Enzyklopädie der Mathematik. Mathematische Enzyklopädie Axiome und Beweismethoden

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Mathematische Enzyklopädie – eine Referenzpublikation zu allen Bereichen der Mathematik. Die Enzyklopädie basiert auf Übersichtsartikeln zu den wichtigsten Bereichen der Mathematik. Die Hauptanforderung an Artikel dieser Art ist eine möglichst vollständige Übersicht über den aktuellen Stand der Theorie bei maximaler Zugänglichkeit der Darstellung; Diese Artikel sind im Allgemeinen für fortgeschrittene Mathematikstudenten, Doktoranden und Spezialisten in verwandten Bereichen der Mathematik zugänglich, in bestimmten Fällen auch für Spezialisten in anderen Wissensgebieten, die bei ihrer Arbeit mathematische Methoden verwenden, Ingenieure und Mathematiklehrer. Darüber hinaus werden mittelgroße Artikel zu einzelnen spezifischen Problemen und Methoden der Mathematik bereitgestellt; Diese Artikel richten sich an eine engere Leserschaft und sind daher möglicherweise weniger zugänglich. Eine weitere Art von Artikeln sind schließlich Kurzreferenzen und Definitionen. Am Ende des letzten Bandes der Enzyklopädie wird es einen Themenindex geben, der nicht nur die Titel aller Artikel, sondern auch viele Konzepte enthält, deren Definitionen auch in Artikeln der ersten beiden Typen enthalten sein werden als die wichtigsten Ergebnisse, die in den Artikeln erwähnt werden. Den meisten Enzyklopädie-Artikeln liegt eine Bibliographie mit fortlaufenden Nummern für jeden Titel bei, die es ermöglicht, sie in den Texten der Artikel zu zitieren. Am Ende der Artikel wird (in der Regel) der Autor oder die Quelle angegeben, wenn der Artikel bereits zuvor veröffentlicht wurde (hauptsächlich handelt es sich dabei um Artikel in der Großen Sowjetischen Enzyklopädie). Die in Artikeln erwähnten Namen ausländischer (außer antiker) Wissenschaftler werden in lateinischer Schreibweise angegeben (sofern kein Link zum Literaturverzeichnis vorhanden ist).

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Algebra war ursprünglich ein Zweig der Mathematik, der sich mit der Lösung von Gleichungen befasste. Im Gegensatz zur Geometrie existierte die axiomatische Konstruktion der Algebra erst Mitte des 19. Jahrhunderts, als eine grundlegend neue Sicht auf das Thema und die Natur der Algebra entstand. Die Forschung konzentrierte sich zunehmend auf die Untersuchung sogenannter algebraischer Strukturen. Dies hatte zwei Vorteile. Einerseits wurde geklärt, für welche Bereiche die einzelnen Theoreme gelten, andererseits wurde es möglich, dieselben Beweise in völlig unterschiedlichen Bereichen anzuwenden. Diese Einteilung der Algebra dauerte bis zur Mitte des 20. Jahrhunderts und spiegelte sich in der Entstehung zweier Namen wider: „klassische Algebra“ und „moderne Algebra“. Letzteres lässt sich besser mit einem anderen Namen beschreiben: „abstrakte Algebra“. Tatsache ist, dass dieser Abschnitt – zum ersten Mal in der Mathematik – von völliger Abstraktion geprägt war.

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„Probability and Mathematical Statistics“ ist eine Referenzpublikation zur Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematischen Statistik und ihren Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technologie. Die Enzyklopädie besteht aus zwei Teilen: Der Hauptteil enthält Übersichtsartikel, Artikel zu einzelnen spezifischen Problemen und Methoden, kurze Referenzen mit Definitionen grundlegender Konzepte sowie die wichtigsten Theoreme und Formeln. Ein beträchtlicher Raum wird angewandten Fragen gewidmet – Informationstheorie, Warteschlangentheorie, Zuverlässigkeitstheorie, experimentelle Planung und verwandte Bereiche – Physik, Geophysik, Genetik, Demographie und einzelne Zweige der Technologie. Den meisten Artikeln liegt eine Bibliographie der wichtigsten Werke zu diesem Thema bei. Die Titel der Artikel werden auch in englischer Übersetzung angegeben. Der zweite Teil – „Anthologie zur Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik“ – enthält Artikel, die für inländische Enzyklopädien der Vergangenheit geschrieben wurden, sowie enzyklopädisches Material, das zuvor in anderen Werken veröffentlicht wurde. Die Enzyklopädie wird von einer umfangreichen Liste von Zeitschriften, Zeitschriften und laufenden Veröffentlichungen zu Themen der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik begleitet.
Das in der Enzyklopädie enthaltene Material ist für Studenten, Doktoranden und Forscher auf dem Gebiet der Mathematik und anderer Naturwissenschaften erforderlich, die in ihrer Forschung und praktischen Arbeit probabilistische Methoden anwenden.

Der Inhalt des Artikels

MATHEMATIK. Mathematik wird normalerweise durch die Auflistung der Namen einiger ihrer traditionellen Zweige definiert. Zunächst handelt es sich um die Arithmetik, die sich mit dem Studium von Zahlen, den Beziehungen zwischen ihnen und den Regeln für die Berechnung von Zahlen befasst. Die Tatsachen der Arithmetik lassen verschiedene spezifische Interpretationen zu; Beispielsweise entspricht die Beziehung 2 + 3 = 4 + 1 der Aussage, dass zwei und drei Bücher genauso viele Bücher ergeben wie vier und eins. Jede Beziehung wie 2 + 3 = 4 + 1, d. h. eine Beziehung zwischen rein mathematischen Objekten ohne Bezug zu irgendeiner Interpretation aus der physikalischen Welt wird als abstrakt bezeichnet. Der abstrakte Charakter der Mathematik ermöglicht es, sie zur Lösung einer Vielzahl von Problemen einzusetzen. Beispielsweise kann die Algebra, die sich mit Operationen mit Zahlen befasst, Probleme lösen, die über die Arithmetik hinausgehen. Ein spezifischerer Zweig der Mathematik ist die Geometrie, deren Hauptaufgabe das Studium der Größe und Form von Objekten ist. Die Kombination algebraischer und geometrischer Methoden führt einerseits zur Trigonometrie (die ursprünglich der Untersuchung geometrischer Dreiecke gewidmet war und heute ein viel breiteres Spektrum an Themen abdeckt) und andererseits zur analytischen Geometrie, in der Geometrische Körper und Figuren werden mit algebraischen Methoden untersucht. Es gibt mehrere Zweige der höheren Algebra und Geometrie, die einen höheren Abstraktionsgrad aufweisen und sich nicht mit dem Studium gewöhnlicher Zahlen und gewöhnlicher geometrischer Figuren befassen; Die abstrakteste aller geometrischen Disziplinen heißt Topologie.

Die mathematische Analyse befasst sich mit der Untersuchung von Größen, die sich im Raum oder in der Zeit ändern, und basiert auf zwei Grundkonzepten – Funktion und Grenzwert –, die in den elementareren Zweigen der Mathematik nicht zu finden sind. Anfangs bestand die mathematische Analysis aus Differential- und Integralrechnung, heute umfasst sie aber auch andere Abschnitte.

Es gibt zwei Hauptzweige der Mathematik: die reine Mathematik, bei der das deduktive Denken im Vordergrund steht, und die angewandte Mathematik. Der Begriff „angewandte Mathematik“ bezieht sich manchmal auf diejenigen Zweige der Mathematik, die speziell zur Befriedigung der Bedürfnisse und Anforderungen der Wissenschaft geschaffen wurden, und manchmal auf diejenigen Zweige verschiedener Wissenschaften (Physik, Wirtschaftswissenschaften usw.), die Mathematik als Lösungsmittel verwenden ihre Aufgaben. Viele häufige Missverständnisse über Mathematik entstehen durch die Verwechslung dieser beiden Interpretationen der „angewandten Mathematik“. Arithmetik kann im ersten Sinne ein Beispiel für angewandte Mathematik sein und im zweiten Sinne für Buchhaltung.

Entgegen der landläufigen Meinung schreitet die Mathematik weiterhin rasant voran. Die Zeitschrift Mathematical Review veröffentlicht ca. 8.000 kurze Zusammenfassungen von Artikeln mit den neuesten Ergebnissen – neue mathematische Fakten, neue Beweise für alte Fakten und sogar Informationen über völlig neue Bereiche der Mathematik. Der aktuelle Trend im Mathematikunterricht geht dahin, Schüler früher im Mathematikunterricht an moderne, abstraktere mathematische Ideen heranzuführen. siehe auch GESCHICHTE DER MATHEMATIK. Die Mathematik ist einer der Grundpfeiler der Zivilisation, doch nur wenige Menschen haben eine Vorstellung vom aktuellen Stand der Dinge in dieser Wissenschaft.

Die Mathematik hat in den letzten hundert Jahren enorme Veränderungen erfahren, sowohl in ihren Themen als auch in ihren Forschungsmethoden. In diesem Artikel werden wir versuchen, einen allgemeinen Überblick über die Hauptstadien in der Entwicklung der modernen Mathematik zu geben, deren Hauptergebnisse einerseits eine Vergrößerung der Kluft zwischen reiner und angewandter Mathematik und andererseits eine Vergrößerung der Kluft zwischen reiner und angewandter Mathematik sein können zum anderen ein völliges Umdenken traditioneller Bereiche der Mathematik.

ENTWICKLUNG DER MATHEMATISCHEN METHODE

Die Geburt der Mathematik.

Um 2000 v. Chr Es wurde festgestellt, dass in einem Dreieck mit Seitenlängen von 3, 4 und 5 Längeneinheiten einer der Winkel 90° beträgt (diese Beobachtung erleichterte die Konstruktion eines rechten Winkels für praktische Zwecke). Ist Ihnen dann das Verhältnis 5 2 = 3 2 + 4 2 aufgefallen? Hierzu liegen uns keine Informationen vor. Einige Jahrhunderte später wurde eine allgemeine Regel entdeckt: in jedem Dreieck ABC mit rechtem Winkel an der Spitze A und die Parteien B = Wechselstrom Und C = AB, zwischen denen dieser Winkel eingeschlossen ist, und der gegenüberliegenden Seite A = B.C. Das Verhältnis ist gültig A 2 = B 2 + C 2. Wir können sagen, dass die Wissenschaft dann beginnt, wenn eine Masse einzelner Beobachtungen durch ein allgemeines Gesetz erklärt wird; Daher kann die Entdeckung des „Satz des Pythagoras“ als eines der ersten bekannten Beispiele einer wirklich wissenschaftlichen Leistung angesehen werden.

Aber noch wichtiger für die Wissenschaft im Allgemeinen und für die Mathematik im Besonderen ist die Tatsache, dass neben der Formulierung eines allgemeinen Gesetzes auch Versuche unternommen werden, dieses zu beweisen, d. h. Zeigen Sie, dass es notwendigerweise aus anderen geometrischen Eigenschaften folgt. Einer der östlichen „Beweise“ ist in seiner Einfachheit besonders deutlich: In ein Quadrat sind vier diesem gleich große Dreiecke eingeschrieben BCDE wie in der Zeichnung dargestellt. Quadratischer Bereich A Es stellt sich heraus, dass 2 in vier gleiche Dreiecke mit einer Gesamtfläche von 2 unterteilt ist v. Chr und quadratisch AFGH Bereich ( B – C) 2 . Auf diese Weise, A 2 = (B – C) 2 + 2v. Chr = (B 2 + C 2 – 2v. Chr) + 2v. Chr = B 2 + C 2. Es ist aufschlussreich, einen Schritt weiter zu gehen und genauer herauszufinden, welche „bisherigen“ Eigenschaften bekannt sein sollen. Die offensichtlichste Tatsache ist, dass es Dreiecke gibt BAC Und BEF exakt, ohne Lücken oder Überlappungen, an den Seiten „angepasst“. B.A. Und B.F., das bedeutet, dass die beiden Scheitelwinkel B Und MIT im Dreieck ABC bilden zusammen einen Winkel von 90° und daher ist die Summe aller drei Winkel gleich 90° + 90° = 180°. Der obige „Beweis“ verwendet auch die Formel ( v. Chr/2) für die Fläche eines Dreiecks ABC mit einem Winkel von 90° an der Spitze A. Tatsächlich wurden auch andere Annahmen verwendet, aber das Gesagte reicht aus, damit wir den wesentlichen Mechanismus des mathematischen Beweises klar erkennen können – das deduktive Denken, das es ermöglicht, rein logische Argumente zu verwenden (in unserem Beispiel auf der Grundlage richtig vorbereiteten Materials – (Dividieren eines Quadrats), um aus bekannten Ergebnissen neue Eigenschaften abzuleiten, ergeben sich in der Regel nicht direkt aus den verfügbaren Daten.

Axiome und Beweismethoden.

Eines der grundlegenden Merkmale der mathematischen Methode ist der Prozess der Erstellung einer Aussagekette unter Verwendung sorgfältig konstruierter rein logischer Argumente, in der jedes nachfolgende Glied mit dem vorherigen verbunden ist. Die erste ziemlich offensichtliche Überlegung ist, dass es in jeder Kette ein erstes Glied geben muss. Dieser Umstand wurde den Griechen klar, als sie im 7. Jahrhundert begannen, eine Reihe mathematischer Argumente zu systematisieren. Chr. Um diesen Plan umzusetzen, benötigten die Griechen ca. Vor 200 Jahren, und die erhaltenen Dokumente geben nur eine ungefähre Vorstellung davon, wie sie genau funktionierten. Wir haben nur genaue Informationen über das Endergebnis der Forschung – das berühmte Anfänge Euklid (ca. 300 v. Chr.). Euklid listet zunächst die Anfangspositionen auf, aus denen sich alle anderen rein logisch ableiten. Diese Bestimmungen werden Axiome oder Postulate genannt (die Begriffe sind praktisch austauschbar); Sie drücken entweder sehr allgemeine und etwas vage Eigenschaften von Objekten jeglicher Art aus, zum Beispiel „Das Ganze ist größer als der Teil“, oder einige spezifische mathematische Eigenschaften, zum Beispiel, dass es für zwei beliebige Punkte eine eindeutige gerade Linie gibt, die sie verbindet . Wir haben keine Informationen darüber, ob die Griechen der „Wahrheit“ der Axiome eine tiefere Bedeutung beimaßen, obwohl es einige Hinweise darauf gibt, dass die Griechen sie einige Zeit lang diskutierten, bevor sie bestimmte Axiome akzeptierten. Bei Euklid und seinen Anhängern werden Axiome nur als Ausgangspunkte für die Konstruktion der Mathematik dargestellt, ohne dass ihre Natur kommentiert wird.

Die Beweismethoden liefen in der Regel auf die direkte Verwendung zuvor bewiesener Theoreme hinaus. Manchmal erwies sich die Logik der Argumentation jedoch als komplexer. Wir erwähnen hier Euklids Lieblingsmethode, die Teil der alltäglichen Praxis der Mathematik geworden ist – den indirekten Beweis oder Beweis durch Widerspruch. Als elementares Beispiel für einen Widerspruchsbeweis zeigen wir, dass ein Schachbrett, aus dem zwei Eckquadrate ausgeschnitten sind, die sich an gegenüberliegenden Enden der Diagonale befinden, nicht mit Dominosteinen bedeckt werden kann, von denen jedes gleich zwei Quadraten ist. (Es wird davon ausgegangen, dass jedes Feld des Schachbretts nur einmal abgedeckt werden sollte.) Angenommen, die entgegengesetzte („entgegengesetzte“) Aussage ist wahr, d. h. dass das Spielbrett mit Dominosteinen belegt werden kann. Jede Kachel bedeckt ein schwarzes und ein weißes Quadrat. Unabhängig davon, wie die Dominosteine angeordnet sind, bedecken sie immer die gleiche Anzahl schwarzer und weißer Quadrate. Da jedoch die beiden Eckquadrate entfernt werden, verfügt das Schachbrett (das ursprünglich so viele schwarze wie weiße Quadrate hatte) über zwei Quadrate einer Farbe mehr als Quadrate der anderen Farbe. Das bedeutet, dass unsere ursprüngliche Annahme nicht wahr sein kann, da sie zu einem Widerspruch führt. Und da Sätze, die einander widersprechen, nicht gleichzeitig falsch sein können (wenn einer von ihnen falsch ist, dann ist das Gegenteil wahr), muss unsere ursprüngliche Annahme wahr sein, weil die Annahme, die ihr widerspricht, falsch ist; Daher kann ein Schachbrett mit zwei diagonal ausgeschnittenen Eckfeldern nicht mit Dominosteinen bedeckt werden. Um also eine bestimmte Aussage zu beweisen, können wir annehmen, dass sie falsch ist, und aus dieser Annahme einen Widerspruch zu einer anderen Aussage ableiten, deren Wahrheit bekannt ist.

Ein hervorragendes Beispiel für einen Widerspruchsbeweis, der zu einem der Meilensteine in der Entwicklung der antiken griechischen Mathematik wurde, ist der Beweis, dass es sich nicht um eine rationale Zahl handelt, d. h. nicht als Bruch darstellbar P/Q, Wo P Und Q- ganze Zahlen. Wenn , dann 2 = P 2 /Q 2, von wo P 2 = 2Q 2. Angenommen, es gibt zwei ganze Zahlen P Und Q, wofür P 2 = 2Q 2. Mit anderen Worten: Wir gehen davon aus, dass es eine ganze Zahl gibt, deren Quadrat doppelt so groß ist wie das Quadrat einer anderen ganzen Zahl. Wenn eine ganze Zahl diese Bedingung erfüllt, muss eine davon kleiner als alle anderen sein. Konzentrieren wir uns auf die kleinste dieser Zahlen. Lass es eine Zahl sein P. Seit 2 Q 2 ist eine gerade Zahl und P 2 = 2Q 2, dann die Zahl P 2 muss gerade sein. Da die Quadrate aller ungeraden Zahlen ungerade sind, und das Quadrat P 2 ist gerade, also die Zahl selbst P muss gerade sein. Mit anderen Worten, die Zahl P doppelt so groß wie eine ganze Zahl R. Als P = 2R Und P 2 = 2Q 2 , wir haben: (2 R) 2 = 4R 2 = 2Q 2 und Q 2 = 2R 2. Die letzte Gleichheit hat die gleiche Form wie die Gleichheit P 2 = 2Q 2, und wir können, indem wir die gleiche Argumentation wiederholen, zeigen, dass die Zahl Q gerade ist und dass es eine solche ganze Zahl gibt S, Was Q = 2S. Aber dann Q 2 = (2S) 2 = 4S 2, und, seitdem Q 2 = 2R 2, wir kommen zu dem Schluss, dass 4 S 2 = 2R 2 oder R 2 = 2S 2. Dadurch erhalten wir eine zweite ganze Zahl, die die Bedingung erfüllt, dass ihr Quadrat doppelt so groß ist wie das Quadrat der anderen ganzen Zahl. Aber dann P kann nicht die kleinste solche Zahl sein (da R = P/2), obwohl wir zunächst davon ausgegangen sind, dass es sich um die kleinste dieser Zahlen handelt. Daher ist unsere Ausgangsannahme falsch, da sie zu einem Widerspruch führt und es daher keine solchen ganzen Zahlen gibt P Und Q, wofür P 2 = 2Q 2 (also so, dass ). Das bedeutet, dass die Zahl nicht rational sein kann.

Von Euklid bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts.

In dieser Zeit veränderte sich die Mathematik durch drei Innovationen erheblich.

(1) Im Zuge der Entwicklung der Algebra wurde eine Methode der symbolischen Notation erfunden, die es ermöglichte, immer komplexere Zusammenhänge zwischen Größen in verkürzter Form darzustellen. Als Beispiel für die Unannehmlichkeiten, die entstehen würden, wenn es keine solche „Kursivschrift“ gäbe, versuchen wir, die Beziehung in Worte zu fassen ( A + B) 2 = A 2 + 2ab + B 2: „Die Fläche eines Quadrats mit einer Seite gleich der Summe der Seiten zweier gegebener Quadrate ist gleich der Summe ihrer Flächen plus der doppelten Fläche eines Rechtecks, dessen Seiten gleich den Seiten des sind.“ gegebene Quadrate.“

(2) Schöpfung in der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts. analytische Geometrie, die es ermöglichte, jedes Problem der klassischen Geometrie auf ein algebraisches Problem zu reduzieren.

(3) Die Entstehung und Entwicklung der Infinitesimalrechnung im Zeitraum von 1600 bis 1800, die es ermöglichte, Hunderte von Problemen im Zusammenhang mit den Konzepten von Grenzwert und Kontinuität einfach und systematisch zu lösen, von denen nur sehr wenige mit großen Schwierigkeiten gelöst werden konnten von antiken griechischen Mathematikern. Diese Zweige der Mathematik werden in den Artikeln ALGEBRA; ANALYTISCHE GEOMETRIE ; MATHEMATISCHE ANALYSE; GEOMETRIEÜBERPRÜFUNG.

Seit dem 17. Jahrhundert. Die bisher unlösbare Frage wird allmählich klarer. Was ist Mathematik? Vor 1800 war die Antwort ganz einfach. Zu dieser Zeit gab es keine klaren Grenzen zwischen den verschiedenen Wissenschaften; die Mathematik war Teil der „Naturphilosophie“ – der systematischen Erforschung der Natur mit den Methoden der großen Reformatoren der Renaissance und des frühen 17. Jahrhunderts. – Galileo (1564–1642), F. Bacon (1561–1626) und R. Descartes (1596–1650). Es wurde angenommen, dass Mathematiker ihr eigenes Forschungsgebiet hatten – Zahlen und geometrische Objekte – und dass Mathematiker nicht die experimentelle Methode verwendeten. Allerdings studierten Newton und seine Anhänger Mechanik und Astronomie mit der axiomatischen Methode, ähnlich wie die Geometrie von Euklid dargestellt wurde. Generell wurde erkannt, dass jede Wissenschaft, in der die Ergebnisse eines Experiments durch Zahlen oder Zahlensysteme dargestellt werden können, ein Anwendungsgebiet der Mathematik wird (in der Physik wurde diese Idee erst im 19. Jahrhundert etabliert).

