Logarithme du nombre 8 en base 3. Qu'est-ce qu'un logarithme. Exemples de résolution de logarithmes

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L'algèbre est une science complexe et intéressante basée sur de nombreuses fonctions. Voyons ce qu'est un logarithme et quelles sont ses propriétés.

Un logarithme est la puissance à laquelle il faut élever le nombre a pour obtenir le nombre x.

L'algèbre connaît de nombreux types de logarithmes. Les types de logarithmes les plus courants sont :

naturel de base e=2,718281, noté ln.
Exemple : ln1=0. lne=1 ;
décimal de base 10, noté lg.
Exemple : lg100=2. log 10 100=2, puisque 10 2 =100 ;
binaire, noté lb(b) ou lb 2 b. Est la solution de l’équation 2 x =b.
Exemple : lb16=4.

Ces derniers sont largement utilisés en informatique, en théorie de l’information, ainsi que dans de nombreux sous-domaines des mathématiques discrètes. Les logarithmes aident les statisticiens à déterminer les distributions de probabilité les plus importantes. Ils sont également utilisés en génétique.

Compter à l'aide de logarithmes

Les mathématiciens connaissent depuis longtemps les propriétés uniques des logarithmes, ainsi que la possibilité de les utiliser pour simplifier des calculs complexes. Ainsi, en passant aux logarithmes :

la multiplication est facilement remplacée par l'addition ;
division - par soustraction ;
élever à une certaine puissance ou prendre une racine devient une multiplication ou une division.

Lorsque vous comptez à l'aide de logarithmes, vous devez vous débarrasser du signe du journal. Où:

La raison et l’argumentation doivent être positives ;
La base doit être différente de un, puisque ce nombre, élevé à n'importe quelle puissance, reste inchangé.

Fonction logarithmique

La fonction logarithmique y = loga x (où a > 0, a ≠ 1) est également utilisée dans les calculs. Parmi ses propriétés figurent les suivantes :

le domaine de définition de cette fonction réside dans l'ensemble des nombres positifs ;
l'ensemble des valeurs de fonction est représenté par des nombres réels ;
la fonction n'a pas de valeur maximale ou minimale ;
la fonction appartient à la forme générale, n'étant ni paire ni impaire ;
la fonction n'est pas périodique ;
le graphique passe par les axes de coordonnées au point (1;0) ;
si la base est supérieure à un, la fonction augmente, et si elle est inférieure à un, elle diminue.

Vous avez maintenant une idée des logarithmes, de leur portée, ainsi que des propriétés de la fonction logarithmique.

Le logarithme d'un nombre b en base a est l'exposant auquel il faut élever le nombre a pour obtenir le nombre b.

Si donc.

Logarithme - extrême quantité mathématique importante, puisque le calcul logarithmique permet non seulement de résoudre des équations exponentielles, mais aussi d'opérer avec des exposants, de différencier les fonctions exponentielles et logarithmiques, de les intégrer et de les amener à une forme de calcul plus acceptable.

En contact avec

Toutes les propriétés des logarithmes sont directement liées aux propriétés des fonctions exponentielles. Par exemple, le fait que signifie que:

Il convient de noter que lors de la résolution de problèmes spécifiques, les propriétés des logarithmes peuvent s'avérer plus importantes et utiles que les règles de travail avec les puissances.

Présentons quelques identités :

Voici les expressions algébriques de base :

;

Attention! ne peut exister que pour x>0, x≠1, y>0.

Essayons de comprendre la question de savoir ce que sont les logarithmes naturels. Intérêt particulier pour les mathématiques représentent deux types- le premier a pour base le nombre « 10 » et est appelé « logarithme décimal ». Le second est dit naturel. La base du logarithme népérien est le nombre « e ». C’est ce dont nous parlerons en détail dans cet article.

Désignations :

lg x - décimal ;
ln x - naturel.

En utilisant l'identité, nous pouvons voir que ln e = 1, ainsi que le fait que lg 10=1.

Graphique du logarithme népérien

Construisons un graphique du logarithme népérien en utilisant la méthode classique standard point par point. Si vous le souhaitez, vous pouvez vérifier si nous construisons correctement la fonction en examinant la fonction. Cependant, il est judicieux d'apprendre à le construire « manuellement » afin de savoir calculer correctement le logarithme.

