Bogenbewegung. Gleichförmige Kreisbewegung. Zeitraum und Häufigkeit
Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn mit konstanter Modulo-Geschwindigkeit- Dies ist eine Bewegung, bei der der Körper in beliebigen gleichen Zeitintervallen dieselben Bögen beschreibt.
Die Position des Körpers auf dem Kreis wird bestimmt Radius-Vektor\(~\vec r\) vom Mittelpunkt des Kreises gezeichnet. Der Betrag des Radiusvektors ist gleich dem Radius des Kreises R(Abb. 1).
Während der Zeit Δ t Körper bewegt sich von einem Punkt aus ABER exakt BEI, verschiebt \(~\Delta \vec r\) gleich dem Akkord AB, und legt einen Weg zurück, der der Länge des Bogens entspricht l.
Der Radiusvektor wird um einen Winkel Δ gedreht φ . Der Winkel wird in Radiant ausgedrückt.
Die Geschwindigkeit \(~\vec \ypsilon\) der Bewegung des Körpers entlang der Bahn (Kreis) ist entlang der Tangente an die Bahn gerichtet. Es wird genannt lineare Geschwindigkeit. Der lineare Geschwindigkeitsmodul ist gleich dem Verhältnis der Länge des Kreisbogens l zum Zeitintervall Δ t für die dieser Bogen bestanden wird:
\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)
Eine skalare physikalische Größe, die numerisch gleich dem Verhältnis des Rotationswinkels des Radiusvektors zum Zeitintervall ist, während dessen diese Rotation stattfand, wird aufgerufen Winkelgeschwindigkeit:
\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)
Die SI-Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist das Bogenmaß pro Sekunde (rad/s).
Bei gleichförmiger Kreisbewegung sind die Winkelgeschwindigkeit und der lineare Geschwindigkeitsmodul konstante Werte: ω = konstant; υ = konst.
Die Lage des Körpers lässt sich aus dem Betrag des Radiusvektors \(~\vec r\) und dem Winkel bestimmen φ , die es mit der Achse bildet Ochse(Winkelkoordinate). Wenn zum Anfangszeitpunkt t 0 = 0 ist die Winkelkoordinate φ 0 und zur Zeit t es ist gleich φ , dann der Rotationswinkel Δ φ Radius-Vektor in der Zeit \(~\Delta t = t - t_0 = t\) ist gleich \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Dann aus der letzten Formel, die wir bekommen können kinematische Bewegungsgleichung eines materiellen Punktes entlang eines Kreises:
\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)
Damit können Sie jederzeit die Position des Körpers bestimmen. t. Unter Berücksichtigung von \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\) erhalten wir \[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \Rechter Pfeil\]
\(~\upsilon = \omega R\) - Formel für den Zusammenhang zwischen Linear- und Winkelgeschwindigkeit.
Zeitintervall Τ , bei der der Körper eine vollständige Umdrehung macht, heißt Rotationszeit:
\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)
wo N- die Anzahl der Umdrehungen des Körpers während der Zeit Δ t.
Während der Zeit Δ t = Τ der Körper durchläuft den Weg \(~l = 2 \pi R\). Folglich,
\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)
Wert ν , wird die Umkehrung der Periode genannt, die angibt, wie viele Umdrehungen der Körper pro Zeiteinheit macht Geschwindigkeit:
\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)
Folglich,
\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \omega = 2 \pi \nu .\)
Literatur
Aksenovich L. A. Physik in weiterführende Schule: Theorie. Aufgaben. Tests: Proc. Zulage für Einrichtungen, die allgemeine. Umwelt, Bildung / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vykhavanne, 2004. - C. 18-19.
Die Kreisbewegung ist der einfachste Fall der krummlinigen Bewegung eines Körpers. Wenn sich ein Körper um einen bestimmten Punkt bewegt, ist es zweckmäßig, zusammen mit dem Verschiebungsvektor die Winkelverschiebung ∆ φ (den Rotationswinkel relativ zum Mittelpunkt des Kreises), gemessen im Bogenmaß, einzuführen.
Mit Kenntnis der Winkelverschiebung ist es möglich, die Länge des Kreisbogens (Weg) zu berechnen, den der Körper passiert hat.
∆ l = R ∆ φ
Bei kleinem Drehwinkel ist ∆ l ≈ ∆ s .
Lassen Sie uns das Gesagte veranschaulichen:
Winkelgeschwindigkeit
Bei krummliniger Bewegung wird das Konzept der Winkelgeschwindigkeit ω eingeführt, dh die Änderungsrate des Drehwinkels.
