Trigonometrijos mažinimo pavyzdžiai. Liejimo formulės. Greitai ir lengvai

grožis

Ir dar viena užduotis B11 ta pačia tema – iš tikrojo NAUDOJIMO matematikoje.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Šiame trumpame vaizdo įraše sužinosime, kaip pateikti paraišką redukcijos formules už realius uždavinius B11 iš matematikos egzamino. Kaip matote, priešais mus yra dvi trigonometrinės išraiškos, kurių kiekvienoje yra sinusai ir kosinusai, taip pat gana žiaurūs skaitiniai argumentai.

Prieš spręsdami šias problemas, prisiminkime, kas yra redukcijos formulės. Taigi, jei turime tokius posakius:

Tada galime atsikratyti pirmojo nario (formos k · π/2) pagal specialias taisykles. Nubraižykime trigonometrinį apskritimą, pažymėkime jame pagrindinius taškus: 0, π/2; π; 3π/2 ir 2π. Tada žiūrime į pirmąjį terminą po trigonometrinės funkcijos ženklu. Mes turime:

Jei mus dominantis terminas yra vertikalioje trigonometrinio apskritimo ašyje (pavyzdžiui: 3π / 2; π / 2 ir kt.), tada pradinė funkcija pakeičiama kofunkcija: sinusas pakeičiamas a kosinusas, o kosinusas pakeičiamas sinusu.
Jei mūsų terminas yra horizontalioje ašyje, tada pradinė funkcija nesikeičia. Tiesiog pašalinkite pirmąjį terminą iš išraiškos – ir viskas.

Taigi gauname trigonometrinę funkciją, kurioje nėra k · π/2 formos terminų. Tačiau darbas su redukcijos formulėmis tuo nesibaigia. Faktas yra tas, kad prieš mūsų naują funkciją, gautą „atmetus“ pirmąjį terminą, gali būti pliuso arba minuso ženklas. Kaip atpažinti šį ženklą? Dabar išsiaiškinsime.

Įsivaizduokite, kad kampas α, kuris po transformacijų lieka trigonometrinės funkcijos viduje, turi labai mažą laipsnio matą. Bet ką reiškia „mažas matas“? Tarkime, α ∈ (0; 30°) – to visiškai pakanka. Paimkime funkciją kaip pavyzdį:

Tada, vadovaudamiesi mūsų prielaidomis, kad α ∈ (0; 30°), darome išvadą, kad kampas 3π/2 − α yra trečiajame koordinačių kvadrante, t.y. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Primename pradinės funkcijos ženklą, t.y. y = sin x šiame intervale. Akivaizdu, kad sinusas trečiajame koordinačių ketvirtyje yra neigiamas, nes pagal apibrėžimą sinusas yra judančio spindulio pabaigos ordinatė (trumpiau tariant, sinusas yra y koordinatė). Na, y koordinatė apatinėje pusiau plokštumoje visada įgauna neigiamas reikšmes. Vadinasi, trečiąjį ketvirtį y taip pat yra neigiamas.

Remdamiesi šiais samprotavimais, galime parašyti galutinę išraišką:

Problema B11 – 1 variantas

Tie patys metodai yra gana tinkami sprendžiant B11 uždavinį iš vieningo valstybinio matematikos egzamino. Vienintelis skirtumas yra tas, kad daugelyje realių B11 uždavinių vietoj radianinio mato (t. y. skaičiai π, π/2, 2π ir kt.) naudojamas laipsnio matas (t. y. 90°, 180°, 270° ir ir tt). Pažvelkime į pirmąją užduotį:

Pirmiausia panagrinėkime skaitiklį. cos 41° yra ne lentelės reikšmė, todėl su ja nieko negalime padaryti. Kol kas palikime taip.

Dabar pažiūrėkite į vardiklį:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Akivaizdu, kad prieš mus yra redukcijos formulė, todėl sinusas buvo pakeistas kosinusu. Be to, kampas 41° guli ant atkarpos (0°; 90°), t.y. pirmajame koordinačių ketvirtyje – tiksliai taip, kaip reikia redukcinėms formulėms taikyti. Bet tada 90° + 41° yra antrasis koordinačių ketvirtis. Pradinė funkcija y = sin x yra teigiama, todėl paskutiniame žingsnyje prieš kosinusą dedame pliuso ženklą (kitaip tariant, nieko nedėjome).

Belieka susidoroti su paskutiniu elementu:

cos 240° = cos (180° + 60°) = -cos 60° = -0,5

Čia matome, kad 180° yra horizontali ašis. Vadinasi, pati funkcija nepasikeis: buvo kosinusas – ir kosinusas taip pat liks. Tačiau vėl kyla klausimas: ar pliusas ar minusas bus prieš gautą išraišką cos 60 °? Atkreipkite dėmesį, kad 180° yra trečiasis koordinačių kvadrantas. Ten kosinusas yra neigiamas, todėl kosinusas bus su minuso ženklu. Iš viso gauname konstrukciją -cos 60 ° = -0,5 - tai yra lentelės reikšmė, todėl viską lengva apskaičiuoti.

Dabar gautus skaičius pakeičiame pradine formule ir gauname:

Kaip matote, skaičius cos 41 ° trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra lengvai sumažinamas, o išlieka įprasta išraiška, kuri yra lygi –10. Tokiu atveju minusą galima išimti ir įdėti prieš trupmenos ženklą arba „laikyti“ šalia antrojo daugiklio iki paskutinio skaičiavimo žingsnio. Bet kuriuo atveju atsakymas yra -10. Štai ir viskas, problema B11 išspręsta!

Problema B14 – 2-as variantas

Pereikime prie antrosios užduoties. Prieš mus vėl trupmenėlė:

Na, pirmame koordinačių kvadrante turime 27°, tai čia nieko nepakeisime. Bet nuodėmė 117 ° turi būti nudažyta (iki šiol be jokio kvadrato):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Akivaizdu, kad vėl prieš mus redukcijos formulė: 90° yra vertikali ašis, todėl sinusas pasikeis į kosinusą. Be to, kampas α = 117° = 90° + 27° yra antrajame koordinačių kvadrante. Ten pradinė funkcija y = sin x yra teigiama, todėl prieš kosinusą po visų transformacijų pliuso ženklas vis tiek išlieka. Kitaip tariant, ten nieko nepridedama - paliekame taip: cos 27 °.

Grįžtame prie pradinės išraiškos, kurią reikia įvertinti:

Kaip matote, po transformacijų vardiklyje atsirado pagrindinė trigonometrinė tapatybė: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Iš viso -4: 1 = -4 - taip radome atsakymą į antrą uždavinį B11.

Kaip matote, redukcinių formulių pagalba tokios užduotys iš vieningo valstybinio matematikos egzamino išsprendžiamos vos per kelias eilutes. Jokių sumos sinusų ir skirtumo kosinusų. Viskas, ką turime atsiminti, yra tik trigonometrinis apskritimas.

Apibrėžimas. Redukcijos formulės vadinamos formulėmis, leidžiančiomis pereiti nuo trigonometrinių formos funkcijų prie argumentų funkcijų. Jų pagalba savavališko kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas gali būti sumažintas iki kampo nuo 0 iki 90 laipsnių (nuo 0 iki radianų) sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento. Taigi, sumažinimo formulės leidžia pereiti prie darbo su kampais 90 laipsnių ribose, o tai neabejotinai yra labai patogu.

Liejimo formulės:

Yra dvi liejimo formulių naudojimo taisyklės.

1. Jei kampas gali būti pavaizduotas kaip (π/2 ±a) arba (3*π/2 ±a), tada keičiasi funkcijos pavadinimas nuodėmės į cos, cos į nuodėmę, tg į ctg, ctg į tg. Jei kampas gali būti pavaizduotas kaip (π ±a) arba (2*π ±a), tada funkcijos pavadinimas lieka nepakitęs.

Pažvelkite į žemiau esantį paveikslą, kuriame schematiškai parodyta, kada ženklą reikia keisti, o kada ne.

2. Sumažintas funkcijos ženklas lieka ta pati. Jei pradinė funkcija turėjo pliuso ženklą, tai sumažinta funkcija taip pat turi pliuso ženklą. Jei pradinė funkcija turėjo minuso ženklą, tai sumažinta funkcija taip pat turi minuso ženklą.

Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti pagrindinių trigonometrinių funkcijų ženklai, priklausantys nuo ketvirčio.

Pavyzdys:

Apskaičiuoti

Naudokime redukcijos formules:

Sin(150˚) yra antrame ketvirtyje, iš paveikslo matome, kad nuodėmės ženklas šiame ketvirtyje yra lygus „+“. Tai reiškia, kad aukščiau nurodyta funkcija taip pat turės „+“ ženklą. Pritaikėme antrąją taisyklę.

