Pomocou tejto lekcie sa dozviete o racionálnych nerovnostiach a ich systémoch. Systém racionálnych nerovníc je riešený pomocou ekvivalentných transformácií. Zvažuje sa definícia ekvivalencie, metóda nahradenia zlomkovo-racionálnej nerovnosti štvorcovou a tiež chápe, aký je rozdiel medzi nerovnicou a rovnicou a ako sa vykonávajú ekvivalentné transformácie.

Algebra ročník 9

Záverečné opakovanie kurzu algebry 9. ročníka

Racionálne nerovnosti a ich systémy. Systémy racionálnych nerovností.

1.1 Abstraktné.

1. Ekvivalentné transformácie racionálnych nerovností.

Rozhodnite sa racionálna nerovnosť znamená nájsť všetky jeho riešenia. Na rozdiel od rovnice pri riešení nerovnosti spravidla existuje nekonečný počet riešení. Nekonečné množstvo riešení nie je možné overiť substitúciou. Preto je potrebné transformovať pôvodnú nerovnicu tak, aby v každom ďalšom riadku bola získaná nerovnosť s rovnakou množinou riešení.

Racionálne nerovnosti riešený len s ekvivalent alebo ekvivalentné transformácie. Takéto transformácie nenarúšajú množinu riešení.

Definícia. Racionálne nerovnosti volal ekvivalent ak sú množiny ich riešení rovnaké.

Označiť rovnocennosť použiť znak

2. Riešenie sústavy nerovníc

Prvá a druhá nerovnosť sú zlomkové racionálne nerovnosti. Metódy ich riešenia sú prirodzeným pokračovaním metód riešenia lineárnych a kvadratických nerovníc.

Presuňme čísla na pravej strane doľava s opačným znamienkom.

V dôsledku toho zostane na pravej strane 0. Táto transformácia je ekvivalentná. To je označené znakom

Vykonajme akcie, ktoré predpisuje algebra. Odčítajte „1“ v prvej nerovnosti a „2“ v druhej.

3. Riešenie nerovnice intervalovou metódou

1) Predstavme si funkciu. Musíme vedieť, kedy je táto funkcia menšia ako 0.

2) Nájdite definičný obor funkcie: menovateľ by nemal byť 0. „2“ je bod zlomu. Pre x=2 je funkcia neurčitá.

3) Nájdite korene funkcie. Funkcia je 0, ak je čitateľ 0.

Nastavené body rozdeľujú číselnú os na tri intervaly - sú to intervaly stálosti. Na každom intervale si funkcia zachováva svoje znamienko. Určme znamienko na prvom intervale. Nahradiť nejakú hodnotu. Napríklad 100. Je jasné, že čitateľ aj menovateľ sú väčšie ako 0. To znamená, že celý zlomok je kladný.

Určme znamienka na zostávajúcich intervaloch. Pri prechode bodom x=2 zmení znamienko iba menovateľ. To znamená, že celý zlomok zmení znamienko a bude záporný. Urobme podobnú diskusiu. Pri prechode bodom x=-3 zmení znamienko iba čitateľ. To znamená, že zlomok zmení znamienko a bude kladný.

Zvolíme interval zodpovedajúci podmienke nerovnosti. Vytieňujte to a napíšte to ako nerovnosť

4. Riešenie nerovnosti pomocou kvadratickej nerovnosti

Dôležitý fakt.

Pri porovnaní s 0 (v prípade striktnej nerovnosti) možno zlomok nahradiť súčinom čitateľa a menovateľa, alebo je možné čitateľa alebo menovateľa zameniť.

Je to tak preto, že všetky tri nerovnosti platia za predpokladu, že u a v iné znamenie. Tieto tri nerovnosti sú ekvivalentné.

Využime túto skutočnosť a nahradíme zlomkovo-racionálnu nerovnosť druhou štvorcovou.

Poďme vyriešiť kvadratickú nerovnosť.

Poďme sa predstaviť kvadratickej funkcie. Poďme nájsť jeho korene a zostaviť náčrt jeho grafu.

Takže vetvy paraboly sú hore. Vo vnútri intervalu koreňov funkcia zachováva znamienko. Je negatívna.

Mimo intervalu koreňov je funkcia kladná.

Riešenie prvej nerovnosti:

5. Riešenie nerovnice

Predstavme si funkciu:

Nájdite jeho intervaly stálosti:

Aby sme to dosiahli, nájdeme korene a body diskontinuity definičného oboru funkcie. Vždy vystrihneme body zlomu. (x \u003d 3/2) Korene sme vystrihli v závislosti od znamienka nerovnosti. Naša nerovnosť je prísna. Preto vystrihneme koreň.

Umiestnime znaky:

Napíšeme riešenie:

Dokončime riešenie systému. Nájdite priesečník množiny riešení prvej nerovnosti a množiny riešení druhej nerovnice.

Riešiť sústavu nerovníc znamená nájsť priesečník množiny riešení prvej nerovnosti a množiny riešení druhej nerovnosti. Preto po oddelenom vyriešení prvej a druhej nerovnice je potrebné zapísať získané výsledky do jedného systému.

Znázornime riešenie prvej nerovnosti nad osou x.

>>Matematika: Racionálne nerovnosti

Racionálna nerovnosť s jednou premennou x je nerovnosťou tvaru - racionálnych výrazov, t.j. algebraické výrazy, zložený z čísel a premennej x pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia, delenia a umocňovania na prirodzenú mocninu. Samozrejme, premennú môžeme označiť aj akýmkoľvek iným písmenom, no v matematike sa najčastejšie uprednostňuje písmeno x.

Pri riešení racionálnych nerovníc sa používajú tri pravidlá, ktoré boli formulované vyššie v § 1. Pomocou týchto pravidiel sa daná racionálna nerovnosť zvyčajne prevedie do tvaru / (x) > 0, kde / (x) je algebraické zlomok (alebo polynóm). Ďalej rozložte čitateľa a menovateľa zlomku f (x) na faktory tvaru x - a (ak je to samozrejme možné) a aplikujte intervalovú metódu, ktorú sme už spomenuli vyššie (pozri príklad 3 v predchádzajúcom odsek).

Príklad 1 Vyriešte nerovnosť (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Riešenie. Uvažujme výraz f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

V bodoch 1,-1,2 sa zmení na 0; vyznačte tieto body na číselnej osi. Číselná čiara je naznačenými bodmi rozdelená na štyri intervaly (obr. 6), na každom z nich si výraz f (x) zachováva konštantné znamienko. Aby sme to overili, vykonáme štyri argumenty (pre každý z týchto intervalov samostatne).

Vezmite ľubovoľný bod x z intervalu (2, Tento bod sa nachádza na číselnej osi napravo od bodu -1, napravo od bodu 1 a napravo od bodu 2. To znamená, že x> -1, x> 1, x> 2 (obr. 7). Potom však x-1>0, x+1>0, x - 2> 0, a teda f (x)> 0 (ako súčin racionálnej nerovnosti troch kladných čísla). Takže nerovnosť f (x ) > 0.

Vezmite ľubovoľný bod x z intervalu (1,2). Tento bod sa nachádza na číselnej osi napravo od bodu-1, napravo od bodu 1, ale naľavo od bodu 2. Preto x\u003e -1, x\u003e 1, ale x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0,x-1>0,x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Vezmite ľubovoľný bod x z intervalu (-1,1). Tento bod sa nachádza na číselnej osi napravo od bodu -1, naľavo od bodu 1 a naľavo od bodu 2. Takže x > -1, ale x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (ako súčin dvoch záporných a jedného kladného čísla). Na intervale (-1,1) teda platí nerovnosť f (x)> 0.

Nakoniec zoberte ľubovoľný bod x z otvoreného lúča (-oo, -1). Tento bod sa nachádza na číselnej osi naľavo od bodu -1, naľavo od bodu 1 a naľavo od bodu 2. To znamená, že x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Poďme si to zhrnúť. Znamienka výrazu f (x) vo zvolených intervaloch sú ako na obr. 11. Zaujímajú nás tie z nich, na ktorých je splnená nerovnosť f (x) > 0. Pomocou geometrického modelu znázorneného na obr. 11 zistíme, že nerovnosť f (x) > 0 je splnená na intervale (-1, 1) alebo na otvorenom nosníku
odpoveď: -1 < х < 1; х > 2.

Príklad 2 Vyriešte nerovnosť
Riešenie. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade budeme čerpať potrebné informácie z obr. 11, ale s dvomi zmenami oproti príkladu 1. Po prvé, keďže nás zaujíma, aké hodnoty x spĺňajú nerovnosť f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Po druhé sme spokojní aj s tými bodmi, pri ktorých je splnená rovnosť f (x) = 0. Sú to body -1, 1, 2, na obrázku ich označíme tmavými krúžkami a zahrnieme do odpovede. Na obr. 12 je znázornený geometrický model odozvy, z ktorého nie je ťažké prejsť k analytickému záznamu.
odpoveď:
PRÍKLAD 3. Vyriešte nerovnosť
Riešenie. Rozložme na faktor čitateľa a menovateľa algebraického zlomku fx, ktorý sa nachádza na ľavej strane nerovnosti. V čitateli máme x 2 - x \u003d x (x - 1).

Na rozklad štvorcovej trojčlenky x 2 - bx ~ 6 obsiahnutej v menovateli zlomku nájdeme jej korene. Z rovnice x 2 - 5x - 6 \u003d 0 nájdeme x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. (použili sme vzorec na faktorizáciu štvorcového trinomu: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Danú nerovnosť sme teda pretransformovali do tvaru

Zvážte výraz:

Čitateľ tohto zlomku sa v bodoch 0 a 1 zmení na 0 a v bodoch -1 a 6 na 0. Označme tieto body na číselnej osi (obr. 13). Číselná čiara je rozdelená označenými bodmi do piatich intervalov a na každom intervale si výraz fx) zachováva konštantné znamienko. Argumentujúc rovnakým spôsobom ako v príklade 1, dospejeme k záveru, že znamienka výrazu fx) vo vybraných intervaloch sú také, ako je znázornené na obr. 13. Zaujíma nás, kde je nerovnosť f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 odpovedí: -1

Príklad 4 Vyriešte nerovnosť

Riešenie. Pri riešení racionálnych nerovníc spravidla radšej nechávajú na pravej strane nerovnosti len číslo 0. Preto nerovnicu transformujeme do tvaru

ďalej:

Ako ukazuje skúsenosť, ak pravá strana nerovnosti obsahuje iba číslo 0, je vhodnejšie uvažovať, keď čitateľ aj menovateľ na jej ľavej strane majú kladný vyšší koeficient.A čo máme?Všetko máme v menovateľ zlomku v tomto zmysle v poradí (najvyšší koeficient, t.j. koeficient pri x 2, je 6 - kladné číslo), ale nie všetko je v čitateli v poriadku - vodiaci koeficient (koeficient na x) je -4 ( záporné číslo). Vynásobením oboch častí nerovnosti číslom -1 a zmenou znamienka nerovnosti na opačné dostaneme nerovnosť ekvivalentnú k nej

Rozložme čitateľa a menovateľa algebraického zlomku na faktor. V čitateli je všetko jednoduché:
Rozložiť štvorcovú trojčlenku obsiahnutú v menovateli zlomku

(opäť sme použili vzorec na faktorizáciu štvorcového trojčlenu).
Danú nerovnosť sme teda zredukovali na formu

