk után a trigonometrikus függvényen belül marad, nagyon kis fokszámú. De mit jelent a „kis mérték”? Tegyük fel, hogy α ∈ (0; 30°) - ez teljesen elég. Vegyünk példának egy függvényt:

Ezután követve azt a feltételezésünket, hogy α ∈ (0; 30°), arra a következtetésre jutunk, hogy a 3π/2 − α szög a harmadik koordinátanegyedben van, azaz 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Felidézzük az eredeti függvény jelét, i.e. y = sin x ezen az intervallumon. Nyilvánvalóan a harmadik koordinátanegyedben lévő szinusz negatív, mert definíció szerint a szinusz a mozgási sugár végének ordinátája (röviden: a szinusz az y koordináta). Nos, az alsó félsíkban lévő y-koordináta mindig negatív értékeket vesz fel. Ezért a harmadik negyedévben y is negatív.

Ezen megfontolások alapján felírhatjuk a végső kifejezést:

B11 probléma – 1 lehetőség

Ugyanezek a technikák alkalmasak a matematika egységes államvizsga B11-es feladatának megoldására. Az egyetlen különbség az, hogy sok valós B11-probléma esetében a radián mértéke (vagyis a π, π/2, 2π stb. számok) helyett fokmérőt használnak (pl. 90°, 180°, 270° és stb.). Nézzük az első feladatot:

Először foglalkozzunk a számlálóval. cos 41° nem táblázatos érték, így nem tudunk vele mit kezdeni. Egyelőre hagyjuk így.

Most nézd meg a nevezőt:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Nyilván van előttünk egy redukciós képlet, így a szinusz helyére koszinusz került. Ezenkívül a 41°-os szög a szegmensen fekszik (0°; 90°), azaz. az első koordinátanegyedben – pontosan úgy, ahogy a redukciós képletek alkalmazásához szükséges. De akkor a 90° + 41° a második koordinátanegyed. Az eredeti y = sin x függvény ott pozitív, ezért az utolsó lépésben a koszinusz elé pluszjelet tettünk (azaz nem tettünk semmit).

Marad az utolsó elem kezelése:

cos 240° = cos (180° + 60°) = -cos 60° = -0,5

Itt látjuk, hogy 180° a vízszintes tengely. Következésképpen maga a függvény nem változik: volt koszinusz - és a koszinusz is megmarad. De ismét felmerül a kérdés: plusz vagy mínusz lesz a kapott cos 60 ° kifejezés előtt? Vegye figyelembe, hogy a 180° a harmadik koordinátanegyed. A koszinusz ott negatív, ezért a koszinusz mínusz előjellel végződik. Összességében azt a konstrukciót kapjuk, hogy -cos 60 ° = -0,5 - ez egy táblázatos érték, így mindent könnyű kiszámítani.

Most behelyettesítjük a kapott számokat az eredeti képletbe, és megkapjuk:

Amint látja, a tört számlálójában és nevezőjében lévő cos 41 ° szám könnyen csökkenthető, és a szokásos kifejezés marad, ami egyenlő -10-zel. Ebben az esetben a mínusz kivehető és a tört jele elé tehető, vagy a második szorzó mellett „tartható” a számítás legutolsó lépéséig. Akárhogy is, a válasz -10. Ez az, a B11 probléma megoldva!

B14 probléma – 2. lehetőség

Térjünk át a második feladatra. Ismét egy töredék áll előttünk:

Nos, az első koordinátanegyedben 27° van, tehát itt nem változtatunk semmit. De a sin 117 °-ot le kell festeni (eddig négyzet nélkül):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Nyilván ismét előttünk redukciós képlet: 90° a függőleges tengely, tehát a szinusz koszinuszra változik. Ezenkívül az α = 117° = 90° + 27° szög a második koordinátanegyedben van. Az eredeti y = sin x függvény ott pozitív, ezért a koszinusz előtt az összes transzformáció után a pluszjel továbbra is megmarad. Más szóval, nem adnak hozzá semmit - hagyjuk így: cos 27 °.

Visszatérünk az eredeti kifejezéshez, amelyet ki kell értékelni:

Amint látható, a transzformációk után a nevezőben megjelent a fő trigonometrikus azonosság: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Összesen -4: 1 = -4 - így megtaláltuk a választ a második B11 feladatra.

Mint látható, a redukciós képletek segítségével az egységes matematikai államvizsga ilyen feladatait néhány sorban oldják meg. Nincs szinusz az összegnek és koszinusz a különbségnek. Csak egy trigonometrikus körre kell emlékeznünk.

Meghatározás. A redukciós képleteket képleteknek nevezzük, amelyek lehetővé teszik az űrlap trigonometrikus függvényeitől az argumentumfüggvények felé való váltást. Segítségükkel egy tetszőleges szög szinusza, koszinusza, tangense és kotangense redukálható egy 0-tól 90 fokig (0-tól radiánig terjedő) szög szinuszára, koszinuszára, tangensére és kotangensére. Így a redukciós képletek lehetővé teszik, hogy továbblépjünk a 90 fokon belüli szögekkel történő munkavégzésre, ami kétségtelenül nagyon kényelmes.

Öntési képletek:

Az öntött képletek használatára két szabály vonatkozik.

1. Ha a szög ábrázolható (π/2 ±a) vagy (3*π/2 ±a), akkor függvény neve megváltozik sin a cos-hoz, cos a bűnhöz, tg a ctg-hez, ctg a tg-hez. Ha a szög ábrázolható (π ±a) vagy (2*π ±a), akkor a függvény neve változatlan marad.

Nézze meg az alábbi ábrát, amely vázlatosan mutatja, mikor kell a táblát megváltoztatni és mikor nem.

2. Csökkentett funkciójel ugyanaz marad. Ha az eredeti függvénynek pluszjele volt, akkor a redukált függvénynek is van pluszjele. Ha az eredeti függvénynek mínusz jele volt, akkor a redukált függvénynek is van mínusz jele.

Az alábbi ábra a főbb trigonometrikus függvények előjeleit mutatja negyedtől függően.

Példa:

Kiszámítja

Használjuk a redukciós képleteket:

A Sin(150˚) a második negyedben van, az ábráról láthatjuk, hogy a bűn jele ebben a negyedben egyenlő a "+"-val. Ez azt jelenti, hogy a fenti függvénynek is lesz egy „+” jele. A második szabályt alkalmaztuk.

Most 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ π/2. Vagyis π / 2 + 60 esettel van dolgunk, ezért az első szabály szerint a függvényt sinről cos-ra változtatjuk. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Óra és előadás a témában: "Csökkentő képletek alkalmazása a feladatok megoldásában"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el meghagyni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat. Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 10. osztály számára
1C: Iskola. Interaktív építési feladatok 7-10
1C: Iskola. Geometriai feladatokat oldunk meg. Interaktív feladatok térépítéshez 10-11

Mit fogunk tanulni:
1. Ismételjük meg egy kicsit.
2. A redukciós képletek szabályai.
3. A redukciós képletek transzformációinak táblázata.
4. Példák.

Trigonometrikus függvények ismétlése

Srácok, találkoztatok már szellemképletekkel, de még nem hívták így. Hol gondolod?

Tekintse meg rajzainkat. Helyes, amikor bevezették a trigonometrikus függvények definícióit.

Szabály a redukciós képletekre

Vezessük be az alapszabályt: Ha a trigonometrikus függvény előjele π×n/2 + t alakú számot tartalmaz, ahol n tetszőleges egész szám, akkor a trigonometrikus függvényünk egy egyszerűbb alakra redukálható, amely csak az argumentumot tartalmazza. t. Az ilyen képleteket szellemképleteknek nevezzük.

Emlékezzünk néhány képletre:

sin(t + 2π*k) = sin(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
sin(t + π) = -sin(t)
cos(t + π) = -cos(t)
sin(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tg(t + π*k) = tg(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

nagyon sok szellemképlet létezik, hozzunk létre egy szabályt, amellyel meghatározzuk a trigonometrikus függvényeinket szellemképletek:

Ha a trigonometrikus függvény előjele π + t, π - t, 2π + t és 2π - t alakú számokat tartalmaz, akkor a függvény nem változik, azaz például a szinusz szinusz marad, a kotangens kotangens marad.
Ha a trigonometrikus függvény előjele a következő alakú számokat tartalmazza: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t és 3π/2 - t, akkor a függvény összefüggőre változik, azaz a szinuszból koszinusz, a kotangensből érintő lesz.
Az eredményül kapott függvény elé azt az előjelet kell tenni, amely a konvertált függvénynek akkor lenne, ha 0

Ezek a szabályok akkor is érvényesek, ha a függvény argumentuma fokban van!

A trigonometrikus függvények konverziós táblázatát is elkészíthetjük:

Példák a redukciós képletek használatára

1. Alakítsuk át cos(π + t)-t. Marad a függvény neve, pl. cos(t)-t kapunk. Ezután tegyük fel, hogy π/2

2. A sin(π/2 + t) transzformálása. A függvény neve megváltozik, pl. cos(t)-t kapunk. Tegyük fel továbbá, hogy 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Alakítsuk át tg(π + t)-t. Marad a függvény neve, pl. tg(t)-t kapunk. Tegyük fel továbbá, hogy 0

4. Alakítsuk át a ctg(270 0 + t)-t. A függvény neve megváltozik, azaz tg(t)-t kapunk. Tegyük fel továbbá, hogy 0

Problémák a független megoldás redukciós képleteivel

Srácok, alakítsátok át magatokat a szabályaink szerint:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Az öntött képletek használatára két szabály vonatkozik.

Nézze meg az alábbi ábrát, amely vázlatosan mutatja, mikor kell a táblát megváltoztatni és mikor nem.

2. A szabály "amilyen voltál, olyan maradsz."

A csökkentett funkció előjele változatlan marad. Ha az eredeti függvénynek pluszjele volt, akkor a redukált függvénynek is van pluszjele. Ha az eredeti függvénynek mínusz jele volt, akkor a redukált függvénynek is van mínusz jele.

Az alábbi ábra a főbb trigonometrikus függvények előjeleit mutatja negyedtől függően.

Számítsa ki a bűnt (150˚)

Használjuk a redukciós képleteket:

A Sin(150˚) a második negyedben van, az ábráról láthatjuk, hogy ebben a negyedben a bűn jele +. Ez azt jelenti, hogy a fenti függvénynek pluszjele is lesz. A második szabályt alkalmaztuk.

Kívánt esetben az összes redukciós képlet egy táblázatban összefoglalható. De még mindig könnyebb megjegyezni ezt a két szabályt és használni őket.

Segítségre van szüksége a tanulmányaihoz?

Előző téma: