ทฤษฎีบทเกาส์ เวกเตอร์การเหนี่ยวนำสนามไฟฟ้า เวกเตอร์ฟลักซ์ e และ d เวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้า

พิจารณาว่าค่าของเวกเตอร์ E เปลี่ยนแปลงที่ส่วนต่อประสานระหว่างสื่อสองตัว เช่น อากาศ (ε 1) และน้ำ (ε = 81) อย่างไร ความแรงของสนามในน้ำลดลงอย่างกะทันหันถึง 81 เท่า พฤติกรรมของเวกเตอร์นี้ อีสร้างความไม่สะดวกบางประการเมื่อคำนวณฟิลด์ในสภาพแวดล้อมต่างๆ เพื่อหลีกเลี่ยงความไม่สะดวกนี้ จึงมีการแนะนำเวกเตอร์ใหม่ งเป็นเวกเตอร์ของการเหนี่ยวนำหรือการกระจัดทางไฟฟ้าของสนาม การสื่อสารของเวกเตอร์ งและ อีมีแบบฟอร์ม

ง = ε ε 0 อี.

แน่นอน สำหรับสนามของจุดประจุ การกระจัดทางไฟฟ้าจะเท่ากับ

สังเกตได้ง่ายว่าการกระจัดทางไฟฟ้ามีหน่วยวัดเป็น C/m 2 ไม่ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติ และแสดงเป็นกราฟด้วยเส้นที่คล้ายกับเส้นแรงดึง

ทิศทางของเส้นสนามแสดงลักษณะทิศทางของสนามในอวกาศ (แน่นอนว่าไม่มีเส้นแรง แต่นำมาใช้เพื่อความสะดวกในภาพประกอบ) หรือทิศทางของเวกเตอร์ความแรงของสนาม ด้วยความช่วยเหลือของเส้นแรงตึงมันเป็นไปได้ที่จะกำหนดลักษณะไม่เพียง แต่ทิศทาง แต่ยังรวมถึงขนาดของสนามด้วย ในการทำเช่นนี้ เราตกลงที่จะดำเนินการด้วยความหนาแน่นที่แน่นอน เพื่อให้จำนวนของเส้นแรงตึงทะลุผ่านพื้นผิวหน่วย ตั้งฉากกับเส้นแรงตึง เป็นสัดส่วนกับโมดูลัสของเวกเตอร์ อี(รูปที่ 78) จากนั้นจำนวนบรรทัดที่ทะลุผ่านพื้นที่พื้นฐาน dS ซึ่งเป็นค่าปกติ นสร้างมุม α กับเวกเตอร์ อีเท่ากับ E dScos α = E n dS

โดยที่ E n - ส่วนประกอบเวกเตอร์ อีในทิศทางปกติ น. ค่า dФ Е = E n dS = อีง สเรียกว่า เวกเตอร์ความตึงเครียดไหลผ่านไซต์ง ส(ง ส= ดีเอส น).

สำหรับพื้นผิวปิดโดยพลการ S การไหลของเวกเตอร์ อีผ่านพื้นผิวนี้คือ

นิพจน์ที่คล้ายกันมีการไหลของเวกเตอร์การกระจัดไฟฟ้า Ф D

.

ทฤษฎีบทออสโตรกราดสกี-เกาส์

ทฤษฎีบทนี้ทำให้คุณสามารถกำหนดการไหลของเวกเตอร์ E และ D จากประจุจำนวนเท่าใดก็ได้ ใช้จุดประจุ Q และกำหนดการไหลของเวกเตอร์ อีผ่านพื้นผิวทรงกลมรัศมี r ซึ่งอยู่ตรงกลาง

สำหรับพื้นผิวทรงกลม α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 และ

Ф E = E · 4 πr 2 .

แทนนิพจน์สำหรับ E เราได้

ดังนั้นจากประจุแต่ละจุดฟลักซ์Ф E ของเวกเตอร์จึงมา อีเท่ากับ Q/ ε 0 . สรุปข้อสรุปนี้กับกรณีทั่วไปของจำนวนประจุตามอำเภอใจ เราให้สูตรของทฤษฎีบท: การไหลรวมของเวกเตอร์ อีผ่านพื้นผิวปิดของรูปร่างโดยพลการจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของประจุไฟฟ้าที่อยู่ในพื้นผิวนี้ หารด้วย ε 0 , เช่น

สำหรับฟลักซ์เวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้า งคุณจะได้สูตรที่คล้ายกัน

การไหลของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำผ่านพื้นผิวปิดจะเท่ากับผลรวมทางพีชคณิตของประจุไฟฟ้าที่ปกคลุมด้วยพื้นผิวนี้

ถ้าเราเอาแบบปิดผิวที่ไม่ใส่ประจุละเส้น อีและ งจะข้ามพื้นผิวนี้สองครั้ง - ที่ทางเข้าและทางออก ดังนั้นการไหลทั้งหมดจึงกลายเป็นศูนย์ ที่นี่จำเป็นต้องคำนึงถึงผลรวมเชิงพีชคณิตของเส้นขาเข้าและขาออก

การประยุกต์ทฤษฎีบทออสโตรกราดสกี-เกาส์เพื่อคำนวณสนามไฟฟ้าที่เกิดจากระนาบ ทรงกลม และทรงกระบอก

พื้นผิวทรงกลมรัศมี R มีประจุ Q กระจายอย่างสม่ำเสมอบนพื้นผิวด้วยความหนาแน่นของพื้นผิว σ

ลองใช้จุด A นอกทรงกลมที่ระยะ r จากจุดศูนย์กลางแล้ววาดทรงกลมรัศมี r สมมาตรกับประจุ (รูปที่ 79) พื้นที่ของมันคือ S = 4 πr 2 . การไหลของเวกเตอร์ E จะเท่ากับ

ตามทฤษฎีบทออสโตรกราดสกี-เกาส์
, เพราะฉะนั้น,
โดยคำนึงถึงว่า Q = σ 4 πr 2 เราได้รับ

สำหรับจุดที่อยู่บนพื้นผิวทรงกลม (R = r)

ง สำหรับจุดภายในทรงกลมกลวง (ไม่มีประจุภายในทรงกลม) E = 0

2 . พื้นผิวทรงกระบอกกลวงที่มีรัศมี R และความยาว ลประจุด้วยความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิวคงที่
(รูปที่ 80) ให้เราวาดพื้นผิวทรงกระบอกโคแอกเซียลรัศมี r > R

การไหลของเวกเตอร์ อีผ่านพื้นผิวนี้

ตามทฤษฎีบทเกาส์

เราได้รับส่วนที่ถูกต้องของความเท่าเทียมกันที่กำหนด

.

หากกำหนดความหนาแน่นของประจุเชิงเส้นของทรงกระบอก (หรือด้ายเส้นเล็ก)
ที่

3. สนามของระนาบอนันต์ที่มีความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิว σ (รูปที่ 81)

พิจารณาสนามที่สร้างขึ้นโดยระนาบที่ไม่มีที่สิ้นสุด จากการพิจารณาความสมมาตร ความเข้มที่จุดใดๆ ของสนามจะมีทิศทางตั้งฉากกับระนาบ

ที่จุดสมมาตร E จะมีขนาดเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม

ให้เราสร้างพื้นผิวของทรงกระบอกที่มีฐาน ΔS ในใจ จากนั้นผ่านแต่ละฐานของทรงกระบอก กระแสน้ำจะไหลออกมา

F E = E ∆S และการไหลทั้งหมดผ่านพื้นผิวทรงกระบอกจะเท่ากับ F E = 2E ∆S

ภายในพื้นผิวมีประจุ Q = σ · ΔS ตามทฤษฎีบทเกาส์

ที่ไหน

ผลลัพธ์ที่ได้ไม่ขึ้นอยู่กับความสูงของทรงกระบอกที่เลือก ดังนั้น ความแรงของสนาม E ที่ระยะใดๆ จะมีขนาดเท่ากัน

สำหรับระนาบที่มีประจุตรงข้ามกันสองระนาบที่มีความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิวเท่ากัน ตามหลักการซ้อนทับ นอกช่องว่างระหว่างระนาบ ความแรงของสนามจะเท่ากับศูนย์ E = 0 และในช่องว่างระหว่างระนาบ
(รูปที่ 82a) หากระนาบถูกประจุด้วยประจุที่เหมือนกันซึ่งมีความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิวเท่ากัน จะสังเกตเห็นภาพย้อนกลับ (รูปที่ 82b) ในช่องว่างระหว่างระนาบ E=0 และในช่องว่างนอกระนาบ
.

เมื่อมีค่าใช้จ่ายจำนวนมาก ความยุ่งยากบางอย่างเกิดขึ้นในการคำนวณฟิลด์

ทฤษฎีบทของเกาส์ช่วยในการเอาชนะพวกเขา แก่นแท้ ทฤษฎีบทเกาส์ลดค่าต่อไปนี้: หากจำนวนประจุตามอำเภอใจถูกล้อมรอบด้วยพื้นผิวปิด S ดังนั้นความแรงของสนามไฟฟ้าฟลักซ์ผ่านพื้นที่มูลฐาน dS สามารถเขียนเป็น dФ = Есоsα۰dS โดยที่ α คือมุมระหว่างเส้นปกติกับระนาบและ เวกเตอร์ความเข้ม . (รูปที่ 12.7)

การไหลทั้งหมดผ่านพื้นผิวทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของการไหลจากประจุทั้งหมดที่กระจายอยู่ภายในโดยพลการและเป็นสัดส่วนกับค่าของประจุนี้

(12.9)

ให้เรากำหนดการไหลของเวกเตอร์แรงดึงผ่านพื้นผิวทรงกลมของรัศมี r ซึ่งอยู่ตรงกลางซึ่งมีจุดประจุ +q (รูปที่ 12.8) เส้นแรงตึงตั้งฉากกับพื้นผิวทรงกลม α = 0 ดังนั้น сosα = 1 จากนั้น

หากสนามถูกสร้างขึ้นโดยระบบการเรียกเก็บเงิน

ทฤษฎีบทเกาส์: การไหลของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตในสุญญากาศผ่านพื้นผิวปิดใดๆ จะเท่ากับผลรวมทางพีชคณิตของประจุที่อยู่ในพื้นผิวนี้ หารด้วยค่าคงที่ทางไฟฟ้า

(12.10)

