Cu ajutorul acestei lecții, veți învăța despre inegalitățile raționale și sistemele lor. Sistemul de inegalități raționale se rezolvă cu ajutorul transformărilor echivalente. Se ia în considerare definiția echivalenței, metoda de înlocuire a unei inegalități fracționale-raționale cu una pătrată și, de asemenea, înțelege care este diferența dintre o inegalitate și o ecuație și cum sunt efectuate transformările echivalente.

Algebră clasa a 9-a

Repetarea finală a cursului de algebră de clasa a IX-a

Inegalitățile raționale și sistemele lor. Sisteme de inegalități raționale.

1.1 Abstract.

1. Transformări echivalente ale inegalităților raționale.

Decide inegalitatea raţionalăînseamnă să-i găsești toate soluțiile. Spre deosebire de o ecuație, la rezolvarea unei inegalități, de regulă, există un număr infinit de soluții. Un număr infinit de soluții nu poate fi verificat prin substituție. Prin urmare, este necesar să se transforme inegalitatea inițială în așa fel încât în ​​fiecare linie următoare să se obțină o inegalitate cu același set de soluții.

Inegalități raționale rezolvat numai cu echivalent sau transformări echivalente. Astfel de transformări nu denaturează setul de soluții.

Definiție. Inegalități raționale numit echivalent dacă mulţimile soluţiilor lor sunt aceleaşi.

A desemna echivalenţă folosește semnul

2. Rezolvarea sistemului de inegalități

Prima și a doua inegalități sunt inegalități raționale fracționale. Metodele de rezolvare a acestora sunt o continuare firească a metodelor de rezolvare a inegalităților liniare și pătratice.

Să mutam numerele din partea dreaptă spre stânga cu semnul opus.

Ca rezultat, pe partea dreaptă va rămâne 0. Această transformare este echivalentă. Acest lucru este indicat de semnul

Să executăm acțiunile pe care le prescrie algebra. Scădeți „1” în prima inegalitate și „2” în a doua.

3. Rezolvarea inegalității prin metoda intervalului

1) Să introducem o funcție. Trebuie să știm când această funcție este mai mică de 0.

2) Găsiți domeniul funcției: numitorul nu trebuie să fie 0. „2” este punctul de întrerupere. Pentru x=2 funcția este nedefinită.

3) Găsiți rădăcinile funcției. Funcția este 0 dacă numărătorul este 0.

Punctele de referință împart axa numerică în trei intervale - acestea sunt intervale de constanță. Pe fiecare interval, funcția își păstrează semnul. Să determinăm semnul pe primul interval. Înlocuiește o anumită valoare. De exemplu, 100. Este clar că atât numărătorul, cât și numitorul sunt mai mari decât 0. Aceasta înseamnă că întreaga fracție este pozitivă.

Să determinăm semnele pe intervalele rămase. La trecerea prin punctul x=2, doar numitorul își schimbă semnul. Aceasta înseamnă că întreaga fracție își va schimba semnul și va fi negativă. Hai sa facem o discutie asemanatoare. La trecerea prin punctul x=-3, doar numărătorul își schimbă semnul. Aceasta înseamnă că fracția își va schimba semnul și va fi pozitivă.

Alegem un interval corespunzător condiției de inegalitate. Umbriți-l și scrieți-l ca o inegalitate

4. Rezolvarea inegalității folosind o inegalitate pătratică

Un fapt important.

În comparație cu 0 (în cazul inegalității stricte), fracția poate fi înlocuită cu produsul dintre numărător și numitor, sau numărătorul sau numitorul poate fi schimbat.

Acest lucru se întâmplă deoarece toate cele trei inegalități sunt valabile cu condiția ca u și v semn diferit. Aceste trei inegalități sunt echivalente.

Folosim acest fapt și înlocuim inegalitatea fracționară-rațională cu una pătrată.

Să rezolvăm inegalitatea pătratică.

Să vă prezentăm funcţie pătratică. Să îi găsim rădăcinile și să construim o schiță a graficului său.

Deci ramurile parabolei sunt sus. În interiorul intervalului de rădăcini, funcția păstrează semnul. Ea este negativă.

În afara intervalului de rădăcini, funcția este pozitivă.

Rezolvarea primei inegalități:

5. Rezolvarea inegalitatii

Să introducem o funcție:

Să găsim intervalele sale de constanță:

Pentru a face acest lucru, găsim rădăcinile și punctele de discontinuitate ale domeniului funcției. Întotdeauna tăiem punctele de pauză. (x \u003d 3/2) Tăiem rădăcinile în funcție de semnul inegalității. Inegalitatea noastră este strictă. Prin urmare, tăiem rădăcina.

Să plasăm semnele:

Sa scriem solutia:

Să terminăm soluția sistemului. Să găsim intersecția dintre mulțimea soluțiilor primei inegalități și mulțimea soluțiilor celei de-a doua inegalități.

A rezolva un sistem de inegalități înseamnă a găsi intersecția dintre mulțimea de soluții a primei inegalități și mulțimea de soluții a celei de-a doua inegalități. Prin urmare, după ce am rezolvat prima și a doua inegalități separat, este necesar să scrieți rezultatele obținute într-un singur sistem.

Să descriem soluția primei inegalități pe axa x.

>> Matematică: inegalități raționale

O inegalitate rațională cu o variabilă x este o inegalitate a formei - expresii raționale, i.e. expresii algebrice, compus din numere și variabila x folosind operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la o putere naturală. Desigur, variabila poate fi notată cu orice altă literă, dar în matematică, litera x este cel mai adesea preferată.