Zvážte výraz

Čitateľ tohto zlomku sa v bode zmení na 0 a v bodoch menovateľ - tieto body si poznamenáme na číselnej osi (obr. 14), ktorá je rozdelená označenými bodmi na štyri intervaly a na každom intervale je výraz f (x) si zachováva konštantné znamienko (tieto znamienka sú vyznačené na obr. 14). Zaujímajú nás tie intervaly, na ktorých je nerovnosť fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Vo všetkých uvažovaných príkladoch sme danú nerovnosť transformovali na ekvivalentnú nerovnosť v tvare f (x) > 0 alebo f (x)<0,где
V tomto prípade môže byť počet faktorov v čitateli a menovateli zlomku ľubovoľný. Potom boli na číselnej osi vyznačené body a, b, c, e. a určil znamienka výrazu f (x) na zvolených intervaloch. Všimli sme si, že úplne vpravo od zvolených intervalov je splnená nerovnosť f (x) > 0 a následne sa po intervaloch striedajú znamienka výrazu f (x) (pozri obr. 16a). Toto striedanie je vhodne znázornené pomocou zvlnenej krivky, ktorá sa kreslí sprava doľava a zhora nadol (obr. 166). Na tých intervaloch, kde sa táto krivka (niekedy nazývaná krivka znamienok) nachádza nad osou x, je splnená nerovnosť f (x) > 0; kde je táto krivka umiestnená pod osou x, nerovnosť f (x)< 0.

Príklad 5 Vyriešte nerovnosť

Riešenie. Máme

(obe časti predchádzajúcej nerovnosti boli vynásobené 6).
Ak chcete použiť intervalovú metódu, označte body na číselnej osi (v týchto bodoch zaniká čitateľ zlomku obsiahnutého na ľavej strane nerovnosti) a body (v týchto bodoch zaniká menovateľ uvedeného zlomku). Zvyčajne sú body označené schematicky, pričom sa berie do úvahy poradie, v ktorom nasledujú (čo je vpravo, čo je vľavo) a nevenuje sa zvláštna pozornosť mierke. To je jasné S číslami je situácia zložitejšia, prvý odhad ukazuje, že obe čísla sú o niečo väčšie ako 2,6, z čoho nemožno usúdiť, ktoré z uvedených čísel je väčšie a ktoré menšie. Predpokladajme (náhodne), že Potom
Ukázala sa správna nerovnosť, čo znamená, že náš odhad sa potvrdil: v skutočnosti
takže,

Označených 5 bodov označíme v naznačenom poradí na číselnom rade (obr. 17a). Usporiadajte znaky výrazu
na získaných intervaloch: úplne vpravo - znamienko + a potom sa znamienka striedajú (obr. 176). Nakreslíme krivku znamienok a vyberieme (zatienením) tie intervaly, na ktorých je splnená pre nás zaujímavá nerovnosť f (x) > 0 (obr. 17c). Nakoniec berieme do úvahy, že hovoríme o nestriktnej nerovnosti f (x) > 0, čo znamená, že nás zaujímajú aj tie body, v ktorých výraz f (x) zaniká. Sú to korene čitateľa zlomku f (x), t.j. bodov označíme ich na obr. 17 v tmavých kruhoch (a samozrejme zahrnúť do odpovede). Teraz je tu obrázok. 17c uvádza úplný geometrický model pre riešenia danej nerovnosti.

Metóda rozstupu- je to univerzálny spôsob riešenia takmer akýchkoľvek nerovností, ktoré sa vyskytujú v kurze školskej algebry. Je založená na nasledujúcich vlastnostiach funkcií:

1. Spojitá funkcia g(x) môže zmeniť znamienko iba v bode, kde sa rovná 0. Graficky to znamená, že graf spojitej funkcie sa môže pohybovať z jednej polroviny do druhej iba vtedy, ak pretína x- os (pamätáme si, že ordináta ľubovoľného bodu ležiaceho na osi OX (abscisová os) sa rovná nule, to znamená, že hodnota funkcie v tomto bode je 0):

Vidíme, že funkcia y=g(x) zobrazená na grafe pretína os OX v bodoch x= -8, x=-2, x=4, x=8. Tieto body sa nazývajú nuly funkcie. A v rovnakých bodoch funkcia g(x) mení znamienko.

2. Funkcia môže zmeniť aj znamienko v nulách menovateľa - najjednoduchší príklad dobre známa vlastnosť:

Vidíme, že funkcia mení znamienko v koreni menovateľa, v bode , ale v žiadnom bode nezmizne. Ak teda funkcia obsahuje zlomok, môže zmeniť znamienko v koreňoch menovateľa.

2. Funkcia však nie vždy mení znamienko v koreni čitateľa alebo v koreni menovateľa. Napríklad funkcia y=x 2 nemení znamienko v bode x=0:

Pretože rovnica x 2 \u003d 0 má dva rovnaké korene x \u003d 0, v bode x \u003d 0 sa funkcia akoby dvakrát zmení na 0. Takýto koreň sa nazýva koreň druhej násobnosti.

Funkcia zmení znamienko na nule čitateľa, ale nezmení znamienko na nule menovateľa: , keďže koreň je koreňom druhej násobnosti, teda párnej násobnosti:

Dôležité! Pri koreňoch párnej násobnosti funkcia nemení znamienko.

Poznámka! akýkoľvek nelineárne nerovnosť školského priebehu algebry sa spravidla rieši pomocou intervalovej metódy.

Ponúkam vám podrobnú, podľa ktorej sa môžete vyhnúť chybám, keď rozhodnutie nie lineárne nerovnosti .

1. Najprv je potrebné uviesť nerovnosť do formulára

P(x)V0,

kde V je znak nerovnosti:<,>,≤ alebo ≥. Na to potrebujete:

a) presunúť všetky členy na ľavú stranu nerovnosti,

b) nájsť korene výsledného výrazu,

c) faktorizujte ľavú stranu nerovnosti

d) napíšte rovnaké faktory ako diplom.

Pozor! Posledná akcia musí byť vykonaná, aby nedošlo k chybe s násobnosťou koreňov - ak je výsledkom násobiteľ v párnom stupni, potom zodpovedajúci koreň má párnu násobnosť.

2. Nájdené korene daj na číselnú os.

3. Ak je nerovnosť strohá, tak kruhy označujúce korene na číselnej osi zostanú "prázdne", ak nerovnosť nie je striktná, tak sa kruhy prefarbia.

4. Vyberáme korene párnej mnohosti - v nich P(x) znamenie sa nemení.

5. Určite znamenie P(x) na pravej strane medzery. Ak to chcete urobiť, vezmite ľubovoľnú hodnotu x 0, ktorá je väčšia ako najväčší koreň a náhrada v P(x).

Ak P(x 0)>0 (alebo ≥0), potom do intervalu úplne vpravo umiestnime znamienko „+“.

Ak P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Pri prechode cez bod označujúci odmocninu párnej násobnosti sa znamienko NEMENÍ.

7. Ešte raz sa pozrieme na znamienko pôvodnej nerovnosti a vyberieme intervaly znamienka, ktoré potrebujeme.

8. Pozor! Ak naša nerovnosť NIE JE PRÍSNA, tak podmienku rovnosti na nulu kontrolujeme samostatne.

9. Zapíšte si odpoveď.

Ak originál nerovnosť obsahuje v menovateli neznámu, potom tiež prenesieme všetky pojmy doľava a ľavú stranu nerovnosti zredukujeme do tvaru

(kde V je znak nerovnosti:< или >)

Striktná nerovnosť tohto druhu je ekvivalentná nerovnosti

NIE prísny nerovnosť tvaru

sa rovná systém:

V praxi, ak má funkcia tvar , potom postupujeme takto:

1. Nájdite korene čitateľa a menovateľa.
2. Dali sme ich na os. Všetky kruhy zostanú prázdne. Potom, ak nerovnosť nie je striktná, potom pretrieme korene čitateľa a vždy necháme korene menovateľa prázdne.
3. Ďalej postupujeme podľa všeobecného algoritmu:
4. Vyberieme korene párnej násobnosti (ak čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké korene, potom spočítame, koľkokrát sa rovnaké korene vyskytujú). Neexistuje žiadna zmena znamienka v koreňoch párnej mnohosti.
5. Znamienko zistíme na intervale úplne vpravo.
6. Umiestnili sme značky.
7. V prípade nestriktnej nerovnosti sa podmienka rovnosti, podmienka rovnosti na nulu, kontroluje samostatne.
8. Vyberieme potrebné intervaly a samostatne stojace korene.
9. Odpoveď zapíšeme.

Pre lepšie pochopenie algoritmus na riešenie nerovníc intervalovou metódou, pozrite si VIDEO LEKCIU, v ktorej je príklad podrobne rozobratý riešenie nerovnice metódou intervalov.

Pokračujeme v analýze spôsobov riešenia nerovností, ktoré majú vo svojom zložení jednu premennú. Už sme študovali lineárne a kvadratické nerovnosti, čo sú špeciálne prípady racionálnych nerovností. V tomto článku si ujasníme, aký typ nerovností sú racionálne, povieme si, na aké typy sa delia (celé a zlomkové). Potom ukážeme, ako ich správne vyriešiť, poskytneme potrebné algoritmy a analyzujeme konkrétne problémy.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncept racionálnej rovnosti

Keď sa v škole preberá téma riešenia nerovností, hneď berú racionálne nerovnosti. Získavajú a zdokonaľujú zručnosti práce s týmto typom prejavu. Sformulujme definíciu tohto pojmu:

Definícia 1

Racionálna nerovnosť je nerovnosť s premennými, ktorá obsahuje racionálne výrazy v oboch častiach.

Všimnite si, že definícia nijako neovplyvňuje počet premenných, čo znamená, že ich môže byť ľubovoľne veľké množstvo. Preto sú možné racionálne nerovnosti s 1, 2, 3 alebo viacerými premennými. Najčastejšie sa človek musí zaoberať výrazmi obsahujúcimi len jednu premennú, menej často dve a na nerovnosti s veľkým počtom premenných sa v rámci školského kurzu väčšinou vôbec neberie.

Racionálnu nerovnosť sa teda môžeme naučiť pohľadom na jej zápis. Na pravej aj na ľavej strane by mala mať racionálne prejavy. Tu je niekoľko príkladov:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

A tu je nerovnosť v tvare 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Všetky racionálne nerovnosti sú rozdelené na celé číslo a zlomok.

Definícia 2

Celočíselná racionálna rovnosť pozostáva z celočíselných racionálnych výrazov (v oboch častiach).

Definícia 3

Zlomkovo racionálna rovnosť- ide o rovnosť, ktorá obsahuje zlomkový výraz v jednej alebo oboch svojich častiach.

Napríklad nerovnosti tvaru 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 a 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 sú zlomkové racionálne a 0,5 x ≤ 3 (2 − 5 rokov) a 1: x + 3 > 0- celý.

Analyzovali sme, čo sú racionálne nerovnosti, a identifikovali sme ich hlavné typy. Môžeme prejsť k prehľadu, ako ich riešiť.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenia celočíselnej racionálnej nerovnosti r(x)< s (x) , ktorá obsahuje iba jednu premennú x . V čom r(x) a s(x) sú akýkoľvek celok racionálne čísla alebo výrazy a znak nerovnosti môže byť iný. Aby sme túto úlohu vyriešili, musíme ju transformovať a získať ekvivalentnú rovnosť.