Definition. Winkelgeschwindigkeit
Die Winkelgeschwindigkeit an einem gegebenen Punkt der Flugbahn ist die Grenze des Verhältnisses der Winkelverschiebung ∆ φ zum Zeitintervall ∆ t, in dem sie aufgetreten ist. ∆t → 0 .
ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .
Die Maßeinheit für die Winkelgeschwindigkeit ist Radiant pro Sekunde (r a d s).
Es besteht ein Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der linearen Geschwindigkeit des Körpers, wenn er sich im Kreis bewegt. Formel zur Bestimmung der Winkelgeschwindigkeit:
Bei gleichförmiger Kreisbewegung bleiben die Geschwindigkeiten v und ω unverändert. Nur die Richtung des linearen Geschwindigkeitsvektors ändert sich.
In diesem Fall wird eine gleichförmige Bewegung entlang eines Kreises auf dem Körper durch eine zentripetale oder normale Beschleunigung beeinflusst, die entlang des Radius des Kreises zu seinem Mittelpunkt gerichtet ist.
ein n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Das Zentripetalbeschleunigungsmodul kann nach folgender Formel berechnet werden:
ein n = v 2 R = ω 2 R
Beweisen wir diese Beziehungen.
Betrachten wir, wie sich der Vektor v → über einen kleinen Zeitraum ∆ t ändert. ∆ v → = v B → - v EIN → .
An den Punkten A und B ist der Geschwindigkeitsvektor tangential zum Kreis gerichtet, während die Geschwindigkeitsmodule an beiden Punkten gleich sind.
Per Definition der Beschleunigung:
a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Schauen wir uns das Bild an:
Die Dreiecke OAB und BCD sind ähnlich. Daraus folgt, dass O A A B = B C C D .
Wenn der Wert des Winkels ∆ φ klein ist, ist der Abstand A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Unter Berücksichtigung, dass O A \u003d R und C D \u003d ∆ v für die oben betrachteten ähnlichen Dreiecke erhalten wir:
R v ∆ t = v ∆ v oder ∆ v ∆ t = v 2 R
Wenn ∆ φ → 0 , nähert sich die Richtung des Vektors ∆ v → = v B → - v A → der Richtung zum Mittelpunkt des Kreises an. Unter der Annahme, dass ∆ t → 0 gilt, erhalten wir:
ein → = ein n → = ∆ v → ∆ t ; ∆t → 0 ; ein n → = v 2 R .
Bei gleichförmiger Bewegung entlang eines Kreises bleibt der Beschleunigungsmodul konstant und die Richtung des Vektors ändert sich mit der Zeit, während die Ausrichtung auf den Mittelpunkt des Kreises beibehalten wird. Deshalb wird diese Beschleunigung Zentripetal genannt: Der Vektor ist zu jeder Zeit auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet.
Die Aufzeichnung der Zentripetalbeschleunigung in Vektorform lautet wie folgt:
ein n → = - ω 2 R → .
Hier ist R → der Radiusvektor eines Punktes auf einem Kreis mit Ursprung in seinem Mittelpunkt.
Im Allgemeinen besteht die Beschleunigung beim Bewegen entlang eines Kreises aus zwei Komponenten - normal und tangential.
Betrachten Sie den Fall, wenn sich der Körper ungleichmäßig entlang des Kreises bewegt. Lassen Sie uns das Konzept der tangentialen (tangentialen) Beschleunigung einführen. Ihre Richtung fällt mit der Richtung der Lineargeschwindigkeit des Körpers zusammen und ist in jedem Punkt des Kreises tangential zu ihr gerichtet.
ein τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆t → 0
Hier ist ∆ v τ \u003d v 2 - v 1 die Änderung des Geschwindigkeitsmoduls über das Intervall ∆ t
Die Richtung der vollen Beschleunigung wird durch die Vektorsumme von Normal- und Tangentialbeschleunigung bestimmt.
Kreisbewegungen in einer Ebene können mit zwei Koordinaten beschrieben werden: x und y. Die Geschwindigkeit des Körpers kann zu jedem Zeitpunkt in die Komponenten v x und v y zerlegt werden.
Bei gleichförmiger Bewegung ändern sich die Werte v x und v y sowie die zugehörigen Koordinaten zeitlich nach einem harmonischen Gesetz mit einer Periode T = 2 π R v = 2 π ω
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Da die lineare Geschwindigkeit gleichmäßig die Richtung ändert, kann die Bewegung entlang des Kreises nicht als gleichmäßig bezeichnet werden, sie wird gleichmäßig beschleunigt.
Winkelgeschwindigkeit
Wählen Sie einen Punkt auf dem Kreis aus 1 . Bauen wir einen Radius. Für eine Zeiteinheit bewegt sich der Punkt zum Punkt 2 . Der Radius beschreibt dabei den Winkel. Die Winkelgeschwindigkeit ist numerisch gleich dem Rotationswinkel des Radius pro Zeiteinheit.
Zeitraum und Häufigkeit
Rotationszeitraum T ist die Zeit, die der Körper für eine Umdrehung benötigt.
RPM ist die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde.
Die Häufigkeit und der Zeitraum hängen durch die Beziehung zusammen
Beziehung zur Winkelgeschwindigkeit
Liniengeschwindigkeit
Jeder Punkt auf dem Kreis bewegt sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit wird linear genannt. Die Richtung des linearen Geschwindigkeitsvektors fällt immer mit der Tangente an den Kreis zusammen. Zum Beispiel bewegen sich Funken unter einer Mühle und wiederholen die Richtung der momentanen Geschwindigkeit.
Stellen Sie sich einen Punkt auf einem Kreis vor, der eine Umdrehung macht, die Zeit, die aufgewendet wird - dies ist die Periode T.Der Weg, den der Punkt überwindet, ist der Umfang des Kreises.
Zentripetalbeschleunigung
Bei der Bewegung entlang eines Kreises steht der Beschleunigungsvektor immer senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor, der auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet ist.
Unter Verwendung der vorherigen Formeln können wir die folgenden Beziehungen herleiten
Punkte, die auf derselben vom Kreismittelpunkt ausgehenden Geraden liegen (z. B. Punkte, die auf der Radspeiche liegen), haben die gleiche Winkelgeschwindigkeit, Periode und Frequenz. Das heißt, sie drehen sich auf die gleiche Weise, aber mit unterschiedlichen linearen Geschwindigkeiten. Je weiter der Punkt von der Mitte entfernt ist, desto schneller bewegt er sich.
Das Geschwindigkeitsadditionsgesetz gilt auch für Drehbewegungen. Wenn die Bewegung eines Körpers oder Bezugsrahmens nicht gleichförmig ist, gilt das Gesetz für Momentangeschwindigkeiten. Beispielsweise ist die Geschwindigkeit einer am Rand eines rotierenden Karussells entlanglaufenden Person gleich der Vektorsumme der linearen Rotationsgeschwindigkeit des Karussellrands und der Geschwindigkeit der Person.
Die Erde nimmt an zwei Hauptrotationsbewegungen teil: täglich (um ihre Achse) und orbital (um die Sonne). Die Rotationsdauer der Erde um die Sonne beträgt 1 Jahr oder 365 Tage. Die Erde dreht sich von Westen nach Osten um ihre Achse, die Dauer dieser Drehung beträgt 1 Tag oder 24 Stunden. Der Breitengrad ist der Winkel zwischen der Äquatorebene und der Richtung vom Erdmittelpunkt zu einem Punkt auf ihrer Oberfläche.
Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die Ursache jeder Beschleunigung eine Kraft. Wenn ein sich bewegender Körper eine Zentripetalbeschleunigung erfährt, kann die Art der Kräfte, die diese Beschleunigung verursachen, unterschiedlich sein. Bewegt sich beispielsweise ein Körper an einem daran befestigten Seil im Kreis, so ist die wirkende Kraft die elastische Kraft.
Dreht sich ein auf einer Scheibe liegender Körper zusammen mit der Scheibe um ihre Achse, so ist eine solche Kraft die Reibungskraft. Wenn die Kraft aufhört zu wirken, bewegt sich der Körper in einer geraden Linie weiter
Betrachten Sie die Bewegung eines Punktes auf einem Kreis von A nach B. Die lineare Geschwindigkeit ist gleich
Kommen wir nun zu einem festen System, das mit der Erde verbunden ist. Die Gesamtbeschleunigung des Punktes A bleibt sowohl im Absolutwert als auch in der Richtung gleich, da sich die Beschleunigung nicht ändert, wenn man sich von einem Trägheitsbezugssystem zu einem anderen bewegt. Aus Sicht eines stationären Beobachters ist die Flugbahn von Punkt A kein Kreis mehr, sondern eine komplexere Kurve (Zykloide), entlang der sich der Punkt ungleichmäßig bewegt.
Unter verschiedene Sorten Die krummlinige Bewegung ist von besonderem Interesse gleichförmige Bewegung eines Körpers im Kreis. Dies ist die einfachste Form der krummlinigen Bewegung. Gleichzeitig kann jede komplexe krummlinige Bewegung eines Körpers in einem ausreichend kleinen Abschnitt seiner Bahn näherungsweise als gleichförmige Bewegung entlang eines Kreises betrachtet werden.
Eine solche Bewegung wird durch Punkte rotierender Räder, Turbinenrotoren, in Umlaufbahnen rotierender künstlicher Satelliten usw. ausgeführt. Bei einer gleichmäßigen Bewegung im Kreis bleibt der Zahlenwert der Geschwindigkeit konstant. Die Richtung der Geschwindigkeit während einer solchen Bewegung ändert sich jedoch ständig.
Die Geschwindigkeit des Körpers an jedem Punkt der krummlinigen Trajektorie ist an diesem Punkt tangential zur Trajektorie gerichtet. Dies kann man an der Arbeit eines scheibenförmigen Schleifsteins erkennen: Wenn man das Ende einer Stahlstange auf einen rotierenden Stein drückt, kann man sehen, wie sich heiße Partikel vom Stein lösen. Diese Teilchen fliegen mit der gleichen Geschwindigkeit, die sie im Moment der Trennung vom Stein hatten. Die Richtung der Funken fällt immer mit der Kreistangente an der Stelle zusammen, an der der Stab den Stein berührt. Spritzer von den Rädern eines schleudernden Autos bewegen sich ebenfalls tangential zum Kreis.
So hat die momentane Geschwindigkeit des Körpers an verschiedenen Punkten der gekrümmten Bahn unterschiedliche Richtungen, während der Geschwindigkeitsmodul entweder überall gleich sein oder sich von Punkt zu Punkt ändern kann. Aber selbst wenn sich der Geschwindigkeitsmodul nicht ändert, kann er immer noch nicht als konstant angesehen werden. Schließlich ist die Geschwindigkeit eine vektorielle Größe, und für vektorielle Größen sind Betrag und Richtung gleichermaßen wichtig. Deshalb Die krummlinige Bewegung wird immer beschleunigt, auch wenn der Geschwindigkeitsmodul konstant ist.
Eine krummlinige Bewegung kann den Geschwindigkeitsmodul und seine Richtung ändern. Eine krummlinige Bewegung, bei der der Geschwindigkeitsmodul konstant bleibt, wird als krummlinige Bewegung bezeichnet gleichmäßige krummlinige Bewegung. Die Beschleunigung während einer solchen Bewegung ist nur mit einer Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors verbunden.
Sowohl der Modul als auch die Richtung der Beschleunigung müssen von der Form der gekrümmten Trajektorie abhängen. Es ist jedoch nicht notwendig, jede ihrer unzähligen Formen zu berücksichtigen. Indem jeder Abschnitt als separater Kreis mit einem bestimmten Radius dargestellt wird, wird das Problem, Beschleunigung in einer krummlinigen, gleichförmigen Bewegung zu finden, auf das Finden von Beschleunigung in einem Körper reduziert, der sich gleichförmig entlang eines Kreises bewegt.
Die gleichmäßige Bewegung im Kreis ist durch eine Periode und Frequenz der Zirkulation gekennzeichnet.
Man nennt die Zeit, die ein Körper für eine Umdrehung benötigt Umlaufzeit.
Bei gleichförmiger Kreisbewegung ergibt sich die Umlaufzeit aus der Teilung des zurückgelegten Wegs, also des Kreisumfangs, durch die Bewegungsgeschwindigkeit:
Der Kehrwert einer Periode wird aufgerufen Zirkulationsfrequenz, gekennzeichnet durch den Buchstaben ν . Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit ν genannt Zirkulationsfrequenz:
Ein sich im Kreis bewegender Körper hat aufgrund der kontinuierlichen Richtungsänderung eine Beschleunigung, die die Geschwindigkeit der Richtungsänderung charakterisiert, der Zahlenwert der Geschwindigkeit ändert sich dabei nicht.
Bei einer gleichförmigen Bewegung eines Körpers entlang eines Kreises ist die Beschleunigung an jedem Punkt darin immer senkrecht zur Bewegungsgeschwindigkeit entlang des Radius des Kreises zu seinem Mittelpunkt gerichtet und wird als bezeichnet Zentripetalbeschleunigung.
