1. Аксиално сечениецилиндър е сечение на цилиндъра с равнина, минаваща през неговата ос. Аксиалното напречно сечение на цилиндъра е правоъгълник.

2. Разрез на цилиндър с равнина, успоредна на основата.
В този случай напречното сечение е кръг, равен и успореден на основата.

Конус

Конусът е геометрично тяло, което се състои от кръг - основанияконус, точка, която не лежи в равнината на тази окръжност, − върховеконус и всички сегменти, свързващи върха на конуса с точките на основата.

Сегментите, свързващи върха на конуса с точките на основната окръжност, се наричат формиранеконус

Конусът се нарича директен, ако правата линия, свързваща върха на конуса с центъра на основата, е перпендикулярна на равнината на основата.

На ориз. А) прав конус, b) наклонен конус.

По-нататък ще разглеждаме само прав конус!

С- върха на конуса.

Окръжност с центрове ОТНОСНО– основата на конуса.

S.A.,C.B., SC– образуване на конуси.

Височинана конус се нарича перпендикулярът, спуснат от върха му към равнината на основата.

осна конус се нарича права линия, съдържаща неговата височина ( ТАКА).

Свойства на конуса:

Образуващите на конуса са равни.

Конусът може да се разглежда като тяло, получено чрез завъртане на правоъгълен триъгълник около неговата страна.

Най-простите сечения на конус.

1. Аксиално сечениеконус е сечение на конус от равнина, минаваща през неговата ос. Аксиалното сечение на конуса е триъгълник.

2. Сечение на конус с равнина, успоредна на основата.
В този случай напречното сечение е кръг, подобен и успореден на основата.

Топката е геометрично тяло, което се състои от всички точки в пространството, разположени на разстояние не по-голямо от дадено от дадена точка.

Тази точка ( ОТНОСНО) е наречен центъртопка, а това разстояние е радиустопка.

Границата на топката се нарича сферична повърхностили сфера.

Всеки сегмент, свързващ центъра на топката с точка от сферичната повърхност, се нарича радиустопка ( O.D., ОВ, ОА).

Диаметър на топкатае сегмент, свързващ две точки на сферична повърхност и минаващ през центъра на топката ( AB).

Свойства на топката:

Радиусите на топката са равни;

Диаметрите на топката са равни.

Топка може да се разглежда като тяло, получено чрез въртене на полукръг около диаметъра му.

Най-простите секции на топка

1. Сечение на топка с равнина, минаваща през нейния център. В този случай секцията е голям кръг.

2. Сечение на топка с равнина Непреминавайки през центъра му. В този случай секцията е кръг.

Цилиндрична повърхнина m Някоя права m, движеща се по крива, описва цилиндрична повърхнина. Ако тази крива е затворена, тогава се описва затворена цилиндрична повърхност. Ако затворената крива има формата на кръг, тогава се описва кръгъл цилиндър. Ако правата m е перпендикулярна на равнината на кривата, тогава се описва правилен кръгов цилиндър ВИДОВЕ ЦИЛИНДРИ Елиптичен цилиндър ВИДОВЕ ЦИЛИНДРИ Хиперболичен цилиндър ВИДОВЕ ЦИЛИНДРИ Параболичен цилиндър 26.07.2014 6 Определение за цилиндър. Цилиндърът е тяло, което се състои от две окръжности, които не лежат в една равнина и са комбинирани чрез успоредна транслация, и всички сегменти, свързващи съответните точки на тези окръжности. Цилиндър Може да се получи цилиндър чрез завъртане на правоъгълник около права линия, съдържаща която и да е от страните на цилиндъра. Радиусът на цилиндър е радиусът на неговата основа. Височината на цилиндъра е разстоянието между равнините на неговите основи. Оста на цилиндъра е права линия, минаваща през центровете на основите. Свойства на цилиндъра. 1) Основите са равни и успоредни. 2) Всички образуващи на цилиндъра са успоредни и равни помежду си Развитие на цилиндъра Страничната повърхност на цилиндъра се развива в правоъгълник, едната страна на който е височината на цилиндъра, а другата дължината на обиколката на основата , Равностранен цилиндър е цилиндър, чието аксиално сечение е квадратното сечение на цилиндъра. Напречното сечение на цилиндър с равнина, успоредна на оста му, е правоъгълник. Двете му страни са образуващи на цилиндъра, а другите две са успоредни хорди на основите. Сечението на цилиндъра, минаващо през оста на цилиндъра, се нарича аксиално сечение и също е правоъгълник. Равнина, успоредна на равнината на основата на цилиндъра, пресича неговата странична повърхност по окръжност, равна на обиколката на основата. Допирателна равнина Ако равнината има обща права линия със страничната повърхност, тогава тази равнина се нарича допирателна. Линията на допиране е пълната и страничната повърхност на цилиндъра, чиято една страна е височината на цилиндъра. Цялата повърхност на цилиндъра се състои от два кръга и странична повърхност. L H 2 RH S странична повърхност на цилиндъра и S на кръга R 2 R 2 RH 2 R (R H) 2 S на кръга S странична S пълна повърхност на цилиндър 2 и повърхност на цилиндър 2 и Обем на цилиндъра Обемът на цилиндърът е равен на произведението на основната площ и височината на цилиндъра. V S основа V R 2 H H Обяснете какво е прав кръгъл цилиндър? Какъв е радиусът, височината, образуващата и оста на цилиндъра? Какво е аксиалното сечение на цилиндър? Кой цилиндър се нарича равностранен? Какво е сечението на цилиндър с равнина, перпендикулярна на оста на цилиндъра? Какво разбираме под страничната и общата повърхност на цилиндъра? Как да намерите страничната и общата повърхност на цилиндър? ЕЛЕМЕНТИ НА ЦИЛИНДЪР Проблем 1. Аксиалното сечение на цилиндър е квадрат, чиято площ е Q. Намерете площта на основата на цилиндъра. Дадено е: цилиндър, аксиално сечение - квадрат Sсечение = Q Намиране: Sbas = Окръжност Решение: Задача 2. Страничната повърхност на цилиндъра се превръща в квадрат с площ 4 cm2. Намерете общата повърхност и обема на цилиндъра. Да приемем, че 3 N кръг е дадено: цилиндър Sq.=4 cm2 Намерете: Sp.p., Vcyl. Решение: Лабораторна и практическа работа Тема: Цилиндър 1. Определение, свойства. 2. Чертеж, размери в мм. 3. Изчислете: а) площ на основата б) странична повърхност на цилиндъра. в) пълната повърхност на цилиндъра. г) обем на цилиндъра. Задачи Диагоналът на осовото сечение е 48 cm. Ъгълът между диагонала и образуващата на цилиндъра е 60o. Намерете 1) височината на цилиндъра; 2) радиус на цилиндъра; 3) Sbas Височината на цилиндъра е 8 cm, радиусът е 5 cm. Намерете площта на напречното сечение на равнина, успоредна на нейната ос, ако разстоянието между тази равнина и оста на цилиндъра е 3 cm. Площта на страничната повърхност на цилиндъра е S. Намерете аксиалната напречна площ на сечението на цилиндъра. Цилиндърът се получава чрез завъртане на квадрат със страна α около една от страните му. Намерете лицето на: 1) аксиалното сечение на цилиндъра; 2) пълната повърхност на цилиндъра Цилиндър Оригиналност в дизайна и архитектурата Проблем: Колко ще се увеличи обемът на горивната камера на автомобилния двигател GAZ-53, ако диаметърът на буталото е 10 cm и ходът на буталото е 9 cm? Решение V=пR2H: V=3,14 52 9=706,5 (cm3) Задача: Определете вместимостта на масления резервоар на помпата на кормилното управление на автомобил ЗИЛ130, ако диаметърът му е 126 mm, а височината 140 mm Решение V=пR2H =3,14. 3969.140=174477.24

Цилиндър (прав кръгъл цилиндър)е тяло, състоящо се от две окръжности (основите на цилиндър), комбинирани чрез паралелна транслация, и всички сегменти, свързващи съответните точки на тези окръжности по време на паралелна транслация. Отсечките, свързващи съответните точки от основните окръжности, се наричат ​​образуващи на цилиндъра.

Ето още едно определение:

Цилиндър- тяло, което е ограничено от цилиндрична повърхност със затворен водач и две успоредни равнини, пресичащи образуващите на тази повърхност.

Цилиндрична повърхност- повърхност, която се образува от движението на права линия по определена крива. Правата линия се нарича образуваща на цилиндричната повърхнина, а кривата линия се нарича водач на цилиндричната повърхнина.

Странична повърхност на цилиндъра- част от цилиндрична повърхност, която е ограничена от успоредни равнини.

Цилиндрични основи- части от успоредни равнини, отрязани от страничната повърхност на цилиндъра.

Фиг.1 мини

Цилиндърът се нарича директен(См. Фиг. 1), ако неговите образуващи са перпендикулярни на равнините на основите. В противен случай цилиндърът се нарича наклонен.

Кръгъл цилиндър- цилиндър, чиито основи са кръгове.

Десен кръгъл цилиндър (само цилиндър)е тяло, получено чрез завъртане на правоъгълник около една от страните му. См. Фиг. 1.

Радиус на цилиндърае радиусът на нейната основа.

Генератор на цилиндъра- образуваща на цилиндрична повърхнина.

Височина на цилиндърасе нарича разстоянието между равнините на основите. Ос на цилиндъранарича права линия, минаваща през центровете на основите. Сечението на цилиндър с равнина, минаваща през оста на цилиндъра, се нарича аксиално сечение.

Оста на цилиндъра е успоредна на неговата образуваща и е оста на симетрия на цилиндъра.

Равнина, минаваща през генератора на прав цилиндър и перпендикулярна на аксиалното сечение, начертано през този генератор, се нарича допирателна равнина на цилиндъра. См. Фиг.2.

Развитие на страничната повърхност на цилиндъра- правоъгълник със страни, равни на височината на цилиндъра и обиколката на основата.

Площ на страничната повърхност на цилиндъра- зона на развитие на страничната повърхност. $$S_(страна)=2\pi\cdot rh$$ , където че височината на цилиндъра и r– радиус на основата.

Обща повърхност на цилиндър- площ, която е равна на сумата от площите на двете основи на цилиндъра и страничната му повърхност, т.е. се изразява с формулата: $$S_(full)=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , където че височината на цилиндъра и r– радиус на основата.

Обем на всеки цилиндърравно на произведението на площта на основата и височината: $$V = S\cdot h$$ Обем на кръгъл цилиндър: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , където ( r- радиус на основата).

Призмата е специален вид цилиндър (генераторите са успоредни на страничните ребра; водачът е многоъгълник, лежащ в основата). От друга страна, произволен цилиндър може да се разглежда като изродена („изгладена“) призма с много голям брой много тесни лица. На практика цилиндърът е неразличим от такава призма. Всички свойства на призмата се запазват в цилиндъра.

Стереометрията е дял от геометрията, в който се изучават фигури в пространството. Основните фигури в пространството са точка, права и равнина. В стереометрията се появява нов тип относително разположение на линиите: пресичащи се линии. Това е една от малкото съществени разлики между стереометрията и планиметрията, тъй като в много случаи проблемите в стереометрията се решават чрез разглеждане на различни равнини, в които са изпълнени планиметричните закони.

В природата около нас има много обекти, които са физически модели на тази фигура. Например много машинни части имат формата на цилиндър или са комбинация от тях, а величествените колони на храмове и катедрали, направени във формата на цилиндър, подчертават тяхната хармония и красота.

Гръцки − килиндрос. Древен термин. В ежедневието - папирусов свитък, ролка, ролка (глагол - усуквам, търкалям).

За Евклид цилиндър се получава чрез завъртане на правоъгълник. В Cavalieri - чрез движението на генератора (с произволен водач - "цилиндър").

Целта на това есе е да се разгледа геометрично тяло – цилиндър.