Začnime presunutím výrazu z pravej strany na ľavú. Získame nasledovné:

tvaru r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

My to vieme r(x) − s(x) bude celočíselná hodnota a akýkoľvek celočíselný výraz možno previesť na polynóm. Poďme sa transformovať r(x) − s(x) v h(x). Tento výraz bude identicky rovnaký polynóm. Vzhľadom na to, že r (x) − s (x) ah (x) majú rovnaký rozsah možných hodnôt x, môžeme prejsť na nerovnosti h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , ktorý bude ekvivalentný pôvodnému.

Takáto jednoduchá transformácia často postačí na vyriešenie nerovnosti, pretože výsledkom môže byť lineárna alebo kvadratická nerovnosť, ktorej hodnotu nie je ťažké vypočítať. Poďme sa pozrieť na tieto problémy.

Príklad 1

podmienka: vyriešiť celočíselnú racionálnu nerovnosť x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

Riešenie

Začnime prenesením výrazu z pravej strany na ľavú s opačným znamienkom.

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

Teraz, keď sme dokončili všetky operácie s polynómami vľavo, môžeme prejsť k lineárnej nerovnosti 3 x − 2 ≤ 0 ekvivalentné tomu, čo bolo uvedené v podmienke. Riešenie je jednoduché:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

odpoveď: x ≤ 23.

Príklad 2

podmienka: nájsť riešenie nerovnosti (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

Riešenie

Výraz prenesieme z ľavej strany na pravú a ďalšie transformácie vykonáme pomocou skrátených vzorcov násobenia.

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

V dôsledku našich transformácií sme dostali nerovnosť, ktorá bude platiť pre všetky hodnoty x, preto môže byť riešením pôvodnej nerovnosti akékoľvek reálne číslo.

odpoveď: akékoľvek reálne číslo.

Príklad 3

podmienka: vyriešiť nerovnosť x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

Riešenie

Z pravej strany nebudeme nič prenášať, keďže je tam 0 . Začnime hneď prevedením ľavej strany na polynóm:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

Odvodili sme kvadratickú nerovnosť ekvivalentnú tej pôvodnej, ktorá sa dá jednoducho vyriešiť niekoľkými metódami. Využime grafickú metódu.

Začnime výpočtom koreňov štvorcového trojčlenu − 2 x 2 + 11 x + 6:

D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, 5, x u003d 6

Teraz na diagrame označíme všetky potrebné nuly. Keďže vodiaci koeficient je menší ako nula, vetvy paraboly na grafe sa budú pozerať nadol.

Budeme potrebovať plochu paraboly umiestnenú nad osou x, keďže v nerovnosti máme znamienko >. Požadovaný interval je (− 0 , 5 , 6) preto tento rozsah hodnôt bude riešením, ktoré potrebujeme.

odpoveď: (− 0 , 5 , 6) .

Existujú aj komplikovanejšie prípady, keď vľavo dostaneme polynóm tercie alebo viac vysoký stupeň. Na vyriešenie takejto nerovnosti sa odporúča použiť intervalovú metódu. Najprv vypočítame všetky korene polynómu h(x), čo sa najčastejšie robí rozkladom polynómu.

Príklad 4

podmienka: vypočítať (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .

Riešenie

Začnime, ako vždy, presunutím výrazu na ľavú stranu, po ktorom bude potrebné otvoriť zátvorky a zmenšiť podobné výrazy.

(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

V dôsledku transformácií sme dostali rovnosť ekvivalentnú tej pôvodnej, na ľavej strane ktorej je polynóm tretieho stupňa. Na jeho vyriešenie použijeme intervalovú metódu.

Najprv vypočítame korene polynómu, pre ktoré potrebujeme vyriešiť kubickú rovnicu x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Má to racionálne korene? Môžu byť len medzi deliteľmi voľného termínu, t.j. medzi číslami ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Postupne ich dosadíme do pôvodnej rovnice a zistíme, že čísla 1, 2 a 3 budú jej koreňmi.

Takže polynóm x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 možno opísať ako produkt (x − 1) (x − 2) (x − 3) a nerovnosť x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 možno prezentovať ako (x − 1) (x − 2) (x − 3)< 0 . S nerovnosťou tohto druhu sa nám potom budú ľahšie určovať znamienka na intervaloch.

Ďalej vykonáme zostávajúce kroky intervalovej metódy: nakreslíme číselnú os a body na nej so súradnicami 1 , 2 , 3 . Rozdeľujú priamku na 4 intervaly, v ktorých je potrebné určiť znamienka. Medzery zatienime mínusom, keďže pôvodná nerovnosť má znamienko < .

Stačí si zapísať hotovú odpoveď: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​​​.

odpoveď: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

V niektorých prípadoch vykonajte prechod z nerovnosti r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) až h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , kde h(x)– polynóm vyšší ako 2 je nevhodný. To sa vzťahuje aj na prípady, keď je jednoduchšie reprezentovať r(x) − s(x) ako súčin lineárnych dvojčlenov a štvorcových trojčlenov, než rozdeľovať h(x) do samostatných faktorov. Poďme sa na tento problém pozrieť.

Príklad 5

podmienka: nájsť riešenie nerovnosti (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

Riešenie

Táto nerovnosť platí pre celé čísla. Ak presunieme výraz z pravej strany doľava, otvoríme zátvorky a vykonáme redukciu pojmov, dostaneme x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

Riešenie takejto nerovnosti nie je jednoduché, pretože musíte hľadať korene polynómu štvrtého stupňa. Nemá žiadny racionálny koreň (napríklad 1 , − 1 , 19 alebo − 19 nesedia) a je ťažké hľadať iné korene. Túto metódu teda nemôžeme použiť.

