Obloukový pohyb. Rovnoměrný kruhový pohyb. Období a frekvence

krása

Pohyb tělesa po kružnici konstantní rychlostí modulo- jedná se o pohyb, při kterém tělo popisuje stejné oblouky po libovolné stejné časové intervaly.

Stanoví se poloha těla na kružnici vektor poloměru\(~\vec r\) nakreslený ze středu kruhu. Modul poloměru vektoru se rovná poloměru kružnice R(Obr. 1).

Během doby Δ t pohyb těla z bodu ALE přesně tak V, pohybuje \(~\Delta \vec r\) rovnající se akordu AB a urazí dráhu rovnající se délce oblouku l.

Vektor poloměru je otočen o úhel Δ φ . Úhel je vyjádřen v radiánech.

Rychlost \(~\vec \upsilon\) pohybu tělesa po trajektorii (kruhu) směřuje po tečně k trajektorii. To se nazývá lineární rychlost. Modul lineární rychlosti je roven poměru délky kruhového oblouku l do časového intervalu Δ t pro které je tento oblouk předán:

\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)

Skalární fyzikální veličina, která se číselně rovná poměru úhlu natočení vektoru poloměru k časovému intervalu, během kterého k této rotaci došlo, se nazývá úhlová rychlost:

\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)

Jednotkou SI úhlové rychlosti je radián za sekundu (rad/s).

Při rovnoměrném pohybu v kruhu jsou úhlová rychlost a modul lineární rychlosti konstantní hodnoty: ω = konst; υ = konst.

Polohu tělesa lze určit, pokud modul poloměrového vektoru \(~\vec r\) a úhel φ , kterou skládá s os Vůl(úhlová souřadnice). Pokud v počáteční době t 0 = 0 úhlová souřadnice je φ 0 a v čase t to se rovná φ , pak úhel natočení Δ φ poloměr-vektor v čase \(~\Delta t = t - t_0 = t\) se rovná \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Pak z posledního vzorce, který můžeme získat kinematická rovnice pohybu hmotného bodu po kružnici:

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

Umožňuje kdykoli určit polohu těla. t. Vzhledem k tomu, že \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), dostaneme \[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \Rightarrow\]

\(~\upsilon = \omega R\) - vzorec pro vztah mezi lineární a úhlovou rychlostí.

Časový interval Τ , při které tělo provede jednu úplnou otáčku, se nazývá období rotace:

\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)

kde N- počet otáček provedených tělesem za čas Δ t.

Během doby Δ t = Τ těleso projde dráhu \(~l = 2 \pi R\). Tudíž,

\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)

Hodnota ν , se nazývá převrácená hodnota periody, která ukazuje, kolik otáček tělo udělá za jednotku času Rychlost:

\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)

Tudíž,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \omega = 2 \pi \nu .\)

Literatura

Aksenovič L. A. Fyzika v střední škola: Teorie. Úkoly. Testy: Proc. příspěvek pro instituce poskytující obec. prostředí, výchova / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vykhavanne, 2004. - C. 18-19.

Kruhový pohyb je nejjednodušší případ křivočarého pohybu tělesa. Když se těleso pohybuje kolem určitého bodu spolu s vektorem posunutí, je vhodné zavést úhlové posunutí ∆ φ (úhel rotace vzhledem ke středu kruhu), měřené v radiánech.

Při znalosti úhlového posunutí je možné vypočítat délku kruhového oblouku (dráhy), kterou těleso prošlo.

∆ l = R ∆ φ

Pokud je úhel natočení malý, pak ∆ l ≈ ∆ s .

Ukažme si, co bylo řečeno:

Úhlová rychlost

S křivočarým pohybem se zavádí pojem úhlové rychlosti ω, tedy rychlosti změny úhlu natočení.

Definice. Úhlová rychlost

Úhlová rychlost v daném bodě trajektorie je limitem poměru úhlového posunutí ∆ φ k časovému intervalu ∆ t, během kterého k němu došlo. ∆t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Jednotkou měření úhlové rychlosti jsou radiány za sekundu (r a d s).

Existuje vztah mezi úhlovou a lineární rychlostí tělesa při pohybu po kružnici. Vzorec pro zjištění úhlové rychlosti:

Při rovnoměrném pohybu po kružnici zůstávají rychlosti v a ω nezměněny. Mění se pouze směr vektoru lineární rychlosti.

V tomto případě je rovnoměrný pohyb po kružnici na těle ovlivněn dostředivým nebo normálním zrychlením, směřujícím po poloměru kruhu do jeho středu.

a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Modul dostředivého zrychlení lze vypočítat podle vzorce:

a n = v2 R = co2R

Dokažme tyto vztahy.

Uvažujme, jak se změní vektor v → za malý časový úsek ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .

V bodech A a B je vektor rychlosti nasměrován tečně ke kružnici, přičemž moduly rychlosti jsou v obou bodech stejné.

Podle definice zrychlení:

a → = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Podívejme se na obrázek:

Trojúhelníky OAB a BCD jsou podobné. Z toho plyne, že O A A B = B C C D .

Pokud je hodnota úhlu ∆ φ malá, je vzdálenost A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Vezmeme-li v úvahu, že O A \u003d R a C D \u003d ∆ v pro podobné trojúhelníky uvažované výše, dostaneme:

R v ∆ t = v ∆ v nebo ∆ v ∆ t = v 2 R

Když ∆ φ → 0 , směr vektoru ∆ v → = v B → - v A → se blíží směru ke středu kružnice. Za předpokladu, že ∆ t → 0 , dostaneme:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆t → 0 ; a n → = v2R.

Při rovnoměrném pohybu po kružnici zůstává zrychlovací modul konstantní a směr vektoru se mění s časem, přičemž je zachována orientace ke středu kružnice. Proto se toto zrychlení nazývá dostředivé: vektor je v každém okamžiku nasměrován ke středu kruhu.

Záznam dostředivého zrychlení ve vektorové podobě je následující:

a n → = - ω 2 R → .

Zde R → je poloměrový vektor bodu na kružnici s počátkem ve středu.

V obecném případě se zrychlení při pohybu po kružnici skládá ze dvou složek - normální a tečné.

Uvažujme případ, kdy se těleso pohybuje po kružnici nerovnoměrně. Představme si pojem tečné (tangenciální) zrychlení. Jeho směr se shoduje se směrem lineární rychlosti tělesa a v každém bodě kružnice k němu směřuje tečně.

a τ = ∆ v τ ∆ t; ∆t → 0

Zde ∆ v τ \u003d v 2 - v 1 je změna modulu rychlosti v intervalu ∆ t

Směr plného zrychlení je určen vektorovým součtem normálového a tečného zrychlení.

Kruhový pohyb v rovině lze popsat pomocí dvou souřadnic: x a y. V každém časovém okamžiku lze rychlost tělesa rozložit na složky v x a vy .

Je-li pohyb rovnoměrný, budou se hodnoty v x a v y i příslušné souřadnice v čase měnit podle harmonického zákona s periodou T = 2 π R v = 2 π ω

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Protože lineární rychlost rovnoměrně mění směr, nelze pohyb po kružnici nazvat rovnoměrným, je rovnoměrně zrychlený.

Úhlová rychlost

Vyberte bod na kruhu 1 . Postavíme rádius. Za jednotku času se bod posune k bodu 2 . V tomto případě poloměr popisuje úhel. Úhlová rychlost je číselně rovna úhlu natočení poloměru za jednotku času.

Období a frekvence

Doba střídání T je čas, který tělu trvá udělat jednu otáčku.

RPM je počet otáček za sekundu.

Frekvence a období souvisí se vztahem

Vztah s úhlovou rychlostí

Rychlost linky

Každý bod na kružnici se pohybuje určitou rychlostí. Tato rychlost se nazývá lineární. Směr vektoru lineární rychlosti se vždy shoduje s tečnou ke kružnici. Například jiskry zpod brusky se pohybují a opakují směr okamžité rychlosti.

Uvažujme bod na kružnici, který udělá jednu otáčku, čas, který stráví - to je období T.Cesta, kterou bod překoná, je obvod kružnice.

dostředivé zrychlení

Při pohybu po kružnici je vektor zrychlení vždy kolmý k vektoru rychlosti, směrovaný do středu kružnice.

Pomocí předchozích vzorců můžeme odvodit následující vztahy

Body ležící na stejné přímce vycházející ze středu kruhu (například to mohou být body, které leží na paprsku kola) budou mít stejné úhlové rychlosti, periodu a frekvenci. To znamená, že se budou otáčet stejným způsobem, ale s různými lineárními rychlostmi. Čím dále je bod od středu, tím rychleji se bude pohybovat.

Zákon sčítání rychlostí platí i pro rotační pohyb. Pokud pohyb tělesa nebo vztažné soustavy není rovnoměrný, pak zákon platí pro okamžité rychlosti. Například rychlost osoby jdoucí po okraji rotujícího kolotoče je rovna vektorovému součtu lineární rychlosti rotace okraje karuselu a rychlosti osoby.

Země se účastní dvou hlavních rotačních pohybů: denních (kolem své osy) a orbitálních (kolem Slunce). Doba rotace Země kolem Slunce je 1 rok nebo 365 dní. Země se otáčí kolem své osy ze západu na východ, doba této rotace je 1 den nebo 24 hodin. Zeměpisná šířka je úhel mezi rovinou rovníku a směrem od středu Země k bodu na jejím povrchu.

Podle druhého Newtonova zákona je příčinou jakéhokoli zrychlení síla. Pokud pohybující se těleso zažívá dostředivé zrychlení, pak povaha sil, které toto zrychlení způsobují, může být odlišná. Pokud se například těleso pohybuje po kruhu na laně k němu přivázaném, pak působící silou je síla pružná.

