Lanko judėjimas. Vienodas sukamaisiais judesiais. Laikotarpis ir dažnis

Grožis

Kūno judėjimas apskritimu pastoviu moduliniu greičiu- tai judėjimas, kurio metu kūnas apibūdina tuos pačius lankus bet kokiais vienodais laiko intervalais.

Nustatoma kūno padėtis ant apskritimo spindulio vektorius\(~\vec r\) nubrėžta iš apskritimo centro. Spindulio vektoriaus modulis lygus apskritimo spinduliui R(1 pav.).

Per laiką Δ t kūnas juda iš taško BET tiksliai AT, juda \(~\Delta \vec r\) lygus stygai AB, ir eina taku, lygiu lanko ilgiui l.

Spindulio vektorius pasukamas kampu Δ φ . Kampas išreiškiamas radianais.

Kūno judėjimo trajektorija (apskritimu) greitis \(~\vec \upsilon\) nukreipiamas išilgai trajektorijos liestinės. Tai vadinama linijinis greitis. Linijinio greičio modulis lygus apskritimo lanko ilgio santykiui l iki laiko intervalo Δ t kuriam šis lankas perduodamas:

\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)

Skaliarinis fizikinis dydis, skaitiniu būdu lygus spindulio vektoriaus sukimosi kampo ir laiko intervalo, per kurį įvyko šis sukimasis, santykiui, vadinamas kampinis greitis:

\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)

Kampinio greičio SI vienetas yra radianas per sekundę (rad/s).

Tolygiai judant apskritime, kampinis greitis ir linijinio greičio modulis yra pastovios vertės: ω = const; υ = konst.

Kūno padėtį galima nustatyti, jei spindulio vektoriaus modulis \(~\vec r\) ir kampas φ , kurią jis sudaro su ašimi Jautis(kampinė koordinatė). Jei pradiniu metu t 0 = 0 kampinė koordinatė yra φ 0 ir tuo metu t jis lygus φ , tada sukimosi kampas Δ φ spindulys-vektorius laike \(~\Delta t = t - t_0 = t\) yra lygus \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Tada iš paskutinės formulės galime gauti Materialaus taško judėjimo išilgai apskritimo kinematinė lygtis:

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

Tai leidžia bet kuriuo metu nustatyti kūno padėtį. t. Atsižvelgiant į tai, kad \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\, gauname \[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \Rodyklė dešinėn\]

\(~\upsilon = \omega R\) – tiesinio ir kampinio greičio ryšio formulė.

Laiko intervalas Τ , kurio metu kūnas atlieka vieną pilną apsisukimą, vadinamas rotacijos laikotarpis:

\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)

kur N- kūno apsisukimų skaičius per laiką Δ t.

Per laiką Δ t = Τ kūnas kerta kelią \(~l = 2 \pi R\). Vadinasi,

\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)

Vertė ν , vadinamas atvirkštinis periodas, rodantis, kiek apsisukimų kūnas padaro per laiko vienetą greitis:

\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)

Vadinasi,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \ omega = 2 \pi \nu .\)

Literatūra

Aksenovičius L. A. Fizika in vidurinė mokykla: teorija. Užduotys. Testai: Proc. pašalpa įstaigoms, teikiančioms bendrąsias. aplinkos, ugdymas / L. A. Aksenovičius, N. N. Rakina, K. S. Farino; Red. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vykhavanne, 2004. - C. 18-19.

Sukamasis judėjimas yra paprasčiausias kreivinio kūno judėjimo atvejis. Kai kūnas juda aplink tam tikrą tašką, kartu su poslinkio vektoriumi patogu įvesti kampinį poslinkį ∆ φ (sukimosi kampas apskritimo centro atžvilgiu), matuojamas radianais.

Žinant kampinį poslinkį, galima apskaičiuoti apskritimo lanko (kelio), kurį praėjo kūnas, ilgį.

∆ l = R ∆ φ

Jei sukimosi kampas mažas, tai ∆ l ≈ ∆ s .

Iliustruojame tai, kas buvo pasakyta:

Kampinis greitis

Su kreiviniu judėjimu įvedama kampinio greičio ω sąvoka, tai yra, sukimosi kampo kitimo greitis.

Apibrėžimas. Kampinis greitis

Kampinis greitis tam tikrame trajektorijos taške yra kampinio poslinkio ∆ φ ir laiko intervalo ∆ t, per kurį jis įvyko, santykio riba. ∆t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t, ∆ t → 0.

Kampinio greičio matavimo vienetas yra radianai per sekundę (r a d s).

Yra ryšys tarp kūno kampinio ir tiesinio greičio judant apskritimu. Kampinio greičio nustatymo formulė:

Tolygiai judant apskritime greičiai v ir ω išlieka nepakitę. Keičiasi tik tiesinio greičio vektoriaus kryptis.

Tokiu atveju vienodą judėjimą išilgai kūno apskritimo veikia įcentrinis arba normalus pagreitis, nukreiptas apskritimo spinduliu į jo centrą.

a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Išcentrinį pagreičio modulį galima apskaičiuoti pagal formulę:

a n = v 2 R = ω 2 R

Įrodykime šiuos ryšius.

Panagrinėkime, kaip vektorius v → kinta per nedidelį laiko tarpą ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .

Taškuose A ir B greičio vektorius nukreiptas tangentiškai į apskritimą, o greičio moduliai abiejuose taškuose yra vienodi.

Pagal pagreičio apibrėžimą:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Pažiūrėkime į paveikslėlį:

Trikampiai OAB ir BCD yra panašūs. Iš to išplaukia, kad O A A B = B C C D .

Jei kampo ∆ φ reikšmė maža, atstumas A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Atsižvelgdami į tai, kad O A \u003d R ir C D \u003d ∆ v panašiems aukščiau aptartiems trikampiams, gauname:

R v ∆ t = v ∆ v arba ∆ v ∆ t = v 2 R

Kai ∆ φ → 0 , vektoriaus ∆ v → = v B → - v A → kryptis artėja prie apskritimo centro krypties. Darant prielaidą, kad ∆ t → 0 , gauname:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆t → 0 ; a n → = v 2 R .

Vienodai judant išilgai apskritimo, pagreičio modulis išlieka pastovus, o vektoriaus kryptis keičiasi laikui bėgant, išlaikant orientaciją į apskritimo centrą. Štai kodėl šis pagreitis vadinamas įcentriniu: vektorius bet kuriuo metu yra nukreiptas į apskritimo centrą.

Išcentrinio pagreičio vektoriaus pavidalu įrašas yra toks:

a n → = - ω 2 R → .

Čia R → yra apskritimo taško, kurio pradžia yra jo centre, spindulio vektorius.

Bendruoju atveju pagreitis judant apskritimu susideda iš dviejų komponentų - normalaus ir tangentinio.

Apsvarstykite atvejį, kai kūnas juda apskritimu netolygiai. Įveskime tangentinio (tangentinio) pagreičio sąvoką. Jo kryptis sutampa su kūno linijinio greičio kryptimi ir kiekviename apskritimo taške yra nukreipta į jį liestine.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆t → 0

Čia ∆ v τ \u003d v 2 - v 1 yra greičio modulio pokytis per intervalą ∆ t

Visiško pagreičio kryptis nustatoma pagal normaliųjų ir tangentinių pagreičių vektorinę sumą.

Apvalus judėjimas plokštumoje gali būti apibūdinamas naudojant dvi koordinates: x ir y. Kiekvienu laiko momentu kūno greitis gali būti suskaidytas į komponentus v x ir v y .

Jei judėjimas yra tolygus, vertės v x ir v y bei atitinkamos koordinatės laikui bėgant keisis pagal harmoninį dėsnį, kurio periodas T = 2 π R v = 2 π ω

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Kadangi tiesinis greitis tolygiai keičia kryptį, judėjimas išilgai apskritimo negali būti vadinamas vienodu, jis tolygiai pagreitėja.

Kampinis greitis

Pasirinkite tašką apskritime 1 . Sukurkime spindulį. Laiko vienetą taškas judės į tašką 2 . Šiuo atveju spindulys apibūdina kampą. Kampinis greitis skaitine prasme lygus spindulio sukimosi kampui per laiko vienetą.

Laikotarpis ir dažnis

Rotacijos laikotarpis T yra laikas, per kurį kūnas atlieka vieną apsisukimą.

RPM yra apsisukimų skaičius per sekundę.

Dažnis ir laikotarpis yra susiję su santykiais

Ryšys su kampiniu greičiu

Linijos greitis

Kiekvienas apskritimo taškas juda tam tikru greičiu. Šis greitis vadinamas linijiniu. Tiesinio greičio vektoriaus kryptis visada sutampa su apskritimo liestine. Pavyzdžiui, kibirkštys iš po malūnėlio juda, kartodamos momentinio greičio kryptį.

Apsvarstykite apskritimo tašką, kuris daro vieną apsisukimą, praleistą laiką – tai laikotarpis T.Kelias, kurį taškas įveikia, yra apskritimo perimetras.

įcentrinis pagreitis

Judant apskritimu, pagreičio vektorius visada yra statmenas greičio vektoriui, nukreiptas į apskritimo centrą.

Naudodami ankstesnes formules galime išvesti tokius ryšius

Taškai, esantys toje pačioje tiesėje, išeinančioje iš apskritimo centro (pavyzdžiui, tai gali būti taškai, esantys ant rato stipino), bus vienodi kampiniai greičiai, periodas ir dažnis. Tai yra, jie suksis taip pat, bet skirtingais linijiniais greičiais. Kuo toliau taškas yra nuo centro, tuo greičiau jis judės.

Greičių pridėjimo dėsnis galioja ir sukamajam judėjimui. Jei kūno ar atskaitos sistemos judėjimas nėra vienodas, dėsnis galioja momentiniams greičiams. Pavyzdžiui, žmogaus, einančio besisukančios karuselės kraštu, greitis lygus karuselės krašto linijinio sukimosi greičio ir žmogaus greičio vektorinei sumai.

Žemė dalyvauja dviejuose pagrindiniuose sukimosi judesiuose: kasdien (aplink savo ašį) ir orbitiniame (aplink Saulę). Žemės sukimosi aplink Saulę laikotarpis yra 1 metai arba 365 dienos. Žemė sukasi aplink savo ašį iš vakarų į rytus, šio sukimosi laikotarpis yra 1 para arba 24 valandos. Platuma yra kampas tarp pusiaujo plokštumos ir krypties nuo Žemės centro iki taško jos paviršiuje.

Pagal antrąjį Niutono dėsnį, bet kokio pagreičio priežastis yra jėga. Jei judantis kūnas patiria įcentrinį pagreitį, tai jėgų, sukeliančių šį pagreitį, pobūdis gali skirtis. Pavyzdžiui, jei kūnas juda ratu ant jo pririštos virvės, tai veikianti jėga yra tamprumo jėga.

Jei kūnas, gulintis ant disko, sukasi kartu su disku aplink savo ašį, tai tokia jėga yra trinties jėga. Jei jėga nustoja veikti, kūnas ir toliau judės tiesia linija

Apsvarstykite taško judėjimą apskritime nuo A iki B. Tiesinis greitis lygus

Dabar pereikime prie fiksuotos sistemos, prijungtos prie žemės. Bendras taško A pagreitis išliks toks pat tiek absoliučia verte, tiek kryptimi, nes pagreitis nesikeičia judant iš vienos inercinės atskaitos sistemos į kitą. Stacionaraus stebėtojo požiūriu taško A trajektorija yra nebe apskritimas, o sudėtingesnė kreivė (cikloidas), kuria taškas juda netolygiai.

Tarp Įvairios rūšys ypač domina kreivinis judėjimas vienodas kūno judėjimas apskritime. Tai paprasčiausia kreivinio judėjimo forma. Tuo pačiu metu bet koks sudėtingas kreivinis kūno judėjimas pakankamai mažoje jo trajektorijos atkarpoje gali būti apytiksliai laikomas tolygiu judėjimu apskritimu.

Tokį judėjimą atlieka besisukančių ratų taškai, turbinos rotoriai, orbitomis besisukantys dirbtiniai palydovai ir tt Tolygiai judant apskritimu, skaitinė greičio reikšmė išlieka pastovi. Tačiau greičio kryptis tokio judėjimo metu nuolat kinta.

Kūno greitis bet kuriame kreivinės trajektorijos taške yra nukreiptas tangentiškai į trajektoriją šiame taške. Tai galima pastebėti stebint disko formos šlifavimo akmens darbą: prispaudus plieninio strypo galą prie besisukančio akmens, matosi, kaip nuo akmens nulipa karštos dalelės. Šios dalelės skrenda tokiu pačiu greičiu, kokį turėjo atsiskyrimo nuo akmens momentu. Kibirkščių kryptis visada sutampa su apskritimo liestine taške, kur strypas paliečia akmenį. Slystančio automobilio ratų purslai taip pat juda liestiniu būdu į apskritimą.

Taigi momentinis kūno greitis skirtinguose kreivinės trajektorijos taškuose turi skirtingas kryptis, o greičio modulis gali būti visur vienodas arba keistis nuo taško iki taško. Bet net jei greičio modulis nesikeičia, jis vis tiek negali būti laikomas pastoviu. Juk greitis yra vektorinis dydis, o vektoriniams dydžiams modulis ir kryptis yra vienodai svarbūs. Štai kodėl kreivinis judėjimas visada pagreitinamas, net jei greičio modulis yra pastovus.

Kreivinis judėjimas gali pakeisti greičio modulį ir jo kryptį. Kreivinis judėjimas, kurio greičio modulis išlieka pastovus, vadinamas vienodas kreivinis judėjimas. Pagreitis tokio judėjimo metu siejamas tik su greičio vektoriaus krypties pasikeitimu.

Ir modulis, ir pagreičio kryptis turi priklausyti nuo kreivės trajektorijos formos. Tačiau nebūtina atsižvelgti į kiekvieną iš daugybės jo formų. Atvaizduojant kiekvieną atkarpą kaip atskirą apskritimą su tam tikru spinduliu, pagreičio nustatymo kreivinio vienodo judesio problema bus sumažinta iki pagreičio radimo kūne, judančiame tolygiai apskritimu.

Vienodas judėjimas apskritime apibūdinamas cirkuliacijos periodu ir dažniu.

Laikas, per kurį kūnas atlieka vieną apsisukimą, vadinamas cirkuliacijos laikotarpis.

Tolygiai judant apskritime, apsisukimo laikotarpis nustatomas padalijus nuvažiuotą atstumą, ty apskritimo perimetrą iš judėjimo greičio:

Laikotarpio grįžtamoji vertė vadinama cirkuliacijos dažnis, žymimas raide ν . Apsisukimų skaičius per laiko vienetą ν paskambino cirkuliacijos dažnis:

Dėl nuolatinio greičio krypties kitimo apskritimu judantis kūnas turi pagreitį, apibūdinantį jo krypties kitimo greitį, skaitinė greičio reikšmė šiuo atveju nekinta.

Tolygiai judant kūnui išilgai apskritimo, pagreitis bet kuriame jo taške visada yra nukreiptas statmenai judėjimo greičiui apskritimo spinduliu iki jo centro ir vadinamas įcentrinis pagreitis.

Norėdami rasti jo reikšmę, apsvarstykite greičio vektoriaus pokyčio santykį su laiko intervalu, per kurį šis pokytis įvyko. Kadangi kampas labai mažas, turime

Kadangi tiesinis greitis tolygiai keičia kryptį, judėjimas išilgai apskritimo negali būti vadinamas vienodu, jis tolygiai pagreitėja.

Kampinis greitis

Laikotarpis ir dažnis

Rotacijos laikotarpis T yra laikas, per kurį kūnas atlieka vieną apsisukimą.

RPM yra apsisukimų skaičius per sekundę.

Dažnis ir laikotarpis yra susiję su santykiais

Ryšys su kampiniu greičiu

Linijos greitis

Apsvarstykite apskritimo tašką, kuris daro vieną apsisukimą, praleistą laiką – tai laikotarpis T. Tašku nueitas kelias yra apskritimo perimetras.

įcentrinis pagreitis

Judant apskritimu, pagreičio vektorius visada yra statmenas greičio vektoriui, nukreiptas į apskritimo centrą.

Naudodami ankstesnes formules galime išvesti tokius ryšius

Jei kūnas, gulintis ant disko, sukasi kartu su disku aplink savo ašį, tai tokia jėga yra trinties jėga. Jei jėga nustoja veikti, kūnas ir toliau judės tiesia linija

Apsvarstykite taško judėjimą apskritime nuo A iki B. Tiesinis greitis lygus prieš A ir prieš B atitinkamai. Pagreitis yra greičio pokytis per laiko vienetą. Raskime vektorių skirtumą.