Bereiche der experimentellen Wissenschaft, die einer mathematischen Behandlung unterzogen wurden, werden oft als „angewandte Mathematik“ bezeichnet; Dies ist ein sehr unglücklicher Name, da diese Anwendungen weder nach klassischen noch nach modernen Maßstäben (im strengen Sinne) wirklich mathematische Argumente enthalten, da der Gegenstand der Untersuchung in ihnen nichtmathematische Objekte sind. Sobald die experimentellen Daten in die Sprache der Zahlen oder Gleichungen übersetzt sind (eine solche „Übersetzung“ erfordert oft großen Einfallsreichtum seitens des „angewandten“ Mathematikers), wird es möglich, mathematische Theoreme umfassend anzuwenden; Das Ergebnis wird dann rückübersetzt und mit Beobachtungen verglichen. Die Tatsache, dass der Begriff „Mathematik“ auf einen Prozess dieser Art angewendet wird, ist eine der Quellen endloser Missverständnisse. In den „klassischen“ Zeiten, von denen wir jetzt sprechen, gab es diese Art von Missverständnissen nicht, da dieselben Leute sowohl „angewandte“ als auch „reine“ Mathematiker waren und gleichzeitig an Problemen der mathematischen Analyse oder Zahlentheorie und Problemen arbeiteten Dynamik oder Optik. Die zunehmende Spezialisierung und die Tendenz, „reine“ und „angewandte“ Mathematik zu trennen, schwächten jedoch die bisherige Tradition der Universalität erheblich und Wissenschaftler, die wie J. von Neumann (1903–1957) in der Lage waren, in beiden Bereichen aktiv wissenschaftlich zu arbeiten angewandt und in der reinen Mathematik sind eher die Ausnahme als die Regel geworden.

Was ist die Natur mathematischer Objekte – Zahlen, Punkte, Linien, Winkel, Flächen usw., deren Existenz wir für selbstverständlich hielten? Was bedeutet der Begriff „Wahrheit“ in Bezug auf solche Objekte? Auf diese Fragen wurden in der klassischen Periode ganz eindeutige Antworten gegeben. Natürlich haben Wissenschaftler dieser Zeit klar verstanden, dass es in der Welt unserer Empfindungen keine „unendlich ausgedehnte gerade Linie“ oder „einen dimensionslosen Punkt“ von Euklid gibt, ebenso wenig wie „reine Metalle“, „monochromatische“. Licht“, „Wärmeisolierte Systeme“ usw. .d., die Experimentatoren in ihrer Argumentation bedienen. Alle diese Konzepte sind „platonische Ideen“, d.h. eine Art generative Modelle empirischer Konzepte, wenn auch völlig anderer Natur. Dennoch wurde stillschweigend angenommen, dass physische „Bilder“ von Ideen den Ideen selbst so nahe wie gewünscht kommen könnten. Soweit überhaupt etwas über die Nähe von Objekten zu Ideen gesagt werden kann, werden „Ideen“ sozusagen als „Grenzfälle“ physischer Objekte bezeichnet. Unter diesem Gesichtspunkt drücken Euklids Axiome und die daraus abgeleiteten Theoreme die Eigenschaften „idealer“ Objekte aus, denen vorhersehbare experimentelle Tatsachen entsprechen müssen. Beispielsweise sollte die Messung der Winkel eines Dreiecks, das durch drei Punkte im Raum gebildet wird, mit optischen Methoden im „Idealfall“ eine Summe von 180° ergeben. Mit anderen Worten, Axiome werden auf die gleiche Ebene wie physikalische Gesetze gestellt und daher wird ihre „Wahrheit“ auf die gleiche Weise wahrgenommen wie die Wahrheit physikalischer Gesetze; diese. Die logischen Konsequenzen der Axiome unterliegen der Überprüfung durch Vergleich mit experimentellen Daten. Natürlich kann eine Übereinstimmung nur innerhalb der Fehlergrenzen erreicht werden, die sowohl mit der „Unvollkommenheit“ des Messgeräts als auch mit der „Unvollkommenheit“ des Messobjekts verbunden sind. Es wird jedoch immer davon ausgegangen, dass bei „wahren“ Gesetzen durch Verbesserungen der Messverfahren der Messfehler grundsätzlich so klein wie gewünscht werden kann.

Im gesamten 18. Jahrhundert. Es gab immer mehr Beweise dafür, dass alle aus den Grundaxiomen abgeleiteten Konsequenzen, insbesondere in der Astronomie und Mechanik, mit experimentellen Daten übereinstimmen. Und da diese Konsequenzen mithilfe des damals vorhandenen mathematischen Apparats erzielt wurden, trugen die erzielten Erfolge dazu bei, die Meinung über die Wahrheit der Axiome Euklids zu stärken, die, wie Platon sagte, „jedem klar ist“ und nicht zur Diskussion steht.

Zweifel und neue Hoffnungen.

Nichteuklidische Geometrie.

Eines der von Euklid aufgestellten Postulate war so unoffensichtlich, dass selbst die ersten Schüler des großen Mathematikers es als Schwachstelle im System betrachteten Begann. Das besagte Axiom besagt, dass durch einen Punkt, der außerhalb einer gegebenen Geraden liegt, nur eine Gerade parallel zu einer gegebenen Geraden gezogen werden kann. Die meisten Geometer glaubten, dass das Parallelenaxiom durch andere Axiome bewiesen werden könne und dass Euklid die Parallelaussage nur deshalb als Postulat formulierte, weil er keinen solchen Beweis vorlegen konnte. Aber obwohl die besten Mathematiker versuchten, das Problem der Parallelen zu lösen, gelang es keinem von ihnen, Euklid zu übertreffen. Schließlich in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts. Es wurde versucht, Euklids Parallelenpostulat durch Widerspruch zu beweisen. Es wurde vermutet, dass das Parallelenaxiom falsch ist. A priori könnte sich Euklids Postulat in zwei Fällen als falsch erweisen: wenn es unmöglich ist, eine einzelne parallele Linie durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Linie zu zeichnen; oder wenn mehrere parallele durchgezogen werden können. Es stellte sich heraus, dass die erste Möglichkeit a priori durch andere Axiome ausgeschlossen ist. Nachdem Mathematiker ein neues Axiom anstelle des traditionellen Axioms über Parallelen übernommen hatten (dass durch einen Punkt außerhalb einer bestimmten Linie mehrere zu einer bestimmten Linie parallele Linien gezogen werden können), versuchten sie, daraus eine Aussage abzuleiten, die anderen Axiomen widersprach, scheiterten jedoch: Nein Egal wie sehr sie versuchten, Konsequenzen aus dem neuen „antieuklidischen“ oder „nichteuklidischen“ Axiom zu ziehen, ein Widerspruch trat nie auf. Schließlich erkannten N. I. Lobachevsky (1793–1856) und J. Bolyai (1802–1860) unabhängig voneinander, dass Euklids Postulat über Parallelen unbeweisbar ist, oder mit anderen Worten, ein Widerspruch wird in der „nichteuklidischen Geometrie“ nicht auftreten. ”

Mit dem Aufkommen der nichteuklidischen Geometrie tauchten sofort mehrere philosophische Probleme auf. Da der Anspruch auf die apriorische Notwendigkeit von Axiomen verschwunden war, blieb nur noch die experimentelle Möglichkeit, ihre „Wahrheit“ zu überprüfen. Aber wie A. Poincaré (1854–1912) später feststellte, sind in der Beschreibung jedes Phänomens so viele physikalische Annahmen verborgen, dass kein einziges Experiment überzeugende Beweise für die Wahrheit oder Falschheit eines mathematischen Axioms liefern kann. Selbst wenn wir davon ausgehen, dass unsere Welt „nichteuklidisch“ ist, folgt daraus dann, dass die gesamte euklidische Geometrie falsch ist? Soweit bekannt, hat noch kein Mathematiker ernsthaft über eine solche Hypothese nachgedacht. Die Intuition legte nahe, dass sowohl die euklidische als auch die nichteuklidische Geometrie Beispiele für vollwertige Mathematik sind.

Mathematische „Monster“.

Unerwarteterweise wurden die gleichen Schlussfolgerungen aus einer völlig anderen Richtung gezogen – es wurden Objekte entdeckt, die die Mathematiker des 19. Jahrhunderts schockierten. schockiert und als „mathematische Monster“ bezeichnet. Diese Entdeckung steht in direktem Zusammenhang mit sehr subtilen Fragen der mathematischen Analyse, die erst Mitte des 19. Jahrhunderts aufkamen. Bei dem Versuch, ein exaktes mathematisches Analogon zum experimentellen Konzept einer Kurve zu finden, traten Schwierigkeiten auf. Was das Wesentliche des Konzepts der „kontinuierlichen Bewegung“ war (z. B. die Spitze eines Zeichenstifts, die sich auf einem Blatt Papier bewegt), unterlag einer präzisen mathematischen Definition, und dieses Ziel wurde erreicht, als das Konzept der Kontinuität eine strenge mathematische Bedeutung erlangte Bedeutung ( cm. Auch KURVE). Intuitiv schien es, dass die „Kurve“ an jedem ihrer Punkte eine Richtung hatte, d. h. Im allgemeinen Fall verhält sich eine Kurve in der Nähe jedes ihrer Punkte fast genauso wie eine gerade Linie. (Andererseits ist es nicht schwer, sich vorzustellen, dass eine Kurve wie ein Polygon eine endliche Anzahl von Eckpunkten, „Knicken“, hat.) Diese Anforderung ließe sich mathematisch formulieren, nämlich die Existenz einer Tangente an die Kurve angenommen, und zwar bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts. Man glaubte, dass die „Kurve“ an fast allen Punkten eine Tangente hatte, vielleicht mit Ausnahme einiger „besonderer“ Punkte. Daher verursachte die Entdeckung von „Kurven“, die an keinem Punkt eine Tangente hatten, einen echten Skandal ( cm. Auch FUNKTIONSTHEORIE). (Der mit Trigonometrie und analytischer Geometrie vertraute Leser kann leicht überprüfen, ob die durch die Gleichung gegebene Kurve vorliegt j = X Sünde(1/ X), hat keine Tangente am Ursprung, aber die Definition einer Kurve, die an keinem ihrer Punkte eine Tangente hat, ist viel schwieriger.)

Etwas später wurde ein viel „pathologischeres“ Ergebnis erzielt: Es war möglich, ein Beispiel für eine Kurve zu konstruieren, die ein Quadrat vollständig ausfüllt. Seitdem wurden entgegen dem „gesunden Menschenverstand“ Hunderte solcher „Monster“ erfunden. Es sollte betont werden, dass die Existenz solch ungewöhnlicher mathematischer Objekte aus den Grundaxiomen ebenso streng und logisch einwandfrei folgt wie die Existenz eines Dreiecks oder einer Ellipse. Weil mathematische „Monster“ keinem experimentellen Objekt entsprechen können und die einzig mögliche Schlussfolgerung darin besteht, dass die Welt der mathematischen „Ideen“ viel reicher und ungewöhnlicher ist, als man erwarten könnte, und nur sehr wenige von ihnen Entsprechungen in unserer Welt haben Empfindungen. Aber wenn aus den Axiomen mathematische „Monster“ logisch folgen, können die Axiome dann noch als wahr angesehen werden?

Neue Objekte.

Die obigen Ergebnisse wurden von einer weiteren Seite bestätigt: In der Mathematik, hauptsächlich in der Algebra, tauchten nacheinander neue mathematische Objekte auf, die Verallgemeinerungen des Zahlbegriffs darstellten. Gewöhnliche ganze Zahlen sind ziemlich „intuitiv“, und es ist überhaupt nicht schwierig, zum experimentellen Konzept eines Bruchs zu gelangen (obwohl man zugeben muss, dass der Vorgang, eine Einheit in mehrere gleiche Teile zu teilen und mehrere davon auszuwählen, unterschiedlicher Natur ist aus dem Zählvorgang). Als man herausfand, dass eine Zahl nicht als Bruch dargestellt werden kann, waren die Griechen gezwungen, irrationale Zahlen in Betracht zu ziehen, deren korrekte Bestimmung durch eine unendliche Folge von Näherungen durch rationale Zahlen zu den höchsten Errungenschaften des menschlichen Geistes gehört, aber kaum entspricht allem Realen in unserer physischen Welt (wo jede Messung unweigerlich mit Fehlern verbunden ist). Dennoch erfolgte die Einführung irrationaler Zahlen mehr oder weniger im Sinne einer „Idealisierung“ physikalischer Konzepte. Was können wir über negative Zahlen sagen, die im Zusammenhang mit der Entwicklung der Algebra langsam und auf großen Widerstand in die wissenschaftliche Verwendung gelangten? Man kann mit Sicherheit sagen, dass es keine vorgefertigten physischen Objekte gab, von denen aus wir mit dem Prozess der direkten Abstraktion das Konzept einer negativen Zahl entwickeln könnten, und im Unterricht eines Grundkurses über Algebra müssen wir viele einführen Hilfs- und recht komplexe Beispiele (orientierte Segmente, Temperaturen, Schulden usw.), um zu erklären, was negative Zahlen sind. Diese Situation ist weit entfernt von einem Konzept, das „jedermann klar“ ist, wie Platon von den der Mathematik zugrunde liegenden Ideen verlangte, und man trifft oft auf Hochschulabsolventen, für die die Zeichenregel immer noch ein Rätsel ist (– A)(–B) = ab. siehe auch NUMMER .

Bei „imaginären“ oder „komplexen“ Zahlen ist die Situation noch schlimmer, da sie eine „Zahl“ enthalten. ich, so dass ich 2 = –1, was einen klaren Verstoß gegen die Vorzeichenregel darstellt. Dennoch Mathematiker vom Ende des 16. Jahrhunderts. Zögern Sie nicht, Berechnungen mit komplexen Zahlen durchzuführen, als ob sie „Sinn ergeben“ würden, obwohl sie diese „Objekte“ vor 200 Jahren nicht definieren oder mit Hilfskonstruktionen interpretieren konnten, wie sie beispielsweise mithilfe gerichteter Segmente negativer Zahlen interpretiert wurden . (Nach 1800 wurden mehrere Interpretationen komplexer Zahlen vorgeschlagen, wobei die bekannteste die Vektoren in der Ebene verwendete.)

Moderne Axiomatik.

Die Revolution fand in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts statt. Und obwohl damit nicht die Verabschiedung offizieller Erklärungen einherging, ging es in Wirklichkeit um die Verkündigung einer Art „Unabhängigkeitserklärung“. Genauer gesagt geht es um die faktische Unabhängigkeitserklärung der Mathematik von der Außenwelt.

Unter diesem Gesichtspunkt sind mathematische „Objekte“, wenn es überhaupt Sinn macht, über ihre „Existenz“ zu sprechen, reine Schöpfungen des Geistes, und haben sie irgendwelche „Entsprechungen“ und erlauben sie irgendeine „Interpretation“ in der physischen Welt? , denn Mathematik ist unwichtig (obwohl diese Frage an sich interessant ist).

„Wahre“ Aussagen über solche „Objekte“ sind die gleichen logischen Konsequenzen der Axiome. Nun sind die Axiome jedoch als völlig willkürlich anzusehen und müssen daher nicht „offensichtlich“ oder durch „Idealisierung“ aus der Alltagserfahrung ableitbar sein. In der Praxis wird die völlige Freiheit durch verschiedene Überlegungen eingeschränkt. Natürlich bleiben die „klassischen“ Objekte und ihre Axiome unverändert, aber jetzt können sie nicht mehr als die einzigen Objekte und Axiome der Mathematik betrachtet werden, und die Gewohnheit, die Axiome wegzuwerfen oder zu überarbeiten, ist Teil der alltäglichen Praxis geworden, sodass dies möglich ist Verwenden Sie sie auf unterschiedliche Weise, wie dies beim Übergang von der euklidischen zur nichteuklidischen Geometrie der Fall war. (Auf diese Weise wurden zahlreiche Varianten „nichteuklidischer“ Geometrien erhalten, die sich von der euklidischen Geometrie und der Lobatschewski-Bolyai-Geometrie unterscheiden; es gibt beispielsweise nichteuklidische Geometrien, in denen es keine parallelen Linien gibt.)

Einen Umstand, der sich aus der neuen Herangehensweise an mathematische „Gegenstände“ ergibt, möchte ich besonders hervorheben: Alle Beweise müssen ausschließlich auf Axiomen basieren. Wenn wir uns an die Definition eines mathematischen Beweises erinnern, dann mag eine solche Aussage repetitiv erscheinen. Allerdings wurde diese Regel in der klassischen Mathematik aufgrund der „intuitiven“ Natur ihrer Objekte oder Axiome selten befolgt. Selbst in Anfänge Bei Euklid werden viele Axiome trotz ihrer scheinbaren „Strengigkeit“ nicht explizit angegeben und viele Eigenschaften werden entweder stillschweigend angenommen oder ohne ausreichende Begründung eingeführt. Um die euklidische Geometrie auf eine solide Grundlage zu stellen, war eine kritische Überarbeitung ihrer Prinzipien erforderlich. Es ist kaum erwähnenswert, dass die pedantische Kontrolle über die kleinsten Details eines Beweises eine Folge des Auftauchens von „Monstern“ ist, die moderne Mathematiker lehrten, bei ihren Schlussfolgerungen vorsichtig zu sein. Die harmloseste und „selbstverständlichste“ Aussage über klassische Objekte, beispielsweise die Aussage, dass eine Kurve, die Punkte auf gegenüberliegenden Seiten einer Linie verbindet, diese Linie notwendigerweise schneidet, erfordert in der modernen Mathematik einen strengen formalen Beweis.

Es mag paradox erscheinen, zu sagen, dass die moderne Mathematik gerade aufgrund ihrer Einhaltung von Axiomen als klares Beispiel dafür dient, was jede Wissenschaft sein sollte. Dennoch verdeutlicht dieser Ansatz ein charakteristisches Merkmal eines der grundlegendsten Prozesse des wissenschaftlichen Denkens – das Erhalten genauer Informationen in einer Situation unvollständigen Wissens. Die wissenschaftliche Untersuchung einer bestimmten Klasse von Objekten geht davon aus, dass die Merkmale, die es ermöglichen, ein Objekt von einem anderen zu unterscheiden, bewusst in Vergessenheit geraten und nur die allgemeinen Merkmale der betrachteten Objekte erhalten bleiben. Was die Mathematik vom allgemeinen Spektrum der Naturwissenschaften unterscheidet, ist die strikte Einhaltung dieses Programms in allen Punkten. Man sagt, dass mathematische Objekte vollständig durch die Axiome bestimmt werden, die in der Theorie dieser Objekte verwendet werden; Oder, um es mit Poincarés Worten zu sagen: Axiome dienen als „verschleierte Definitionen“ der Objekte, auf die sie sich beziehen.

MODERNE MATHEMATIK

Obwohl die Existenz jeglicher Axiome theoretisch möglich ist, wurden bisher nur wenige Axiome vorgeschlagen und untersucht. Normalerweise fällt bei der Entwicklung einer oder mehrerer Theorien auf, dass sich bestimmte Beweismuster unter mehr oder weniger ähnlichen Bedingungen wiederholen. Sobald die in allgemeinen Beweisverfahren verwendeten Eigenschaften entdeckt sind, werden sie als Axiome formuliert und ihre Konsequenzen werden in eine allgemeine Theorie eingebaut, die keinen direkten Bezug zu den spezifischen Kontexten hat, aus denen die Axiome abstrahiert wurden. Die auf diese Weise erhaltenen allgemeinen Theoreme sind auf jede mathematische Situation anwendbar, in der es Systeme von Objekten gibt, die die entsprechenden Axiome erfüllen. Die Wiederholung derselben Beweisschemata in unterschiedlichen mathematischen Situationen weist darauf hin, dass wir es mit unterschiedlichen Spezifikationen derselben allgemeinen Theorie zu tun haben. Das bedeutet, dass die Axiome dieser Theorie bei entsprechender Interpretation in jeder Situation zu Theoremen werden. Jede aus den Axiomen abgeleitete Eigenschaft ist in all diesen Situationen gültig, es ist jedoch nicht für jeden Fall ein separater Beweis erforderlich. In solchen Fällen sagt man, dass mathematische Situationen dieselbe mathematische „Struktur“ haben.

Wir nutzen die Idee der Struktur in jedem Schritt unseres täglichen Lebens. Wenn das Thermometer 10°C anzeigt und das Wetteramt einen Temperaturanstieg von 5°C vorhersagt, erwarten wir ohne Berechnung eine Temperatur von 15°C. Wenn ein Buch auf Seite 10 aufgeschlagen wird und wir aufgefordert werden, 5 Seiten weiter zu suchen , wir zögern nicht, es auf der 15. Seite zu öffnen, ohne die Zwischenseiten zu zählen. In beiden Fällen sind wir davon überzeugt, dass die Addition der Zahlen unabhängig von ihrer Interpretation – als Temperatur oder Seitenzahlen – das richtige Ergebnis liefert. Wir müssen nicht eine Arithmetik für Thermometer und eine andere für Seitenzahlen lernen (obwohl wir bei Uhren eine spezielle Arithmetik verwenden, bei der 8 + 5 = 1, da Uhren eine andere Struktur haben als die Seiten eines Buches). Die für Mathematiker interessanten Strukturen sind etwas komplexer, was anhand der Beispiele, die in den nächsten beiden Abschnitten dieses Artikels besprochen werden, leicht zu erkennen ist. Einer von ihnen wird über Gruppentheorie und die mathematischen Konzepte von Strukturen und Isomorphismen sprechen.

Gruppentheorie.

Um den oben beschriebenen Prozess besser zu verstehen, nehmen wir uns die Freiheit, einen Blick in das Labor eines modernen Mathematikers zu werfen und einen genaueren Blick auf eines seiner wichtigsten Werkzeuge zu werfen – die Gruppentheorie ( cm. Auch ABSTRAKTE ALGEBRA). Eine Gruppe ist eine Menge (oder „Menge“) von Objekten G, für die eine Operation definiert ist, die mit zwei beliebigen Objekten oder Elementen übereinstimmt A, B aus G, in der angegebenen Reihenfolge genommen (zuerst ist das Element A, das zweite ist das Element B), drittes Element C aus G nach einer streng definierten Regel. Der Kürze halber bezeichnen wir dieses Element A*B; Das Sternchen (*) bezeichnet den Vorgang der Zusammensetzung zweier Elemente. Diese Operation, die wir Gruppenmultiplikation nennen, muss die folgenden Bedingungen erfüllen:

(1) für drei beliebige Elemente A, B, C aus G Für die Assoziativitätseigenschaft gilt: A* (B*C) = (A*B) *C;

(2) in G Es gibt so ein Element e, was für jedes Element A aus G es gibt einen Zusammenhang e*A = A*e = A; dieses Element e das singuläre oder neutrale Element einer Gruppe genannt;

(3) für jedes Element A aus G Es gibt so ein Element Aў, genannt umgekehrt oder symmetrisch zu elementieren A, Was A*Aў = Aў* A = e.

