8 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य गुणज। अल्पतम समापवर्त्य (LCM): परिभाषा, उदाहरण और गुण

परिभाषा।वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)ये नंबर।

आइए जानें सबसे बड़ा सामान्य भाजकसंख्या 24 और 35।
24 के भाजक संख्या 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 और 35 के भाजक संख्या 1, 5, 7, 35 होंगे।
हम देखते हैं कि संख्याएँ 24 और 35 का केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1. ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्य.

परिभाषा।प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्ययदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)दी गई संख्याओं के सभी भाजक को लिखे बिना पाया जा सकता है।

संख्या 48 और 36 का गुणनखंडन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, हम उन संख्याओं को हटा देते हैं जो दूसरी संख्या (यानी, दो ड्यूस) के विस्तार में शामिल नहीं हैं।
गुणनखंड 2*2*3 रहता है। उनका गुणनफल 12 होता है। यह संख्या 48 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी पाया जाता है।

ढूँढ़ने के लिए महत्तम सामान्य भाजक

2) इनमें से किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, उन संख्याओं को काट दें जो अन्य संख्याओं के विस्तार में शामिल नहीं हैं;
3) शेष कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यदि दी गई सभी संख्याएँ उनमें से किसी एक से विभाज्य हैं, तो यह संख्या है महत्तम सामान्य भाजकदिए गए नंबर।
उदाहरण के लिए, 15, 45, 75 और 180 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 15 है, क्योंकि यह अन्य सभी संख्याओं को विभाजित करता है: 45, 75 और 180।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)

परिभाषा। कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) प्राकृतिक संख्या a और b सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो a और b दोनों का गुणज है। 75 और 60 की संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम 75 और 60 को सरल कारकों में विघटित करते हैं: 75 \u003d 3 * 5 * 5, और 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5।
हम इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल गुणनखंडों को लिखते हैं, और उनमें दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं (अर्थात हम गुणनखंडों को जोड़ते हैं)।
हमें पाँच गुणनखंड 2 * 2 * 3 * 5 * 5 मिलते हैं, जिनका गुणनफल 300 है। यह संख्या 75 और 60 की संख्याओं का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज है।

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य भी ज्ञात कीजिए।

प्रति कम से कम सामान्य गुणक खोजेंकई प्राकृतिक संख्याएँ, आपको चाहिए:
1) उन्हें प्रमुख कारकों में विघटित करें;
2) किसी एक संख्या के प्रसार में शामिल कारकों को लिखिए;
3) उनमें शेष संख्याओं के प्रसार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
4) परिणामी कारकों के उत्पाद का पता लगाएं।

ध्यान दें कि यदि इनमें से एक संख्या अन्य सभी संख्याओं से विभाज्य है, तो यह संख्या इन संख्याओं में सबसे छोटी सामान्य गुणज है।
उदाहरण के लिए, 12, 15, 20 और 60 का सबसे छोटा सामान्य गुणक 60 होगा, क्योंकि यह सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है।

पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) और उनके छात्रों ने संख्याओं की विभाज्यता के मुद्दे का अध्ययन किया। एक संख्या जो अपने सभी भाजक के योग के बराबर होती है (बिना संख्या के), वे पूर्ण संख्या कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) पूर्ण हैं। अगली पूर्ण संख्याएँ 496, 8128, 33,550,336 हैं। पाइथागोरस केवल पहली तीन पूर्ण संख्याएँ जानते थे। चौथा - 8128 - पहली शताब्दी में ज्ञात हुआ। एन। इ। पांचवां - 33 550 336 - 15वीं शताब्दी में पाया गया था। 1983 तक, 27 पूर्ण संख्याएँ पहले से ही ज्ञात थीं। लेकिन अब तक, वैज्ञानिक यह नहीं जानते हैं कि क्या विषम पूर्ण संख्याएँ होती हैं, क्या सबसे बड़ी पूर्ण संख्या होती है।
अभाज्य संख्याओं में प्राचीन गणितज्ञों की रुचि इस तथ्य के कारण है कि कोई भी संख्या या तो अभाज्य होती है या उसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात अभाज्य संख्याएँ ईंटों की तरह होती हैं जिनसे शेष प्राकृतिक संख्याएँ बनती हैं।
आपने शायद ध्यान दिया होगा कि प्राकृत संख्याओं की श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ असमान रूप से आती हैं - श्रृंखला के कुछ हिस्सों में उनमें से अधिक होती हैं, अन्य में - कम। लेकिन हम संख्या श्रृंखला के साथ जितना आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ उतनी ही दुर्लभ होती हैं। प्रश्न उठता है: क्या अंतिम (सबसे बड़ी) अभाज्य संख्या मौजूद है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व), अपनी पुस्तक "बिगिनिंग्स" में, जो दो हजार वर्षों तक गणित की मुख्य पाठ्यपुस्तक थी, ने साबित किया कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, अर्थात प्रत्येक अभाज्य संख्या के पीछे एक सम है। अधिक अभाज्य संख्या।
अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, उसी समय के एक अन्य यूनानी गणितज्ञ एराटोस्थनीज ने ऐसी विधि का आविष्कार किया। उसने 1 से लेकर किसी संख्या तक की सभी संख्याओं को लिख दिया, और फिर उस इकाई को काट दिया, जो न तो अभाज्य है और न ही भाज्य संख्या है, फिर 2 के बाद सभी संख्याओं में से एक को काट दिया (वे संख्याएँ जो 2 के गुणज हैं, अर्थात 4, 6, 8, आदि)। 2 के बाद पहली शेष संख्या 3 थी। फिर, दो के बाद, 3 के बाद की सभी संख्याओं को काट दिया गया (वे संख्याएँ जो 3 के गुणज हैं, अर्थात 6, 9, 12, आदि)। अंत में, केवल अभाज्य संख्याएँ ही बिना क्रॉस के रह गईं।

लेकिन कई प्राकृत संख्याएँ अन्य प्राकृत संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए:

संख्या 12, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;

संख्या 36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे संख्या विभाज्य है (12 के लिए यह 1, 2, 3, 4, 6 और 12 है) कहलाती है संख्या भाजक. एक प्राकृतिक संख्या का भाजक एकप्राकृतिक संख्या है जो विभाजित करती है दी गई संख्या एकएक ट्रेस के बिना। वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, कहलाती है कम्पोजिट .

ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12. इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है। इन दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक एकतथा बीवह संख्या है जिससे दी गई दोनों संख्याएं बिना शेषफल के विभाज्य हैं एकतथा बी.

सामान्य बहुअनेक संख्याओं को वह संख्या कहा जाता है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 9, 18 और 45 में 180 का एक सामान्य गुणक है। लेकिन 90 और 360 भी उनके सामान्य गुणक हैं। सभी सामान्य गुणकों में हमेशा सबसे छोटा होता है, इस स्थिति में यह 90 होता है। इस संख्या को कहा जाता है कम से कमकॉमन मल्टीपल (LCM).

LCM हमेशा एक प्राकृत संख्या होती है, जो उन सबसे बड़ी संख्याओं से बड़ी होनी चाहिए जिनके लिए इसे परिभाषित किया गया है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)। गुण।

कम्यूटेटिविटी:

सहयोगीता:

विशेष रूप से, यदि और सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो:

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्त्य एमतथा एनअन्य सभी सामान्य गुणकों का भाजक है एमतथा एन. इसके अलावा, सामान्य गुणकों का सेट एम, एनएलसीएम के लिए गुणकों के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).

के लिए स्पर्शोन्मुख को कुछ संख्या-सैद्धांतिक कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

इसलिए, चेबीशेव समारोह. साथ ही:

यह लैंडौ फ़ंक्शन की परिभाषा और गुणों से निम्नानुसार है जी (एन).

अभाज्य संख्याओं के वितरण के नियम से क्या निकलता है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना।

अनापत्ति प्रमाण पत्र ( ए, बी) की गणना कई तरीकों से की जा सकती है:

1. यदि सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात है, तो आप LCM के साथ इसके संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

2. मान लीजिए कि दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन ज्ञात है:

कहाँ पे पी 1 ,...,पी केविभिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं, और घ 1,...,घ केतथा ई 1,...,ईकेगैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं (यदि संगत अभाज्य अपघटन में नहीं है तो वे शून्य हो सकते हैं)।

फिर एलसीएम ( एक,बी) सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

दूसरे शब्दों में, एलसीएम विस्तार में सभी प्रमुख कारक शामिल होते हैं जो कम से कम एक संख्या विस्तार में शामिल होते हैं ए, बी, और इस कारक के दो घातांक में से सबसे बड़ा लिया जाता है।

उदाहरण:

कई संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना को दो संख्याओं के LCM की कई क्रमिक गणनाओं में घटाया जा सकता है:

नियम।संख्याओं की एक श्रृंखला का एलसीएम खोजने के लिए, आपको चाहिए:

- संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;

- वांछित उत्पाद के कारकों के लिए सबसे बड़ा विस्तार स्थानांतरित करें (दिए गए लोगों की सबसे बड़ी संख्या के कारकों का उत्पाद), और फिर अन्य संख्याओं के विस्तार से कारक जोड़ें जो पहली संख्या में नहीं होते हैं या इसमें हैं कम संख्या में बार;

- अभाज्य गुणनखंडों का परिणामी गुणनफल दी गई संख्याओं का LCM होगा।

किन्हीं दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का अपना LCM होता है। यदि संख्याएँ एक-दूसरे की गुणज नहीं हैं या प्रसार में समान गुणनखंड नहीं हैं, तो उनका LCM इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

संख्या 28 (2, 2, 7) के अभाज्य गुणनखंडों को 3 (संख्या 21) के गुणनखंड के साथ पूरक किया गया, परिणामी उत्पाद (84) होगा सबसे छोटी संख्या, जो 21 और 28 से विभाज्य है।

सबसे बड़ी संख्या 30 के अभाज्य गुणनखंडों को संख्या 25 के 5 के गुणनखंड के साथ पूरक किया गया था, परिणामी उत्पाद 150 सबसे बड़ी संख्या 30 से बड़ा है और शेष के बिना सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है। यह सबसे छोटा संभव गुणनफल (150, 250, 300...) है कि सभी दी गई संख्याएँ इसके गुणज हैं।

संख्याएँ 2,3,11,37 अभाज्य हैं, इसलिए उनका LCM दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

नियम. अभाज्य संख्याओं का LCM निकालने के लिए, आपको इन सभी संख्याओं को एक साथ गुणा करना होगा।

एक अन्य विकल्प:

आपको आवश्यक कई संख्याओं में से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने के लिए:

1) प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करें, उदाहरण के लिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) सभी प्रमुख कारकों की शक्तियों को लिखिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) इनमें से प्रत्येक संख्या के सभी अभाज्य भाजक (गुणक) लिखिए;

4) उनमें से प्रत्येक की सबसे बड़ी डिग्री चुनें, जो इन संख्याओं के सभी विस्तारों में पाई जाती है;

5) इन शक्तियों को गुणा करें।

उदाहरण. संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए: 168, 180 और 3024।

समाधान. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1।

हम सभी अभाज्य भाजक की सबसे बड़ी घातों को लिखते हैं और उन्हें गुणा करते हैं:

एलसीएम = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120।

एलसीएम की गणना कैसे करें यह समझने के लिए, आपको पहले "एकाधिक" शब्द का अर्थ निर्धारित करना चाहिए।

A का गुणज एक प्राकृत संख्या है जो बिना शेषफल के A से विभाज्य है। इस प्रकार, 15, 20, 25, इत्यादि को 5 का गुणज माना जा सकता है।

किसी विशेष संख्या के भाजक सीमित संख्या में हो सकते हैं, लेकिन अनंत गुणज होते हैं।

प्राकृत संख्याओं का एक उभयनिष्ठ गुणज एक ऐसी संख्या है जो उनके द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य होती है।

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) (दो, तीन या अधिक) वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो इन सभी संख्याओं से समान रूप से विभाजित होती है।

एनओसी खोजने के लिए आप कई तरीकों का इस्तेमाल कर सकते हैं।

छोटी संख्याओं के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणजों को एक पंक्ति में तब तक लिखना सुविधाजनक होता है जब तक कि उनमें से एक सामान्य न हो जाए। रिकॉर्ड में गुणकों को बड़े अक्षर K से दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, 4 के गुणज इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

के(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

के(6) = (12, 18, 24, ...)

तो, आप देख सकते हैं कि संख्या 4 और 6 का सबसे छोटा सामान्य गुणक संख्या 24 है। यह प्रविष्टि इस प्रकार की जाती है:

एलसीएम(4, 6) = 24

यदि संख्याएँ बड़ी हैं, तो तीन या अधिक संख्याओं का सार्व गुणज ज्ञात कीजिए, तो LCM की गणना के लिए किसी अन्य तरीके का उपयोग करना बेहतर है।

कार्य को पूरा करने के लिए, प्रस्तावित संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करना आवश्यक है।

सबसे पहले आपको एक पंक्ति में सबसे बड़ी संख्याओं का विस्तार लिखना होगा, और उसके नीचे - बाकी।

प्रत्येक संख्या के विस्तार में भिन्न भिन्न गुणनखंड हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 50 और 20 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणित करें।

छोटी संख्या के विस्तार में, उन कारकों को रेखांकित करना चाहिए जो पहली सबसे बड़ी संख्या के विस्तार में गायब हैं, और फिर उन्हें इसमें जोड़ दें। प्रस्तुत उदाहरण में, एक ड्यूस गायब है।

अब हम 20 और 50 के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना कर सकते हैं।

एलसीएम (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

इस प्रकार, बड़ी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल और दूसरी संख्या के गुणनखंड, जो बड़ी संख्या के अपघटन में शामिल नहीं हैं, अल्पतम समापवर्तक होंगे।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, उन सभी को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाना चाहिए, जैसा कि पिछले मामले में था।

उदाहरण के तौर पर, आप 16, 24, 36 संख्याओं का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज ज्ञात कर सकते हैं।

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

इस प्रकार, सोलह के अपघटन से केवल दो ड्यूस एक बड़ी संख्या के गुणनखंड में शामिल नहीं थे (एक चौबीस के अपघटन में है)।

इस प्रकार, उन्हें बड़ी संख्या के अपघटन में जोड़ने की आवश्यकता है।

एलसीएम (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

कम से कम सामान्य गुणक निर्धारित करने के विशेष मामले हैं। इसलिए, यदि किसी एक संख्या को शेषफल के बिना दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, तो इनमें से बड़ी संख्या सबसे छोटी सामान्य गुणज होगी।

उदाहरण के लिए, बारह और चौबीस की एनओसी चौबीस होगी।

यदि ऐसे सहअभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करना आवश्यक है जिनमें समान भाजक नहीं हैं, तो उनका LCM उनके गुणनफल के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, एलसीएम(10, 11) = 110।

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक सीधे उन संख्याओं के सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक से संबंधित होता है। इस जीसीडी और एनओसी के बीच लिंकनिम्नलिखित प्रमेय द्वारा परिभाषित किया गया है।

प्रमेय।

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का लघुत्तम समापवर्त्य, a और b के गुणनफल के बराबर होता है, जो a और b के सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक से विभाजित होता है, अर्थात, एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी).

सबूत।

होने देना M, संख्या a और b का कुछ गुणज है। अर्थात्, M, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, कुछ पूर्णांक k ऐसा है कि समानता M=a·k सत्य है। लेकिन M भी b से विभाज्य है, तो k, b से विभाज्य है।

gcd(a, b) को d के रूप में निरूपित करें। तब हम समानताएं लिख सकते हैं a=a 1 ·d और b=b 1 ·d, और a 1 =a:d और b 1 =b:d सहअभाज्य संख्याएं होंगी। इसलिए, पिछले पैराग्राफ में प्राप्त शर्त यह है कि a k, b से विभाज्य है, को निम्नानुसार सुधारा जा सकता है: a 1 d k, b 1 d से विभाज्य है, और यह, विभाज्यता के गुणों के कारण, इस शर्त के बराबर है कि a 1 k b एक से विभाज्य है।

हमें विचाराधीन प्रमेय से दो महत्वपूर्ण उपफलों को भी लिखने की आवश्यकता है।

दो संख्याओं के सार्व गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य के गुणजों के समान होते हैं।