Dabar 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ yra π/2. Tai yra, mes susiduriame su atveju π / 2 + 60, todėl pagal pirmąją taisyklę mes keičiame funkciją iš sin į cos. Dėl to gauname Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Pamoka ir pristatymas tema: „Redukcijos formulių taikymas sprendžiant uždavinius“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų. Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 10 klasei
1C: mokykla. Interaktyvios konstravimo užduotys 7-10 kl
1C: mokykla. Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios užduotys statyti erdvėje 10-11 klasėms

Ką mes studijuosime:
1. Truputį pakartokime.
2. Redukcijos formulių taisyklės.
3. Redukcijos formulių transformacijų lentelė.
4. Pavyzdžiai.

Trigonometrinių funkcijų kartojimas

Vaikinai, jūs jau susidūrėte su vaiduoklių formulėmis, bet jos dar nebuvo taip vadinamos. kur tu manai?

Pažvelkite į mūsų brėžinius. Teisingai, kai jie pristatė trigonometrinių funkcijų apibrėžimus.

Redukcijos formulių taisyklė

Įveskime pagrindinę taisyklę: Jei trigonometrinės funkcijos ženkle yra π×n/2 + t formos skaičius, kur n yra bet koks sveikasis skaičius, tai mūsų trigonometrinę funkciją galima redukuoti į paprastesnę formą, kurioje bus tik argumentas. t. Tokios formulės vadinamos vaiduoklio formulėmis.

Prisiminkime keletą formulių:

sin(t + 2π*k) = sin(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
sin(t + π) = -sin(t)
cos(t + π) = -cos(t)
sin(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tg(t + π*k) = tg(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

yra daug vaiduoklio formulių, sudarykime taisyklę, pagal kurią nustatysime savo trigonometrines funkcijas vaiduoklio formulės:

Jei trigonometrinės funkcijos ženkle yra tokios formos skaičiai: π + t, π - t, 2π + t ir 2π - t, tai funkcija nepasikeis, tai yra, pavyzdžiui, sinusas liks sinusu, kotangentas liks kotangentas.
Jei trigonometrinės funkcijos ženkle yra tokios formos skaičiai: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t ir 3π/2 - t, tada funkcija pasikeis į susijusią, t.y sinusas taps kosinusu, kotangentas – liestine.
Prieš gautą funkciją turite įdėti ženklą, kurį konvertuota funkcija turėtų, jei 0

Šios taisyklės taip pat taikomos, kai funkcijos argumentas yra laipsniais!

Taip pat galime sudaryti trigonometrinių funkcijų konvertavimo lentelę:

Redukcijos formulių naudojimo pavyzdžiai

1. Transformuokime cos(π + t). Lieka funkcijos pavadinimas, t.y. gauname cos(t). Tada tarkime, kad π/2

2. Transformuoti sin(π/2 + t). Keičiamas funkcijos pavadinimas, t.y. gauname cos(t). Be to, tarkime, kad 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Transformuokime tg(π + t). Lieka funkcijos pavadinimas, t.y. gauname tg(t). Be to, tarkime, kad 0

4. Transformuokime ctg(270 0 + t). Pasikeičia funkcijos pavadinimas, tai yra, gauname tg(t). Be to, tarkime, kad 0

Uždaviniai su redukcijos formulėmis savarankiškam sprendimui

Vaikinai, atsiverskite vadovaudamiesi mūsų taisyklėmis:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 – t),
5) ctg(3π + t),
6) nuodėmė (2π + t),
7) nuodėmė(π/2 + 5t),
8) nuodėmė (π/2 – t),
9) nuodėmė (2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 – t),
13) cos(π - t).

Yra dvi liejimo formulių naudojimo taisyklės.

Pažvelkite į žemiau esantį paveikslą, kuriame schematiškai parodyta, kada ženklą reikia keisti, o kada ne.

2. Taisyklė „koks buvai, toks ir išliksi“.

Sumažėjusios funkcijos ženklas išlieka toks pat. Jei pradinė funkcija turėjo pliuso ženklą, tai sumažinta funkcija taip pat turi pliuso ženklą. Jei pradinė funkcija turėjo minuso ženklą, tai sumažinta funkcija taip pat turi minuso ženklą.

Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti pagrindinių trigonometrinių funkcijų ženklai, priklausantys nuo ketvirčio.

Apskaičiuokite nuodėmę (150˚)

Naudokime redukcijos formules:

Sin(150˚) yra antrame ketvirtyje, iš paveikslo matome, kad nuodėmės ženklas šiame ketvirtyje yra +. Tai reiškia, kad aukščiau nurodyta funkcija taip pat turės pliuso ženklą. Pritaikėme antrąją taisyklę.

Jei pageidaujama, visas redukcijos formules galima apibendrinti vienoje lentelėje. Tačiau vis tiek lengviau atsiminti šias dvi taisykles ir jomis naudotis.

Reikia pagalbos studijuojant?

Ankstesnė tema: