Тази статия обсъжда как да намерите стойностите на математически изрази. Нека започнем с прости числови изрази и след това ще разгледаме случаите с нарастването на тяхната сложност. Накрая даваме израз, съдържащ буквени обозначения, скоби, корени, специални математически знаци, степени, функции и др. Цялата теория, по традиция, ще бъде снабдена с изобилие и подробни примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как да намеря стойността на числов израз?

Числовите изрази, наред с други неща, помагат да се опише състоянието на проблема на математически език. Като цяло математическите изрази могат да бъдат или много прости, състоящи се от двойка числа и аритметични знаци, или много сложни, съдържащи функции, степени, корени, скоби и т.н. Като част от задачата често е необходимо да се намери стойността на израз. Как да направите това ще бъде обсъдено по-долу.

Най-простите случаи

Това са случаи, в които изразът не съдържа нищо освен числа и аритметика. За да намерите успешно стойностите на такива изрази, ще ви трябват познания за реда, в който се извършват аритметичните операции без скоби, както и способността да извършвате операции с различни числа.

Ако изразът съдържа само числа и аритметични знаци " + " , " · " , " - " , " ÷ " , тогава операциите се извършват отляво надясно в следния ред: първо умножение и деление, след това събиране и изваждане. Да дадем примери.

Пример 1. Стойността на числов израз

Нека е необходимо да се намерят стойностите на израза 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .

Нека първо направим умножението и делението. Получаваме:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Сега изваждаме и получаваме крайния резултат:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Пример 2. Стойността на числов израз

Нека изчислим: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Първо извършваме преобразуване на дроби, деление и умножение:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Сега нека направим събиране и изваждане. Нека групираме дробите и ги доведем до общ знаменател:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Желаната стойност е намерена.

Изрази със скоби

Ако изразът съдържа скоби, тогава те определят реда на действията в този израз. Първо се изпълняват действията в скоби, а след това всички останали. Нека покажем това с пример.

Пример 3. Стойността на числов израз

Намерете стойността на израза 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

Изразът съдържа скоби, така че първо извършваме операцията изваждане в скоби и едва след това умножението.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Стойността на изразите, съдържащи скоби в скоби, се намира по същия принцип.

Пример 4. Стойността на числов израз

Нека изчислим стойността 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Ще извършим действия, започвайки от най-вътрешните скоби, преминавайки към външните.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

При намирането на стойностите на изрази със скоби, основното е да следвате последователността от действия.

Изрази с корени

Математически изрази, чиито стойности трябва да намерим, могат да съдържат коренни знаци. Освен това самият израз може да бъде под знака на корена. Как да бъдем в такъв случай? Първо трябва да намерите стойността на израза под корена и след това да извлечете корена от полученото число. Ако е възможно, по-добре е да се отървете от корените в числови изрази, като замените от с числови стойности.

Пример 5. Стойността на числов израз

Нека изчислим стойността на израза с корени - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Първо, изчисляваме радикалните изрази.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Сега можем да изчислим стойността на целия израз.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Често, за да се намери стойността на израз с корени, често е необходимо първо да се трансформира оригиналният израз. Нека обясним това с друг пример.

Пример 6. Стойността на числов израз

Колко е 3 + 1 3 - 1 - 1

Както можете да видите, ние нямаме възможност да заменим корена с точна стойност, което усложнява процеса на броене. В този случай обаче можете да приложите формулата за съкратено умножение.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

По този начин:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Изрази със степени

Ако изразът съдържа степени, техните стойности трябва да бъдат изчислени, преди да продължите с всички други действия. Случва се самият показател или основата на степента да са изрази. В този случай първо се изчислява стойността на тези изрази, а след това стойността на степента.

Пример 7. Стойността на числов израз

Намерете стойността на израза 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Започваме да изчисляваме по ред.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Остава само да извършите операцията за добавяне и да разберете стойността на израза:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Също така често се препоръчва да се опрости изразът, като се използват свойствата на степента.

Пример 8. Стойността на числов израз

Нека изчислим стойността на следния израз: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Показателите отново са такива, че точните им числени стойности не могат да бъдат получени. Опростете оригиналния израз, за ​​да намерите неговата стойност.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Изрази с дроби

Ако изразът съдържа дроби, тогава при изчисляване на такъв израз всички дроби в него трябва да бъдат представени като обикновени дробии изчислете техните стойности.

Ако има изрази в числителя и знаменателя на фракцията, първо се изчисляват стойностите на тези изрази и се записва крайната стойност на самата фракция. Аритметичните операции се извършват в стандартния ред. Нека разгледаме примерно решение.

Пример 9. Стойността на числов израз

Нека намерим стойността на израза, съдържащ дроби: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Както можете да видите, има три дроби в оригиналния израз. Нека първо изчислим техните стойности.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Нека пренапишем нашия израз и изчислим стойността му:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Често, когато намирате стойностите на изразите, е удобно да намалите дробите. Има негласно правило: преди да намерите стойността му, най-добре е да опростите всеки израз до максимум, като намалите всички изчисления до най-простите случаи.

Пример 10. Стойността на числов израз

Нека пресметнем израза 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Не можем напълно да извлечем корен от пет, но можем да опростим оригиналния израз чрез трансформации.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Оригиналният израз приема формата:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Нека изчислим стойността на този израз:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Изрази с логаритми

Когато в израз присъстват логаритми, тяхната стойност, ако е възможно, се изчислява от самото начало. Например в израза log 2 4 + 2 4 можете веднага да запишете стойността на този логаритъм вместо log 2 4 и след това да изпълните всички действия. Получаваме: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Числовите изрази могат да бъдат намерени и под знака на логаритъма и в неговата основа. В този случай първата стъпка е да се намерят техните стойности. Нека вземем израза log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Ние имаме:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Ако е невъзможно да се изчисли точната стойност на логаритъма, опростяването на израза помага да се намери неговата стойност.

Пример 11. Стойността на числов израз

Намерете стойността на израза log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Според свойството на логаритмите:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Отново прилагайки свойствата на логаритмите, за последната дроб в израза получаваме:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Сега можете да продължите към изчисляването на стойността на оригиналния израз.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Изрази с тригонометрични функции

Случва се в израза да има тригонометрични функции на синус, косинус, тангенс и котангенс, както и функции, които са обратни на тях. От стойността се изчисляват, преди да бъдат извършени всички други аритметични операции. В противен случай изразът е опростен.

Пример 12. Стойността на числов израз

Намерете стойността на израза: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Първо, изчисляваме стойностите на тригонометричните функции, включени в израза.

грях - 5 π 2 \u003d - 1

Заменете стойностите в израза и изчислете стойността му:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Стойността на израза е намерена.

Често, за да се намери стойността на израз с тригонометрични функции, той трябва първо да бъде преобразуван. Нека обясним с пример.

Пример 13. Стойността на числов израз

Необходимо е да се намери стойността на израза cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

За трансформацията ще използваме тригонометричните формули за косинуса на двойния ъгъл и косинуса на сумата.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Общ случай на числово изразяване

В общия случай тригонометричният израз може да съдържа всички елементи, описани по-горе: скоби, степени, корени, логаритми, функции. Да формулираме общо правилонамиране на стойностите на такива изрази.

Как да намерим стойността на израз

1. Корени, степени, логаритми и др. се заменят с техните ценности.
2. Действията в скоби се изпълняват.
3. Останалите стъпки се изпълняват в ред отляво надясно. Първо - умножение и деление, след това - събиране и изваждане.

Да вземем пример.

Пример 14. Стойността на числов израз

Нека изчислим каква е стойността на израза - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Изразът е доста сложен и тромав. Неслучайно избрахме точно такъв пример, опитвайки се да вместим в него всички случаи, описани по-горе. Как да намерим стойността на такъв израз?

Известно е, че при изчисляване на стойността на сложна дробна форма първо се намират съответно отделно стойностите на числителя и знаменателя на дробта. Ние последователно ще трансформираме и опростяваме този израз.

Първо, изчисляваме стойността на радикалния израз 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. За да направите това, трябва да намерите стойността на синуса и израза, който е аргумент на тригонометричната функция.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Сега можете да разберете стойността на синуса:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Изчисляваме стойността на радикалния израз:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Със знаменателя на дроб всичко е по-лесно:

Сега можем да запишем стойността на цялата дроб:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Имайки това предвид, ние записваме целия израз:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Краен резултат:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

В този случай успяхме да изчислим точните стойности за корени, логаритми, синуси и т.н. Ако това не е възможно, можете да се опитате да се отървете от тях чрез математически трансформации.

Изчисляване на изрази по рационални начини

Числените стойности трябва да се изчисляват последователно и точно. Този процес може да бъде рационализиран и ускорен чрез използване на различни свойства на операциите с числа. Например, известно е, че произведението е равно на нула, ако поне един от факторите е равен на нула. Имайки предвид това свойство, можем веднага да кажем, че изразът 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 е равен на нула. В този случай изобщо не е необходимо да изпълнявате стъпките в реда, описан в статията по-горе.

Също така е удобно да се използва свойството за изваждане равни числа. Без да извършвате каквито и да е действия, е възможно да наредите стойността на израза 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 също да е равна на нула.

Друга техника, която ви позволява да ускорите процеса, е използването на идентични трансформации, като групиране на термини и фактори и изваждане на общия фактор извън скоби. Рационален подход за изчисляване на изрази с дроби е да се намалят същите изрази в числителя и знаменателя.

Например, нека вземем израза 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Без да извършваме действия в скоби, но като намалим дробта, можем да кажем, че стойността на израза е 1 3 .

Намиране на стойностите на изрази с променливи

Стойността на буквален израз и израз с променливи се намира за конкретни зададени стойности на букви и променливи.

Намиране на стойностите на изрази с променливи

За да намерите стойността на буквален израз и израз с променливи, трябва да замените дадените стойности на букви и променливи в оригиналния израз и след това да изчислите стойността на получения числов израз.

Пример 15. Стойността на израз с променливи

Изчислете стойността на израза 0, 5 x-y при дадени x = 2, 4 и y = 5.

Заместваме стойностите на променливите в израза и изчисляваме:

0.5 x - y = 0.5 2.4 - 5 = 1.2 - 5 = - 3.8.

Понякога е възможно да се трансформира израз по такъв начин, че да се получи неговата стойност, независимо от стойностите на буквите и променливите, включени в него. За да направите това, е необходимо да се отървете от букви и променливи в израза, ако е възможно, като използвате идентични трансформации, свойства на аритметични операции и всички възможни други методи.

Например, изразът x + 3 - x очевидно има стойност 3 и не е необходимо да се знае стойността на x, за да се изчисли тази стойност. Стойността на този израз е равна на три за всички стойности на променливата x от неговия диапазон от валидни стойности.

Още един пример. Стойността на израза x x е равна на единица за всички положителни x.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Първо ниво

Преобразуване на изрази. Подробна теория (2019)

Преобразуване на изрази

Често чуваме тази неприятна фраза: "опростете израза". Обикновено в този случай имаме някакъв вид чудовище като това:

„Да, много по-лесно“, казваме ние, но такъв отговор обикновено не работи.

Сега ще ви науча да не се страхувате от подобни задачи. Освен това в края на урока вие сами ще опростите този пример до (само!) обикновено число (да, по дяволите с тези букви).

Но преди да започнете този урок, трябва да можете да боравите с дроби и множители на полиноми. Ето защо, първо, ако не сте правили това преди, не забравяйте да овладеете темите "" и "".

Прочети? Ако да, значи сте готови.

Основни операции за опростяване

Сега ще анализираме основните техники, които се използват за опростяване на изрази.

Най-простият от тях е

1. Привеждане на подобни

Кои са подобни? Преминали сте през това в 7 клас, когато за първи път в математиката се появиха букви вместо числа. Подобни са термини (мономи) с еднаква буквена част. Например, в сумата подобни членове са и.

Спомняте ли си?

Да донесете подобни термини означава да добавите няколко подобни термина един към друг и да получите един термин.

Но как можем да сглобим буквите? - ти питаш.

Това е много лесно за разбиране, ако си представите, че буквите са някакви предмети. Например буквата е стол. Тогава какъв е изразът? Два стола плюс три стола, колко ще бъде? Точно така, столове: .

Сега опитайте този израз:

За да не се объркате, нека различни букви означават различни предмети. Например, - това е (както обикновено) стол, и - това е маса. Тогава:

столове маси столове маси столове столове маси

Наричат ​​се числата, с които се умножават буквите в такива термини коефициенти. Например в монома коефициентът е равен. И той е равен.

И така, правилото за привеждане на подобни:

Примери:

Донесете подобни:

Отговори:

2. (и са подобни, тъй като, следователно, тези термини имат една и съща буквена част).

2. Разлагане на множители

Обикновено това е най-важната част от опростяването на изрази. След като сте дали подобни, най-често полученият израз трябва да бъде факторизиран, тоест представен като продукт. Това е особено важно при дробите: в крайна сметка, за да се намали дроб, числителят и знаменателят трябва да бъдат представени като произведение.

Вие преминахте през подробните методи за разлагане на изрази в темата "", така че тук просто трябва да запомните какво сте научили. За да направите това, решете няколко примери(да се разложи):

Решения:

3. Намаляване на фракцията.

Е, какво по-хубаво от това да зачеркнеш част от числителя и знаменателя и да ги изхвърлиш от живота си?

Това е красотата на съкращението.

Просто е:

Ако числителят и знаменателят съдържат едни и същи множители, те могат да бъдат намалени, тоест премахнати от дробта.

Това правило следва от основното свойство на дробта:

Тоест, същността на операцията по редукция е тази Делим числителя и знаменателя на една дроб на едно и също число (или на един и същи израз).

За да намалите дроб, трябва:

1) числител и знаменател факторизирам

2) ако числителят и знаменателят съдържат общи фактори, те могат да бъдат изтрити.

Принципът, мисля, е ясен?

Бих искал да обърна внимание на една типична грешка в съкращението. Въпреки че тази тема е проста, но много хора правят всичко погрешно, без да осъзнават това разрез- това означава разделямчислител и знаменател с едно и също число.

Без съкращения, ако числителят или знаменателят е сумата.

Например: трябва да опростите.

Някои правят това: което е абсолютно погрешно.

Друг пример: намали.

"Най-умният" ще направи това:.

Кажи ми какво не е наред тук? Изглежда: - това е множител, така че можете да намалите.

Но не: - това е множител само на един член в числителя, но самият числител като цяло не се разлага на множители.

Ето още един пример: .

Този израз се разлага на множители, което означава, че можете да намалите, тоест да разделите числителя и знаменателя на и след това на:

Можете веднага да разделите на:

За да избегнете подобни грешки, запомнете лесен начинкак да определим дали даден израз е факторизиран:

Аритметичната операция, която се извършва последна при изчисляване на стойността на израза, е "основната". Тоест, ако замените някои (произволни) числа вместо букви и се опитате да изчислите стойността на израза, тогава ако последното действие е умножение, тогава имаме продукт (изразът се разлага на множители). Ако последното действие е събиране или изваждане, това означава, че изразът не е разложен на множители (и следователно не може да бъде намален).

За да го поправите, решете го сами няколко примери:

Отговори:

1. Надявам се, че не сте се втурнали веднага да режете и? Все още не беше достатъчно да се „намалят“ единици по този начин:

Първата стъпка трябва да бъде факторизиране:

4. Събиране и изваждане на дроби. Привеждане на дроби към общ знаменател.

Добавянето и изваждането на обикновени дроби е добре позната операция: търсим общ знаменател, умножаваме всяка дроб по липсващия фактор и събираме/изваждаме числителите. Да си припомним:

Отговори:

1. Знаменателите и са взаимно прости, т.е. нямат общи множители. Следователно LCM на тези числа е равен на техния продукт. Това ще бъде общият знаменател:

2. Тук общият знаменател е:

3. Тук, на първо място, превръщаме смесените дроби в неправилни, а след това - според обичайната схема:

Съвсем друг въпрос е, ако дробите съдържат букви, например:

Да започнем просто:

а) Знаменателите не съдържат букви

Тук всичко е същото като при обикновените числови дроби: намираме общ знаменател, умножаваме всяка дроб по липсващия фактор и добавяме / изваждаме числителите:

сега в числителя можете да донесете подобни, ако има такива, и да ги факторизирате:

Опитайте сами:

б) Знаменателите съдържат букви

Нека си припомним принципа за намиране на общ знаменател без букви:

На първо място, ние определяме общите фактори;

След това изписваме всички общи множители веднъж;

и ги умножете по всички други фактори, а не по обичайните.

За да определим общите множители на знаменателите, първо ги разлагаме на прости множители:

Подчертаваме общите фактори:

Сега изписваме общите фактори веднъж и добавяме към тях всички необичайни (неподчертани) фактори:

Това е общият знаменател.

Да се ​​върнем на писмата. Знаменателите са дадени по абсолютно същия начин:

Разлагаме знаменателите на множители;

определяне на общи (еднакви) множители;

изпишете всички общи множители веднъж;

Ние ги умножаваме по всички други фактори, а не по обичайните.

И така, по ред:

1) разложете знаменателите на фактори:

2) определят общите (идентични) фактори:

3) напишете всички общи множители веднъж и ги умножете по всички останали (неподчертани) множители:

Така че общият знаменател е тук. Първата дроб трябва да се умножи по, втората - по:

Между другото, има един трик:

Например: .

Виждаме същите фактори в знаменателите, само всички с различни показатели. Общият знаменател ще бъде:

до степента

до степента

до степента

в степен.

Нека усложним задачата:

Как да накарам дробите да имат еднакъв знаменател?

Нека си припомним основното свойство на дробта:

Никъде не се казва, че едно и също число може да се извади (или добави) от числителя и знаменателя на дроб. Защото не е истина!

Вижте сами: вземете произволна дроб, например, и добавете някакво число към числителя и знаменателя, например, . Какво е научено?

И така, още едно непоклатимо правило:

Когато привеждате дроби към общ знаменател, използвайте само операцията умножение!

Но какво трябва да умножите, за да получите?

Тук и умножете. И умножете по:

Изрази, които не могат да бъдат факторизирани, ще се наричат ​​"елементарни множители". Например, е елементарен фактор. - също. Но – не: разлага се на фактори.

Какво ще кажете за изразяването? Елементарно ли е?

Не, защото може да се разложи на фактори:

(вече прочетохте за факторизацията в темата "").

И така, елементарните множители, на които разлагате израз с букви, са аналог на простите множители, на които разлагате числата. И ние ще направим същото с тях.