La rezolvarea inegalităților raționale se folosesc cele trei reguli care au fost formulate mai sus în § 1. Cu ajutorul acestor reguli, o inegalitate rațională dată este de obicei convertită la forma / (x) > 0, unde / (x) este un algebric fracție (sau polinom). Apoi, descompuneți numărătorul și numitorul fracției f (x) în factori de forma x - a (dacă, desigur, acest lucru este posibil) și aplicați metoda intervalului, pe care am menționat-o deja mai sus (vezi exemplul 3 din precedentul paragraf).

Exemplul 1 Rezolvați inegalitatea (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Soluţie. Se consideră expresia f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Se transformă în 0 la punctele 1,-1,2; marcați aceste puncte pe linia numerică. Linia numerică este împărțită de punctele indicate în patru intervale (Fig. 6), pe fiecare dintre acestea expresia f (x) păstrând un semn constant. Pentru a verifica acest lucru, vom efectua patru argumente (pentru fiecare dintre aceste intervale separat).

Luați orice punct x din intervalul (2, Acest punct este situat pe linia numerică la dreapta punctului -1, la dreapta punctului 1 și la dreapta punctului 2. Aceasta înseamnă că x> -1, x> 1, x> 2 (Fig. 7). Dar atunci x-1>0, x+1>0, x - 2> 0 și, prin urmare, f (x)> 0 (ca produs al unei inegalități raționale a trei pozitive numere). Deci, inegalitatea f (x ) > 0.

Luați orice punct x din intervalul (1,2). Acest punct este situat pe linia numerică la dreapta punctului-1, la dreapta punctului 1, dar la stânga punctului 2. Prin urmare, x\u003e -1, x\u003e 1, dar x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Luați orice punct x din intervalul (-1,1). Acest punct este situat pe linia numerică la dreapta punctului -1, la stânga punctului 1 și la stânga punctului 2. Deci x > -1, dar x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (ca produs a două numere negative și a unui număr pozitiv). Deci, pe intervalul (-1,1) este valabilă inegalitatea f (x)> 0.

În cele din urmă, luați orice punct x din raza deschisă (-oo, -1). Acest punct este situat pe linia numerică la stânga punctului -1, la stânga punctului 1 și la stânga punctului 2. Aceasta înseamnă că x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Să rezumam. Semnele expresiei f (x) în intervalele selectate sunt cele prezentate în Fig. 11. Ne interesează acelea dintre ele asupra cărora este satisfăcută inegalitatea f (x) > 0. Folosind modelul geometric prezentat în fig. 11, stabilim că inegalitatea f (x) > 0 este satisfăcută pe intervalul (-1, 1) sau pe fasciculul deschis
Răspuns: -1 < х < 1; х > 2.

Exemplul 2 Rezolvați inegalitatea
Soluţie. Ca și în exemplul anterior, vom extrage informațiile necesare din Fig. 11, dar cu două modificări față de exemplul 1. În primul rând, deoarece ne interesează ce valori ale lui x satisfac inegalitatea f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки În al doilea rând, suntem mulțumiți și de acele puncte la care este satisfăcută egalitatea f (x) = 0. Acestea sunt punctele -1, 1, 2, le notăm în figură cu cearcăne și le includem în răspuns. Pe fig. 12 prezintă un model geometric al răspunsului, din care nu este dificil să trecem la o înregistrare analitică.
Răspuns:
EXEMPLUL 3. Rezolvați inegalitatea
Soluţie. Să factorizăm numărătorul și numitorul fracției algebrice fx conținute în partea stângă a inegalității. În numărător avem x 2 - x \u003d x (x - 1).

Pentru a factoriza trinomul pătrat x 2 - bx ~ 6 conținut în numitorul fracției, găsim rădăcinile acestuia. Din ecuația x 2 - 5x - 6 \u003d 0 găsim x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Prin urmare, (am folosit formula pentru factorizarea unui trinom pătrat: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Astfel, am transformat inegalitatea dată în formă

Luați în considerare expresia:

Numătorul acestei fracții se transformă în 0 la punctele 0 și 1 și se transformă în 0 la punctele -1 și 6. Să marchem aceste puncte pe dreapta numerică (Fig. 13). Linia numerică este împărțită de punctele indicate în cinci intervale, iar pe fiecare interval expresia fx) păstrează un semn constant. Argumentând în același mod ca în exemplul 1, ajungem la concluzia că semnele expresiei fx) în intervalele selectate sunt cele prezentate în Fig. 13. Ne interesează unde inegalitatea f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 răspuns: -1

Exemplul 4 Rezolvați inegalitatea

Soluţie. Când rezolvăm inegalitățile raționale, de regulă, ei preferă să lase doar numărul 0 în partea dreaptă a inegalității, prin urmare, transformăm inegalitatea în forma

Mai departe:

După cum arată experiența, dacă partea dreaptă a inegalității conține doar numărul 0, este mai convenabil să raționăm atunci când atât numărătorul, cât și numitorul din partea stângă au un coeficient superior pozitiv. Și ce avem? Avem totul în numitorul fracției în acest sens în ordine (cel mai mare coeficient, adică coeficientul la x 2, este 6 - număr pozitiv), dar nu totul este în ordine la numărător - coeficientul principal (coeficientul la x) este -4 ( un număr negativ). Înmulțind ambele părți ale inegalității cu -1 și schimbând semnul inegalității la opus, obținem inegalitatea echivalentă cu aceasta.

Să factorizăm numărătorul și numitorul unei fracții algebrice. La numărător, totul este simplu:
Pentru a factoriza trinomul pătrat conținut în numitorul unei fracții

(am folosit din nou formula pentru factorizarea unui trinom pătrat).
Astfel, am redus inegalitatea dată la forma

Luați în considerare expresia

Numătorul acestei fracții se transformă în 0 la punct și numitorul - la puncte.Notăm aceste puncte pe linia numerică (Fig. 14), care este împărțită la punctele indicate în patru intervale, iar pe fiecare interval expresia f (x) păstrează un semn constant (aceste semne sunt indicate în Fig. 14). Suntem interesați de acele intervale pe care inegalitatea fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

În toate exemplele luate în considerare, am transformat inegalitatea dată într-o inegalitate echivalentă de forma f (x) > 0 sau f (x)<0,где
În acest caz, numărul de factori din numărătorul și numitorul unei fracții poate fi oricare. Apoi punctele a, b, c, e au fost marcate pe linia numerică. și a determinat semnele expresiei f (x) pe intervalele selectate. Am observat că în partea dreaptă a intervalelor selectate este satisfăcută inegalitatea f (x) > 0, iar apoi semnele expresiei f (x) alternează de-a lungul intervalelor (vezi Fig. 16a). Această alternanță este ilustrată convenabil cu ajutorul unei curbe ondulate, care este desenată de la dreapta la stânga și de sus în jos (Fig. 166). Pe acele intervale în care această curbă (uneori se numește curba semnelor) este situată deasupra axei x, inegalitatea f (x) > 0 este satisfăcută; unde această curbă este situată sub axa x, inegalitatea f (x)< 0.

Exemplul 5 Rezolvați inegalitatea

Soluţie. Avem

(ambele părți ale inegalității anterioare au fost înmulțite cu 6).
Pentru a utiliza metoda intervalului, marcați punctele pe linia numerică (în aceste puncte numitorul fracției din partea stângă a inegalității dispare) și puncte (în aceste puncte numitorul fracției indicate dispare). De obicei, punctele sunt marcate schematic, ținând cont de ordinea în care urmează (care este la dreapta, care este la stânga) și fără a acorda o atenție deosebită scalei. Este clar că Situația este mai complicată cu cifrele.Prima estimare arată că ambele numere sunt puțin mai mari decât 2,6, din care este imposibil de concluzionat care dintre numerele indicate este mai mare și care este mai mică. Să presupunem (la întâmplare) că Atunci
S-a dovedit inegalitatea corectă, ceea ce înseamnă că presupunerea noastră a fost confirmată: de fapt
Asa de,

Marcam cele 5 puncte indicate în ordinea indicată pe linia numerică (Fig. 17a). Aranjați semnele expresiei
pe intervalele obţinute: în dreapta - semnul a +, iar apoi semnele alternează (Fig. 176). Să desenăm o curbă de semne și să selectăm (prin umbrire) acele intervale la care este satisfăcută inegalitatea f (x) > 0 care ne interesează (Fig. 17c). În sfârșit, ținem cont că vorbim de o inegalitate nestrictă f (x) > 0, ceea ce înseamnă că ne interesează și acele puncte în care expresia f (x) dispare. Acestea sunt rădăcinile numărătorului fracției f (x), adică. puncte le marcam in Fig. 17 în cercurile întunecate (și, desigur, includeți în răspuns). Acum iată poza. 17c oferă un model geometric complet pentru soluțiile inegalității date.

Metoda de spațiere- aceasta este o modalitate universală de a rezolva aproape orice inegalități care apar într-un curs de algebră școlară. Se bazează pe următoarele proprietăți ale funcțiilor:

1. Funcția continuă g(x) poate schimba semnul doar în punctul în care este egală cu 0. Grafic, aceasta înseamnă că graficul unei funcții continue se poate muta dintr-un semiplan în altul numai dacă traversează x- axa (ne amintim că ordonata oricărui punct situat pe axa OX (axa absciselor) este egală cu zero, adică valoarea funcției în acest punct este 0):

Vedem că funcția y=g(x) prezentată pe grafic traversează axa OX în punctele x= -8, x=-2, x=4, x=8. Aceste puncte se numesc zerouri ale funcției. Și în aceleași puncte funcția g(x) își schimbă semnul.

2. Funcția poate schimba și semnul în zerouri al numitorului - cel mai simplu exemplu caracteristică binecunoscută:

Vedem că funcția își schimbă semnul la rădăcina numitorului, în punctul , dar nu dispare în niciun punct. Astfel, dacă funcția conține o fracție, poate schimba semnul din rădăcinile numitorului.

2. Cu toate acestea, funcția nu își schimbă întotdeauna semnul la rădăcina numărătorului sau la rădăcina numitorului. De exemplu, funcția y=x 2 nu își schimbă semnul în punctul x=0:

pentru că ecuația x 2 \u003d 0 are două rădăcini egale x \u003d 0, în punctul x \u003d 0, funcția, așa cum ar fi, se transformă de două ori la 0. O astfel de rădăcină se numește rădăcina celei de-a doua multiplicități.

Funcţie schimbă semnul la zero al numărătorului, dar nu schimbă semnul la zero al numitorului: , deoarece rădăcina este rădăcina celei de-a doua multiplicități, adică a multiplicității pare:

Important! La rădăcinile multiplicității chiar, funcția nu își schimbă semnul.

Notă! Orice neliniară inegalitatea cursului școlar de algebră, de regulă, se rezolvă folosind metoda intervalelor.

Va ofer unul detaliat, in urma caruia puteti evita greselile cand decizie nu inegalități liniare .

1. Mai întâi trebuie să aduceți inegalitatea în formă

P(x)V0,

unde V este semnul de inegalitate:<,>,≤ sau ≥. Pentru asta ai nevoie de:

a) mutați toți termenii în partea stângă a inegalității,

b) găsiți rădăcinile expresiei rezultate,

c) factorizați partea stângă a inegalității

d) scrie aceiași factori ca o diplomă.

Atenţie! Ultima acțiune trebuie făcută pentru a nu face o greșeală cu multiplicitatea rădăcinilor - dacă rezultatul este un multiplicator într-un grad par, atunci rădăcina corespunzătoare are o multiplicitate pară.

2. Pune rădăcinile găsite pe dreapta numerică.

3. Dacă inegalitatea este strictă, atunci cercurile care denotă rădăcinile pe axa numerică sunt lăsate „goale”, dacă inegalitatea nu este strictă, atunci cercurile sunt pictate peste.

4. Selectăm rădăcinile multiplicității chiar - în ele P(x) semnul nu se schimba.

5. Determinați semnul P(x) pe partea dreaptă a golului. Pentru a face acest lucru, luați o valoare arbitrară x 0, care este mai mare decât cea mai mare rădăcină și înlocuiți în P(x).

Dacă P(x 0)>0 (sau ≥0), atunci în intervalul din dreapta punem semnul „+”.

Dacă P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

La trecerea printr-un punct care desemnează o rădăcină de multiplicitate pară, semnul NU SE schimbă.

7. Încă o dată ne uităm la semnul inegalității originale și selectăm intervalele semnului de care avem nevoie.

8. Atentie! Dacă inegalitatea noastră NU este STRICTĂ, atunci verificăm separat condiția egalității la zero.

9. Notează răspunsul.

Dacă originalul inegalitatea conține o necunoscută în numitor, apoi transferăm și toți termenii la stânga și reducem partea stângă a inegalității la formă

(unde V este semnul de inegalitate:< или >)

O inegalitate strictă de acest fel este echivalentă cu inegalitatea

NU strict o inegalitate a formei

echivalează cu sistem:

În practică, dacă funcția are forma , atunci procedăm după cum urmează:

1. Aflați rădăcinile numărătorului și numitorului.
2. Le punem pe ax. Toate cercurile sunt lăsate goale. Apoi, dacă inegalitatea nu este strictă, atunci pictăm peste rădăcinile numărătorului și lăsăm întotdeauna goale rădăcinile numitorului.
3. În continuare, urmăm algoritmul general:
4. Selectăm rădăcinile multiplicității par (dacă numărătorul și numitorul conțin aceleași rădăcini, atunci numărăm de câte ori apar aceleași rădăcini). Nu există nicio schimbare de semn în rădăcinile multiplicității chiar.
5. Aflăm semnul în intervalul din dreapta.
6. Am pus semne.
7. În cazul unei inegalități nestricte, condiția de egalitate, condiția de egalitate la zero, este verificată separat.
8. Selectăm intervalele necesare și separat rădăcinile în picioare.
9. Scriem răspunsul.

Pentru a înțelege mai bine algoritm de rezolvare a inegalităților prin metoda intervalului, urmăriți LECȚIA VIDEO în care exemplul este analizat în detaliu rezolvarea inegalității prin metoda intervalelor.

Continuăm să analizăm modalități de rezolvare a inegalităților care au o variabilă în compoziția lor. Am studiat deja inegalitățile liniare și pătratice, care sunt cazuri speciale de inegalități raționale. În acest articol, vom clarifica ce tipuri de inegalități sunt raționale, vă vom spune în ce tipuri sunt împărțite (întregi și fracționari). După aceea, vom arăta cum să le rezolvăm corect, să oferim algoritmii necesari și să analizăm probleme specifice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Conceptul de egalități raționale

Când subiectul rezolvării inegalităților este studiat la școală, ei iau imediat inegalitățile raționale. Ei dobândesc și perfecționează abilitățile de a lucra cu acest tip de expresie. Să formulăm definiția acestui concept:

Definiția 1

O inegalitate rațională este o inegalitate cu variabile care conține expresii raționale în ambele părți.

Rețineți că definiția nu afectează în niciun fel numărul de variabile, ceea ce înseamnă că poate exista un număr arbitrar de mare dintre ele. Prin urmare, sunt posibile inegalități raționale cu 1, 2, 3 sau mai multe variabile. Cel mai adesea, trebuie să se ocupe de expresii care conțin doar o variabilă, mai rar două, iar inegalitățile cu un număr mare de variabile nu sunt de obicei luate în considerare deloc în cadrul unui curs școlar.

Astfel, putem învăța o inegalitate rațională analizând notația acesteia. Atât în ​​partea dreaptă cât și în partea stângă ar trebui să aibă expresii raționale. Aici sunt cateva exemple:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

Și aici este o inegalitate de forma 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Toate inegalitățile raționale sunt împărțite în numere întregi și fracționale.

Definiția 2

O egalitate rațională întregă constă din expresii raționale întregi (în ambele părți).

Definiția 3

Egalitatea fracțională rațională- aceasta este o egalitate care conține o expresie fracțională în una sau ambele părți.

De exemplu, inegalitățile de forma 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 și 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 sunt fracţional raţional şi 0 .5 x ≤ 3 (2 − 5 y)și 1: x + 3 > 0- întreg.

Am analizat ce sunt inegalitățile raționale și am identificat principalele tipuri ale acestora. Putem trece la o privire de ansamblu asupra modului de rezolvare a acestora.