Existujú však aj iné riešenia. Ak prenesieme výrazy z pravej strany pôvodnej nerovnosti na ľavú stranu, môžeme vykonať zátvorku spoločného činiteľa x 2 - 2 x - 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Získali sme nerovnosť ekvivalentnú tej pôvodnej a jej riešenie nám dá požadovanú odpoveď. Nájdite nuly výrazu na ľavej strane, pre ktorý sme sa rozhodli kvadratické rovnice x 2 − 2 x − 1 = 0 a x 2 − 2 x − 19 = 0. Ich korene sú 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Obrátime sa na rovnosť x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 , ktorú je možné vyriešiť intervalovou metódou:

Podľa obrázku je odpoveď - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

odpoveď: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Dodávame, že niekedy nie je možné nájsť všetky korene polynómu h(x), preto ho nemôžeme reprezentovať ako súčin lineárnych dvojčlenov a štvorcových trojčlenov. Potom vyriešte nerovnosť tvaru h (x)< 0 (≤ , >, ≥) nemôžeme, preto nie je možné vyriešiť ani pôvodnú racionálnu nerovnosť.

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť zlomkové racionálne nerovnosti tvaru r (x)< s (x) (≤ , >, ≥), kde r (x) a s(x) sú racionálne výrazy, x je premenná. Aspoň jeden zo zadaných výrazov bude zlomkový. Algoritmus riešenia v tomto prípade bude nasledujúci:

1. Určíme rozsah prijateľných hodnôt pre premennú x.
2. Výraz z pravej strany nerovnosti prenesieme na ľavú a výsledný výraz r(x) − s(x) reprezentované ako zlomok. Medzitým, kde p(x) a q(x) budú celočíselné výrazy, ktoré sú súčinom lineárnych dvojčlenov, nerozložiteľných štvorcových trojčlenov a mocnín s prirodzenými exponentmi.
3. Ďalej výslednú nerovnosť riešime intervalovou metódou.
4. Posledným krokom je vylúčenie bodov získaných pri riešení z rozsahu prijateľných hodnôt pre premennú x, ktorú sme definovali na začiatku.

Toto je algoritmus na riešenie čiastočne racionálnej nerovnosti. Väčšina z toho je jasná, malé vysvetlenia sú potrebné len pre odsek 2. Posunuli sme výraz z pravej strany na ľavú a dostali sme r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) , a ako to potom uviesť do tvaru p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

Najprv určíme, či je možné danú transformáciu vykonať vždy. Teoreticky vždy takáto možnosť existuje, keďže každý racionálny výraz možno previesť na racionálny zlomok. Tu máme zlomok s polynómami v čitateli a menovateli. Pripomeňme si základnú vetu algebry a Bezoutovu vetu a určite, že každý polynóm n-tého stupňa obsahujúci jednu premennú možno premeniť na súčin lineárnych binómov. Teoreticky teda môžeme výraz vždy transformovať týmto spôsobom.

V praxi je faktorizácia polynómov často dosť náročná úloha, najmä ak je stupeň vyšší ako 4. Ak nedokážeme vykonať expanziu, potom túto nerovnosť nevyriešime, ale takéto problémy sa zvyčajne neštudujú v rámci školského kurzu.

Ďalej sa musíme rozhodnúť, či výsledná nerovnosť p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) ekvivalentné vzhľadom na r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) a na pôvodný. Existuje možnosť, že sa to môže ukázať ako nerovné.

Ekvivalencia nerovnosti bude zabezpečená, keď bude rozsah akceptovateľných hodnôt p(x) q(x) zodpovedá rozsahu výrazu r(x) − s(x). Potom nie je potrebné dodržiavať posledný odsek návodu na riešenie zlomkových racionálnych nerovností.

Ale rozsah pre p(x) q(x) môže byť širší ako r(x) − s(x) napríklad redukciou zlomkov. Príkladom môže byť prechod z x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 na x x - 1 x + 3 . Alebo sa to môže stať pri pridávaní podobných výrazov, napríklad tu:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 až 1 x + 3

Pre takéto prípady sa pridáva posledný krok algoritmu. Jeho vykonaním sa zbavíte nadbytočných hodnôt premennej, ktoré vznikajú v dôsledku rozšírenia rozsahu platných hodnôt. Uveďme si pár príkladov, aby bolo jasnejšie, o čom hovoríme.

Príklad 6

podmienka: nájsť riešenia racionálnej rovnosti x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1 .

Riešenie

Postupujeme podľa vyššie uvedeného algoritmu. Najprv určíme rozsah prijateľných hodnôt. V tomto prípade je určená sústavou nerovníc x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0, ktorej riešením je množina (− ∞ , − 1) ∪ (− 1, 3) ∪ (3, + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

Potom ho musíme transformovať tak, aby bolo vhodné použiť intervalovú metódu. Najprv privedieme algebraické zlomky k najnižšiemu spoločnému menovateľovi (x − 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

Zbalíme výraz v čitateli použitím vzorca druhej mocniny súčtu:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

Rozsah platných hodnôt výsledného výrazu je (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) . Vidíme, že je podobná tej, ktorá bola definovaná pre pôvodnú rovnosť. Dospeli sme k záveru, že nerovnosť x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 je ekvivalentná pôvodnej, čo znamená, že nepotrebujeme posledný krok algoritmu.

Používame intervalovú metódu:

Vidíme riešenie ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) , ktoré bude riešením pôvodnej racionálnej nerovnosti x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x (x - 3) 2 · (x + 1) .

odpoveď: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Príklad 7

podmienka: vypočítajte riešenie x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .

Riešenie

Určujeme oblasť prípustných hodnôt. V prípade tejto nerovnosti sa bude rovnať všetkým reálnym číslam okrem − 2 , − 1 , 0 a 1 .