ถ้าไม่มีประจุอยู่ในทรงกลม ดังนั้น Ф = 0

ทฤษฎีบทเกาส์ทำให้การคำนวณสนามไฟฟ้าสำหรับประจุไฟฟ้าแบบกระจายสมมาตรเป็นเรื่องง่าย

ให้เราแนะนำแนวคิดของความหนาแน่นของค่าใช้จ่ายแบบกระจาย

ความหนาแน่นเชิงเส้นแสดงแทน τ และแสดงลักษณะของประจุ q ต่อหน่วยความยาว ℓ โดยทั่วไปสามารถคำนวณได้จากสูตร

(12.11)

ด้วยการกระจายประจุที่สม่ำเสมอความหนาแน่นเชิงเส้นจะเท่ากับ

ความหนาแน่นของพื้นผิวจะแสดงเป็น σ และแสดงลักษณะของประจุ q ต่อหน่วยพื้นที่ S โดยทั่วไปแล้วจะถูกกำหนดโดยสูตร

(12.12)

ด้วยการกระจายประจุอย่างสม่ำเสมอบนพื้นผิว ความหนาแน่นของพื้นผิวจะเท่ากับ

ความหนาแน่นรวม ซึ่งแสดงด้วย ρ แสดงลักษณะของประจุ q ต่อหน่วยปริมาตร V โดยทั่วไปแล้ว จะถูกกำหนดโดยสูตร

(12.13)

ด้วยการกระจายประจุแบบสม่ำเสมอจะเท่ากับ
.

เนื่องจากประจุ q กระจายอย่างเท่าๆ กันบนทรงกลม ดังนั้น

σ = คงที่ ลองใช้ทฤษฎีบทเกาส์ ลองวาดทรงกลมที่มีรัศมีผ่านจุด A การไหลของเวกเตอร์ความเข้มในรูปที่ 12.9 ผ่านพื้นผิวทรงกลมของรัศมีคือ cosα = 1 เนื่องจาก α = 0 ตามทฤษฎีบทเกาส์
.

หรือ

(12.14)

จากนิพจน์ (12.14) จะได้ว่าความแรงของสนามภายนอกทรงกลมที่มีประจุจะเหมือนกับความแรงของสนามของประจุจุดหนึ่งที่วางอยู่ตรงกลางทรงกลม บนพื้นผิวทรงกลม เช่น r 1 \u003d r 0 ความตึงเครียด
.

ภายในทรงกลม r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

ทรงกระบอกรัศมี r 0 มีประจุเท่ากันโดยมีความหนาแน่นของพื้นผิว σ (รูปที่ 12.10) ให้เรากำหนดความแรงของสนามที่จุด A ที่เลือกโดยพลการ ให้เราวาดพื้นผิวทรงกระบอกในจินตนาการที่มีรัศมี R และความยาว ℓ ถึงจุด A เนื่องจากความสมมาตร การไหลจะออกทางพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกเท่านั้น เนื่องจากประจุบนทรงกระบอกรัศมี r 0 จะกระจายอย่างสม่ำเสมอทั่วพื้นผิว นั่นคือ เส้นความตึงจะเป็นเส้นตรงในแนวรัศมีซึ่งตั้งฉากกับพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกทั้งสอง เนื่องจากการไหลผ่านฐานของทรงกระบอกเป็นศูนย์ (cos α = 0) และพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกตั้งฉากกับเส้นแรง (cos α = 1) ดังนั้น

หรือ

(12.15)

เราแสดงค่าของ E ถึง σ - ความหนาแน่นของพื้นผิว A-priory,

เพราะฉะนั้น,

แทนค่า q ในสูตร (12.15)

(12.16)

ตามนิยามของความหนาแน่นของเส้น
, ที่ไหน
; เราแทนที่นิพจน์นี้ในสูตร (12.16):

(12.17)

เหล่านั้น. ความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยทรงกระบอกที่มีประจุยาวไม่จำกัดนั้นเป็นสัดส่วนกับความหนาแน่นของประจุเชิงเส้นและแปรผกผันกับระยะทาง

ความเข้มของสนามที่สร้างขึ้นโดยระนาบที่มีประจุสม่ำเสมอเป็นอนันต์

ให้เราพิจารณาความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยระนาบที่มีประจุสม่ำเสมอไม่จำกัดที่จุด A ปล่อยให้ความหนาแน่นประจุที่พื้นผิวของระนาบเป็น σ ในฐานะที่เป็นพื้นผิวปิด จะสะดวกในการเลือกทรงกระบอกที่มีแกนตั้งฉากกับระนาบ และฐานด้านขวามีจุด A ระนาบจะแบ่งครึ่งทรงกระบอก เห็นได้ชัดว่าเส้นแรงตั้งฉากกับระนาบและขนานกับพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอก ดังนั้นการไหลทั้งหมดจะผ่านเฉพาะฐานของทรงกระบอกเท่านั้น บนฐานทั้งสอง ความแรงของสนามจะเท่ากัน เนื่องจาก จุด A และ B สมมาตรเมื่อเทียบกับระนาบ จากนั้นจึงไหลผ่านฐานของกระบอกสูบได้

ตามทฤษฎีบทเกาส์

เพราะ
, ที่
, ที่ไหน

(12.18)

ดังนั้น ความแรงของสนามของระนาบที่มีประจุเป็นอนันต์จะเป็นสัดส่วนกับความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิว และไม่ขึ้นอยู่กับระยะทางจากระนาบ ดังนั้นสนามของระนาบจึงเป็นเนื้อเดียวกัน

ความเข้มของสนามที่สร้างขึ้นโดยระนาบคู่ขนานที่มีประจุไฟฟ้าตรงข้ามกันสองระนาบ

ฟิลด์ผลลัพธ์ที่สร้างโดยระนาบสองระนาบถูกกำหนดโดยหลักการของการซ้อนทับของฟิลด์:
(รูปที่ 12.12) สนามที่สร้างขึ้นโดยระนาบแต่ละระนาบเป็นเนื้อเดียวกัน ความแรงของสนามเหล่านี้มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม:
. ตามหลักการของการซ้อนทับ ความแรงของสนามรวมนอกระนาบเป็นศูนย์:

ระหว่างระนาบ ความแรงของสนามมีทิศทางเดียวกัน ดังนั้นความแรงที่ได้จึงเท่ากับ

ดังนั้น สนามระหว่างระนาบที่มีประจุไฟฟ้าตรงข้ามกันสองระนาบจึงเป็นเนื้อเดียวกัน และความเข้มของสนามจะมากเป็นสองเท่าของความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยระนาบเดียว ไม่มีช่องด้านซ้ายและขวาของระนาบ สนามของระนาบจำกัดมีรูปแบบเดียวกัน การบิดเบือนจะปรากฏใกล้กับขอบเขตเท่านั้น คุณสามารถคำนวณฟิลด์ระหว่างแผ่นของตัวเก็บประจุแบบแบนโดยใช้สูตรที่ได้รับ

ทฤษฎีบทของเกาส์สำหรับการเหนี่ยวนำไฟฟ้า (การกระจัดทางไฟฟ้า)[

สำหรับสนามในสื่ออิเล็กทริก ทฤษฎีบทไฟฟ้าสถิตของเกาส์สามารถเขียนได้อีกทางหนึ่ง (อีกทางหนึ่ง) - ผ่านการไหลของเวกเตอร์การกระจัดไฟฟ้า (การเหนี่ยวนำไฟฟ้า) ในกรณีนี้ การกำหนดทฤษฎีบทมีดังนี้: การไหลของเวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดเป็นสัดส่วนกับประจุไฟฟ้าอิสระภายในพื้นผิวนี้:

ในรูปแบบที่แตกต่างกัน:

ทฤษฎีบทเกาส์สำหรับการเหนี่ยวนำแม่เหล็ก

ฟลักซ์ของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็กผ่านพื้นผิวปิดเป็นศูนย์:

หรือในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

สิ่งนี้เทียบเท่ากับความจริงที่ว่าในธรรมชาติไม่มี "ประจุแม่เหล็ก" (โมโนโพล) ที่จะสร้างสนามแม่เหล็ก เช่นเดียวกับที่ประจุไฟฟ้าสร้างสนามไฟฟ้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทเกาส์สำหรับการเหนี่ยวนำแม่เหล็กแสดงให้เห็นว่าสนามแม่เหล็กนั้น (สมบูรณ์) วน.

ทฤษฎีบทของเกาส์สำหรับแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน

สำหรับความแรงของสนามของแรงโน้มถ่วงนิวตัน (ความเร่งของการตกอย่างอิสระ) ทฤษฎีบทเกาส์นั้นเกือบจะสอดคล้องกับไฟฟ้าสถิต ยกเว้นค่าคงที่ (อย่างไรก็ตาม พวกมันยังคงขึ้นอยู่กับการเลือกโดยพลการของระบบหน่วย) และที่สำคัญที่สุดคือเครื่องหมาย :

ที่ไหน ช- ความเข้มของสนามโน้มถ่วง ม- ประจุความโน้มถ่วง (เช่น มวล) ภายในพื้นผิว ส, ρ - ความหนาแน่นของมวล ชคือค่าคงที่ของนิวตัน

ตัวนำในสนามไฟฟ้า สนามภายในตัวนำและบนพื้นผิว

ตัวนำเป็นตัวที่ประจุไฟฟ้าสามารถผ่านจากตัวที่มีประจุไปยังตัวที่ไม่มีประจุความสามารถของตัวนำในการส่งประจุไฟฟ้าผ่านพวกมันนั้นอธิบายได้จากการมีอยู่ของพาหะประจุไฟฟ้าฟรี ตัวนำ - ตัวโลหะในสถานะของแข็งและของเหลว, สารละลายของเหลวของอิเล็กโทรไลต์ ประจุอิสระของตัวนำเข้าสู่สนามไฟฟ้าเริ่มเคลื่อนที่ภายใต้การกระทำของมัน การกระจายประจุทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในสนามไฟฟ้า เมื่อความแรงของสนามไฟฟ้าในตัวนำกลายเป็นศูนย์ อิเล็กตรอนจะหยุดเคลื่อนที่ ปรากฏการณ์การแยกประจุตรงข้ามในตัวนำที่อยู่ในสนามไฟฟ้าเรียกว่าการเหนี่ยวนำไฟฟ้าสถิต ไม่มีสนามไฟฟ้าในตัวนำ ใช้สำหรับการป้องกันไฟฟ้าสถิต - การป้องกันด้วยตัวนำโลหะจากสนามไฟฟ้า พื้นผิวของตัวนำที่มีรูปร่างใดๆ ในสนามไฟฟ้าเป็นพื้นผิวที่มีศักย์เท่ากัน

ตัวเก็บประจุ

เพื่อให้ได้อุปกรณ์ที่มีศักยภาพน้อยเมื่อเทียบกับตัวกลาง จะสะสมประจุ (ควบแน่น) ในขนาดที่สังเกตได้ด้วยตนเอง พวกเขาใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าความจุไฟฟ้าของตัวนำเพิ่มขึ้นเมื่อวัตถุอื่นๆ เข้าใกล้มัน แท้จริงแล้ว ภายใต้การกระทำของสนามที่สร้างขึ้นโดยตัวนำที่มีประจุ ประจุไฟฟ้าเหนี่ยวนำ (บนตัวนำ) หรือประจุผูกพัน ประจุที่อยู่ตรงข้ามกับประจุของตัวนำ q จะอยู่ใกล้กับตัวนำมากกว่าประจุที่มีชื่อเดียวกันกับ q ดังนั้นจึงมีอิทธิพลอย่างมากต่อศักยภาพของมัน

ดังนั้น เมื่อร่างกายถูกนำไปยังตัวนำที่มีประจุ ความแรงของสนามจะลดลง และเป็นผลให้ศักยภาพของตัวนำลดลง ตามสมการนี้หมายถึงการเพิ่มความจุของตัวนำ

ตัวเก็บประจุประกอบด้วยตัวนำสองตัว (แผ่น) (รูปที่ 15.6) คั่นด้วยชั้นอิเล็กทริก เมื่อใช้ความต่างศักย์บางอย่างกับตัวนำ แผ่นของมันจะถูกประจุด้วยประจุที่เท่ากันของเครื่องหมายตรงข้าม ความจุไฟฟ้าของตัวเก็บประจุเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นปริมาณทางกายภาพที่เป็นสัดส่วนกับประจุ q และแปรผกผันกับความต่างศักย์ระหว่างเพลต

พิจารณาความจุของตัวเก็บประจุแบบแบน

หากพื้นที่ของแผ่นคือ S และประจุของแผ่นคือ q แสดงว่าความแรงของสนามระหว่างแผ่น

ในทางกลับกัน ความต่างศักย์ระหว่างแผ่นเปลือกโลก

พลังงานของระบบจุดประจุ ตัวนำที่มีประจุ และตัวเก็บประจุ

ระบบประจุใด ๆ มีพลังงานศักย์ของการโต้ตอบซึ่งเท่ากับงานที่ใช้ในการสร้างระบบนี้ พลังงานของระบบจุดประจุ ถาม 1 , ถาม 2 , ถาม 3 ,… ถาม เอ็นกำหนดไว้ดังนี้

ที่ไหน φ 1 - ศักยภาพของสนามไฟฟ้าที่สร้างขึ้นโดยประจุทั้งหมดยกเว้น ถาม 1 ณ จุดที่มีประจุ ถาม 1 เป็นต้น หากการกำหนดค่าของระบบประจุเปลี่ยนแปลง พลังงานของระบบก็จะเปลี่ยนไปด้วย ในการเปลี่ยนคอนฟิกูเรชันของระบบ จะต้องทำงานให้เสร็จ

พลังงานศักย์ของระบบจุดประจุสามารถคำนวณได้อีกทางหนึ่ง พลังงานศักย์ของประจุสองจุด ถาม 1 , ถาม 2 ที่ระยะห่างเท่ากัน หากมีประจุหลายประจุ พลังงานศักย์ของระบบประจุนี้สามารถกำหนดเป็นผลรวมของพลังงานศักย์ของประจุทุกคู่ที่สามารถรวบรวมได้สำหรับระบบนี้ ดังนั้นสำหรับระบบที่มีประจุบวก 3 ประจุ พลังงานของระบบจะเท่ากับ

พลังงานของตัวนำเดี่ยวและตัวเก็บประจุที่มีประจุ

หากตัวนำเดี่ยวมีประจุ q แสดงว่ามีสนามไฟฟ้าอยู่รอบๆ ศักย์ไฟฟ้าที่พื้นผิวของตัวนำคือ และความจุคือ C ลองเพิ่มประจุโดย dq เมื่อถ่ายโอนประจุ dq จากอนันต์ ให้ทำงานเท่ากับ . แต่ศักยภาพของสนามไฟฟ้าสถิตของตัวนำที่กำหนดที่ระยะอนันต์มีค่าเท่ากับศูนย์ แล้ว

เมื่อประจุ dq ถูกถ่ายโอนจากตัวนำไปยังอนันต์ แรงของสนามไฟฟ้าสถิตจะทำงานแบบเดียวกัน ดังนั้นเมื่อประจุของตัวนำเพิ่มขึ้น dq พลังงานศักย์ของสนามจะเพิ่มขึ้นเช่น

เมื่อรวมนิพจน์นี้เข้าด้วยกัน เราจะพบพลังงานศักย์ของสนามไฟฟ้าสถิตของตัวนำที่มีประจุเมื่อประจุของมันเพิ่มขึ้นจากศูนย์เป็น q:

การใช้ความสัมพันธ์ เราสามารถรับนิพจน์ต่อไปนี้สำหรับพลังงานศักย์ W:

สำหรับตัวเก็บประจุที่มีประจุ ความต่างศักย์ (แรงดัน) จึงเท่ากับอัตราส่วนสำหรับพลังงานทั้งหมดของสนามไฟฟ้าสถิต

การไหลของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าให้สนามเด็กเล่นขนาดเล็ก งส(รูปที่ 1.2) ข้ามเส้นแรงของสนามไฟฟ้าซึ่งมีทิศทางอยู่ในแนวปกติ น มุมเว็บไซต์นี้ ก. สมมติว่าเวกเตอร์ความตึง อี ไม่เปลี่ยนแปลงภายในไซต์ งส, กำหนด การไหลของเวกเตอร์ความตึงเครียดผ่านเว็บไซต์ งสยังไง

งฉอี =อี งสเพราะ ก.(1.3)

เนื่องจากความหนาแน่นของเส้นสนามเท่ากับค่าตัวเลขของแรงดึง อีแล้วจำนวนเส้นแรงที่ตัดผ่านพื้นที่งสจะเท่ากับค่าของสตรีมงฉอีผ่านพื้นผิวงส. เราแสดงด้านขวาของนิพจน์ (1.3) เป็นผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ อีและงส= นงส, ที่ไหน นเป็นหน่วยเวกเตอร์ปกติของพื้นผิวงส. สำหรับประถมศึกษาง สนิพจน์ (1.3) ใช้แบบฟอร์ม

งฉอี = อีง ส

ทั่วทั้งไซต์ สฟลักซ์เวกเตอร์ความเข้มคำนวณเป็นอินทิกรัลบนพื้นผิว

การไหลของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าการไหลของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับการไหลของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้า

งฉง = งง ส

มีความคลุมเครือในคำจำกัดความของการไหลเนื่องจากความจริงที่ว่าสำหรับแต่ละพื้นผิวคุณสามารถระบุได้สองแบบ ปกติในทิศทางตรงกันข้าม สำหรับพื้นผิวที่ปิด ภายนอกปกติถือว่าเป็นบวก

ทฤษฎีบทเกาส์พิจารณา จุดบวกค่าไฟฟ้า ถามตั้งอยู่ภายในพื้นผิวปิดโดยพลการ ส(รูปที่ 1.3) การไหลของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำผ่านองค์ประกอบพื้นผิว ง สเท่ากับ
(1.4)

ส่วนประกอบ ง เอส ดี = ง ส เพราะ กองค์ประกอบพื้นผิว ง สในทิศทางของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำงถือเป็นองค์ประกอบของพื้นผิวทรงกลมรัศมี รที่ศูนย์กลางซึ่งมีค่าใช้จ่ายถาม.

กำหนดให้ ง เอส ดี/ ร 2 เท่ากับ ร่างกายเบื้องต้นมุม งวภายใต้ซึ่งจากจุดที่มีการเรียกเก็บเงินถามองค์ประกอบพื้นผิว d มองเห็นได้ สเราแปลงนิพจน์ (1.4) เป็นแบบฟอร์มง ฉง = ถาม ง ว / 4 หน้าซึ่งหลังจากรวมพื้นที่ทั้งหมดรอบประจุแล้ว เช่น ภายในมุมทึบตั้งแต่ 0 ถึง 4หน้า, เราได้รับ

ฉง = ถาม.

การไหลของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดที่มีรูปร่างโดยพลการจะเท่ากับประจุที่อยู่ภายในพื้นผิวนี้.

หากเป็นการปิดพื้นผิวโดยพลการ สไม่ครอบคลุมค่าใช้จ่ายจุด ถาม(รูปที่ 1.4) จากนั้นเมื่อสร้างพื้นผิวทรงกรวยที่มีจุดสุดยอด ณ จุดที่ประจุอยู่เราจะแบ่งพื้นผิว สเป็นสองส่วน: ส 1 และ ส 2. การไหลของเวกเตอร์ ง ผ่านพื้นผิว สเราพบว่าเป็นผลรวมเชิงพีชคณิตของการไหลผ่านพื้นผิว ส 1 และ ส 2:

.

พื้นผิวทั้งสองจากจุดที่ประจุอยู่ ถามมองเห็นได้จากมุมทึบด้านเดียว ว. ดังนั้นกระแสจึงเท่ากัน

ตั้งแต่เมื่อคำนวณการไหลผ่านพื้นผิวปิดเราใช้ ภายนอกปกติบนพื้นผิวมันง่ายที่จะเห็นว่าฟลักซ์Ф 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. การไหลทั้งหมด Ф ง= 0 หมายความว่า การไหลของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดที่มีรูปร่างโดยพลการไม่ได้ขึ้นอยู่กับประจุที่อยู่นอกพื้นผิวนี้

ถ้าสนามไฟฟ้าถูกสร้างขึ้นโดยระบบจุดประจุ ถาม 1 , ถาม 2 ,¼ , คิว เอ็นซึ่งถูกปกคลุมด้วยพื้นผิวปิด สจากนั้น ตามหลักการของการซ้อนทับ ฟลักซ์ของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำผ่านพื้นผิวนี้ถูกกำหนดเป็นผลรวมของฟลักซ์ที่สร้างขึ้นโดยประจุแต่ละตัว การไหลของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดของรูปร่างโดยพลการจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของประจุที่ปกคลุมด้วยพื้นผิวนี้:

ควรสังเกตว่าค่าใช้จ่าย ฉันถามไม่จำเป็นต้องเป็นจุด เงื่อนไขที่จำเป็นคือบริเวณที่มีประจุจะต้องถูกปกคลุมอย่างสมบูรณ์โดยพื้นผิว ถ้าอยู่ในพื้นที่ที่มีพื้นผิวปิด ส, ประจุไฟฟ้ามีการกระจายอย่างต่อเนื่อง จึงควรพิจารณาว่าแต่ละปริมาตรมูลฐาน ง วีมีค่าใช้จ่าย ในกรณีนี้ ทางด้านขวาของนิพจน์ (1.5) ผลรวมเชิงพีชคณิตของประจุจะถูกแทนที่ด้วยการรวมเหนือปริมาตรที่อยู่ภายในพื้นผิวปิด ส:

(1.6)

Expression (1.6) เป็นสูตรทั่วไปที่สุด ทฤษฎีบทเกาส์: ฟลักซ์ของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดที่มีรูปร่างโดยพลการจะเท่ากับประจุทั้งหมดในปริมาตรที่ปกคลุมด้วยพื้นผิวนี้ และไม่ขึ้นอยู่กับประจุที่อยู่นอกพื้นผิวที่พิจารณา. นอกจากนี้ยังสามารถเขียนทฤษฎีบทเกาส์สำหรับการไหลของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้า:

.

คุณสมบัติที่สำคัญของสนามไฟฟ้าตามมาจากทฤษฎีบทเกาส์: เส้นแรงเริ่มต้นหรือสิ้นสุดด้วยประจุไฟฟ้าหรือไปที่อนันต์เท่านั้น. ขอย้ำอีกครั้งว่าแม้จะมีความแรงของสนามไฟฟ้า อี และการเหนี่ยวนำไฟฟ้า ง ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของประจุทั้งหมดในอวกาศ ฟลักซ์ของเวกเตอร์เหล่านี้ผ่านพื้นผิวปิดโดยพลการ สกำหนดเท่านั้น ประจุเหล่านั้นที่อยู่ภายในพื้นผิว ส.

รูปแบบเชิงอนุพันธ์ของทฤษฎีบทเกาส์โปรดทราบว่า แบบฟอร์มอินทิกรัลทฤษฎีบทเกาส์แสดงลักษณะความสัมพันธ์ระหว่างแหล่งที่มาของสนามไฟฟ้า (ประจุ) และลักษณะของสนามไฟฟ้า (ความแรงหรือการเหนี่ยวนำ) ในปริมาตร วีตามอำเภอใจ แต่เพียงพอสำหรับการก่อตัวของความสัมพันธ์เชิงบูรณาการ คุณค่า โดยแบ่งปริมาตร วีสำหรับเล่มเล็ก วิเราได้รับนิพจน์

ใช้ได้ทั้งโดยทั่วไปและสำหรับแต่ละเทอม เราแปลงนิพจน์ผลลัพธ์ดังนี้:

(1.7)

และพิจารณาขีดจำกัดที่นิพจน์ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน ซึ่งอยู่ในวงเล็บปีกกา มีแนวโน้มที่จะ แบ่งปริมาตรได้ไม่จำกัด วี. ในทางคณิตศาสตร์ ลิมิตนี้เรียกว่า ความแตกต่างเวกเตอร์ (ในกรณีนี้คือเวกเตอร์ของการเหนี่ยวนำไฟฟ้า ง):

เวกเตอร์ไดเวอร์เจนซ์ งในพิกัดคาร์ทีเซียน:

ดังนั้นนิพจน์ (1.7) จึงเปลี่ยนเป็นรูปแบบ:

.

เมื่อพิจารณาว่าด้วยการหารไม่จำกัด ผลรวมทางด้านซ้ายของนิพจน์สุดท้ายจะเข้าสู่อินทิกรัลปริมาณ เราได้รับ

ความสัมพันธ์ที่เป็นผลลัพธ์ต้องคงไว้สำหรับวอลุ่มใดๆ ก็ตามที่เลือกโดยพลการ วี. สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อค่าของอินทิเกรตในแต่ละจุดในอวกาศเท่ากัน ดังนั้น ไดเวอร์เจนซ์ของเวกเตอร์ งมีความสัมพันธ์กับความหนาแน่นของประจุที่จุดเดียวกันโดยสมมูล

หรือสำหรับเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิต

ความเท่าเทียมกันเหล่านี้แสดงทฤษฎีบทเกาส์ใน รูปแบบความแตกต่าง.

โปรดทราบว่าในกระบวนการส่งผ่านไปยังรูปแบบเชิงอนุพันธ์ของทฤษฎีบทเกาส์ จะได้ความสัมพันธ์ที่มีลักษณะทั่วไป:

.

นิพจน์นี้เรียกว่าสูตร Gauss-Ostrogradsky และเชื่อมอินทิกรัลปริมาตรของไดเวอร์เจนซ์ของเวกเตอร์กับการไหลของเวกเตอร์นี้ผ่านพื้นผิวปิดที่ล้อมรอบปริมาตร

คำถาม

1) อะไรคือความหมายทางกายภาพของทฤษฎีบทเกาส์สำหรับสนามไฟฟ้าสถิตในสุญญากาศ

2) มีจุดชาร์จอยู่ตรงกลางของลูกบาศก์ถาม. การไหลของเวกเตอร์คืออะไร อี:

ก) ผ่านพื้นผิวของลูกบาศก์; b) ผ่านด้านใดด้านหนึ่งของลูกบาศก์

คำตอบจะเปลี่ยนไปหรือไม่หาก:

ก) ประจุไม่ได้อยู่ตรงกลางของลูกบาศก์ แต่อยู่ภายใน ; b) ประจุอยู่นอกลูกบาศก์

3) เชิงเส้น พื้นผิว ปริมาตร ความหนาแน่นของประจุคืออะไร

4) ระบุความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรและความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิว

5) สนามภายนอกระนาบอนันต์ขนานที่มีประจุตรงข้ามและมีประจุเท่ากันจะแตกต่างจากศูนย์ได้หรือไม่

6) ไดโพลไฟฟ้าวางอยู่ภายในพื้นผิวปิด อะไรไหลผ่านพื้นผิวนี้

งานหลักของไฟฟ้าสถิตคือการคำนวณสนามไฟฟ้าที่สร้างขึ้นในอุปกรณ์และอุปกรณ์ต่างๆ โดยทั่วไป ปัญหานี้แก้ไขได้โดยใช้กฎคูลอมบ์และหลักการซ้อนทับ อย่างไรก็ตาม ปัญหานี้จะกลายเป็นเรื่องซับซ้อนมากเมื่อพิจารณาค่าใช้จ่ายแบบจุดหรือแบบกระจายเชิงพื้นที่จำนวนมาก ความยากลำบากที่ยิ่งใหญ่กว่านั้นเกิดขึ้นเมื่อมีไดอิเล็กทริกหรือตัวนำในอวกาศเมื่ออยู่ภายใต้การกระทำของสนามภายนอก E 0 มีการกระจายประจุด้วยกล้องจุลทรรศน์ซ้ำซึ่งสร้างสนามเพิ่มเติม E ของตัวเอง ดังนั้นสำหรับการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ ผู้ช่วย มีการใช้วิธีการและเทคนิคที่ใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน เราจะพิจารณาวิธีที่ง่ายที่สุดตามการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท Ostrogradsky-Gauss ในการกำหนดทฤษฎีบทนี้ เราแนะนำแนวคิดใหม่หลายประการ:

A) ความหนาแน่นของประจุ

หากวัตถุที่มีประจุมีขนาดใหญ่ คุณต้องทราบการกระจายของประจุภายในร่างกาย

ความหนาแน่นของประจุจำนวนมาก- วัดจากค่าใช้จ่ายต่อหน่วยปริมาตร:

ความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิว- วัดจากประจุของหน่วยพื้นผิวของร่างกาย (เมื่อประจุกระจายไปทั่วพื้นผิว):

ความหนาแน่นของประจุเชิงเส้น(การกระจายประจุไปตามตัวนำ):

ข) เวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าสถิต

การเหนี่ยวนำไฟฟ้าสถิตเวกเตอร์ (เวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้า) เป็นปริมาณเวกเตอร์ที่แสดงลักษณะของสนามไฟฟ้า

เวกเตอร์ เท่ากับผลคูณของเวกเตอร์ ในการอนุญาตสัมบูรณ์ของตัวกลาง ณ จุดที่กำหนด:

มาตรวจสอบมิติกัน งในระบบ SI ของหน่วย:

, เพราะ
,

ขนาด D และ E ไม่ตรงกันและค่าตัวเลขก็แตกต่างกันเช่นกัน

จากคำนิยาม มันเป็นไปตามนั้นสำหรับสนามเวกเตอร์ หลักการเดียวกันของการซ้อนทับถือเป็นสนาม :

สนาม จะแสดงเป็นกราฟด้วยเส้นเหนี่ยวนำ เช่นเดียวกับสนาม . มีการลากเส้นเหนี่ยวนำเพื่อให้เส้นสัมผัสที่แต่ละจุดตรงกับทิศทาง และจำนวนบรรทัดเท่ากับค่าตัวเลขของ D ที่ตำแหน่งที่กำหนด

เพื่อให้เข้าใจความหมายของบทนำ ลองดูตัวอย่าง

วี) ฟลักซ์เวกเตอร์เหนี่ยวนำไฟฟ้าสถิต

พิจารณาพื้นผิว S ในสนามไฟฟ้าและเลือกทิศทางของเส้นปกติ

1. ถ้าสนามมีความสม่ำเสมอ จำนวนเส้นแรงผ่านพื้นผิว S:

2. หากสนามไม่สม่ำเสมอ พื้นผิวจะถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบเล็ก ๆ น้อย ๆ dS ซึ่งถือว่าแบนราบและสนามที่อยู่ใกล้พวกมันจะเป็นเนื้อเดียวกัน ดังนั้นการไหลผ่านองค์ประกอบพื้นผิวคือ: dN = D n dS

ในขณะที่การไหลทั้งหมดผ่านพื้นผิวใด ๆ คือ:

(6)

ฟลักซ์ของการเหนี่ยวนำ N เป็นค่าสเกลาร์ ขึ้นอยู่กับ  สามารถเป็น > 0 หรือ< 0, или = 0.