Fonction : y = ln x. Écrivons un tableau de points par lesquels passera le graphique :

Expliquons pourquoi nous avons choisi ces valeurs particulières de l'argument x. Tout est question d'identité : . Pour le logarithme népérien, cette identité ressemblera à ceci :

Pour plus de commodité, nous pouvons prendre cinq points de référence :

;

Ainsi, le calcul des logarithmes naturels est une tâche assez simple ; de plus, cela simplifie les calculs d'opérations avec des puissances, en les transformant en multiplication ordinaire.

En traçant un graphique point par point, on obtient un graphique approximatif :

Le domaine de définition du logarithme népérien (c'est-à-dire toutes les valeurs valides de l'argument X) est constitué de tous les nombres supérieurs à zéro.

Attention! Le domaine de définition du logarithme népérien ne comprend que les nombres positifs ! La portée de la définition n'inclut pas x=0. Ceci est impossible compte tenu des conditions d'existence du logarithme.

La plage de valeurs (c'est-à-dire toutes les valeurs valides de la fonction y = ln x) est constituée de tous les nombres de l'intervalle.

Limite de journal naturel

En étudiant le graphique, la question se pose : comment la fonction se comporte-t-elle en y<0.

Évidemment, le graphique de la fonction a tendance à croiser l'axe des y, mais il ne pourra pas le faire, puisque le logarithme népérien de x<0 не существует.

Limite du naturel enregistrer peut s'écrire ainsi :

Formule pour remplacer la base d'un logarithme

Traiter un logarithme népérien est beaucoup plus facile que traiter un logarithme ayant une base arbitraire. C'est pourquoi nous allons essayer d'apprendre à réduire n'importe quel logarithme à un logarithme naturel, ou à l'exprimer sur une base arbitraire au moyen de logarithmes naturels.

Commençons par l'identité logarithmique :

Alors n’importe quel nombre ou variable y peut être représenté par :

où x est n'importe quel nombre (positif selon les propriétés du logarithme).

Cette expression peut être prise de manière logarithmique des deux côtés. Faisons cela en utilisant une base z arbitraire :

Utilisons la propriété (seulement au lieu de « c » nous avons l'expression) :

De là, nous obtenons la formule universelle :

En particulier, si z=e, alors :

Nous avons pu représenter un logarithme sur une base arbitraire grâce au rapport de deux logarithmes naturels.

Nous résolvons les problèmes

Afin de mieux comprendre les logarithmes naturels, examinons des exemples de plusieurs problèmes.

Problème 1. Il faut résoudre l'équation ln x = 3.

Solution: En utilisant la définition du logarithme : si , alors , on obtient :

Problème 2. Résolvez l'équation (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Solution : En utilisant la définition du logarithme : si , alors , on obtient :

Utilisons à nouveau la définition d'un logarithme :

Ainsi:

Vous pouvez calculer approximativement la réponse ou la laisser sous cette forme.

Tâche 3. Résous l'équation.

Solution: Faisons une substitution : t = ln x. L’équation prendra alors la forme suivante :

Nous avons une équation quadratique. Trouvons son discriminant :

En statistique et en théorie des probabilités, on trouve très souvent des quantités logarithmiques. Cela n’est pas surprenant, car le nombre e reflète souvent le taux de croissance de quantités exponentielles.

En informatique, en programmation et en théorie informatique, on trouve assez souvent des logarithmes, par exemple pour stocker N bits en mémoire.

Dans les théories des fractales et des dimensions, les logarithmes sont constamment utilisés, puisque les dimensions des fractales ne sont déterminées qu'avec leur aide.

En mécanique et physique Il n'y a aucune section où les logarithmes n'ont pas été utilisés. La distribution barométrique, tous les principes de la thermodynamique statistique, l'équation de Tsiolkovsky, etc. sont des processus qui ne peuvent être décrits mathématiquement qu'à l'aide de logarithmes.

En chimie, les logarithmes sont utilisés dans les équations de Nernst et les descriptions des processus redox.

Étonnamment, même en musique, pour connaître le nombre de parties d'une octave, des logarithmes sont utilisés.

Logarithme népérien Fonction y=ln x ses propriétés

Preuve de la propriété principale du logarithme népérien

propriétés principales.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

motifs identiques

Log6 4 + log6 9.

Maintenant, compliquons un peu la tâche.

Exemples de résolution de logarithmes

Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être soustrait du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Bien entendu, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est respectée : a > 0, a ≠ 1, x >

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Transition vers une nouvelle fondation

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Voir également:

Propriétés de base du logarithme

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L'exposant est 2,718281828…. Pour mémoriser l'exposant, vous pouvez étudier la règle : l'exposant est égal à 2,7 et deux fois l'année de naissance de Léon Nikolaïevitch Tolstoï.