Să presupunem că trebuie să găsim soluții la o inegalitate rațională întreagă r(x)< s (x) , care include o singură variabilă x . în care r(x)și s x) sunt orice întreg numere rationale sau expresii, iar semnul de inegalitate poate fi diferit. Pentru a rezolva această sarcină, trebuie să o transformăm și să obținem o egalitate echivalentă.

Să începem prin a muta expresia din partea dreaptă la stânga. Obținem următoarele:

de forma r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

Noi stim aia r(x) − s(x) va fi o valoare întreagă, iar orice expresie întreagă poate fi convertită într-un polinom. Să ne transformăm r(x) − s(x)în h(x). Această expresie va fi un polinom identic egal. Având în vedere că r (x) − s (x) și h (x) au același interval de valori posibile ale lui x, putem trece la inegalitățile h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , care va fi echivalent cu cel original.

Adesea, o astfel de transformare simplă va fi suficientă pentru a rezolva inegalitatea, deoarece rezultatul poate fi o inegalitate liniară sau pătratică, a cărei valoare nu este dificil de calculat. Să aruncăm o privire asupra acestor probleme.

Exemplul 1

Condiție: rezolvarea unei inegalități raționale întregi x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

Soluţie

Să începem prin a transfera expresia din partea dreaptă în partea stângă cu semnul opus.

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

Acum că am finalizat toate operațiile cu polinoamele din stânga, putem trece la inegalitatea liniară 3 x − 2 ≤ 0, echivalent cu ceea ce s-a dat în condiție. Rezolvarea este ușoară:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

Răspuns: x ≤ 2 3 .

Exemplul 2

Condiție: găsi o soluție la inegalitate (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

Soluţie

Transferăm expresia din partea stângă în partea dreaptă și efectuăm transformări ulterioare folosind formulele de înmulțire abreviate.

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

Ca rezultat al transformărilor noastre, am obținut o inegalitate care va fi adevărată pentru orice valoare a lui x, prin urmare, orice număr real poate fi soluția inegalității inițiale.

Răspuns: orice număr real.

Exemplul 3

Condiție: rezolva inegalitatea x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

Soluţie

Nu vom transfera nimic din partea dreaptă, deoarece există 0 . Să începem imediat prin a converti partea stângă într-un polinom:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

Am derivat o inegalitate pătratică echivalentă cu cea originală, care poate fi rezolvată cu ușurință prin mai multe metode. Să folosim metoda grafică.

Să începem prin a calcula rădăcinile trinomului pătrat − 2 x 2 + 11 x + 6:

D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, \ 5, x 2 u003d 6

Acum pe diagramă marchem toate zerourile necesare. Deoarece coeficientul de conducere este mai mic decât zero, ramurile parabolei de pe grafic vor privi în jos.

Vom avea nevoie de o zonă de parabolă situată deasupra axei absciselor, deoarece avem un semn > în inegalitate. Intervalul dorit este (− 0 , 5 , 6) , prin urmare, acest interval de valori va fi soluția de care avem nevoie.

Răspuns: (− 0 , 5 , 6) .

Există și cazuri mai complicate, când în stânga obținem un polinom al treilea sau mai mult grad înalt. Pentru a rezolva o astfel de inegalitate, se recomandă utilizarea metodei intervalului. Mai întâi calculăm toate rădăcinile polinomului h(x), care se face cel mai adesea prin factorizarea unui polinom.

Exemplul 4

Condiție: calcula (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .

Soluţie

Să începem, ca întotdeauna, prin mutarea expresiei în partea stângă, după care va fi necesar să deschidem parantezele și să reducem termenii similari.

(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

În urma transformărilor, am obținut o egalitate echivalentă cu cea originală, în stânga căreia se află un polinom de gradul trei. Aplicam metoda intervalului pentru a o rezolva.

Mai întâi, calculăm rădăcinile polinomului, pentru care trebuie să rezolvăm ecuația cubică x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Are rădăcini raționale? Ele pot fi doar printre divizorii termenului liber, i.e. dintre numere ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Le înlocuim pe rând în ecuația originală și aflăm că numerele 1, 2 și 3 vor fi rădăcinile acesteia.

Deci polinomul x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 poate fi descris ca un produs (x − 1) (x − 2) (x − 3), și inegalitatea x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 poate fi prezentat ca (x − 1) (x − 2) (x − 3)< 0 . Cu o inegalitate de acest fel, ne va fi atunci mai ușor să determinăm semnele pe intervale.

În continuare, efectuăm pașii rămași ai metodei intervalului: trageți o linie numerică și puncte pe ea cu coordonatele 1 , 2 , 3 . Ele împart linia dreaptă în 4 intervale în care este necesar să se determine semnele. Umbrim golurile cu un minus, deoarece inegalitatea originală are semnul < .

Trebuie doar să notăm răspunsul gata: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​​​.

Răspuns: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

În unele cazuri, efectuați tranziția de la inegalitatea r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) la h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , unde h(x)– un polinom mai mare de 2 este nepotrivit. Acest lucru se extinde la cazurile în care este mai ușor să se reprezinte r(x) − s(x) ca produs al binoamelor liniare și al trinoamelor pătrate decât să factorizezi h(x) în factori separați. Să aruncăm o privire la această problemă.

Exemplul 5

Condiție: găsi o soluție la inegalitate (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

Soluţie

Această inegalitate se aplică numerelor întregi. Dacă mutam expresia din partea dreaptă spre stânga, deschidem parantezele și efectuăm reducerea termenilor, obținem x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

Rezolvarea unei astfel de inegalități nu este ușoară, deoarece trebuie să cauți rădăcinile unui polinom de gradul al patrulea. Nu are nicio rădăcină rațională (de exemplu, 1 , - 1 , 19 sau − 19 nu se potrivesc) și este dificil să cauți alte rădăcini. Deci nu putem folosi această metodă.

