Pirsono koreliacijos testas – tai parametrinės statistikos metodas, leidžiantis nustatyti tiesinio ryšio tarp dviejų kiekybinių rodiklių buvimą ar nebuvimą, taip pat įvertinti jo artumą ir statistinį reikšmingumą. Kitaip tariant, Pearson koreliacijos testas leidžia nustatyti, ar yra tiesinis ryšys tarp dviejų kintamųjų verčių pokyčių. Statistiniuose skaičiavimuose ir išvadose koreliacijos koeficientas dažniausiai žymimas kaip rxy arba Rxy.

1. Koreliacijos kriterijaus raidos istorija

Pearsono koreliacijos testą sukūrė britų mokslininkų komanda, vadovaujama Karlas Pearsonas(1857-1936) XIX amžiaus 90-aisiais, siekiant supaprastinti dviejų atsitiktinių dydžių kovariacijos analizę. Be Karlo Pearsono, buvo atliktas ir Pearsono koreliacijos testas Pranciškus Edgeworthas ir Raphaelis Weldonas.

2. Kam naudojamas Pearsono koreliacijos testas?

Pearsono koreliacijos kriterijus leidžia nustatyti, koks yra koreliacijos tarp dviejų rodiklių, išmatuotų kiekybine skale, artumas (arba stiprumas). Papildomų skaičiavimų pagalba taip pat galite nustatyti, kiek statistiškai reikšmingas nustatytas ryšys.

Pavyzdžiui, naudojant Pearsono koreliacijos testą, galima atsakyti į klausimą, ar yra ryšys tarp kūno temperatūros ir leukocitų kiekio kraujyje ūminiu laikotarpiu. kvėpavimo takų infekcijos, tarp paciento ūgio ir svorio, tarp turinio in geriamas vanduo fluoro ir sergamumo kariesu populiacijoje.

3. Pirsono chi kvadrato testo naudojimo sąlygos ir apribojimai

1. Turėtų būti matuojami palyginami rodikliai kiekybinė skalė(pavyzdžiui, širdies susitraukimų dažnis, kūno temperatūra, leukocitų skaičius 1 ml kraujo, sistolinis kraujospūdis).
2. Naudojant Pearsono koreliacijos kriterijų, galima nustatyti tik tiesinio ryšio buvimas ir stiprumas tarp kiekių. Kitos ryšio charakteristikos, įskaitant kryptį (tiesioginę arba atvirkštinę), pokyčių pobūdį (tiesioji arba kreivinė), taip pat vieno kintamojo priklausomybė nuo kito, nustatomos naudojant regresinę analizę.
3. Lyginamų verčių skaičius turi būti lygus dviem. Jei analizuojate trijų ar daugiau parametrų ryšį, turėtumėte naudoti šį metodą faktorinė analizė.
4. Pearsono koreliacijos kriterijus yra parametrinis, dėl kurio yra jo taikymo sąlyga normalus skirstinys suderintus kintamuosius. Jei reikia atlikti rodiklių, kurių pasiskirstymas skiriasi nuo normalaus, koreliacinę analizę, įskaitant tuos, kurie matuojami eilės skalėje, reikia naudoti Spearmano rango koreliacijos koeficientą.
5. Būtina aiškiai atskirti priklausomybės ir koreliacijos sąvokas. Vertybių priklausomybė lemia koreliacijos tarp jų buvimą, bet ne atvirkščiai.

Pavyzdžiui, vaiko augimas priklauso nuo jo amžiaus, tai yra nuo ko vyresnis vaikas, kuo jis didesnis. Jei paimsime du skirtingo amžiaus vaikus, tada su didele tikimybe vyresnio vaiko augimas bus didesnis nei jaunesnio. Šis reiškinys vadinamas priklausomybė, o tai reiškia priežastinį ryšį tarp rodiklių. Žinoma, taip pat yra koreliacija, tai reiškia, kad vieno rodiklio pokyčius lydi kito rodiklio pokyčiai.

Kitoje situacijoje apsvarstykite ryšį tarp vaiko augimo ir širdies susitraukimų dažnio (HR). Kaip žinote, abi šios reikšmės tiesiogiai priklauso nuo amžiaus, todėl daugeliu atvejų didesnio ūgio (taigi ir vyresnių) vaikų pulso dažnis bus mažesnis. Tai yra, koreliacija bus stebimas ir gali turėti pakankamai didelį sandarumą. Tačiau jei imtume vaikus tokio pat amžiaus, bet skirtingo aukščio, tada greičiausiai jų širdies susitraukimų dažnis skirsis nežymiai, todėl galime daryti išvadą, kad nepriklausomybęŠirdies susitraukimų dažnis nuo augimo.