Propriétés de base des logarithmes

Connaissant cette règle, vous connaîtrez à la fois la valeur exacte de l'exposant et la date de naissance de Léon Tolstoï.

Exemples de logarithmes

Expressions logarithmiques

Exemple 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

En utilisant les propriétés 3.5, nous calculons

4. Où .

Exemple 2. Trouver x si

Exemple 3. Soit la valeur des logarithmes

Calculer log(x) si

Propriétés de base des logarithmes

Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement des nombres ordinaires, il existe ici des règles appelées propriétés principales.

Vous devez absolument connaître ces règles - sans elles, aucun problème logarithmique sérieux ne peut être résolu. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors, commençons.

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : logax et logay. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Attention : le point clé ici est motifs identiques. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !

Ces formules vous aideront à calculer une expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas prises en compte (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log2 48 − log2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log3 135 − log3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, on obtient des nombres tout à fait normaux. De nombreux tests sont basés sur ce fait. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.

Extraire l'exposant du logarithme

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s'en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Bien sûr, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est observé : a > 0, a ≠ 1, x > 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa , c'est à dire. Vous pouvez saisir les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même. C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log7 496.

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 24 ; 49 = 72. On a :

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur.

Formules de logarithme. Exemples de solutions de logarithmes.

Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Examinons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur contiennent le même nombre : log2 7. Puisque log2 7 ≠ 0, nous pouvons réduire la fraction - 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, le quatre peut être transféré au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse : 2.

Transition vers une nouvelle fondation

En parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les raisons étaient différentes ? Et s’il ne s’agissait pas de puissances exactes du même nombre ?

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

De la deuxième formule, il s'ensuit que la base et l'argument du logarithme peuvent être intervertis, mais dans ce cas, l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme apparaît au dénominateur.

Ces formules se retrouvent rarement dans les expressions numériques ordinaires. Il est possible d'évaluer leur commodité uniquement lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ; log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

En fait, que se passe-t-il si le nombre b est élevé à une puissance telle que le nombre b à cette puissance donne le nombre a ? C'est vrai : le résultat est le même nombre a. Relisez attentivement ce paragraphe – de nombreuses personnes restent bloquées dessus.

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que log25 64 = log5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

En conclusion, je donnerai deux identités qui peuvent difficilement être qualifiées de propriétés - elles sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils apparaissent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants « avancés ».

logaa = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
loga 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que a0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

Voir également:

Le logarithme de b en base a désigne l'expression. Calculer le logarithme signifie trouver une puissance x () à laquelle l'égalité est satisfaite

Propriétés de base du logarithme

Il est nécessaire de connaître les propriétés ci-dessus, car presque tous les problèmes et exemples liés aux logarithmes sont résolus sur cette base. Le reste des propriétés exotiques peut être dérivé par des manipulations mathématiques avec ces formules

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Lorsque vous calculez la formule de la somme et de la différence des logarithmes (3.4), vous la rencontrez assez souvent. Le reste est quelque peu complexe, mais dans un certain nombre de tâches, ils sont indispensables pour simplifier des expressions complexes et calculer leurs valeurs.

Cas courants de logarithmes

Certains des logarithmes courants sont ceux dont la base est même dix, exponentielle ou deux.
Le logarithme en base dix est généralement appelé logarithme décimal et est simplement noté lg(x).

Il ressort clairement de l’enregistrement que les bases ne sont pas écrites dans l’enregistrement. Par exemple

Un logarithme népérien est un logarithme dont la base est un exposant (noté ln(x)).

L'exposant est 2,718281828…. Pour mémoriser l'exposant, vous pouvez étudier la règle : l'exposant est égal à 2,7 et deux fois l'année de naissance de Léon Nikolaïevitch Tolstoï. Connaissant cette règle, vous connaîtrez à la fois la valeur exacte de l'exposant et la date de naissance de Léon Tolstoï.

Et un autre logarithme important en base deux est noté

La dérivée du logarithme d'une fonction est égale à un divisé par la variable

Le logarithme intégral ou primitive est déterminé par la relation

Le matériel fourni vous suffit pour résoudre une large classe de problèmes liés aux logarithmes et aux logarithmes. Pour vous aider à comprendre le matériel, je ne donnerai que quelques exemples courants issus du programme scolaire et des universités.