Posúvame výrazy z pravej strany na ľavú:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Vzhľadom na výsledok píšeme:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

Pre výraz - 1 x - 1 bude rozsahom platných hodnôt množina všetkých reálnych čísel okrem jedného. Vidíme, že rozsah hodnôt sa rozšíril: − 2 , − 1 a 0 . Musíme teda vykonať posledný krok algoritmu.

Keďže sme sa dostali k nerovnosti - 1 x - 1 > 0 , môžeme napísať jej ekvivalent 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Vylučujeme body, ktoré nie sú zahrnuté v rozsahu prijateľných hodnôt pôvodnej rovnosti. Z (− ∞ , 1) musíme vylúčiť čísla − 2 , − 1 a 0 . Riešením racionálnej nerovnosti x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 budú teda hodnoty (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2, − 1) ∪ (− 1, 0) ∪ (0, 1) .

odpoveď: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Na záver uvádzame ešte jeden príklad problému, v ktorom konečná odpoveď závisí od rozsahu prípustných hodnôt.

Príklad 8

podmienka: nájdite riešenie pre nerovnicu 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .

Riešenie

Oblasť prípustných hodnôt nerovnosti špecifikovaná v podmienke je určená systémom x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.

Tento systém nemá riešenia, pretože

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

To znamená, že pôvodná rovnosť 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 nemá riešenie, pretože neexistujú také hodnoty premennej, pre ktoré by dáva zmysel.

odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

O riešenie lineárnych nerovností existuje len jeden veľký trik: pri delení (alebo násobení) nerovnosti záporným číslom musíte zmeniť znamienko nerovnosti. Zmeniť znamienko nerovnosti znamená zmeniť znamienko „menšie ako“ na znamienko „väčšie ako“ alebo naopak. Znamienka plus pre mínus, ktoré obchádzajú predtým študované matematické pravidlá, sa zároveň nemusia nikde meniť. Ak nerovnosť vydelíme alebo vynásobíme kladným číslom, znamienko nerovnosti nie je potrebné meniť. Inak je riešenie lineárnych nerovníc úplne totožné s riešením lineárnych rovníc.

Pri lineárnych a iných racionálnych nerovnostiach v žiadnom prípade nenásobte ani nedeľte ľavú alebo pravú časť nerovnosti výrazmi obsahujúcimi premennú (okrem prípadov, keď je tento výraz kladný alebo záporný na celej číselnej osi, v takom prípade pri delení pri vždy zápornom vyjadrení treba zmeniť znamienko nerovnosti a pri delení vždy kladným výrazom znamienko nerovnosti zachovať).

Riešenie nerovností tvaru:

Vykonáva sa pomocou intervalová metóda, ktorá je nasledovná:

1. Znázorňujeme súradnicovú čiaru, na ktorú umiestnime všetky čísla a i. Tieto čísla, usporiadané vo vzostupnom poradí, rozdelia súradnicovú čiaru na ( n+1) intervaly stálosti funkcie f(X).
2. Teda definovaním znaku f(X) v ktoromkoľvek bode každého intervalu (zvyčajne sa tento bod volí z výhod aritmetických operácií) určíme znamienko funkcie na každom intervale. Hlavnou vecou nie je dosadiť do funkcie hranice samotných intervalov.
3. Ako odpoveď vypíšeme všetky intervaly, ktorých znamienko funkcie zodpovedá hlavnej podmienke nerovnosti.

Treba tiež poznamenať, že nie je potrebné skúmať znamienko funkcie na každom intervale dosadením nejakej hodnoty z tohto intervalu. Stačí takto určiť znamienko funkcie len na jednom intervale (zvyčajne úplne vpravo) a potom pohybom z tohto intervalu doľava po číselnej osi môžete striedať znamienka intervalov podľa princíp:

• Ak je zátvorka, z ktorej je prevzaté číslo, cez ktoré prechádzame zvláštny sa mení.
• A ak je zodpovedajúca zátvorka in dokonca stupňa, potom pri prechode cez príslušný bod znak nerovnosti nemení.

V tomto prípade je potrebné vziať do úvahy aj nasledujúce poznámky:

• Pri striktných nerovnostiach (znaky „menej ako“ alebo „väčšie ako“) nie sú hranice medzier nikdy zahrnuté do odpovede a na skutočnej osi sú znázornené ako prepichnuté body.
• V neprísnych nerovnostiach (znaky "menšie alebo rovné" alebo "väčšie alebo rovné") sú tie hranice intervalov, ktoré sú prevzaté z čitateľa vždy zahrnuté v odpovedi a sú zobrazené ako vyplnené body (pretože v týchto bodoch funkcia skutočne zaniká, čo spĺňa podmienku).
• Ale hranice prevzaté z menovateľa v neprísnych nerovnostiach sú vždy zobrazené ako prepichnuté body a v odpoveď nie je nikdy zahrnutá(keďže menovateľ v týchto bodoch zaniká, čo je neprijateľné).
• Pri všetkých nerovnostiach, ak je rovnaká zátvorka v čitateli aj menovateli, nie je možné znížiť o túto zátvorku. Je potrebné znázorniť zodpovedajúci bod vyrazený na osi a nezabudnite vylúčiť z odpovede. V tomto prípade, keď sa striedajú znamienka intervalov, prechádzajúce cez tento bod, znamenie nie je potrebné meniť.

Takže ešte raz to najdôležitejšie: pri písaní konečnej odpovede v nerovnostiach nestrácajte jednotlivé body, ktoré nerovnici vyhovujú (to sú korene čitateľa v neprísnych nerovnostiach), a nezabudnite z odpovede vylúčiť všetky korene menovateľa vo všetkých nerovnostiach .