Dar există și alte soluții. Dacă transferăm expresiile din partea dreaptă a inegalității inițiale în partea stângă, atunci putem efectua bracketing-ul factorului comun x 2 − 2 x − 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Am obținut o inegalitate echivalentă cu cea inițială, iar soluția ei ne va oferi răspunsul necesar. Găsiți zerourile expresiei din partea stângă, pentru care decidem ecuații pătratice x 2 − 2 x − 1 = 0și x 2 − 2 x − 19 = 0. Rădăcinile lor sunt 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Ne întoarcem la egalitatea x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 , care poate fi rezolvată prin metoda intervalului:

Conform imaginii, răspunsul este - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Răspuns: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Adăugăm că uneori nu este posibil să găsim toate rădăcinile unui polinom h(x), prin urmare, nu o putem reprezenta ca un produs al binoamelor liniare și trinoamelor pătrate. Apoi rezolvați o inegalitate de forma h (x)< 0 (≤ , >, ≥) nu putem, prin urmare, este imposibil să rezolvăm și inegalitatea rațională inițială.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm inegalitățile raționale fracționale de forma r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) , unde r (x) și s x) sunt expresii raționale, x este o variabilă. Cel puțin una dintre expresiile specificate va fi fracțională. Algoritmul de soluție în acest caz va fi următorul:

1. Determinăm intervalul de valori acceptabile pentru variabila x .
2. Transferăm expresia din partea dreaptă a inegalității la stânga și expresia rezultată r(x) − s(x) reprezentat ca o fracție. Între timp, unde p(x)și q(x) vor fi expresii întregi care sunt produse ale binoamelor liniare, ale trinoamelor pătrate indecompuse și ale puterilor cu exponenți naturali.
3. În continuare, rezolvăm inegalitatea rezultată prin metoda intervalului.
4. Ultimul pas este excluderea punctelor obținute în timpul soluției din intervalul de valori acceptabile pentru variabila x pe care am definit-o la început.

Acesta este algoritmul pentru rezolvarea unei inegalități fracționale raționale. Cea mai mare parte este clară, mici explicații sunt necesare doar pentru paragraful 2. Am mutat expresia din partea dreaptă la stânga și am obținut r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) și apoi cum să o aduceți la forma p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

În primul rând, determinăm dacă o anumită transformare poate fi întotdeauna efectuată. Teoretic, există întotdeauna o astfel de posibilitate, deoarece orice expresie rațională poate fi convertită într-o fracție rațională. Aici avem o fracție cu polinoame în numărător și numitor. Amintiți-vă teorema fundamentală a algebrei și teorema lui Bezout și determinați că orice polinom de gradul al n-lea care conține o variabilă poate fi transformat într-un produs de binoame liniare. Prin urmare, în teorie, putem transforma întotdeauna expresia în acest fel.

În practică, factorizarea polinoamelor este adesea o sarcină destul de dificilă, mai ales dacă gradul este mai mare de 4. Dacă nu putem realiza extinderea, atunci nu vom putea rezolva această inegalitate, dar astfel de probleme nu sunt de obicei studiate în cadrul cursului școlar.

În continuare, trebuie să decidem dacă inegalitatea rezultată p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) echivalent în raport cu r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) și la cea originală. Există posibilitatea ca acesta să se dovedească a fi inegal.

Echivalența inegalității va fi asigurată atunci când intervalul de valori acceptabile p(x) q(x) se potrivește cu intervalul de expresie r(x) − s(x). Apoi, ultimul paragraf al instrucțiunilor pentru rezolvarea inegalităților raționale fracționale nu trebuie urmat.

Dar gama pentru p(x) q(x) poate fi mai lat decât r(x) − s(x), de exemplu, prin reducerea fracțiilor. Un exemplu ar fi trecerea de la x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 la x x - 1 x + 3 . Sau acest lucru se poate întâmpla atunci când adăugați termeni similari, de exemplu, aici:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 la 1 x + 3

Pentru astfel de cazuri, se adaugă ultimul pas al algoritmului. Prin executarea acestuia, veți scăpa de valorile străine ale variabilei care apar din cauza extinderii intervalului de valori valide. Să luăm câteva exemple pentru a ne clarifica despre ce vorbim.

Exemplul 6

Condiție: găsiți soluții pentru egalitatea rațională x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1 .

Soluţie

Acționăm conform algoritmului indicat mai sus. În primul rând, determinăm intervalul de valori acceptabile. În acest caz, este determinată de sistemul de inegalități x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 , a cărui soluție este mulțimea (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

După aceea, trebuie să-l transformăm astfel încât să fie convenabil să aplicăm metoda intervalului. În primul rând, aducem fracțiile algebrice la cel mai mic numitor comun (x − 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

Restrângem expresia la numărător aplicând formula pătratului sumei:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

Intervalul de valori valide ale expresiei rezultate este (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) . Vedem că este similar cu cel care a fost definit pentru egalitatea inițială. Concluzionăm că inegalitatea x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 este echivalentă cu cea inițială, ceea ce înseamnă că nu avem nevoie de ultimul pas al algoritmului.

Folosim metoda intervalului:

Vedem soluția ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) , care va fi soluția inegalității raționale inițiale x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Răspuns: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Exemplul 7

Condiție: calculați soluția x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .

Soluţie

Determinăm aria valorilor admisibile. În cazul acestei inegalități, ea va fi egală cu toate numerele reale, cu excepția − 2 , − 1 , 0 și 1 .