Виждаме, че и двата знаменателя имат множител. Ще отиде до общия знаменател във властта (помнете защо?).

Множителят е елементарен и те нямат общо, което означава, че първата дроб просто ще трябва да бъде умножена по него:

Друг пример:

Решение:

Преди да умножите тези знаменатели в паника, трябва да помислите как да ги разделите? И двете представляват:

Отлично! Тогава:

Друг пример:

Решение:

Както обикновено, разлагаме знаменателите на множители. В първия знаменател просто го поставяме извън скоби; във втория - разликата на квадратите:

Изглежда, че няма общи фактори. Но ако се вгледате внимателно, те вече са толкова сходни ... И истината е:

Така че нека напишем:

Тоест, получи се така: вътре в скобата сменихме условията и в същото време знакът пред дробта се промени на противоположния. Обърнете внимание, ще трябва да правите това често.

Сега привеждаме към общ знаменател:

Схванах го? Сега да проверим.

Задачи за самостоятелно решаване:

Отговори:

Тук трябва да запомним още нещо - разликата на кубчетата:

Моля, обърнете внимание, че знаменателят на втората дроб не съдържа формулата "квадрат на сумата"! Квадратът на сбора ще изглежда така:

А е така нареченият непълен квадрат на сбора: вторият член в него е произведението на първия и последния, а не техният удвоен продукт. Непълният квадрат на сбора е един от факторите в разширяването на разликата на кубовете:

Ами ако вече има три дроби?

Да, същото! Първо, нека го направим така максимална сумафакторите в знаменателите са еднакви:

Обърнете внимание: ако промените знаците в една скоба, знакът пред дробта се променя на противоположния. Когато сменим знаците във втората скоба, знакът пред дробта отново се обръща. В резултат на това той (знакът пред дробта) не се е променил.

Изписваме първия знаменател изцяло в общия знаменател и след това добавяме към него всички множители, които все още не са записани, от втория, а след това от третия (и така нататък, ако има повече дроби). Тоест става така:

Хм ... С дроби е ясно какво да правим. Но какво да кажем за двамата?

Просто е: знаете как да събирате дроби, нали? Така че, трябва да сте сигурни, че двойката става дроб! Запомнете: дробта е операция за деление (числителят се дели на знаменателя, в случай че внезапно сте забравили). И няма нищо по-лесно от това да разделите число на. В този случай самото число няма да се промени, а ще се превърне в дроб:

Точно това, което е необходимо!

5. Умножение и деление на дроби.

Е, най-трудната част вече свърши. И пред нас е най-простото, но в същото време и най-важното:

Процедура

Каква е процедурата за изчисляване на числов израз? Запомнете, имайки предвид стойността на такъв израз:

броихте ли

Би трябвало да работи.

И така, напомням ви.

Първата стъпка е да се изчисли степента.

Второто е умножение и деление. Ако има няколко умножения и деления едновременно, можете да ги правите в произволен ред.

И накрая, извършваме събиране и изваждане. Отново в произволен ред.

Но: изразът в скоби се изчислява неправилно!

Ако няколко скоби се умножат или разделят една на друга, първо оценяваме израза във всяка от скобите и след това ги умножаваме или разделяме.

Ами ако има други скоби вътре в скобите? Добре, нека помислим: в скобите е записан някакъв израз. Какво е първото нещо, което трябва да направите, когато оценявате израз? Точно така, изчислете скоби. Е, разбрахме го: първо изчисляваме вътрешните скоби, след това всичко останало.

И така, редът на действията за израза по-горе е както следва (текущото действие е маркирано в червено, тоест действието, което изпълнявам в момента):

Добре, всичко е просто.

Но това не е същото като израз с букви, нали?

Не, същото е! Само вместо аритметични операции е необходимо да се извършват алгебрични операции, т.е. операциите, описани в предишния раздел: привеждане на подобни, събиране на дроби, съкращаване на дроби и т.н. Единствената разлика ще бъде действието на факторизиране на полиномите (често го използваме, когато работим с дроби). Най-често за факторизиране трябва да използвате i или просто да извадите общия множител извън скоби.

Обикновено нашата цел е да представим израз като произведение или частно.

Например:

Нека опростим израза.

1) Първо опростяваме израза в скоби. Там имаме разликата на дробите и нашата цел е да я представим като произведение или частно. И така, привеждаме дробите към общ знаменател и добавяме:

Невъзможно е да се опрости този израз допълнително, всички фактори тук са елементарни (все още помните ли какво означава това?).

2) Получаваме:

Умножение на дроби: какво може да бъде по-лесно.

3) Сега можете да съкратите:

Добре, всичко свърши. Нищо сложно, нали?

Друг пример:

Опростете израза.

Първо се опитайте да го решите сами и едва след това погледнете решението.

Първо, нека дефинираме процедурата. Първо, нека добавим дробите в скоби, вместо две дроби ще се получи една. След това ще направим разделяне на дроби. Добре, събираме резултата с последната дроб. Ще номерирам схематично стъпките:

Сега ще покажа целия процес, оцветявайки текущото действие с червено:

Накрая ще ви дам два полезни съвета:

1. Ако има подобни, трябва да се донесат веднага. В който и момент да имаме подобни е препоръчително да ги донесем веднага.

2. Същото важи и за намаляването на дроби: веднага щом възникне възможност за намаляване, тя трябва да се използва. Изключение правят дробите, които добавяте или изваждате: ако те сега имат еднакви знаменатели, тогава намаляването трябва да се остави за по-късно.

Ето някои задачи, които можете да решите сами:

И обеща в самото начало:

Решения (накратко):

Ако сте се справили поне с първите три примера, тогава смятайте, че сте усвоили темата.

Сега към ученето!

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ИЗРАЗ. ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Основни операции за опростяване:

• Привеждане на подобни: за да добавите (намалите) подобни термини, трябва да добавите техните коефициенти и да зададете буквената част.
• Факторизация:изваждане на общия множител извън скоби, прилагане и т.н.
• Намаляване на фракцията: числителят и знаменателят на дроб могат да бъдат умножени или разделени на едно и също ненулево число, от което стойността на дробта не се променя.
  1) числител и знаменател факторизирам
  2) ако има общи множители в числителя и знаменателя, те могат да бъдат задраскани.

  ВАЖНО: могат да се намаляват само множителите!

• Събиране и изваждане на дроби:
  ;
• Умножение и деление на дроби:
  ;

Числовият израз е запис на числа във връзка с аритметични операции и скоби. Когато променливите се използват в израз заедно с числа и целият израз е съставен със значение, тогава той се нарича алгебричен (буквален) израз. Ако изразът съдържа директни, производни, обратни и други тригонометрични функции, тогава изразът се нарича тригонометричен. Голям брой примери и задачи, използващи различни изрази, са подробно описани в училищния курс по математика.

Основните неща, които трябва да запомните:

1. Стойността на числов изразще бъде числото, получено чрез извършване на аритметични операции в този израз. Основното нещо е последователното извършване на аритметични операции. За опростяване на цялата операция, стъпките могат да бъдат номерирани. Ако изразът съдържа скоби, тогава първо извършваме действието, съответстващо на знака в скоби. Степенуването ще бъде следващата стъпка. На следващо място по приоритет извършваме умножение или деление и едва в самия край събиране и изваждане.

Сега нека намерим стойността на числовия израз 5+20*(60-45). Нека първо се отървем от скобите. Извършвайки действието, получаваме 60-45=15. Сега имаме 5+20*15. Следващото действие е умножение 20*15=300. И последното действие ще бъде събиране, изпълняваме го и получаваме крайния резултат 5 + 300 = 305.

2. Под известен ъгъл?Когато работите с тригонометрични изрази, ще ви трябват познания по осн тригонометрични формулиза да помогне за опростяване на израза. Нека намерим стойността на израза cos 12? cos 18? - sin 12? грях 18?. За да опростим този израз, използваме формулата cos (? +?) = cos? защото? - грях? sin?, тогава получаваме cos 12? cos 18? - sin 12? sin 18?= cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.

3. Изрази с променливи.Трябва да се помни, че стойността на алгебричния израз директно зависи от променливата. Променливите могат да бъдат обозначени с букви от гръцката или латинската азбука. Когато имаме зададените параметри на алгебричен израз, първо трябва да го опростим. След това е необходимо да се заменят дадените променливи и да се извършат аритметични операции. В резултат на това с дадените променливи ще получим число, което ще бъде стойността на алгебричния израз. Помислете за пример, в който трябва да намерите стойността на израза 3(a+y)+2(3a+2y) с a=4 и y=5. Опростете този израз и получете 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Сега трябва да замените стойността на променливите и да изчислите, полученият резултат ще бъде стойността на израза. Така че имаме 9a+7y с a=4 и y=5, получаваме 36+35=71. Имайте предвид, че алгебричните изрази не винаги имат смисъл. Например изразът 15:(b-4) има смисъл за всяко b, различно от b =4.

Сега, след като се научихме как да събираме и умножаваме отделни дроби, можем да разгледаме повече сложни структури. Например, какво ще стане, ако събирането, изваждането и умножението на дроби се появят в една задача?

На първо място, трябва да преобразувате всички дроби в неправилни. След това последователно извършваме необходимите действия - в същия ред, както при обикновените числа. а именно:

1. Първо се извършва степенуване - отървете се от всички изрази, съдържащи степени;
2. След това - деление и умножение;
3. Последната стъпка е събиране и изваждане.

Разбира се, ако в израза има скоби, редът на действията се променя - първо трябва да се вземе предвид всичко, което е вътре в скобите. И не забравяйте за неправилните дроби: трябва да изберете цялата част само когато всички други действия вече са завършени.

Нека преведем всички дроби от първия израз в неправилни и след това изпълним следните действия:

Сега нека намерим стойността на втория израз. Тук дроби с цяла частне, но има скоби, така че първо правим събирането и едва след това делението. Обърнете внимание, че 14 = 7 2 . Тогава:

И накрая, разгледайте третия пример. Тук има скоби и степен - по-добре е да ги броите отделно. Като се има предвид, че 9 = 3 3 , имаме:

Обърнете внимание на последния пример. За да повдигнете дроб на степен, трябва отделно да повдигнете числителя на тази степен и отделно знаменателя.

Можете да решите различно. Ако си припомним дефиницията на степента, проблемът ще бъде намален до обичайното умножение на дроби:

Многоетажни фракции

Досега разглеждахме само "чисти" дроби, когато числителят и знаменателят са обикновени числа. Това е в съответствие с определението за числова дроб, дадено в първия урок.

Но какво ще стане, ако в числителя или знаменателя е поставен по-сложен обект? Например друга числена дроб? Такива конструкции се срещат доста често, особено при работа с дълги изрази. Ето няколко примера:

Има само едно правило за работа с многоетажни фракции: трябва незабавно да се отървете от тях. Премахването на "допълнителни" етажи е доста просто, ако си спомняте, че дробната лента означава стандартната операция за разделяне. Следователно всяка дроб може да бъде пренаписана, както следва:

Възползвайки се от този факт и следвайки процедурата, лесно можем да намалим всяка многоетажна фракция до обикновена. Разгледайте примерите:

Задача. Преобразувайте многоетажни дроби в обикновени:

Във всеки случай пренаписваме основната дроб, като заменяме разделителната линия със знак за деление. Също така не забравяйте, че всяко цяло число може да бъде представено като дроб със знаменател 1. Тоест, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаваме:

В последния пример дробите бяха намалени преди окончателното умножение.

Спецификата на работа с многоетажни фракции

Има една тънкост в многоетажните фракции, която винаги трябва да се помни, в противен случай можете да получите грешен отговор, дори ако всички изчисления са правилни. Погледни:

1. В числителя има отделно число 7, а в знаменателя - дробта 12/5;
2. Числителят е дробта 7/12, а знаменателят е единственото число 5.

И така, за един запис получихме две напълно различни интерпретации. Ако броите, отговорите също ще бъдат различни:

За да сте сигурни, че записът винаги се чете недвусмислено, използвайте просто правило: разделителната линия на основната фракция трябва да е по-дълга от вложената линия. За предпочитане няколко пъти.

Ако следвате това правило, горните дроби трябва да бъдат записани, както следва:

Да, вероятно е грозен и заема твърде много място. Но ще сметнеш правилно. И накрая, няколко примера, при които наистина се срещат дроби на много нива:

Задача. Намерете стойностите на израза:

И така, нека работим с първия пример. Нека преобразуваме всички дроби в неправилни и след това изпълним операциите за събиране и деление:

Нека направим същото с втория пример. Преобразувайте всички дроби в неправилни и изпълнете необходимите операции. За да не отегчавам читателя, ще пропусна някои очевидни изчисления. Ние имаме:

Поради факта, че числителят и знаменателят на главните дроби съдържат суми, правилото за изписване на многоетажни дроби се спазва автоматично. Освен това в последния пример съзнателно оставихме числото 46/1 под формата на дроб, за да извършим делението.

Също така отбелязвам, че и в двата примера дробната лента всъщност замества скобите: първо намерихме сумата и едва след това - частното.

Някой ще каже, че преходът към неправилни дроби във втория пример е очевидно излишен. Може би това е така. Но така се застраховаме от грешки, защото следващият път примерът може да се окаже доста по-сложен. Изберете сами кое е по-важно: скорост или надеждност.

аз Изрази, в които заедно с букви могат да се използват числа, знаци на аритметични операции и скоби, се наричат ​​алгебрични изрази.

Примери за алгебрични изрази:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4а + 2б); a 2 - 2ab;

Тъй като буква в алгебричен израз може да бъде заменена с няколко различни числа, буквата се нарича променлива, а самата буква алгебричен израз- израз с променлива.

II. Ако в алгебричен израз буквите (променливите) се заменят с техните стойности и се извършат посочените действия, тогава полученото число се нарича стойност на алгебричния израз.

Примери. Намерете стойността на израз:

1) a + 2b -c за a = -2; b = 10; с = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| при х = -8; y=-5; z = 6.

Решение.

1) a + 2b -c за a = -2; b = 10; с = -3,5. Вместо променливи, заместваме техните стойности. Получаваме:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| при х = -8; y=-5; z = 6. Заменяме посочените стойности. Не забравяйте, че модулът отрицателно числое равно на противоположното му число и модула положително числоравно на това число. Получаваме:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.Стойностите на буква (променлива), за които алгебричният израз има смисъл, се наричат ​​валидни стойности на буквата (променлива).

Примери. При какви стойности на променливата изразът няма смисъл?

Решение.Знаем, че е невъзможно да се раздели на нула, следователно всеки от тези изрази няма да има смисъл със стойността на буквата (променливата), която превръща знаменателя на дробта в нула!

В пример 1) това е стойността a = 0. Наистина, ако вместо a заместим 0, тогава числото 6 ще трябва да бъде разделено на 0, но това не може да стане. Отговор: израз 1) няма смисъл, когато a = 0.

В пример 2) знаменателят x - 4 = 0 при x = 4, следователно тази стойност x = 4 и не може да бъде взета. Отговор: израз 2) няма смисъл за x = 4.

В пример 3) знаменателят е x + 2 = 0 за x = -2. Отговор: израз 3) няма смисъл при x = -2.

В пример 4) знаменателят е 5 -|x| = 0 за |x| = 5. И тъй като |5| = 5 и |-5| \u003d 5, тогава не можете да вземете x \u003d 5 и x \u003d -5. Отговор: израз 4) няма смисъл за x = -5 и за x = 5.
IV. Два израза се наричат ​​идентично равни, ако за всякакви допустими стойности на променливите съответните стойности на тези изрази са равни.

Пример: 5 (a - b) и 5a - 5b са идентични, тъй като равенството 5 (a - b) = 5a - 5b ще бъде вярно за всякакви стойности на a и b. Равенство 5 (a - b) = 5a - 5b е идентичност.

Идентичност е равенство, което е валидно за всички допустими стойности на променливите, включени в него. Примери за тъждества, които вече са ви известни, са например свойствата на събиране и умножение, свойството на разпределение.

Замяната на един израз с друг, тъждествено равен на него, се нарича тъждествено преобразуване или просто преобразуване на израз. Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват въз основа на свойствата на операциите с числа.

Примери.

а)преобразувайте израза в идентично равен, като използвате разпределителното свойство на умножението:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Решение. Спомнете си разпределителното свойство (закон) на умножението:

(a+b) c=a c+b c(закон за разпределение на умножението по отношение на събирането: за да умножите сумата от две числа по трето число, можете да умножите всеки член по това число и да добавите резултатите).
(a-b) c=a c-b c(закон за разпределение на умножението по отношение на изваждането: за да умножите разликата на две числа по трето число, можете да умножите по това число, намалено и извадено отделно и да извадите второто от първия резултат).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

б)преобразувайте израза в идентично равен, като използвате комутативните и асоциативни свойства (закони) на събирането:

4) х + 4,5 + 2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

Решение.Прилагаме законите (свойствата) на събирането:

a+b=b+a(преместване: сборът не се променя от пренареждането на членовете).
(a+b)+c=a+(b+c)(асоциативно: за да добавите трето число към сумата от два члена, можете да добавите сумата от второто и третото към първото число).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

в)преобразувайте израза в идентично равен, като използвате комутативните и асоциативни свойства (закони) на умножението:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2 г · (-един); 9) 3а · (-3) · 2s.

Решение.Нека приложим законите (свойствата) на умножението:

a b=b a(преместване: пермутацията на фактори не променя продукта).
(a b) c=a (b c)(комбинативно: за да умножите произведението на две числа по трето число, можете да умножите първото число по произведението на второто и третото).

7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2 г · (-1) = 7 г.

9) 3а · (-3) · 2s = -18as.

Ако алгебричен израз е даден като редуцируема дроб, тогава с помощта на правилото за редуциране на дроби той може да бъде опростен, т.е. заменете идентично равен на него с по-прост израз.

Примери. Опростете, като използвате съкращаване на дроби.

Решение.Да намалиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на едно и също число (израз), различно от нула. Дроб 10) ще бъде намалена с 3б; дроб 11) намалете с аи дроб 12) намалете с 7n. Получаваме:

Алгебричните изрази се използват за формулиране на формули.

Формулата е алгебричен израз, записан като равенство, което изразява връзката между две или повече променливи.Пример: формулата на пътя, която знаете s=v t(s е изминатото разстояние, v е скоростта, t е времето). Спомнете си какви други формули знаете.

Страница 1 от 1 1