Aukščiau pateiktas pavyzdys parodo, kaip svarbu atskirti pagrindines statistikos sąvokas jungtys ir priklausomybės rodiklius, kad būtų galima padaryti teisingas išvadas.

4. Kaip apskaičiuoti Pearsono koreliacijos koeficientą?

Pirsono koreliacijos koeficientas apskaičiuojamas pagal šią formulę:

5. Kaip interpretuoti Pearsono koreliacijos koeficiento reikšmę?

Pearsono koreliacijos koeficiento reikšmės aiškinamos remiantis jo absoliučiomis reikšmėmis. Galimos koreliacijos koeficiento reikšmės svyruoja nuo 0 iki ±1. Kuo didesnė r xy absoliuti reikšmė, tuo didesnis ryšys tarp dviejų dydžių. r xy = 0 rodo visišką ryšio nebuvimą. r xy = 1 – rodo absoliutaus (funkcinio) ryšio buvimą. Jei Pirsono koreliacijos kriterijaus reikšmė pasirodė didesnė nei 1 arba mažesnė nei -1, skaičiavimuose buvo padaryta klaida.

Koreliacijos artumui arba stiprumui įvertinti naudojami visuotinai pripažinti kriterijai, pagal kuriuos absoliučios r xy reikšmės< 0.3 свидетельствуют о silpnas ryšys, r xy reikšmės nuo 0,3 iki 0,7 - apie ryšį vidurio sandarumas, r xy vertės > 0,7 - o stiprus jungtys.

Tikslesnį koreliacijos stiprumo įvertinimą galima gauti naudojant Chaddock stalas:

Įvertinimas statistinis reikšmingumas koreliacijos koeficientas r xy atliekamas naudojant t testą, apskaičiuojamą pagal šią formulę:

Gauta reikšmė t r lyginama su kritine verte tam tikram reikšmingumo lygiui ir laisvės laipsnių skaičiui n-2. Jei t r viršija t crit, tada daroma išvada apie nustatytos koreliacijos statistinį reikšmingumą.

6. Pirsono koreliacijos koeficiento apskaičiavimo pavyzdys

Tyrimo tikslas – nustatyti, nustatyti dviejų kiekybinių rodiklių koreliacijos sandarumą ir statistinį reikšmingumą: testosterono kiekį kraujyje (X) ir procentą. raumenų masė kūne (Y). 5 tiriamųjų imties pradiniai duomenys (n = 5) apibendrinti lentelėje.

Koreliacijos koeficientas (arba tiesinės koreliacijos koeficientas) žymimas kaip "r" (retais atvejais - "ρ") ir apibūdina dviejų ar daugiau kintamųjų tiesinę koreliaciją (ty ryšį, kurį suteikia tam tikra reikšmė ir kryptis). . Koeficiento reikšmė yra nuo -1 iki +1, tai yra, koreliacija gali būti ir teigiama, ir neigiama. Jei koreliacijos koeficientas yra -1, yra tobula neigiama koreliacija; jei koreliacijos koeficientas yra +1, yra tobula teigiama koreliacija. Kitais atvejais tarp dviejų kintamųjų yra teigiama koreliacija, neigiama koreliacija arba jos nėra. Koreliacijos koeficientą galima apskaičiuoti rankiniu būdu, naudojant nemokamus internetinius skaičiuotuvus arba naudojant gerą grafinį skaičiuotuvą.

Žingsniai

Koreliacijos koeficiento apskaičiavimas rankiniu būdu

Surinkite duomenis. Prieš pradėdami skaičiuoti koreliacijos koeficientą, išnagrinėkite pateiktą skaičių porą. Geriau juos užrašyti į lentelę, kurią galima išdėstyti vertikaliai arba horizontaliai. Pažymėkite kiekvieną eilutę ar stulpelį „x“ ir „y“.

• Pavyzdžiui, pateiktos keturios kintamųjų „x“ ir „y“ verčių (skaičių) poros. Galite sukurti tokią lentelę:
  • x || y
  • 1 || 1
  • 2 || 3
  • 4 || 5
  • 5 || 7

1. Apskaičiuokite aritmetinį vidurkį „x“. Norėdami tai padaryti, sudėkite visas „x“ reikšmes ir padalykite rezultatą iš reikšmių skaičiaus.

   Raskite aritmetinį vidurkį „y“. Norėdami tai padaryti, atlikite tuos pačius veiksmus, tai yra, sudėkite visas „y“ reikšmes ir padalykite sumą iš reikšmių skaičiaus.

   Apskaičiuokite standartinį „x“ nuokrypį. Apskaičiavę x ir y vidurkius, raskite šių kintamųjų standartinius nuokrypius. Standartinis nuokrypis apskaičiuojamas pagal šią formulę:

   Apskaičiuokite standartinį nuokrypį "y". Atlikite ankstesniame žingsnyje nurodytus veiksmus. Naudokite tą pačią formulę, bet pakeiskite ja "y" reikšmes.

   Užrašykite pagrindinę koreliacijos koeficiento skaičiavimo formulę.Ši formulė apima vidurkius, standartinius nuokrypius ir abiejų kintamųjų skaičių porų skaičių (n). Koreliacijos koeficientas žymimas "r" (retais atvejais - "ρ"). Šiame straipsnyje naudojama formulė Pirsono koreliacijos koeficientui apskaičiuoti.

   Apskaičiavote abiejų kintamųjų vidurkius ir standartinius nuokrypius, todėl koreliacijos koeficientui apskaičiuoti galite naudoti formulę. Prisiminkite, kad „n“ yra abiejų kintamųjų verčių porų skaičius. Kitų dydžių vertė buvo apskaičiuota anksčiau.

   • Mūsų pavyzdyje skaičiavimai bus parašyti taip:
   • ρ = (1 n − 1) Σ (x − μ x σ x) ∗ (y − μ y σ y) (\displaystyle \rho =\left((\frac (1)(n-1))\right) \Sigma \left((\frac (x-\mu _(x))(\sigma _(x)))\right)*\left((\frac (y-\mu _(y))(\sigma _(y)))\dešinė))
   • ρ = (1 3) ∗ (\displaystyle \rho =\left((\frac (1)(3))\right)*)[ (1 − 3 1 , 83) ∗ (1 − 4 2 , 58) + (2 − 3 1 , 83) ∗ (3 − 4 2 , 58) (\displaystyle \left((\frac (1-3)) 1.83))\right)*\left((\frac (1-4)(2.58))\right)+\left((\frac (2-3)(1.83))\right) *\left((\ Frac (3-4)(2,58))\right))
     + (4 − 3 1 , 83) ∗ (5 − 4 2 , 58) + (5 − 3 1 , 83) ∗ (7 − 4 2 , 58) (\displaystyle +\left((\frac (4-3) )(1.83))\right)*\left((\frac (5-4)(2.58))\right)+\left((\frac (5-3)(1.83))\right)*\left( (\frac (7-4)(2,58))\right))]
   • ρ = (1 3) ∗ (6 + 1 + 1 + 6 4 , 721) (\displaystyle \rho =\left((\frac (1)(3))\right)*\left((\frac (6) +1+1+6)(4 721))\dešinė))
   • ρ = (1 3) ∗ 2 , 965 (\displaystyle \rho =\left((\frac (1)(3))\right)*2,965)
   • ρ = (2 , 965 3) (\displaystyle \rho =\left((\frac (2,965)(3))\right))
   • ρ = 0 . 988 (\displaystyle \rho = 0,988)

2. Išanalizuokite rezultatą. Mūsų pavyzdyje koreliacijos koeficientas yra 0,988. Ši reikšmė tam tikru būdu apibūdina nurodytą skaičių porų rinkinį. Atkreipkite dėmesį į vertės ženklą ir dydį.

   • Kadangi koreliacijos koeficiento reikšmė yra teigiama, tarp kintamųjų „x“ ir „y“ yra teigiama koreliacija. Tai yra, kai „x“ reikšmė didėja, „y“ reikšmė taip pat didėja.
   • Kadangi koreliacijos koeficiento reikšmė yra labai artima +1, x ir y kintamųjų reikšmės labai koreliuoja. Jei įdėsite taškus koordinačių plokštumoje, jie bus arti tiesios linijos.