Pri riešení racionálnych nerovníc zložitejšieho tvaru, ako je uvedené vyššie, je potrebné ich najskôr algebraickými transformáciami zredukovať na tento tvar a potom použiť intervalovú metódu s prihliadnutím na všetky už opísané jemnosti. Dá sa teda navrhnúť nasledujúci algoritmus na riešenie racionálnych nerovností:

1. Všetky členy, zlomky a iné výrazy musia byť prenesené na ľavú stranu nerovnosti.
2. V prípade potreby zredukujte zlomky na spoločného menovateľa.
3. Faktorizujte čitateľa a menovateľa výsledného zlomku.
4. Výslednú nerovnosť riešte intervalovou metódou.

Zároveň o riešenie racionálnych nerovností nie je dovolené:

1. Vynásobte zlomky krížom krážom.
2. Rovnako ako v prípade rovníc, nemôžete redukovať faktory s premennou na oboch stranách nerovnosti. Ak také faktory existujú, potom po prenesení všetkých výrazov na ľavú stranu nerovnosti ich treba vyňať zo zátvoriek a potom vziať do úvahy body, ktoré dávajú po konečnom rozklade výsledného výrazu na faktory.
3. Samostatne zvážte čitateľa a menovateľa zlomku.

Rovnako ako v iných témach z matematiky, aj pri riešení racionálnych nerovníc sa môžete uplatniť variabilná náhradná metóda. Hlavnou vecou je nezabudnúť, že po zavedení náhrady by sa mal nový výraz zjednodušiť a nemal by obsahovať starú premennú. Nezabudnite tiež na opačnú substitúciu.

Pri rozhodovaní systémy racionálnych nerovností treba postupne riešiť všetky nerovnosti v systéme. Systém vyžaduje splnenie dvoch alebo viacerých podmienok a hľadáme tie hodnoty neznámej veličiny, ktoré spĺňajú všetky podmienky naraz. V reakcii systému nerovníc je preto potrebné uviesť spoločné časti všetkých riešení jednotlivých nerovností (alebo spoločné časti všetkých vytieňovaných medzier zobrazujúcich odpovede každej jednotlivej nerovnosti).

Pri rozhodovaní množiny racionálnych nerovností tiež postupne vyriešiť každú z nerovností. Populácia vyžaduje nájdenie všetkých hodnôt premennej, ktoré spĺňajú aspoň jednu z podmienok. To znamená, ktorákoľvek z podmienok, niekoľko podmienok alebo všetky podmienky spolu. V odpovedi množiny nerovností uveďte všetky časti všetkých riešení jednotlivých nerovností (alebo všetky časti všetkých vytieňovaných medzier zobrazujúcich odpovede každej jednotlivej nerovnosti).

Riešenie niektorých typov nerovností pomocou modulov

Nerovnosti s modulmi môžu a mali by sa riešiť postupným rozširovaním modulov v intervaloch ich konštantného znamienka. Je teda potrebné postupovať približne rovnako ako pri riešení rovníc s modulmi (viac o tom nižšie). Existuje však niekoľko relatívne jednoduchých prípadov, v ktorých je riešenie modulovej nerovnosti zredukované na jednoduchší algoritmus. Napríklad riešenie nerovnosti tvaru:

Prichádza k rozhodnutiu systémov:

Najmä nerovnosť:

systém:

Ak v podobnej nerovnosti nahradíme znak „menej ako“ znakom „väčší ako“:

Potom sa jeho rozhodnutie zredukuje na rozhodnutie agregáty:

Najmä nerovnosť:

Dá sa nahradiť ekvivalentom totality:

Je teda potrebné si zapamätať, že pre nerovnosť „modul menší“ dostaneme systém, kde musia byť splnené obe podmienky súčasne a pre nerovnosť „modul väčší ako“ dostaneme množinu, v ktorej musí byť ktorákoľvek z podmienok spokojný.

Pri riešení racionálnych nerovností s modulom tvaru:

Odporúča sa postupovať k nasledujúcej ekvivalentnej racionálnej nerovnosti bez modulu:

Takáto nerovnosť sa nedá vyriešiť extrakciou koreňa (ak poctivo extrahujete koreň, potom musíte moduly vložiť znova a vrátite sa na začiatok, ak na moduly zabudnete, rovná sa to zabudnutiu na ne na samom začiatku, a to je, samozrejme, chyba). Všetky zátvorky musia byť posunuté doľava av žiadnom prípade neotvárať zátvorky, použiť vzorec pre rozdiel štvorcov.

Ešte raz to zopakujeme pre riešenia všetkých ostatných typov nerovností modulmi okrem vyššie uvedených je potrebné otvoriť všetky moduly zahrnuté v nerovnosti na intervaloch ich konštantného znamienka a vzniknuté nerovnosti vyriešiť. Pripomeňme si podrobnejšie všeobecný význam tohto algoritmu:

• Najprv nájdeme body na číselnej osi, v ktorých každý z výrazov pod modulom zmizne.
• Ďalej rozdelíme celú číselnú os na intervaly medzi získanými bodmi a preskúmame znamienko každého z výrazov podmodulu na každom intervale. Všimnite si, že ak chcete určiť znamienko výrazu, musíte do neho nahradiť akúkoľvek hodnotu premennej z intervalu, okrem hraničných bodov. Vyberte premenné hodnoty, ktoré sa dajú ľahko nahradiť.
• Ďalej na každom získanom intervale odhalíme všetky moduly v pôvodnej nerovnosti v súlade s ich znamienkami na tomto intervale a vyriešime výslednú obyčajnú racionálnu nerovnosť, berúc do úvahy všetky pravidlá a jemnosti riešenia obyčajných nerovností bez modulov.
• Riešenie každej z nerovníc získaných na konkrétnom intervale sa spojí do systému so samotným intervalom a všetky takéto systémy sa spoja do množiny. Z riešení všetkých nerovníc teda vyberieme len tie časti, ktoré sú zahrnuté v intervale, na ktorom bola táto nerovnica získaná, a všetky tieto časti zapíšeme do konečnej odpovede.