Pokud se těleso ležící na disku otáčí spolu s diskem kolem své osy, pak je taková síla silou tření. Pokud síla přestane působit, pak se těleso bude dále pohybovat přímočaře

Uvažujme pohyb bodu na kružnici z A do B. Lineární rychlost je rovna

Nyní přejdeme k pevnému systému spojenému se zemí. Celkové zrychlení bodu A zůstane stejné jak v absolutní hodnotě, tak ve směru, protože zrychlení se nemění při pohybu z jedné inerciální vztažné soustavy do druhé. Trajektorie bodu A již není z pohledu stacionárního pozorovatele kružnicí, ale složitější křivkou (cykloidou), po které se bod pohybuje nerovnoměrně.

Mezi různé druhy křivočarý pohyb je zvláště zajímavý rovnoměrný pohyb tělesa po kružnici. Toto je nejjednodušší forma křivočarého pohybu. Přitom každý složitý křivočarý pohyb tělesa na dostatečně malém úseku jeho trajektorie lze přibližně považovat za rovnoměrný pohyb po kružnici.

Takový pohyb vykonávají body rotujících kol, rotorů turbín, umělých satelitů otáčejících se po drahách atd. Při rovnoměrném pohybu po kruhu zůstává číselná hodnota rychlosti konstantní. Směr rychlosti při takovém pohybu se však neustále mění.

Rychlost tělesa v libovolném bodě křivočaré trajektorie směřuje tečně k trajektorii v tomto bodě. To lze vidět pozorováním práce brusného kamene ve tvaru kotouče: přitlačením konce ocelové tyče k rotujícímu kameni můžete vidět horké částice odcházející z kamene. Tyto částice létají stejnou rychlostí, jakou měly v okamžiku oddělení od kamene. Směr jisker se vždy shoduje s tečnou ke kružnici v místě, kde se tyč dotýká kamene. Ke kruhu se tečně pohybují i spreje z kol smyku.

Okamžitá rychlost tělesa v různých bodech křivočaré trajektorie má tedy různé směry, přičemž modul rychlosti může být buď všude stejný, nebo se může bod od bodu měnit. Ale i když se modul rychlosti nezmění, stále jej nelze považovat za konstantní. Rychlost je totiž vektorová veličina a pro vektorové veličiny jsou stejně důležité modul a směr. Proto křivočarý pohyb je vždy zrychlený, i když je modul rychlosti konstantní.

Křivočarý pohyb může změnit modul rychlosti a jeho směr. Nazývá se křivočarý pohyb, při kterém modul rychlosti zůstává konstantní rovnoměrný křivočarý pohyb. Zrychlení při takovém pohybu je spojeno pouze se změnou směru vektoru rychlosti.

Modul i směr zrychlení musí záviset na tvaru zakřivené trajektorie. Není však nutné zvažovat každou z jeho nesčetných forem. Znázorněním každé sekce jako samostatné kružnice s určitým poloměrem bude problém hledání zrychlení v křivočarém rovnoměrném pohybu redukován na nalezení zrychlení v rovnoměrném pohybu tělesa po kružnici.

Rovnoměrný pohyb v kruhu je charakterizován periodou a frekvencí oběhu.

Doba, kterou tělo potřebuje k provedení jedné otáčky, se nazývá oběhové období.

Při rovnoměrném pohybu po kružnici se doba otáčení určí vydělením ujeté vzdálenosti, tedy obvodu kružnice rychlostí pohybu:

Reciproční období se nazývá cirkulační frekvence, označený písmenem ν . Počet otáček za jednotku času ν volala cirkulační frekvence:

Vlivem plynulé změny směru rychlosti má těleso pohybující se po kružnici zrychlení, které charakterizuje rychlost změny v jeho směru, číselná hodnota rychlosti se v tomto případě nemění.

Pohybuje-li se těleso rovnoměrně po kružnici, zrychlení v kterémkoli bodě v něm směřuje vždy kolmo k rychlosti pohybu po poloměru kružnice do jejího středu a nazývá se tzv. dostředivé zrychlení.

Chcete-li zjistit jeho hodnotu, zvažte poměr změny vektoru rychlosti k časovému intervalu, po který k této změně došlo. Vzhledem k tomu, že úhel je velmi malý, pak máme.

Protože lineární rychlost rovnoměrně mění směr, pohyb po kružnici nelze nazvat rovnoměrným, je rovnoměrně zrychlený.

Úhlová rychlost

Období a frekvence

Doba střídání T je čas, který tělu trvá udělat jednu otáčku.

RPM je počet otáček za sekundu.

Frekvence a období souvisí se vztahem

Vztah s úhlovou rychlostí

Rychlost linky

Uvažujme bod na kružnici, který udělá jednu otáčku, čas, který stráví - to je období T. Dráha, kterou bod prochází, je obvodem kruhu.

dostředivé zrychlení

Při pohybu po kružnici je vektor zrychlení vždy kolmý k vektoru rychlosti, směrovaný do středu kružnice.

Pomocí předchozích vzorců můžeme odvodit následující vztahy

Pokud se těleso ležící na disku otáčí spolu s diskem kolem své osy, pak je taková síla silou tření. Pokud síla přestane působit, pak se těleso bude dále pohybovat přímočaře

Uvažujme pohyb bodu na kružnici z A do B. Lineární rychlost je rovna v A a v B respektive. Zrychlení je změna rychlosti za jednotku času. Pojďme najít rozdíl vektorů.