   Internetinių skaičiuoklių naudojimas koreliacijos koeficientui apskaičiuoti

   1. Internete susiraskite skaičiuotuvą koreliacijos koeficientui apskaičiuoti.Šis koeficientas dažnai skaičiuojamas statistikoje. Jei skaičių porų yra daug, koreliacijos koeficiento rankiniu būdu apskaičiuoti praktiškai neįmanoma. Todėl yra internetiniai skaičiuotuvai koreliacijos koeficientui apskaičiuoti. Paieškos sistemoje įveskite „koreliacijos koeficiento skaičiuoklė“ (be kabučių).

      Įveskite duomenis. Norėdami teisingai įvesti duomenis (skaičių poras), perskaitykite instrukcijas svetainėje. Labai svarbu įvesti atitinkamas skaičių poras; kitaip gausite klaidingą rezultatą. Atminkite, kad skirtingose ​​svetainėse yra skirtingi duomenų įvedimo formatai.

      • Pavyzdžiui, svetainėje http://ncalculators.com/statistics/correlation-coefficient-calculator.htm kintamųjų „x“ ir „y“ reikšmės įvedamos į dvi horizontalias eilutes. Reikšmės atskiriamos kableliais. Tai yra, mūsų pavyzdyje „x“ reikšmės įvedamos taip: 1,2,4,5, o „y“ reikšmės yra tokios: 1,3,5,7.
      • Kitoje svetainėje, http://www.alcula.com/calculators/statistics/correlation-coefficient/ , duomenys įvedami vertikaliai; šiuo atveju nepainiokite atitinkamų skaičių porų.

   2. Apskaičiuokite koreliacijos koeficientą.Įvedę duomenis tiesiog spustelėkite mygtuką „Apskaičiuoti“, „Apskaičiuoti“ ar panašų mygtuką, kad gautumėte rezultatą.

   Grafinės skaičiuoklės naudojimas

   1. Įveskite duomenis. Paimkite grafinį skaičiuotuvą, perjunkite į statistinio skaičiavimo režimą ir pasirinkite komandą Redaguoti.

      • Skirtinguose skaičiuotuvuose reikia paspausti skirtingus klavišus. Šiame straipsnyje daugiausia dėmesio skiriama Texas Instruments TI-86 skaičiuotuvui.
      • Norėdami perjungti į statistinio skaičiavimo režimą, paspauskite - Stat (virš „+“ klavišo). Tada paspauskite F2 - Redaguoti (Redaguoti).

   2. Ištrinkite ankstesnius išsaugotus duomenis. Daugelis skaičiuotuvų saugo jūsų įvestą statistiką, kol ją išvalysite. Kad nesupainiotumėte senų ir naujų duomenų, pirmiausia ištrinkite visą saugomą informaciją.

      • Rodyklių klavišais perkelkite žymeklį ir pažymėkite antraštę „xStat“. Tada paspauskite Clear ir Enter, kad išvalytumėte visas stulpelyje xStat įvestas reikšmes.
      • Rodyklių klavišais pažymėkite antraštę „yStat“. Tada paspauskite Clear ir Enter, kad išvalytumėte visas yStat stulpelyje įvestas reikšmes.

   3. Įveskite pradinius duomenis. Rodyklių klavišais perkelkite žymeklį į pirmą langelį po antrašte „xStat“. Įveskite pirmąją reikšmę ir paspauskite Enter. Ekrano apačioje bus rodoma "xStat (1) = __", o įvesta vertė vietoj tarpo. Paspaudus Enter, įvesta reikšmė atsiras lentelėje, o žymeklis pereis į kitą eilutę; ekrano apačioje bus rodoma „xStat(2) = __“.

      • Įveskite visas kintamojo "x" reikšmes.
      • Įvedę visas x kintamojo reikšmes, naudokite rodyklių klavišus, kad pereitumėte į stulpelį yStat ir įveskite y kintamojo reikšmes.
      • Įvedę visas skaičių poras, paspauskite Exit, kad išvalytumėte ekraną ir išeitumėte iš agregavimo režimo.

   4. Apskaičiuokite koreliacijos koeficientą. Jis apibūdina, kaip arti duomenys yra prie kokios nors tiesios linijos. Grafikos skaičiuotuvas gali greitai nustatyti tinkamą tiesę ir apskaičiuoti koreliacijos koeficientą.

      • Spustelėkite Stat (Statistika) – Skaičiavimas (Skaičiavimai). TI-86 paspauskite - - .
      • Pasirinkite funkciją „Tiesinė regresija“. TI-86 paspauskite , kuris pažymėtas "LinR". Ekrane bus rodoma eilutė „LinR _“ su mirksinčiu žymekliu.
      • Dabar įveskite dviejų kintamųjų pavadinimus: xStat ir yStat.
        • TI-86 atidarykite vardų sąrašą; tai padaryti paspauskite – – .
        • Galimi kintamieji rodomi apatinėje ekrano eilutėje. Pasirinkite (greičiausiai paspausdami F1 arba F2), įveskite kablelį ir pasirinkite .
        • Paspauskite Enter, kad apdorotumėte įvestus duomenis.

7.3.1. Koreliacijos ir determinacijos koeficientai. Galima kiekybiškai įvertinti bendravimo artumas tarp veiksnių ir orientacija(tiesioginis arba atvirkštinis) apskaičiuojant:

1) jei reikia nustatyti tiesinį ryšį tarp dviejų veiksnių, - poros koeficientas koreliacijos: 7.3.2 ir 7.3.3 suporuoto tiesinio Bravaiso – Pirsono koreliacijos koeficiento ( r) ir Spearmano porinės rango koreliacijos koeficientas ( r);

2) jei norime nustatyti ryšį tarp dviejų veiksnių, bet šis ryšys yra aiškiai nelinijinis, tada koreliacinis ryšys ;

3) jei norime nustatyti ryšį tarp vieno veiksnio ir kažkokios kitų veiksnių visumos – tada (arba, lygiavertiškai, "daugybinės koreliacijos koeficientas");

4) jei norime atskirai identifikuoti vieno veiksnio ryšį tik su konkrečiu kitu, kuris yra dalis veiksnių grupės, turinčios įtakos pirmajam veiksniui, kuriam visų kitų veiksnių įtaką turime laikyti nepakitusia, tada privačios (dalinės) koreliacijos koeficientas .

Bet koks koreliacijos koeficientas (r, r) negali viršyti 1 absoliučia verte, ty –1< r (r) < 1). Если получено значение 1, то это значит, что рассматриваемая зависимость не статистическая, а функциональная, если 0 - корреляции нет вообще.

Ženklas prie koreliacijos koeficiento nustato ryšio kryptį: „+“ ženklas (arba ženklo nebuvimas) reiškia, kad ryšys tiesiai (teigiamas), ženklas „–“ – tai ryšys atvirkščiai (neigiamas). Ženklas neturi nieko bendra su jungties sandarumu.

Koreliacijos koeficientas apibūdina statistinį ryšį. Tačiau dažnai reikia nustatyti kitą priklausomybės tipą, būtent: koks tam tikro veiksnio indėlis į kito susijusio veiksnio susidarymą. Tokiai priklausomybei, kuriai būdingas tam tikras konvenciškumas, būdinga determinacijos koeficientas (D ) nustatoma pagal formulę D = r 2 ´100 % (kur r yra Bravais-Pearson koreliacijos koeficientas, žr. 7.3.2). Jei buvo atlikti matavimai užsakymo skalė (rangų skalė), tada, šiek tiek praradus patikimumą, vietoj r reikšmės į formulę galima pakeisti r reikšmę (Spearmano koreliacijos koeficientas, žr. 7.3.3).

Pavyzdžiui, jei kaip faktoriaus B priklausomybės nuo faktoriaus A charakteristiką gautume koreliacijos koeficientą r = 0,8 arba r = –0,8, tada D = 0,8 2 ´100% = 64%, tai yra apie 2 ½ 3. Todėl faktoriaus A ir jo pokyčių indėlis į faktoriaus B susidarymą yra maždaug 2 ½ 3 nuo bendro visų veiksnių indėlio apskritai.

7.3.2. Bravais-Pearson koreliacijos koeficientas. Bravais-Pearson koreliacijos koeficiento apskaičiavimo procedūra ( r ) gali būti naudojamas tik tais atvejais, kai ryšys svarstomas remiantis pavyzdžiais, turinčiais normalų dažnio pasiskirstymą ( normalus skirstinys ) ir gaunami matavimais intervalų arba santykių skalėmis. Skaičiavimo formulėšis koreliacijos koeficientas:

å ( x aš-)( y aš-)

r = .