Mutăm expresiile din partea dreaptă spre stânga:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Având în vedere rezultatul, scriem:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

Pentru expresia - 1 x - 1, intervalul de valori valide va fi setul tuturor numerelor reale, cu excepția unuia. Vedem că gama de valori s-a extins: − 2 , − 1 și 0 . Deci, trebuie să efectuăm ultimul pas al algoritmului.

Deoarece am ajuns la inegalitatea - 1 x - 1 > 0 , putem scrie echivalentul ei 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Excludem punctele care nu sunt incluse în intervalul de valori acceptabile ale egalității inițiale. Trebuie să excludem din (− ∞ , 1) numerele − 2 , − 1 și 0 . Astfel, soluția inegalității raționale x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 vor fi valorile (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Răspuns: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

În concluzie, mai dăm un exemplu de problemă în care răspunsul final depinde de intervalul de valori admisibile.

Exemplul 8

Condiție: găsiți soluția inegalității 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .

Soluţie

Aria valorilor admisibile ale inegalității specificate în condiție este determinată de sistemul x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.

Acest sistem nu are soluții pentru că

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Aceasta înseamnă că egalitatea inițială 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 nu are nicio soluție, deoarece nu există astfel de valori ale variabilei pentru care ar fi are sens.

Răspuns: nu exista solutii.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

La rezolvarea inegalităților liniare există un singur truc mare: trebuie să schimbați semnul inegalității atunci când împărțiți (sau înmulțiți) inegalitatea cu un număr negativ. A schimba semnul de inegalitate înseamnă a schimba semnul „mai puțin decât” în semnul „mai mare decât” sau invers. În același timp, semnele plus pentru minus, ocolind regulile matematice studiate anterior, nu trebuie schimbate nicăieri. Dacă împărțim sau înmulțim inegalitatea cu un număr pozitiv, semnul inegalității nu trebuie schimbat. În caz contrar, soluția inegalităților liniare este complet identică cu soluția ecuațiilor liniare.

În inegalitățile liniare și în orice alte inegalități raționale, în niciun caz nu trebuie să înmulțiți sau să împărțiți părțile din stânga sau din dreapta ale inegalității prin expresii care conțin o variabilă (cu excepția cazului în care această expresie este pozitivă sau negativă pe întreaga axă numerică, caz în care la împărțirea printr-o expresie întotdeauna negativă semnul inegalității trebuie schimbat, iar la împărțirea la o expresie întotdeauna pozitivă trebuie păstrat semnul inegalității).

Rezolvarea inegalităților de forma:

Realizat folosind metoda intervalului, care este după cum urmează:

1. Înfățișăm linia de coordonate pe care punem toate numerele un i. Aceste numere, aranjate în ordine crescătoare, vor împărți linia de coordonate în ( n+1) intervale de constanță a funcției f(X).
2. Astfel, prin definirea semnului f(X) în orice punct al fiecărui interval (de obicei acest punct este ales din comoditatea operațiilor aritmetice), determinăm semnul funcției pe fiecare interval. Principalul lucru este să nu înlocuiți limitele intervalelor în sine în funcție.
3. Scriem ca răspuns toate acele intervale, semnul funcției pe care corespunde condiției principale a inegalității.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că nu este necesar să se investigheze semnul funcției pe fiecare interval prin înlocuirea unei valori din acest interval. Este suficient să determinați în acest fel semnul funcției doar pe un interval (de obicei în extrema dreaptă), iar apoi deplasând din acest interval la stânga de-a lungul axei numerice, puteți alterna semnele intervalelor în funcție de principiu:

• Dacă paranteza din care este luat numărul prin care trecem este în ciudat se schimba.
• Și dacă paranteza corespunzătoare este în chiar grad, apoi la trecerea prin punctul corespunzător, semnul inegalității nu se schimba.

În acest caz, trebuie luate în considerare și următoarele observații:

• În inegalitățile stricte (semne „mai puțin decât” sau „mai mare decât”) limitele golurilor nu sunt niciodată incluse în răspuns, iar pe axa reală sunt descrise ca puncte perforate.
• În inegalitățile nestricte (semne „mai mic sau egal” sau „mai mare decât sau egal”), acele limite ale intervalului care sunt luate de la numărător întotdeauna incluse în răspunsși sunt afișate ca puncte umplute (deoarece în aceste puncte funcția chiar dispare, ceea ce satisface condiția).
• Dar granițele luate de la numitor în inegalitățile nestrictive sunt întotdeauna descrise ca puncte perforate și în răspunsul nu este inclus niciodată(deoarece numitorul dispare în aceste puncte, ceea ce este inacceptabil).
• În toate inegalitățile, dacă aceeași paranteză este atât la numărător, cât și la numitor, atunci este imposibil să se reducă prin această paranteză. Este necesar să descrieți punctul corespunzător perforat pe axă și nu uitați să excludeți din răspuns. În acest caz, la alternarea semnelor intervalelor, care trece prin acest punct, semnul nu trebuie schimbat.

Deci încă o dată cel mai important: atunci când scrieți răspunsul final în inegalități, nu pierdeți punctele individuale care satisfac inegalitatea (acestea sunt rădăcinile numărătorului în inegalități nestricte) și nu uitați să excludeți toate rădăcinile numitorului din toate inegalitățile din răspuns. .

La rezolvarea inegalităților raționale de o formă mai complexă decât cea indicată mai sus, este necesar mai întâi să le reduceți la această formă prin transformări algebrice și apoi să aplicați metoda intervalului, ținând cont de toate subtilitățile deja descrise. Astfel, se poate sugera următorul algoritm pentru rezolvarea inegalităților raționale:

1. Toți termenii, fracțiile și alte expresii trebuie transferate în partea stângă a inegalității.
2. Dacă este necesar, reduceți fracțiile la un numitor comun.
3. Factorizați numărătorul și numitorul fracției rezultate.
4. Rezolvați inegalitatea rezultată prin metoda intervalului.

În același timp, la rezolvarea inegalităților raționale nu este permisă:

1. Înmulțiți fracțiile în cruce.
2. Ca și în cazul ecuațiilor, nu puteți reduce factorii cu o variabilă de ambele părți ale inegalității. Dacă există astfel de factori, atunci după transferul tuturor expresiilor în partea stângă a inegalității, acestea trebuie scoase din paranteze și apoi luați în considerare punctele pe care le oferă după descompunerea finală a expresiei rezultate în factori.
3. Luați în considerare separat numărătorul și numitorul unei fracții.

Ca și în alte subiecte din matematică, atunci când rezolvați inegalitățile raționale, puteți aplica metoda de înlocuire a variabilei. Principalul lucru este să nu uităm că, după introducerea înlocuirii, noua expresie ar trebui să devină mai simplă și să nu conțină variabila veche. De asemenea, nu uitați să faceți înlocuirea inversă.

La hotărâre sisteme de inegalităţi raţionale trebuie să rezolvați toate inegalitățile din sistem unul câte unul. Sistemul necesită îndeplinirea a două sau mai multe condiții și căutăm acele valori ale cantității necunoscute care îndeplinesc toate condițiile simultan. Prin urmare, în răspunsul sistemului de inegalități, este necesar să se indice părțile comune ale tuturor soluțiilor inegalităților individuale (sau părțile comune ale tuturor golurilor umbrite care descriu răspunsurile fiecărei inegalități individuale).

La hotărâre seturi de inegalităţi raţionale de asemenea, rezolvați pe rând fiecare dintre inegalități. Popularea necesită găsirea tuturor valorilor unei variabile care îndeplinesc cel puțin una dintre condiții. Adică oricare dintre condiții, mai multe condiții sau toate condițiile împreună. În răspunsul unui set de inegalități, indicați toate părțile tuturor soluțiilor la inegalitățile individuale (sau toate părțile tuturor golurilor umbrite care descriu răspunsurile fiecărei inegalități individuale).

Rezolvarea unor tipuri de inegalități cu module

Inegalitățile cu modulele pot și ar trebui rezolvate prin extinderea secvențială a modulelor pe intervalele semnului lor constant. Astfel, este necesar să se acționeze aproximativ în același mod ca atunci când se rezolvă ecuații cu module (mai multe despre asta mai jos). Dar există câteva cazuri relativ simple în care soluția inegalității modulo este redusă la un algoritm mai simplu. De exemplu, soluția unei inegalități de forma:

Se rezumă la o decizie sisteme:

În special, inegalitatea:

sistem:

Ei bine, dacă într-o inegalitate similară înlocuim semnul „mai puțin decât” cu „mai mare decât”:

Apoi decizia lui se rezumă la decizie agregate:

În special, inegalitatea:

Poate fi înlocuit cu un echivalent totalitate:

Astfel, este necesar să ne amintim că pentru inegalitatea „modul mai mic”, obținem un sistem în care ambele condiții trebuie îndeplinite simultan, iar pentru inegalitatea „modul mai mare decât” obținem o mulțime în care oricare dintre condiții trebuie să fie multumit.

La rezolvarea inegalităților raționale cu un modul de forma:

Este recomandabil să treceți la următoarea inegalitate rațională echivalentă fără modul:

O astfel de inegalitate nu poate fi rezolvată prin extragerea rădăcinii (dacă extrageți sincer rădăcina, atunci trebuie să puneți din nou modulele și veți reveni la început, dacă uitați de module, aceasta echivalează cu uitarea de ele). chiar la început, iar aceasta, desigur, este o greșeală). Toate parantezele trebuie mutate spre stânga și, în niciun caz deschizând parantezele, aplicați formula pentru diferența de pătrate.

Încă o dată, repetăm ​​asta pt soluții ale tuturor celorlalte tipuri de inegalități cu module pe lângă cele indicate mai sus, este necesară deschiderea tuturor modulelor incluse în inegalitate pe intervalele semnului lor constant și rezolvarea inegalităților rezultate. Să ne amintim mai detaliat sensul general al acestui algoritm:

• În primul rând, găsim punctele de pe axa numerică în care fiecare dintre expresiile de sub modul dispare.
• În continuare, împărțim întreaga axă numerică în intervale între punctele obținute și examinăm semnul fiecărei expresii submodulului pe fiecare interval. Rețineți că pentru a determina semnul unei expresii, trebuie să înlocuiți orice valoare a variabilei din interval în ea, cu excepția punctelor de limită. Alegeți valori variabile care sunt ușor de înlocuit.
• În plus, pe fiecare interval obținut, dezvăluim toate modulele din inegalitatea originală în conformitate cu semnele lor pe acest interval și rezolvăm inegalitatea rațională obișnuită rezultată, ținând cont de toate regulile și subtilitățile rezolvării inegalităților obișnuite fără module.
• Soluția fiecăreia dintre inegalitățile obținute pe un anumit interval este combinată într-un sistem cu intervalul în sine și toate astfel de sisteme sunt combinate într-o mulțime. Astfel, din soluțiile tuturor inegalităților, selectăm doar acele părți care sunt incluse în intervalul în care a fost obținută această inegalitate și scriem toate aceste părți în răspunsul final.