यह सच है, क्योंकि एम संख्या ए और बी के किसी भी सामान्य गुणक को समानता एम = एलसीएम (ए, बी) टी द्वारा कुछ पूर्णांक मान टी के लिए परिभाषित किया जाता है।

कोप्राइम का कम से कम सामान्य गुणक सकारात्मक संख्याए और बी उनके उत्पाद के बराबर है।

इस तथ्य का औचित्य बिल्कुल स्पष्ट है। चूँकि a और b सहअभाज्य हैं, तो gcd(a, b)=1 इसलिए, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करने के लिए घटाया जा सकता है। यह कैसे किया जाता है, यह निम्नलिखित प्रमेय में दर्शाया गया है: a 1, a 2, ..., k, m k-1 और k के सामान्य गुणकों के साथ मेल खाता है, इसलिए, m k के गुणकों के साथ मेल खाता है। और चूँकि संख्या m k का लघुत्तम धनात्मक गुणज स्वयं m k है, तो a 1 , a 2 , …, a k का लघुत्तम समापवर्तक m k है।

ग्रंथ सूची।

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• विनोग्रादोव आई.एम. संख्या सिद्धांत की मूल बातें।
• मिखेलोविच श.ख. संख्या सिद्धांत।
• कुलिकोव एल.वाई.ए. और अन्य। बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: फ़िज़-मैट के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक। शैक्षणिक संस्थानों की विशेषता।

आइए एलसीएम - कम से कम सामान्य एकाधिक, परिभाषा, उदाहरण अनुभाग में शुरू किए गए कम से कम सामान्य गुणक के बारे में चर्चा जारी रखें। इस विषय में, हम तीन या अधिक संख्याओं के लिए एलसीएम खोजने के तरीकों को देखेंगे, हम इस प्रश्न का विश्लेषण करेंगे कि ऋणात्मक संख्या का एलसीएम कैसे खोजा जाए।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना

हम पहले ही सबसे छोटे सामान्य गुणक और सबसे बड़े सामान्य भाजक के बीच संबंध स्थापित कर चुके हैं। अब आइए जानें कि GCD के माध्यम से LCM को कैसे परिभाषित किया जाए। सबसे पहले, आइए जानें कि सकारात्मक संख्याओं के लिए यह कैसे करें।

परिभाषा 1

आप सूत्र LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) का उपयोग करके सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक पा सकते हैं।

उदाहरण 1

संख्या 126 और 70 का LCM ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए a = 126 , b = 70 लें। सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) के माध्यम से अल्पतम समापवर्त्य की गणना के लिए सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें।

संख्या 70 और 126 की GCD ज्ञात करता है। इसके लिए हमें यूक्लिड एल्गोरिथम की आवश्यकता है: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, इसलिए जीसीडी (126 , 70) = 14 .

आइए एलसीएम की गणना करें: एलसीएम (126, 70) = 126 70: जीसीडी (126, 70) = 126 70: 14 = 630।

उत्तर:एलसीएम (126, 70) = 630।

उदाहरण 2

68 और 34 की संख्या ज्ञात कीजिए।

समाधान

इस मामले में जीसीडी खोजना आसान है, क्योंकि 68, 34 से विभाज्य है। सूत्र का उपयोग करके कम से कम सामान्य गुणक की गणना करें: एलसीएम (68, 34) = 68 34: जीसीडी (68, 34) = 68 34: 34 = 68।

उत्तर:एलसीएम (68, 34) = 68।

इस उदाहरण में, हमने धनात्मक पूर्णांकों a और b का अल्पतम समापवर्तक ज्ञात करने के लिए नियम का उपयोग किया है: यदि पहली संख्या दूसरी से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का LCM पहली संख्या के बराबर होगा।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना

अब आइए एलसीएम को खोजने का एक तरीका देखें, जो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन पर आधारित है।

परिभाषा 2

कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, हमें कई सरल चरण करने होंगे:

• हम संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं जिसके लिए हमें LCM ज्ञात करने की आवश्यकता होती है;
• हम सभी प्रमुख कारकों को उनके प्राप्त उत्पादों से बाहर करते हैं;
• सामान्य अभाज्य गुणनखंडों को समाप्त करने के बाद प्राप्त उत्पाद दी गई संख्याओं के एलसीएम के बराबर होगा।

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का यह तरीका समानता LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) पर आधारित है। यदि आप सूत्र को देखें, तो यह स्पष्ट हो जाएगा: संख्याओं a और b का गुणनफल उन सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है जो इन दो संख्याओं के विस्तार में शामिल होते हैं। इस स्थिति में, दो संख्याओं का GCD उन सभी अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के बराबर होता है जो इन दो संख्याओं के गुणनखंडों में एक साथ मौजूद होते हैं।

उदाहरण 3

हमारे पास दो संख्याएँ 75 और 210 हैं। हम उन्हें इस तरह से निकाल सकते हैं: 75 = 3 5 5तथा 210 = 2 3 5 7. यदि आप दो मूल संख्याओं के सभी गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, तो आपको प्राप्त होता है: 2 3 3 5 5 5 7.

यदि हम संख्या 3 और 5 दोनों के सामान्य गुणनखंडों को हटा दें, तो हमें निम्नलिखित रूप का गुणनफल प्राप्त होता है: 2 3 5 5 7 = 1050. यह उत्पाद संख्या 75 और 210 के लिए हमारा एलसीएम होगा।

उदाहरण 4

संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए 441 तथा 700 , दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित करना।

समाधान

आइए शर्त में दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

हमें संख्याओं की दो श्रृंखलाएँ मिलती हैं: 441 = 3 3 7 7 और 700 = 2 2 5 5 7।

इन संख्याओं के विस्तार में भाग लेने वाले सभी कारकों का गुणनफल इस तरह दिखेगा: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. आइए सामान्य कारक खोजें। यह संख्या 7 है। हम इसे सामान्य उत्पाद से बाहर करते हैं: 2 2 3 3 5 5 7 7. यह पता चला है कि एनओसी (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

उत्तर:एलसीएम (441 , 700) = 44 100।

आइए हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके LCM ज्ञात करने की विधि का एक और सूत्रीकरण दें।

परिभाषा 3

पहले, हमने दोनों संख्याओं के सामान्य कारकों की कुल संख्या से बाहर रखा था। अब हम इसे अलग तरीके से करेंगे:

• आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:
• पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल में दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
• हमें वह गुणनफल प्राप्त होता है, जो दो संख्याओं का वांछित LCM होगा।

उदाहरण 5

आइए 75 और 210 की संख्या पर वापस जाएं, जिसके लिए हम पिछले उदाहरणों में से एक में एलसीएम की तलाश कर चुके हैं। आइए उन्हें सरल कारकों में विभाजित करें: 75 = 3 5 5तथा 210 = 2 3 5 7. गुणनखंड 3 , 5 और . के गुणनफल के लिए 5 संख्या 75 लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें 2 तथा 7 संख्या 210। हम पाते हैं: 2 3 5 5 7 .यह संख्या 75 और 210 का एलसीएम है।

उदाहरण 6

84 और 648 संख्याओं के एलसीएम की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

आइए स्थिति से संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें: 84 = 2 2 3 7तथा 648 = 2 2 2 3 3 3 3. गुणनखंड 2 , 2 , 3 और . के गुणनफल में जोड़ें 7 संख्या 84 लुप्त गुणनखंड 2 , 3 , 3 और
3 संख्या 648। हमें उत्पाद मिलता है 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536।यह 84 और 648 का अल्पतम समापवर्तक है।

उत्तर:एलसीएम (84, 648) = 4536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

हम चाहे कितनी भी संख्याओं के साथ काम कर रहे हों, हमारे कार्यों का एल्गोरिथ्म हमेशा समान रहेगा: हम लगातार दो संख्याओं का LCM पाएंगे। इस मामले के लिए एक प्रमेय है।

प्रमेय 1

मान लीजिए हमारे पास पूर्णांक हैं ए 1 , ए 2 ,… , एक के. अनापत्ति प्रमाण पत्र एम कोइन संख्याओं में से अनुक्रमिक गणना m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k) में पाई जाती है।

अब आइए देखें कि प्रमेय को विशिष्ट समस्याओं पर कैसे लागू किया जा सकता है।

उदाहरण 7

आपको चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और . के सबसे छोटे सामान्य गुणज की गणना करने की आवश्यकता है 250 .

समाधान

आइए अंकन का परिचय दें: एक 1 \u003d 140, एक 2 \u003d 9, एक 3 \u003d 54, एक 4 \u003d 250।

आइए m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) की गणना करके शुरू करें। आइए 140 और 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4 की जीसीडी की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करें। हम प्राप्त करते हैं: जीसीडी (140, 9) = 1, एलसीएम (140, 9) = 140 9: जीसीडी (140, 9) = 140 9: 1 = 1260। इसलिए, एम 2 = 1 260।

आइए अब उसी एल्गोरिथम के अनुसार गणना करें m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) । गणना के क्रम में, हमें m 3 = 3 780 प्राप्त होता है।

यह हमारे लिए m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) की गणना करना बाकी है। हम एक ही एल्गोरिथ्म के अनुसार कार्य करते हैं। हमें एम 4 \u003d 94 500 मिलता है।

उदाहरण शर्त से चार संख्याओं का एलसीएम 94500 है।

उत्तर:एलसीएम (140, 9, 54, 250) = 94,500।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गणना सरल है, लेकिन काफी श्रमसाध्य है। समय बचाने के लिए आप दूसरे रास्ते पर जा सकते हैं।

परिभाषा 4

हम आपको क्रियाओं के निम्नलिखित एल्गोरिथम प्रदान करते हैं:

• सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें;
• पहली संख्या के गुणनखंडों के गुणनफल में, दूसरी संख्या के गुणनफल से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
• तीसरे नंबर के लापता कारकों को पिछले चरण में प्राप्त उत्पाद में जोड़ें, आदि;
• परिणामी उत्पाद स्थिति से सभी संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक होगा।

उदाहरण 8

पांच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए सभी पांच संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13। अभाज्य संख्याएँ, जो कि संख्या 7 है, को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। ऐसी संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में उनके अपघटन के साथ मेल खाती हैं।

अब हम संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 का गुणनफल लेते हैं और उनमें दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ते हैं। हमने संख्या 6 को 2 और 3 में विघटित कर दिया है। ये कारक पहले से ही पहले नंबर के उत्पाद में हैं। इसलिए, हम उन्हें छोड़ देते हैं।

हम लापता गुणकों को जोड़ना जारी रखते हैं। हम संख्या 48 की ओर मुड़ते हैं, अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल से, जिनमें से हम 2 और 2 लेते हैं। फिर हम चौथी संख्या से 7 का एक साधारण गुणनखंड और पांचवें के 11 और 13 के गुणनखंड जोड़ते हैं। हम पाते हैं: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048। यह पाँच मूल संख्याओं का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज है।

उत्तर:एलसीएम (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048।

ऋणात्मक संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक ज्ञात करना

कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए ऋणात्मक संख्या, इन नंबरों को पहले विपरीत चिह्न वाली संख्याओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर गणना उपरोक्त एल्गोरिदम के अनुसार की जानी चाहिए।

उदाहरण 9

एलसीएम(54, −34) = एलसीएम(54, 34) और एलसीएम(−622,−46, −54,−888) = एलसीएम(622, 46, 54, 888)।

इस तरह के कार्यों की अनुमति इस तथ्य के कारण है कि यदि यह स्वीकार किया जाता है कि एकतथा - ए- विपरीत संख्या
फिर गुणकों का समुच्चय एककिसी संख्या के गुणजों के समुच्चय के साथ मेल खाता है - ए.

उदाहरण 10

ऋणात्मक संख्याओं के LCM की गणना करना आवश्यक है − 145 तथा − 45 .

समाधान

चलो नंबर बदलते हैं − 145 तथा − 45 उनके विपरीत संख्याओं के लिए 145 तथा 45 . अब, एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम एलसीएम (145 , 45) = 145 45: जीसीडी (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 की गणना करते हैं, पहले यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके जीसीडी निर्धारित करते हैं।

हम पाते हैं कि संख्याओं का एलसीएम - 145 और − 45 बराबरी 1 305 .

उत्तर:एलसीएम (- 145 , - 45) = 1 305।

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