Um seinen Wert zu finden, betrachten Sie das Verhältnis der Änderung des Geschwindigkeitsvektors zum Zeitintervall, während dessen diese Änderung auftrat. Da der Winkel sehr klein ist, haben wir
Da die lineare Geschwindigkeit gleichmäßig die Richtung ändert, kann die Bewegung entlang des Kreises nicht als gleichmäßig bezeichnet werden, sie wird gleichmäßig beschleunigt.
Winkelgeschwindigkeit
Wählen Sie einen Punkt auf dem Kreis aus 1 . Bauen wir einen Radius. Für eine Zeiteinheit bewegt sich der Punkt zum Punkt 2 . Der Radius beschreibt dabei den Winkel. Die Winkelgeschwindigkeit ist numerisch gleich dem Rotationswinkel des Radius pro Zeiteinheit.
Zeitraum und Häufigkeit
Rotationszeitraum T ist die Zeit, die der Körper für eine Umdrehung benötigt.
RPM ist die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde.
Die Häufigkeit und der Zeitraum hängen durch die Beziehung zusammen
Beziehung zur Winkelgeschwindigkeit
Liniengeschwindigkeit
Jeder Punkt auf dem Kreis bewegt sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit wird linear genannt. Die Richtung des linearen Geschwindigkeitsvektors fällt immer mit der Tangente an den Kreis zusammen. Zum Beispiel bewegen sich Funken unter einer Mühle und wiederholen die Richtung der momentanen Geschwindigkeit.
Stellen Sie sich einen Punkt auf einem Kreis vor, der eine Umdrehung macht, die Zeit, die aufgewendet wird - dies ist die Periode T. Die von einem Punkt zurückgelegte Bahn ist der Umfang eines Kreises.
Zentripetalbeschleunigung
Bei der Bewegung entlang eines Kreises steht der Beschleunigungsvektor immer senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor, der auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet ist.
Unter Verwendung der vorherigen Formeln können wir die folgenden Beziehungen herleiten
Punkte, die auf derselben vom Kreismittelpunkt ausgehenden Geraden liegen (z. B. Punkte, die auf der Radspeiche liegen), haben die gleiche Winkelgeschwindigkeit, Periode und Frequenz. Das heißt, sie drehen sich auf die gleiche Weise, aber mit unterschiedlichen linearen Geschwindigkeiten. Je weiter der Punkt von der Mitte entfernt ist, desto schneller bewegt er sich.
Das Geschwindigkeitsadditionsgesetz gilt auch für Drehbewegungen. Wenn die Bewegung eines Körpers oder Bezugsrahmens nicht gleichförmig ist, gilt das Gesetz für Momentangeschwindigkeiten. Beispielsweise ist die Geschwindigkeit einer am Rand eines rotierenden Karussells entlanglaufenden Person gleich der Vektorsumme der linearen Rotationsgeschwindigkeit des Karussellrands und der Geschwindigkeit der Person.
Die Erde nimmt an zwei Hauptrotationsbewegungen teil: täglich (um ihre Achse) und orbital (um die Sonne). Die Rotationsdauer der Erde um die Sonne beträgt 1 Jahr oder 365 Tage. Die Erde dreht sich von Westen nach Osten um ihre Achse, die Dauer dieser Drehung beträgt 1 Tag oder 24 Stunden. Der Breitengrad ist der Winkel zwischen der Äquatorebene und der Richtung vom Erdmittelpunkt zu einem Punkt auf ihrer Oberfläche.
Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die Ursache jeder Beschleunigung eine Kraft. Wenn ein sich bewegender Körper eine Zentripetalbeschleunigung erfährt, kann die Art der Kräfte, die diese Beschleunigung verursachen, unterschiedlich sein. Bewegt sich beispielsweise ein Körper an einem daran befestigten Seil im Kreis, so ist die wirkende Kraft die elastische Kraft.
Dreht sich ein auf einer Scheibe liegender Körper zusammen mit der Scheibe um ihre Achse, so ist eine solche Kraft die Reibungskraft. Wenn die Kraft aufhört zu wirken, bewegt sich der Körper in einer geraden Linie weiter
Betrachten Sie die Bewegung eines Punktes auf einem Kreis von A nach B. Die lineare Geschwindigkeit ist gleich v A und vB beziehungsweise. Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit. Lassen Sie uns den Unterschied der Vektoren finden.