Wenn diese Eigenschaften als Axiome betrachtet werden, dann bilden ihre logischen Konsequenzen (unabhängig von anderen Axiomen oder Theoremen) zusammen das, was allgemein als Gruppentheorie bezeichnet wird. Die endgültige Ableitung dieser Konsequenzen erwies sich als sehr nützlich, da Gruppen in allen Bereichen der Mathematik weit verbreitet sind. Aus Tausenden möglichen Beispielen für Gruppen werden wir nur einige der einfachsten auswählen.

(a) Brüche P/Q, Wo P Und Q– beliebige ganze Zahlen i1 (mit Q= 1 erhalten wir gewöhnliche ganze Zahlen). Brüche P/Q Bilden Sie eine Gruppe unter Gruppenmultiplikation ( P/Q) *(R/S) = (pr)/(qs). Die Eigenschaften (1), (2), (3) ergeben sich aus den Axiomen der Arithmetik. Wirklich, [( P/Q) *(R/S)] *(T/u) = (Prt)/(qsu) = (P/Q)*[(R/S)*(T/u)]. Das Einheitselement ist die Zahl 1 = 1/1, da (1/1)*( P/Q) = (1H P)/(1H Q) = P/Q. Schließlich das Element, das zum Bruch invers ist P/Q, ist ein Bruch Q/P, als ( P/Q)*(Q/P) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Betrachten Sie als G eine Menge von vier ganzen Zahlen 0, 1, 2, 3 und as A*B- Rest der Division A + B bei 4. Die Ergebnisse der so eingeführten Operation sind in der Tabelle dargestellt. 1 (Element A*B steht am Schnittpunkt der Linie A und Spalte B). Es lässt sich leicht überprüfen, ob die Eigenschaften (1)–(3) erfüllt sind und das Identitätselement die Zahl 0 ist.

(c) Wählen wir als G eine Reihe von Zahlen 1, 2, 3, 4 und as A*B- Rest der Division ab(gewöhnliches Produkt) um 5. Als Ergebnis erhalten wir Tabelle. 2. Es lässt sich leicht überprüfen, ob die Eigenschaften (1)–(3) erfüllt sind und das Identitätselement 1 ist.

(d) Vier Objekte, beispielsweise die vier Zahlen 1, 2, 3, 4, können auf 24 Arten in einer Reihe angeordnet werden. Jede Anordnung kann visuell als eine Transformation dargestellt werden, die die „natürliche“ Anordnung in eine gegebene umwandelt; beispielsweise ergibt sich durch die Transformation die Anordnung 4, 1, 2, 3

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

was in einer bequemeren Form geschrieben werden kann

Für zwei beliebige solcher Transformationen S, T wir werden es bestimmen S*T als Transformation, die sich aus der sequentiellen Ausführung ergibt T, Und danach S. Wenn zum Beispiel, dann. Bei dieser Definition bilden alle 24 möglichen Transformationen eine Gruppe; sein Einheitselement ist und das inverse Element dazu S, erhalten durch Ersetzen der Pfeile in der Definition S zum Gegenteil; zum Beispiel wenn, dann.

Das ist an den ersten drei Beispielen leicht zu erkennen A*B = B*A; in solchen Fällen heißt die Gruppe oder Gruppenmultiplikation kommutativ. Andererseits im letzten Beispiel und deshalb T*S unterscheidet sich von S*T.

Die Gruppe aus Beispiel (d) ist ein Sonderfall der sogenannten. symmetrische Gruppe, zu deren Anwendungen unter anderem Methoden zur Lösung algebraischer Gleichungen und das Verhalten von Linien in den Spektren von Atomen gehören. Die Gruppen in den Beispielen (b) und (c) spielen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie; In Beispiel (b) kann die Zahl 4 durch eine beliebige ganze Zahl ersetzt werden N, und Zahlen von 0 bis 3 – Zahlen von 0 bis N– 1 (mit N= 12 erhalten wir ein Zahlensystem, das auf den Zifferblättern der Uhren steht, wie oben erwähnt); In Beispiel (c) kann die Zahl 5 durch eine beliebige Primzahl ersetzt werden R, und Zahlen von 1 bis 4 - Zahlen von 1 bis P – 1.

Strukturen und Isomorphismus.

Die vorherigen Beispiele zeigen, wie unterschiedlich die Art der Objekte sein kann, die eine Gruppe bilden. Tatsächlich läuft aber in jedem Fall alles auf das gleiche Szenario hinaus: Von den Eigenschaften einer Menge von Objekten betrachten wir nur diejenigen, die diese Menge in eine Gruppe verwandeln (hier ist ein Beispiel für unvollständiges Wissen!). In solchen Fällen wird gesagt, dass wir die Gruppenstruktur berücksichtigen, die durch die von uns gewählte Gruppenmultiplikation gegeben ist.

Ein weiteres Beispiel für eine Struktur ist die sogenannte. Auftragsstruktur. Ein Haufen E ausgestattet mit der Struktur der Ordnung, oder geordnet, wenn zwischen den Elementen A è B, zugehörig E, ist eine bestimmte Relation gegeben, die wir bezeichnen R (A,B). (Diese Beziehung muss für jedes Elementpaar aus sinnvoll sein E, aber im Allgemeinen ist es für einige Paare falsch und für andere wahr, zum Beispiel die Beziehung 7

(1) R (A,A) gilt für alle A, im Besitz E;

(2) von R (A,B) Und R (B,A) folgt daraus A = B;

(3) von R (A,B) Und R (B,C) sollen R (A,C).

Lassen Sie uns einige Beispiele aus einer Vielzahl unterschiedlicher geordneter Mengen geben.

(A) E besteht aus allen ganzen Zahlen R (A,B) - Beziehung " A kleiner oder gleich B».

(B) E besteht aus allen ganzen Zahlen >1, R (A,B) - Beziehung " A teilt B oder gleich B».

Als letztes Beispiel für die Struktur erwähnen wir die Struktur des metrischen Raums; Eine solche Struktur wird im Set definiert E, wenn jedes Elementpaar A Und B zugehörig E, können Sie die Nummer zuordnen D (A,B) i 0, die die folgenden Eigenschaften erfüllt:

(1) D (A,B) = 0 genau dann, wenn A = B;

(2) D (B,A) = D (A,B);

(3) D (A,C) Ј D (A,B) + D (B,C) für drei beliebige gegebene Elemente A, B, C aus E.

Lassen Sie uns Beispiele für metrische Räume geben:

(a) gewöhnlicher „dreidimensionaler“ Raum, wo D (A,B) – gewöhnlicher (oder „euklidischer“) Abstand;

(b) die Oberfläche einer Kugel, wobei D (A,B) – die Länge des kleinsten Kreisbogens, der zwei Punkte verbindet A Und B auf der Kugel;

Die genaue Definition des Strukturbegriffs ist recht schwierig. Ohne ins Detail zu gehen, können wir das bei vielen sagen E Zwischen den Elementen der Menge wird eine Struktur eines bestimmten Typs angegeben E(und manchmal auch andere Objekte, zum Beispiel Zahlen, die eine Hilfsrolle spielen) Beziehungen werden angegeben, die einen bestimmten festen Satz von Axiomen erfüllen, die die Struktur des betrachteten Typs charakterisieren. Oben haben wir die Axiome von drei Arten von Strukturen vorgestellt. Natürlich gibt es viele andere Arten von Strukturen, deren Theorien vollständig entwickelt sind.

Viele abstrakte Konzepte stehen in engem Zusammenhang mit dem Konzept der Struktur; Nennen wir nur eines der wichtigsten – das Konzept des Isomorphismus. Erinnern Sie sich an das Beispiel der Gruppen (b) und (c) im vorherigen Abschnitt. Das lässt sich anhand der Tabelle leicht überprüfen. 1 zum Tisch 2 kann mithilfe von Matching navigiert werden

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

In diesem Fall sagen wir, dass diese Gruppen isomorph sind. Im Allgemeinen zwei Gruppen G Und Gў sind isomorph, wenn sie zwischen den Elementen der Gruppe liegen G und Gruppenelemente Gў Es ist möglich, eine solche Eins-zu-Eins-Korrespondenz herzustellen A « Aў, was wäre wenn C = A*B, Das Cў = Aў* Bў für die entsprechenden Elemente Gў. Jede Aussage aus der Gruppentheorie, die für eine Gruppe gültig ist G, bleibt für die Gruppe gültig Gў und umgekehrt. Algebraisch Gruppen G Und Gў ununterscheidbar.

Der Leser kann leicht erkennen, dass man auf genau die gleiche Weise zwei isomorphe geordnete Mengen oder zwei isomorphe metrische Räume definieren kann. Es kann gezeigt werden, dass sich der Begriff des Isomorphismus auf Strukturen jeglicher Art erstreckt.

EINSTUFUNG

Alte und neue Klassifikationen der Mathematik.

Der Strukturbegriff und andere verwandte Konzepte haben in der modernen Mathematik sowohl aus rein „technischer“ als auch aus philosophischer und methodischer Sicht einen zentralen Platz eingenommen. Allgemeine Sätze der wichtigsten Strukturtypen dienen als äußerst leistungsfähige Werkzeuge der mathematischen „Technik“. Immer wenn es einem Mathematiker gelingt zu zeigen, dass die von ihm untersuchten Objekte die Axiome eines bestimmten Strukturtyps erfüllen, beweist er damit, dass alle Theoreme der Strukturtheorie dieses Typs auf die von ihm untersuchten spezifischen Objekte anwendbar sind (ohne diese allgemeinen Theoreme). (Beiträge, die ich höchstwahrscheinlich übersehen hätte, würden ihre spezifischen Optionen aus den Augen verlieren oder wären gezwungen, meine Argumentation mit unnötigen Annahmen zu belasten). Wenn sich in ähnlicher Weise herausstellt, dass zwei Strukturen isomorph sind, verdoppelt sich die Anzahl der Theoreme sofort: Jeder für eine der Strukturen bewiesene Satz liefert sofort einen entsprechenden Satz für die andere. Es ist daher nicht verwunderlich, dass es sehr komplexe und schwierige Theorien gibt, beispielsweise die „Klassenkörpertheorie“ in der Zahlentheorie, deren Hauptziel darin besteht, die Isomorphie von Strukturen zu beweisen.

Aus philosophischer Sicht zeigt die weit verbreitete Verwendung von Strukturen und Isomorphismen das Hauptmerkmal der modernen Mathematik – die Tatsache, dass die „Natur“ mathematischer „Objekte“ keine große Rolle spielt, sondern nur die Beziehungen zwischen Objekten von Bedeutung sind (eine Art Prinzip des unvollständigen Wissens).

Abschließend kann man nicht umhin zu erwähnen, dass der Strukturbegriff es ermöglicht hat, Zweige der Mathematik auf neue Weise zu klassifizieren. Bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts. sie variierten je nach Untersuchungsgegenstand. Die Arithmetik (oder Zahlentheorie) befasste sich mit ganzen Zahlen, die Geometrie mit geraden Linien, Winkeln, Polygonen, Kreisen, Flächen usw. Die Algebra befasste sich fast ausschließlich mit Methoden zur Lösung numerischer Gleichungen oder Gleichungssysteme; die analytische Geometrie entwickelte Methoden zur Umwandlung geometrischer Probleme in äquivalente algebraische Probleme. Das Interessenspektrum eines anderen wichtigen Zweigs der Mathematik, der sogenannten „mathematischen Analysis“, umfasste hauptsächlich die Differential- und Integralrechnung und ihre verschiedenen Anwendungen in der Geometrie, Algebra und der Theorie der geraden Zahlen. Die Zahl dieser Anwendungen nahm zu und auch ihre Bedeutung nahm zu, was zur Fragmentierung der mathematischen Analyse in Unterabschnitte führte: Funktionstheorie, Differentialgleichungen (gewöhnliche und partielle Ableitungen), Differentialgeometrie, Variationsrechnung usw.

Für viele moderne Mathematiker erinnert dieser Ansatz an die Geschichte der Klassifizierung von Tieren durch die frühen Naturforscher: Einst galten sowohl die Meeresschildkröte als auch der Thunfisch als Fische, weil sie im Wasser lebten und ähnliche Merkmale aufwiesen. Der moderne Ansatz hat uns gelehrt, nicht nur zu sehen, was an der Oberfläche liegt, sondern auch tiefer zu blicken und zu versuchen, die grundlegenden Strukturen zu erkennen, die hinter der trügerischen Erscheinung mathematischer Objekte liegen. Unter diesem Gesichtspunkt ist es wichtig, die wichtigsten Arten von Strukturen zu untersuchen. Es ist unwahrscheinlich, dass wir über eine vollständige und endgültige Liste dieser Typen verfügen; Einige von ihnen wurden in den letzten 20 Jahren entdeckt, und es gibt allen Grund, in Zukunft mit neuen Entdeckungen zu rechnen. Wir haben jedoch bereits ein Verständnis für viele der grundlegenden „abstrakten“ Strukturtypen. (Sie sind „abstrakt“ im Vergleich zu den „klassischen“ Gegenständen der Mathematik, obwohl selbst diese kaum als „konkret“ bezeichnet werden können; es kommt eher auf den Grad der Abstraktion an.)

Bekannte Strukturen können nach den darin enthaltenen Beziehungen oder nach ihrer Komplexität klassifiziert werden. Einerseits gibt es einen umfangreichen Block „algebraischer“ Strukturen, von denen ein Sonderfall beispielsweise eine Gruppenstruktur ist; Unter anderen algebraischen Strukturen nennen wir Ringe und Körper ( cm. Auch ABSTRAKTE ALGEBRA). Der Zweig der Mathematik, der sich mit dem Studium algebraischer Strukturen befasst, wird im Gegensatz zur gewöhnlichen oder klassischen Algebra „moderne Algebra“ oder „abstrakte Algebra“ genannt. Ein erheblicher Teil der euklidischen Geometrie, der nichteuklidischen Geometrie und der analytischen Geometrie wurde ebenfalls in die neue Algebra einbezogen.

Auf der gleichen Allgemeinheitsebene befinden sich zwei weitere Strukturblöcke. Eine davon, allgemeine Topologie genannt, umfasst Theorien über Strukturtypen, von denen ein Sonderfall die Struktur eines metrischen Raums ist ( cm. TOPOLOGIE; ABSTRAKTE RÄUME). Der dritte Block besteht aus Theorien von Ordnungsstrukturen und ihren Erweiterungen. „Erweiterung“ der Struktur besteht darin, neue Axiome zu bestehenden hinzuzufügen. Wenn wir beispielsweise zu den Axiomen der Gruppe die Eigenschaft der Kommutativität als viertes Axiom hinzufügen A*B = B*A, dann erhalten wir die Struktur einer kommutativen (oder abelschen) Gruppe.

Von diesen drei Blöcken befanden sich die letzten beiden bis vor kurzem in einem relativ stabilen Zustand, und der Block „moderne Algebra“ wuchs schnell, manchmal in unerwartete Richtungen (so entwickelte sich beispielsweise ein ganzer Zweig namens „homologische Algebra“). Außerhalb des sogenannten Auf einer anderen Ebene liegen „reine“ Strukturtypen – „gemischte“ Strukturen, zum Beispiel algebraische und topologische, nebst neuen, sie verbindenden Axiomen. Es wurden viele solcher Kombinationen untersucht, von denen die meisten in zwei große Blöcke unterteilt sind: „topologische Algebra“ und „algebraische Topologie“.

Zusammengenommen bilden diese Blöcke ein sehr umfangreiches „abstraktes“ Wissenschaftsgebiet. Viele Mathematiker hoffen, neue Werkzeuge nutzen zu können, um klassische Theorien besser zu verstehen und schwierige Probleme zu lösen. Tatsächlich können die Probleme der Antike mit dem entsprechenden Grad an Abstraktion und Verallgemeinerung in einem neuen Licht erscheinen, das es ermöglicht, ihre Lösungen zu finden. Riesige Teile des klassischen Materials gerieten unter den Einfluss der neuen Mathematik und wurden transformiert oder mit anderen Theorien verschmolzen. Es gibt immer noch weite Bereiche, in die moderne Methoden nicht so tief eingedrungen sind. Beispiele hierfür sind die Theorie der Differentialgleichungen und ein Großteil der Zahlentheorie. Es ist sehr wahrscheinlich, dass in diesen Bereichen erhebliche Fortschritte erzielt werden, sobald neue Arten von Strukturen entdeckt und gründlich untersucht werden.

PHILOSOPHISCHE SCHWIERIGKEITEN

Schon die alten Griechen waren sich darüber im Klaren, dass die mathematische Theorie frei von Widersprüchen sein sollte. Dies bedeutet, dass es unmöglich ist, aus den Axiomen die Aussage als logische Konsequenz abzuleiten R und seine Ablehnung ist es nicht P. Da jedoch angenommen wurde, dass mathematische Objekte Entsprechungen in der realen Welt hätten und Axiome „Idealisierungen“ der Naturgesetze seien, zweifelte niemand an der Konsistenz der Mathematik. Beim Übergang von der klassischen Mathematik zur modernen Mathematik erhielt das Konsistenzproblem eine andere Bedeutung. Die Freiheit, die Axiome jeder mathematischen Theorie zu wählen, muss offensichtlich durch die Bedingung der Konsistenz eingeschränkt werden, aber kann man sicher sein, dass diese Bedingung erfüllt wird?

Den Mengenbegriff haben wir bereits erwähnt. Dieses Konzept wurde in der Mathematik und Logik schon immer mehr oder weniger explizit verwendet. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts. Die elementaren Regeln für den Umgang mit dem Mengenbegriff wurden teilweise systematisiert, darüber hinaus wurden einige wichtige Ergebnisse gewonnen, die den Inhalt der sogenannten bildeten. Mengenlehre ( cm. Auch Mengenlehre), die sozusagen zum Substrat aller anderen mathematischen Theorien wurde. Von der Antike bis ins 19. Jahrhundert. Es gab Bedenken hinsichtlich unendlicher Mengen, die sich beispielsweise in den berühmten Paradoxien des Zenon von Eleatic (5. Jahrhundert v. Chr.) widerspiegelten. Diese Bedenken waren teilweise metaphysischer Natur und teilweise auf Schwierigkeiten zurückzuführen, die mit dem Konzept der Messung von Größen (z. B. Länge oder Zeit) verbunden sind. Diese Schwierigkeiten konnten erst nach dem 19. Jahrhundert beseitigt werden. Die Grundkonzepte der mathematischen Analyse waren streng definiert. Bis 1895 waren alle Befürchtungen zerstreut und es schien, dass die Mathematik auf dem unerschütterlichen Fundament der Mengenlehre basierte. Doch im nächsten Jahrzehnt tauchten neue Argumente auf, die die innere Inkonsistenz der Mengenlehre (und des Rests der Mathematik) aufzuzeigen schienen.

Die neuen Paradoxien waren sehr einfach. Das erste davon, Russells Paradoxon, kann in einer einfachen Version betrachtet werden, die als Barbier-Paradoxon bekannt ist. In einer bestimmten Stadt rasiert ein Friseur alle Einwohner, die sich nicht selbst rasieren. Wer rasiert den Friseur selbst? Wenn der Friseur sich selbst rasiert, dann rasiert er nicht nur diejenigen Bewohner, die sich nicht rasieren, sondern auch einen Bewohner, der sich selbst rasiert; Wenn er sich selbst nicht rasiert, dann rasiert er nicht alle Einwohner der Stadt, die sich nicht rasieren. Ein Paradoxon dieser Art entsteht immer dann, wenn der Begriff „die Menge aller Mengen“ betrachtet wird. Obwohl dieses mathematische Objekt sehr natürlich erscheint, führt das Nachdenken darüber schnell zu Widersprüchen.

Berrys Paradoxon ist noch aufschlussreicher. Betrachten Sie die Menge aller russischen Phrasen, die nicht mehr als siebzehn Wörter enthalten. Die Anzahl der Wörter in der russischen Sprache ist endlich, daher ist auch die Anzahl solcher Phrasen endlich. Wählen wir unter ihnen diejenigen aus, die eine ganze Zahl eindeutig definieren, zum Beispiel: „Die größte ungerade Zahl kleiner als zehn.“ Auch die Anzahl solcher Phrasen ist endlich; daher ist die Menge der durch sie bestimmten ganzen Zahlen endlich. Bezeichnen wir die endliche Menge dieser Zahlen mit D. Aus den Axiomen der Arithmetik folgt, dass es ganze Zahlen gibt, die nicht dazu gehören D, und dass es unter diesen Zahlen eine kleinste Zahl gibt N. Diese Nummer N wird eindeutig durch den Satz definiert: „Die kleinste ganze Zahl, die nicht durch einen Satz definiert werden kann, der aus nicht mehr als siebzehn russischen Wörtern besteht.“ Aber dieser Satz enthält genau siebzehn Wörter. Daher bestimmt es die Anzahl N, was dazugehören sollte D, und wir kommen zu einem paradoxen Widerspruch.

Intuitionisten und Formalisten.

Der durch die Paradoxien der Mengenlehre ausgelöste Schock löste vielfältige Reaktionen aus. Einige Mathematiker waren durchaus entschlossen und vertraten die Meinung, dass sich die Mathematik von Anfang an in die falsche Richtung entwickelt habe und auf einer ganz anderen Grundlage basieren sollte. Es ist nicht möglich, den Standpunkt solcher „Intuitionisten“ (wie sie sich selbst zu nennen begannen) genau zu beschreiben, da sie sich weigerten, ihre Ansichten auf ein rein logisches Schema zu reduzieren. Aus Sicht der Intuitionisten ist es falsch, logische Prozesse auf intuitiv nicht darstellbare Objekte anzuwenden. Die einzigen intuitiv klaren Objekte sind die natürlichen Zahlen 1, 2, 3,... und endliche Mengen natürlicher Zahlen, die nach genau festgelegten Regeln „konstruiert“ werden. Aber selbst auf solche Objekte erlaubten die Intuitionisten nicht, alle Schlussfolgerungen der klassischen Logik anzuwenden. Das haben sie zum Beispiel bei keiner Aussage erkannt R stimmt auch R, oder nicht R. Mit solch begrenzten Mitteln konnten sie „Paradoxe“ leicht vermeiden, aber gleichzeitig warfen sie nicht nur die gesamte moderne Mathematik, sondern auch einen erheblichen Teil der Ergebnisse der klassischen Mathematik über Bord, und für die verbleibenden musste man neue finden , komplexere Beweise.