За постигането на тази цел е необходимо да се разгледат следните задачи:

− дават определения за цилиндър;

− разгледайте елементите на цилиндъра;

− изучаване на свойствата на цилиндъра;

− разгледайте видовете цилиндрови секции;

− изведете формулата за площта на цилиндър;

− изведете формулата за обем на цилиндър;

− решаване на задачи с помощта на цилиндър.

1.1. Дефиниция на цилиндър

Нека разгледаме някаква права (крива, начупена или смесена) l, лежаща в някаква равнина α, и някаква права S, пресичаща тази равнина. През всички точки на дадена права l прекарваме прави, успоредни на права S; повърхността α, образувана от тези прави линии, се нарича цилиндрична повърхност. Правата l се нарича водеща на тази повърхност, линиите s 1, s 2, s 3,... са нейните образуващи.

Ако водачът е счупен, тогава такава цилиндрична повърхност се състои от множество плоски ленти, затворени между двойки успоредни прави линии, и се нарича призматична повърхност. Образуващите, минаващи през върховете на водещата начупена линия, се наричат ​​ръбове на призматичната повърхност, плоските ивици между тях са нейните лица.

Ако разчленим всяка цилиндрична повърхност с произволна равнина, която не е успоредна на нейните образуващи, ще получим линия, която също може да се приеме като ориентир за тази повърхност. Сред водачите се откроява този, който се получава от срязване на повърхността с равнина, перпендикулярна на образуващите на повърхността. Такъв участък се нарича нормален участък, а съответната направляваща се нарича нормална направляваща.

Ако водачът е затворена (изпъкнала) линия (начупена или крива), тогава съответната повърхност се нарича затворена (изпъкнала) призматична или цилиндрична повърхност. Най-простата от цилиндричните повърхности има кръг като нормален водач. Нека разчленим затворена изпъкнала призматична повърхност с две равнини, успоредни една на друга, но не успоредни на образуващите.

В секциите получаваме изпъкнали многоъгълници. Сега частта от призматичната повърхност, затворена между равнините α и α" и двете многоъгълни плочи, образувани в тези равнини, ограничават тяло, наречено призматично тяло - призма.

Цилиндрично тяло - цилиндърът се дефинира подобно на призмата:
Цилиндърът е тяло, ограничено отстрани от затворена (изпъкнала) цилиндрична повърхност, а от краищата от две плоски успоредни основи. Двете основи на цилиндъра са равни и всички съставни части на цилиндъра също са равни, т.е. отсечки от образуващите на цилиндрична повърхнина между равнините на основите.

Цилиндърът (по-точно кръгъл цилиндър) е геометрично тяло, което се състои от две окръжности, които не лежат в една равнина и са комбинирани чрез паралелна транслация, и всички сегменти, свързващи съответните точки на тези окръжности (фиг. 1) .

Окръжностите се наричат ​​основи на цилиндъра, а отсечките, свързващи съответните точки от обиколките на окръжностите, се наричат ​​образуващи на цилиндъра.

Тъй като паралелното преместване е движение, основите на цилиндъра са равни.

Тъй като по време на паралелна транслация равнината се трансформира в успоредна равнина (или в себе си), тогава основите на цилиндъра лежат в успоредни равнини.

Тъй като по време на паралелна транслация точките се изместват по успоредни (или съвпадащи) прави на същото разстояние, тогава генераторите на цилиндъра са успоредни и равни.

Повърхността на цилиндъра се състои от основа и странична повърхност. Страничната повърхност е съставена от образуващи.

Цилиндърът се нарича прав, ако неговите генератори са перпендикулярни на равнините на основите.

Правият цилиндър може да се представи нагледно като геометрично тяло, което описва правоъгълник при въртенето му около страната му като ос (фиг. 2).

Ориз. 2 − Прав цилиндър

По-нататък ще разгледаме само правия цилиндър, като за краткост ще го наречем просто цилиндър.

Радиусът на цилиндър е радиусът на неговата основа. Височината на цилиндъра е разстоянието между равнините на неговите основи. Оста на цилиндъра е права линия, минаваща през центровете на основите. Той е успореден на генераторите.

Цилиндърът се нарича равностранен, ако височината му е равна на диаметъра на основата.

Ако основите на цилиндъра са плоски (и следователно равнините, които ги съдържат, са успоредни), тогава се казва, че цилиндърът стои върху равнина. Ако основите на цилиндър, стоящ върху равнина, са перпендикулярни на генератора, тогава цилиндърът се нарича прав.

По-специално, ако основата на цилиндър, стоящ върху равнина, е кръг, тогава говорим за кръгов (кръгъл) цилиндър; ако е елипса, значи е елипсовидна.

1. 3. Сечения на цилиндъра

Напречното сечение на цилиндър с равнина, успоредна на оста му, е правоъгълник (фиг. 3, а). Двете му страни са образуващите на цилиндъра, а другите две са успоредни хорди на основите.

а) б)

V) G)

Ориз. 3 – Секции на цилиндъра

По-специално, правоъгълникът е аксиалното сечение. Това е сечение на цилиндър с равнина, минаваща през неговата ос (фиг. 3, b).

Напречното сечение на цилиндър с равнина, успоредна на основата, е кръг (Фигура 3, c).

Напречното сечение на цилиндър с равнина, която не е успоредна на основата, а оста му е овал (фиг. 3d).

Теорема 1. Равнина, успоредна на равнината на основата на цилиндъра, пресича неговата странична повърхност по окръжност, равна на обиколката на основата.

Доказателство. Нека β е равнина, успоредна на равнината на основата на цилиндъра. Паралелно преместване в посока на оста на цилиндъра, съчетаващо равнината β с равнината на основата на цилиндъра, комбинира сечението на страничната повърхност с равнина β с обиколката на основата. Теоремата е доказана.

Страничната повърхност на цилиндъра.

Площта на страничната повърхност на цилиндъра се приема за границата, към която се стреми площта на страничната повърхност на правилна призма, вписана в цилиндъра, когато броят на страните на основата на тази призма се увеличава неограничено.

Теорема 2. Площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на произведението на обиколката на основата му и височината (S side.c = 2πRH, където R е радиусът на основата на цилиндъра, H е височината на цилиндъра).

а) б)
Ориз. 4 − Площ на страничната повърхност на цилиндъра

Доказателство.

Нека P n и H са съответно периметърът на основата и височината на правилна n-ъгълна призма, вписана в цилиндъра (фиг. 4, а). Тогава площта на страничната повърхност на тази призма е S страна.c − P n H. Да приемем, че броят на страните на многоъгълника, вписан в основата, нараства неограничено (фиг. 4, b). Тогава периметърът P n клони към обиколката C = 2πR, където R е радиусът на основата на цилиндъра, а височината H не се променя. По този начин площта на страничната повърхност на призмата клони към границата на 2πRH, т.е. площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на S страна.c = 2πRH. Теоремата е доказана.

Общата повърхност на цилиндъра.

Общата повърхност на цилиндъра е сумата от площите на страничната повърхност и двете основи. Площта на всяка основа на цилиндъра е равна на πR 2, следователно площта на общата повърхност на цилиндъра S общо се изчислява по формулата S страна.c = 2πRH+ 2πR 2.

r

Т 1

T

Е

F 1

Е

T

а)

Е

б)

Ориз. 5 − Обща повърхност на цилиндъра

Ако страничната повърхност на цилиндъра се разреже по протежение на генератора FT (фиг. 5, а) и се разгъне така, че всички генератори да са в една и съща равнина, тогава в резултат получаваме правоъгълник FTT1F1, който се нарича развитие на страничната повърхност на цилиндъра. Страната FF1 на правоъгълника е развитието на окръжността на основата на цилиндъра, следователно FF1=2πR, а неговата страна FT е равна на образуващата на цилиндъра, т.е. FT = H (фиг. 5, b). По този начин площта FT∙FF1=2πRH на развитието на цилиндъра е равна на площта на неговата странична повърхност.

1.5. Обем на цилиндъра

Ако едно геометрично тяло е просто, т.е. може да бъде разделено на краен брой триъгълни пирамиди, тогава неговият обем е равен на сумата от обемите на тези пирамиди. За произволно тяло обемът се определя по следния начин.

Дадено тяло има обем V, ако има прости тела, които го съдържат, и прости тела, съдържащи се в него с обеми, толкова малко различни от V, колкото желаете.

Нека приложим това определение за намиране на обема на цилиндър с радиус на основата R и височина H.

При извеждането на формулата за площта на кръг са конструирани два n-ъгълника (единият съдържа кръга, другият се съдържа в кръга), така че техните области, с неограничено увеличение на n, се доближават до площта на кръгът без ограничение. Нека построим такива многоъгълници за кръга в основата на цилиндъра. Нека P е многоъгълник, съдържащ кръг, а P" е многоъгълник, съдържащ се в кръг (фиг. 6).

Ориз. 7 − Цилиндър с описана и вписана в него призма

Нека построим две прави призми с основи P и P" и височина H, равна на височината на цилиндъра. Първата призма съдържа цилиндър, а втората призма се съдържа в цилиндър. Тъй като при неограничено увеличение на n, площите на основите на призмите неограничено се приближават до площта на основата на цилиндъра S, тогава техните обеми се приближават до SH за неопределено време

V = SH = πR 2 H.

И така, обемът на цилиндъра е равен на произведението на площта на основата и височината.

Задача 1.

Аксиалното сечение на цилиндъра е квадрат с площ Q.

Намерете площта на основата на цилиндъра.

Дадено е: цилиндър, квадрат - аксиално сечение на цилиндъра, S квадрат = Q.

Намерете: S главен цилиндър

Страната на квадрата е . Той е равен на диаметъра на основата. Следователно площта на основата е равна на .

Отговор: S главен цилиндър. =

Задача 2.

В цилиндър е вписана правилна шестоъгълна призма. Намерете ъгъла между диагонала на страничната му страна и оста на цилиндъра, ако радиусът на основата е равен на височината на цилиндъра.

Дадени са: цилиндър, правилна шестоъгълна призма, вписана в цилиндъра, радиус на основата = височина на цилиндъра.

Намерете: ъгъла между диагонала на страничната му повърхност и оста на цилиндъра.

Решение: Страничните стени на призмата са квадрати, тъй като страната на правилен шестоъгълник, вписан в окръжност, е равна на радиуса.

Ръбовете на призмата са успоредни на оста на цилиндъра, следователно ъгълът между диагонала на лицето и оста на цилиндъра е равен на ъгъла между диагонала и страничния ръб. И този ъгъл е 45°, тъй като лицата са квадрати.

Отговор: ъгълът между диагонала на страничната му страна и оста на цилиндъра = 45°.

Задача 3.

Височината на цилиндъра е 6 cm, радиусът на основата е 5 cm.

Намерете площта на сечение, начертано успоредно на оста на цилиндъра на разстояние 4 cm от него.

Дадено: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.

Намерете: S сек.

S сек. = KM × KS,

OE = 4 см, KS = 6 см.

Триъгълник OKM - равнобедрен (OK = OM = R = 5 cm),

триъгълник OEK е правоъгълен триъгълник.

От триъгълника OEK, според Питагоровата теорема:

KM = 2EK = 2×3 = 6,

S сек. = 6×6 = 36 cm 2.

Целта на това есе е изпълнена; разгледано е геометрично тяло като цилиндър.

Разглеждат се следните задачи:

− дадено е определение за цилиндър;

− разглеждат се елементите на цилиндъра;

− изследвани са свойствата на цилиндъра;

− разглеждат се видовете цилиндрови сечения;

− извежда се формулата за площта на цилиндър;

− изведена е формулата за обем на цилиндър;

− решени задачи с помощта на цилиндър.

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник за 10 – 11 клас на учебните заведения, 1995 г.

2. Бескин Л.Н. Стереометрия. Ръководство за учители в средното училище, 1999 г.

3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Киселева Л. С., Позняк Е. Г. Геометрия: Учебник за 10 - 11 клас на учебните заведения, 2000 г.

4. Александров A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Геометрия: учебник за 10-11 клас в общообразователните институции, 1998 г.

5. Киселев А. П., Рибкин Н. А. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 клас: Учебник и проблемна книга, 2000.