Exemples de logarithmes

Expressions logarithmiques

Exemple 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

En utilisant les propriétés 3.5, nous calculons

2.
Par la propriété de différence des logarithmes on a

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En utilisant les propriétés 3.5, nous trouvons

4. Où .

Une expression apparemment complexe est simplifiée pour être formée à l'aide d'un certain nombre de règles

Trouver des valeurs de logarithme

Exemple 2. Trouver x si

Solution. Pour le calcul, on applique aux derniers termes 5 et 13 les propriétés

Nous l'enregistrons et pleurons

Puisque les bases sont égales, on assimile les expressions

Logarithmes. Premier niveau.

Soit la valeur des logarithmes

Calculer log(x) si

Solution : Prenons un logarithme de la variable pour écrire le logarithme à travers la somme de ses termes

Ce n'est que le début de notre connaissance des logarithmes et de leurs propriétés. Entraînez-vous aux calculs, enrichissez vos compétences pratiques - vous aurez bientôt besoin des connaissances acquises pour résoudre des équations logarithmiques. Après avoir étudié les méthodes de base pour résoudre de telles équations, nous élargirons vos connaissances à un autre sujet tout aussi important : les inégalités logarithmiques...

Propriétés de base des logarithmes

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : logax et logay. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log6 4 + log6 9.

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log2 48 − log2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log3 135 − log3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Extraire l'exposant du logarithme

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être soustrait du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s'en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Comment résoudre des logarithmes

C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log7 496.

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 24 ; 49 = 72. On a :

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur. Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Transition vers une nouvelle fondation

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ; log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que log25 64 = log5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

logaa = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
loga 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que a0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

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Logarithme nombre positif N à la base(b> 0, b 1 ) appelé exposant X , auquel vous devez construire b pour obtenir N .

Notation logarithmique :

Cette entrée est équivalente à ce qui suit :bx = N .

EXEMPLES : journal 3 81 = 4, puisque 3 4 = 81 ;

Bûche 1/3 27 = – 3, puisque (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

La définition ci-dessus du logarithme peut s'écrire sous la forme d'une identité :

Propriétés de base des logarithmes.

1) enregistrer b= 1 , parce que b 1 = B.

2) journal 1 = 0 , parce que b 0 = 1 .

3) Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs :

enregistrer( un B) = journal un+ journal b.

4) Le logarithme du quotient est égal à la différence entre les logarithmes du dividende et du diviseur :

enregistrer( un/b) = journal un-enregistrer b.

5) Le logarithme d'une puissance est égal au produit de l'exposant et du logarithme de sa base :

enregistrer (b k ) = k enregistrer b.

La conséquence de cette propriété est la suivante :logarithme de la racine égal au logarithme du nombre radical divisé par la puissance de la racine :

6) Si la base du logarithme est un degré, alors la valeur l'inverse de l'exposant, peut être retiré du signe du journal rime:

Les deux dernières propriétés peuvent être combinées en une seule :

7) Formule du module de transition (c.-à-d. e . transition d'une baselogarithme vers une autre base) :

Dans le cas particulier où N=a nous avons:

Logarithme décimal appelé logarithme de base 10. Il est désigné lg, c'est-à-dire journal 10 N = LG N. Logarithmes des nombres 10, 100, 1000, ... p les nombres sont respectivement 1, 2, 3,…ceux. j'ai tellement de positif

unités, combien y a-t-il de zéros dans un nombre logarithmique après un. Logarithmes des nombres 0,1, 0,01, 0,001, ... p avna respectivement –1, –2, –3, …, c'est-à-dire avoir autant de uns négatifs qu'il y a de zéros avant un dans le nombre logarithmique ( comptage et nombres entiers nuls). Logarithmes les autres nombres ont une partie fractionnaire appelée mantisse. Entierune partie du logarithme s'appelle caractéristique. Pour une utilisation pratiqueLes logarithmes décimaux sont les plus pratiques.

Un algorithme naturel appelé logarithme de base e. Il est désigné ln, c'est-à-dire enregistrer eN = dans N. Nombre eest irrationnel, ilvaleur approximative 2,718281828. Il est la limite vers laquelle tend le nombre(1 + 1 / n) n avec augmentation illimitéen(cm. première limite merveilleuse ).
Aussi étrange que cela puisse paraître, les logarithmes naturels se sont révélés très pratiques pour effectuer divers types d'opérations liées à l'analyse des fonctions.Calculer des logarithmes sur la baseeeffectué beaucoup plus rapidement que pour toute autre raison.