Die überwiegende Mehrheit der modernen Mathematiker war mit den Argumenten der Intuitionisten nicht einverstanden. Nicht-intuitionistische Mathematiker haben festgestellt, dass sich die in Paradoxien verwendeten Argumente erheblich von denen unterscheiden, die in gewöhnlichen mathematischen Arbeiten mit der Mengenlehre verwendet werden, und dass solche Argumente daher als illegal ausgeschlossen werden sollten, ohne bestehende mathematische Theorien zu gefährden. Eine weitere Beobachtung war, dass in der „naiven“ Mengenlehre, die vor dem Aufkommen der „Paradoxe“ existierte, die Bedeutung der Begriffe „Menge“, „Eigenschaft“, „Relation“ nicht in Frage gestellt wurde – ebenso wie in der klassischen Geometrie die „intuitive“ wurde nicht in Frage gestellt. Die Natur gewöhnlicher geometrischer Konzepte. Folglich kann man wie in der Geometrie vorgehen, nämlich alle Versuche, sich auf die „Intuition“ zu berufen, verwerfen und ein System präzise formulierter Axiome als Ausgangspunkt der Mengenlehre nehmen. Es ist jedoch nicht offensichtlich, wie Wörter wie „Eigentum“ oder „Beziehung“ ihrer gewöhnlichen Bedeutung beraubt werden können; Dies muss jedoch getan werden, wenn wir Argumente wie Berrys Paradoxon ausschließen wollen. Die Methode besteht darin, bei der Formulierung von Axiomen oder Theoremen auf die Verwendung gewöhnlicher Sprache zu verzichten; Nur Aussagen, die nach einem expliziten System starrer Regeln konstruiert wurden, sind in der Mathematik als „Eigenschaften“ oder „Beziehungen“ zulässig und gehen in die Formulierung von Axiomen ein. Dieser Vorgang wird als „Formalisierung“ der mathematischen Sprache bezeichnet (um Missverständnisse aufgrund der Mehrdeutigkeiten der gewöhnlichen Sprache zu vermeiden, wird empfohlen, noch einen Schritt weiter zu gehen und die Wörter selbst durch spezielle Symbole in formalisierten Sätzen zu ersetzen, beispielsweise durch das Ersetzen des Konnektivs „und“ mit dem Symbol &, das Konnektiv „oder“ – mit dem Symbol b, „existiert“ mit dem Symbol $ usw.). Mathematiker, die die von Intuitionisten vorgeschlagenen Methoden ablehnten, wurden „Formalisten“ genannt.

Die ursprüngliche Frage wurde jedoch nie beantwortet. Ist die „axiomatische Mengenlehre“ frei von Widersprüchen? Neue Versuche, die Konsistenz „formalisierter“ Theorien zu beweisen, wurden in den 1920er Jahren von D. Hilbert (1862–1943) und seiner Schule unternommen und als „Metamathematik“ bezeichnet. Im Wesentlichen ist die Metamathematik ein Zweig der „angewandten Mathematik“, bei dem die Objekte, auf die mathematisches Denken angewendet wird, Sätze einer formalisierten Theorie und deren Anordnung in Beweisen sind. Diese Sätze sind lediglich als materielle Kombinationen von Symbolen zu betrachten, die nach bestimmten festgelegten Regeln erstellt wurden, ohne jeglichen Hinweis auf die mögliche „Bedeutung“ dieser Symbole (falls vorhanden). Eine gute Analogie ist das Schachspiel: Symbole entsprechen den Figuren, Sätze entsprechen verschiedenen Positionen auf dem Brett und logische Schlussfolgerungen entsprechen den Regeln für das Bewegen der Figuren. Um die Konsistenz einer formalisierten Theorie festzustellen, genügt es zu zeigen, dass in dieser Theorie kein einziger Beweis mit der Aussage 0 Nr. 0 endet. Man kann jedoch gegen die Verwendung mathematischer Argumente in einem „metamathematischen“ Beweis Einspruch erheben der Konsistenz einer mathematischen Theorie; Wenn die Mathematik inkonsistent wäre, würden mathematische Argumente ihre Gültigkeit verlieren und wir würden uns in einem Teufelskreis befinden. Um diese Einwände zu beantworten, erlaubte Hilbert sehr begrenzte mathematische Überlegungen der Art, die Intuitionisten für die Verwendung in der Metamathematik als akzeptabel erachten. Allerdings zeigte K. Gödel bald (1931), dass die Konsistenz der Arithmetik nicht mit so begrenzten Mitteln bewiesen werden kann, wenn sie wirklich konsistent ist (der Umfang dieses Artikels erlaubt es uns nicht, die geniale Methode zu skizzieren, mit der dieses bemerkenswerte Ergebnis erzielt wurde). und die nachfolgende Geschichte der Metamathematik).

Fasst man die aktuelle Problemlage aus formalistischer Sicht zusammen, muss man zugeben, dass sie noch lange nicht vorbei ist. Die Verwendung des Mengenbegriffs wurde durch Vorbehalte eingeschränkt, die speziell eingeführt wurden, um bekannte Paradoxien zu vermeiden, und es gibt keine Garantie dafür, dass in der axiomatisierten Mengenlehre keine neuen Paradoxien auftreten. Dennoch verhinderten die Beschränkungen der axiomatischen Mengenlehre nicht die Entstehung neuer tragfähiger Theorien.

MATHEMATIK UND DIE REALE WELT

Trotz Behauptungen über die Unabhängigkeit der Mathematik wird niemand leugnen, dass Mathematik und die physikalische Welt miteinander verbunden sind. Natürlich bleibt der mathematische Ansatz zur Lösung von Problemen der klassischen Physik weiterhin gültig. Es stimmt auch, dass in einem sehr wichtigen Bereich der Mathematik, nämlich in der Theorie der Differentialgleichungen, gewöhnlichen und partiellen Ableitungen, der Prozess der gegenseitigen Bereicherung von Physik und Mathematik durchaus fruchtbar ist.

Mathematik ist nützlich bei der Interpretation von Phänomenen der Mikrowelt. Allerdings unterscheiden sich die neuen „Anwendungen“ der Mathematik deutlich von den klassischen. Eines der wichtigsten Werkzeuge der Physik ist die Wahrscheinlichkeitstheorie geworden, die früher hauptsächlich in der Glücksspiel- und Versicherungstheorie eingesetzt wurde. Die mathematischen Objekte, die Physiker mit „atomaren Zuständen“ oder „Übergängen“ assoziieren, sind sehr abstrakter Natur und wurden von Mathematikern lange vor dem Aufkommen der Quantenmechanik eingeführt und untersucht. Es sollte hinzugefügt werden, dass nach den ersten Erfolgen ernsthafte Schwierigkeiten auftraten. Dies geschah zu einer Zeit, als Physiker versuchten, mathematische Ideen auf die subtileren Aspekte der Quantentheorie anzuwenden; Dennoch blicken viele Physiker immer noch mit Hoffnung auf neue mathematische Theorien und glauben, dass sie ihnen bei der Lösung neuer Probleme helfen werden.

Ist Mathematik eine Wissenschaft oder eine Kunst?

Auch wenn wir Wahrscheinlichkeitstheorie oder mathematische Logik zur „reinen“ Mathematik zählen, stellt sich heraus, dass derzeit weniger als 50 % der bekannten mathematischen Ergebnisse von anderen Wissenschaften genutzt werden. Was sollen wir über die verbleibende Hälfte denken? Mit anderen Worten: Was sind die Beweggründe für jene Bereiche der Mathematik, die nichts mit der Lösung physikalischer Probleme zu tun haben?

Als typischen Vertreter dieser Art von Theoremen haben wir bereits die Irrationalität der Zahl erwähnt. Ein weiteres Beispiel ist der von J.-L. Lagrange (1736–1813) bewiesene Satz. Es gibt kaum einen Mathematiker, der es nicht „wichtig“ oder „schön“ nennen würde. Der Satz von Lagrange besagt, dass jede ganze Zahl größer oder gleich eins als Summe der Quadrate von höchstens vier Zahlen dargestellt werden kann; zum Beispiel 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. Beim gegenwärtigen Stand der Dinge ist es unvorstellbar, dass dieses Ergebnis zur Lösung eines experimentellen Problems nützlich sein könnte. Zwar befassen sich Physiker heute viel häufiger mit ganzen Zahlen als früher, aber die ganzen Zahlen, mit denen sie operieren, sind immer begrenzt (sie überschreiten selten einige Hundert); Daher kann ein Satz wie der von Lagrange nur dann „nützlich“ sein, wenn er auf ganze Zahlen innerhalb einer bestimmten Grenze angewendet wird. Aber sobald wir die Formulierung des Satzes von Lagrange einschränken, ist er für einen Mathematiker sofort nicht mehr interessant, da die ganze Anziehungskraft dieses Satzes in seiner Anwendbarkeit auf alle ganzen Zahlen liegt. (Es gibt sehr viele Aussagen über ganze Zahlen, die von Computern für sehr große Zahlen überprüft werden können; da jedoch kein allgemeiner Beweis gefunden wurde, bleiben sie hypothetisch und für professionelle Mathematiker uninteressant.)

Die Fokussierung auf Themen, die weit von unmittelbaren Anwendungen entfernt sind, ist für Wissenschaftler, die auf einem beliebigen Gebiet tätig sind, sei es Astronomie oder Biologie, nicht ungewöhnlich. Obwohl das experimentelle Ergebnis verfeinert und verbessert werden kann, ist der mathematische Beweis immer schlüssig. Aus diesem Grund ist es schwierig, der Versuchung zu widerstehen, die Mathematik oder zumindest den Teil davon, der keinen Bezug zur „Realität“ hat, als Kunst zu betrachten. Mathematische Probleme werden nicht von außen auferlegt, und wenn wir den modernen Standpunkt einnehmen, sind wir in der Wahl des Materials völlig frei. Bei der Bewertung einiger mathematischer Arbeiten haben Mathematiker keine „objektiven“ Kriterien und sind gezwungen, sich auf ihren eigenen „Geschmack“ zu verlassen. Der Geschmack variiert stark je nach Zeit, Land, Traditionen und Individuum. In der modernen Mathematik gibt es Moden und „Schulen“. Derzeit gibt es drei solcher „Schulen“, die wir der Einfachheit halber „Klassizismus“, „Modernismus“ und „Abstraktionismus“ nennen. Um die Unterschiede zwischen ihnen besser zu verstehen, analysieren wir die verschiedenen Kriterien, die Mathematiker bei der Bewertung eines Theorems oder einer Gruppe von Theoremen verwenden.

(1) Nach allgemeiner Meinung sollte ein „schönes“ mathematisches Ergebnis nicht trivial sein, d. h. sollte keine offensichtliche Folge von Axiomen oder zuvor bewiesenen Theoremen sein; Der Beweis muss eine neue Idee verwenden oder alte Ideen geschickt anwenden. Mit anderen Worten: Was für einen Mathematiker wichtig ist, ist nicht das Ergebnis selbst, sondern der Prozess der Überwindung der Schwierigkeiten, auf die er bei der Erlangung des Ergebnisses gestoßen ist.

(2) Jedes mathematische Problem hat seine eigene Geschichte, sozusagen einen „Stammbaum“, der demselben allgemeinen Muster folgt, nach dem sich die Geschichte jeder Wissenschaft entwickelt: Nach den ersten Erfolgen kann eine gewisse Zeit vergehen, bis die Antwort gefunden wird Die gestellte Frage ist gefunden. Wenn eine Lösung gefunden wird, ist die Geschichte damit noch nicht zu Ende, denn die bekannten Prozesse der Erweiterung und Verallgemeinerung beginnen. Beispielsweise führt der oben erwähnte Satz von Lagrange zu der Frage, ob eine ganze Zahl als Summe von Kubikzahlen, vierten, fünften Potenzen usw. dargestellt werden kann. So entsteht das „Waring-Problem“, für das es noch keine endgültige Lösung gibt. Wenn wir Glück haben, stellt sich außerdem heraus, dass das von uns gelöste Problem mit einer oder mehreren grundlegenden Strukturen zusammenhängt, was wiederum zu neuen Problemen im Zusammenhang mit diesen Strukturen führt. Selbst wenn die ursprüngliche Theorie irgendwann stirbt, hinterlässt sie in der Regel zahlreiche lebende Triebe. Moderne Mathematiker stehen vor einer so großen Vielfalt an Problemen, dass ihre Lösung noch mehrere Jahrhunderte dauern würde, selbst wenn jegliche Kommunikation mit der experimentellen Wissenschaft unterbrochen würde.

(3) Jeder Mathematiker wird zustimmen, dass es seine Pflicht ist, ein neues Problem mit allen möglichen Mitteln zu lösen, wenn es vor ihm auftritt. Wenn ein Problem klassische mathematische Objekte betrifft (Klassiker befassen sich selten mit anderen Arten von Objekten), versuchen Klassiker, es nur mit klassischen Mitteln zu lösen, während andere Mathematiker „abstraktere“ Strukturen einführen, um allgemeine Theoreme zu verwenden, die für die Aufgabe relevant sind. Dieser unterschiedliche Ansatz ist nicht neu. Seit dem 19. Jahrhundert. Mathematiker werden in „Taktiker“ eingeteilt, die eine rein gewaltsame Lösung des Problems anstreben, und in „Strategen“, die zu Umwegmanövern neigen, die es ermöglichen, den Feind mit kleinen Kräften zu vernichten.

(4) Ein wesentliches Element der „Schönheit“ des Satzes ist seine Einfachheit. Natürlich ist das Streben nach Einfachheit charakteristisch für alles wissenschaftliche Denken. Aber Experimentatoren sind bereit, „hässliche Lösungen“ in Kauf zu nehmen, wenn nur das Problem gelöst wird. Ebenso sind Klassiker und Abstraktionisten in der Mathematik nicht sehr besorgt über das Auftreten „pathologischer“ Ergebnisse. Andererseits gehen die Modernisten so weit, dass sie im Auftreten von „Pathologien“ der Theorie ein Symptom sehen, das auf die Unvollkommenheit der Grundkonzepte hinweist.

Mathematische Enzyklopädie – eine Referenzpublikation zu allen Bereichen der Mathematik. Die Enzyklopädie basiert auf Übersichtsartikeln zu den wichtigsten Bereichen der Mathematik. Die Hauptanforderung an Artikel dieser Art ist eine möglichst vollständige Übersicht über den aktuellen Stand der Theorie bei maximaler Zugänglichkeit der Darstellung; Diese Artikel sind im Allgemeinen für fortgeschrittene Mathematikstudenten, Doktoranden und Spezialisten in verwandten Bereichen der Mathematik zugänglich, in bestimmten Fällen auch für Spezialisten in anderen Wissensgebieten, die bei ihrer Arbeit mathematische Methoden verwenden, Ingenieure und Mathematiklehrer. Darüber hinaus werden mittelgroße Artikel zu einzelnen spezifischen Problemen und Methoden der Mathematik bereitgestellt; Diese Artikel richten sich an eine engere Leserschaft und sind daher möglicherweise weniger zugänglich. Eine weitere Art von Artikeln sind schließlich Kurzreferenzen und Definitionen. Einige Definitionen sind in den ersten beiden Artikeltypen enthalten. Den meisten Enzyklopädie-Artikeln liegt eine Bibliographie mit fortlaufenden Nummern für jeden Titel bei, die es ermöglicht, sie in den Texten der Artikel zu zitieren. Am Ende der Artikel wird (in der Regel) der Autor oder die Quelle angegeben, wenn der Artikel bereits zuvor veröffentlicht wurde (hauptsächlich handelt es sich dabei um Artikel in der Großen Sowjetischen Enzyklopädie). Die in Artikeln erwähnten Namen ausländischer (außer antiker) Wissenschaftler werden in lateinischer Schreibweise angegeben (sofern kein Link zum Literaturverzeichnis vorhanden ist).

Das Prinzip der Anordnung der Artikel in der Enzyklopädie ist alphabetisch. Wenn der Titel des Artikels ein Begriff ist, der ein Synonym hat, wird dieses nach dem Hauptwort angegeben. In vielen Fällen bestehen Artikeltitel aus zwei oder mehr Wörtern. In diesen Fällen werden die Begriffe entweder in ihrer gebräuchlichsten Form angegeben oder das Wort mit der wichtigsten Bedeutung steht an erster Stelle. Wenn der Titel eines Artikels einen Eigennamen enthält, wird dieser an erster Stelle platziert (das Literaturverzeichnis für solche Artikel enthält in der Regel eine Primärquelle, die den Namen des Begriffs erläutert). Die Titel von Artikeln werden überwiegend im Singular angegeben.

Die Enzyklopädie verwendet häufig ein System von Links zu anderen Artikeln, in denen der Leser zusätzliche Informationen zum jeweiligen Thema finden kann. Die Definition enthält keinen Hinweis auf den im Titel des Artikels vorkommenden Begriff.

Um Platz zu sparen, verwenden die Artikel die für Enzyklopädien üblichen Abkürzungen einiger Wörter.

Arbeitete an Band 1

Mathematik-Redaktion des Verlags „Sowjetische Enzyklopädie“ – V. I. BITYUTSKOV (Redaktionsleiter), M. I. VOITSEKHOVSKY (wissenschaftlicher Redakteur), Yu. A. GORBKOV (wissenschaftlicher Redakteur), A. B. IVANOV (leitender wissenschaftlicher Redakteur), O A. IVANOVA (leitender Redakteur). wissenschaftlicher Redakteur), T. Y. POPOVA (wissenschaftlicher Redakteur), S. A. RUKOVA (leitender wissenschaftlicher Redakteur), E. G. SOBOLEVSKAYA (Herausgeber), L. V. SOKOLOVA (Junior-Redakteur), L. R. HABIB (Junior-Redakteur).

Mitarbeiter des Verlags: E. P. RYABOVA (Literaturredakteure). E. I. ZHAROVA, A. M. MARTYNOV (Bibliographie). A. F. DALKOVSKAYA (Transkription). N. A. FEDOROVA (Akquiseabteilung). 3. A. SUKHOVA (Ausgabe der Abbildungen). E. I. ALEXEEVA, N. Y. KRUZHALOVA (Herausgeber des Wörterbuchs). M. V. AKIMOVA, A. F. PROSHKO (Korrektor). G. V. SMIRNOVA (technische Ausgabe).

Cover des Künstlers R.I. MALANICHEV.

Zusätzliche Informationen zu Band 1

Verlag „Sowjetische Enzyklopädie“

Enzyklopädien, Wörterbücher, Nachschlagewerke

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Moskau 1977

Mathematische Enzyklopädie. Band 1 (A - D)

Chefredakteur I. M. VINOGRADOV

Redaktion

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Mathematische Enzyklopädie. Ed. Vorstand: I. M. Vinogradov (Chefredakteur) [und andere] T. 1 - M., „Sowjetische Enzyklopädie“, 1977

(Enzyklopädien. Wörterbücher. Nachschlagewerke), Bd. 1. A - G. 1977. 1152 stb. aus Abb.

Am 9. Juni 1976 zum Satz eingereicht. Am 18. Februar 1977 zum Druck unterzeichnet. Text aus Matrizen drucken, die in der nach ihr benannten First Model Printing House hergestellt wurden. A. A. Zhdanova. Orden des Roten Banners der Arbeit, Verlag „Sowjetische Enzyklopädie“. 109817. Moskau, Zh - 28, Pokrovsky Boulevard, 8. T - 02616 Auflage 150.000 Exemplare. Bestell-Nr. 418. Druckpapier Nr. 1. Papierformat 84xl08 1/14. Band 36 physisch. p.l. ; 60, 48 konventionell p.l. Text. 101, 82 akademisch. - Hrsg. l. Der Preis des Buches beträgt 7 Rubel. 10 k.

Orden des Roten Banners der Arbeit Moskauer Druckerei Nr. 1 „Sojuspoligrafproma“ unter dem Staatskomitee des Ministerrats der UdSSR für Verlagswesen, Druck und Buchhandel, Moskau, I - 85, Prospekt Mira, 105. Bestell-Nr. 865.

Mathematische Enzyklopädie

Mathematische Enzyklopädie- Sowjetische enzyklopädische Veröffentlichung in fünf Bänden zu mathematischen Themen. Veröffentlicht 1985 im Verlag „Sowjetische Enzyklopädie“. Chefredakteur: Akademiker I. M. Vinogradov.

Dies ist eine grundlegende illustrierte Veröffentlichung zu allen Hauptzweigen der Mathematik. Das Buch präsentiert umfangreiches Material zum Thema, Biografien berühmter Mathematiker, Zeichnungen, Grafiken, Diagramme und Diagramme.

Gesamtumfang: ca. 3000 Seiten. Verteilung der Artikel nach Volumen:

Band 1: Abakus – Huygens-Prinzip, 576 Seiten.
Band 2: D'Alembert-Operator – Koop-Spiel, 552 Seiten.
Band 3: Koordinaten – Monomial, 592 Seiten.
Band 4: Eye of the Theorem – Complex Function, 608 Seiten.
Band 5: Zufallsvariable – Zelle, 623 Seiten.
Anhang zu Band 5: Index, Liste der festgestellten Tippfehler.

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MATHEMATISCHE SCHULE IN SOZIOLOGIE- Englisch mathematische Schule in Soziologie; Deutsch mathematische Schule in der Soziologie. Ein Trend in der Soziologie, der in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts entstand. Die Begründer der Soziologie (A. Zipf, E. Dodd usw.) glaubten, dass die Theorien eines Soziologen das Niveau von ... erreichen. Enzyklopädie der Soziologie

Mathematische Modell von Gebäuden und Bauwerken- Mathematische (Computer-)Modelle von Gebäuden und Bauwerken – Darstellung von Gebäuden und Bauwerken in Form eines Finite-Elemente-Diagramms zur Durchführung numerischer Berechnungen bei der Lösung einer Reihe von Problemen, die bei Planung, Bau und... ... auftreten. Enzyklopädie der Begriffe, Definitionen und Erklärungen von Baustoffen

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