n×sx×sy

Ką rodo koreliacijos koeficientas? Pirma, koreliacijos koeficiento ženklas rodo ryšio kryptį, būtent: ženklas „–“ rodo, kad ryšys atvirkščiai, arba neigiamas(yra tendencija: vieno faktoriaus reikšmėms mažėjant, kito faktoriaus atitinkamos reikšmės didėja, o didėjant mažėja), o ženklo ar „+“ ženklo nebuvimas rodo tiesiai, arba teigiamas jungtys (yra tendencija: padidėjus vieno veiksnio reikšmėms, kito vertės didėja, o mažėjant – mažėja). Antra, absoliuti (nepriklausoma nuo ženklo) koreliacijos koeficiento reikšmė rodo jungties sandarumą (stiprumą). Įprasta manyti (gana sutartinai): r reikšmėms< 0,3 корреляция labai silpnas, dažnai į tai tiesiog neatsižvelgiama, už 0,3 £ r< 5 корреляция silpnas, už 0,5 £ r< 0,7) - vidutinis, 0,7 £ r 0,9 £) – stiprus ir galiausiai, jei r > 0,9 - labai stipru. Mūsų atveju (r » 0,83) ryšys yra atvirkštinis (neigiamas) ir stiprus.

Prisiminkite, kad koreliacijos koeficiento vertės gali būti nuo -1 iki +1. Jei r reikšmė viršija šias ribas, tai rodo, kad skaičiavimuose buvo padaryta klaida . Jeigu r= 1, tai reiškia, kad ryšys yra ne statistinis, o funkcinis – ko praktiškai nebūna sporte, biologijoje, medicinoje. Nors atlikus nedidelį skaičių matavimų, galimas atsitiktinis reikšmių pasirinkimas, suteikiantis funkcinio ryšio vaizdą, tačiau toks atvejis yra mažiau tikėtinas, tuo didesnis lyginamų mėginių tūris (n), ty palygintų matavimų porų skaičius.

Skaičiavimo lentelė (7.1 lentelė) sudaryta pagal formulę.

7.1 lentelė.

Bravais-Pearson skaičiavimo skaičiavimo lentelė

x i	y i	(x aš-)	(x aš – ) 2	(y aš-)	(y aš – ) 2	(x aš-)( y aš-)
13,2	4,75	0,2	0,04	–0,35	0,1225	– 0,07
13,5	4,7	0,5	0,25	– 0,40	0,1600	– 0,20
12,7	5,10	– 0,3	0,09	0,00	0,0000	0,00
12,5	5,40	– 0,5	0,25	0,30	0,0900	– 0,15
13,0	5,10	0,0	0,00	0,00	0.0000	0,00
13,2	5,00	0,1	0,01	– 0,10	0,0100	– 0,02
13,1	5,00	0,1	0,01	– 0,10	0,0100	– 0,01
13,4	4,65	0,4	0,16	– 0,45	0,2025	– 0,18
12,4	5,60	– 0,6	0,36	0,50	0,2500	– 0,30
12,3	5,50	– 0,7	0,49	0,40	0,1600	– 0,28
12,7	5,20	–0,3	0,09	0,10	0,0100	– 0,03
åx i \u003d 137 \u003d 13.00	åy i =56,1 =5,1		å( x i - ) 2 \u003d \u003d 1,78		å( y i – ) 2 = = 1,015	å( x aš-)( y i – )= = –1,24

Nes s x = ï ï = ï ï» 0,42, a

s y= ï ï» 0,32, r" –1,24ï (11'0,42'0,32) » –1,24ï 1,48 » –0,83 .

Kitaip tariant, jūs turite labai tvirtai žinoti, kad koreliacijos koeficientas negali viršyti 1,0 absoliučia verte. Taip dažnai išvengiama grubiausios klaidos, tiksliau – rasti ir ištaisyti skaičiavimuose padarytas klaidas.

7.3.3. Spearmano koreliacijos koeficientas. Kaip jau minėta, Bravais-Pearson koreliacijos koeficientą (r) galima taikyti tik tais atvejais, kai analizuojami faktoriai yra artimi normaliam dažnio pasiskirstymo požiūriu ir varianto reikšmės gaunamos matuojant būtinai santykių skalėje arba intervalų skalėje, kas atsitinka, jei jie yra išreikšti fiziniais vienetais. Kitais atvejais randamas Spearmano koreliacijos koeficientas ( r). Tačiau šis santykis gali taip pat taikoma tais atvejais, kai tai leidžiama (ir pageidautina ! ) taikyti Bravais-Pearson koreliacijos koeficientą. Tačiau reikia turėti omenyje, kad Bravaiso-Pearsono koeficiento nustatymo procedūra turi daugiau galios („sprendžiantis gebėjimas"), Štai kodėl r informatyvesnis nei r. Net ir su dideliu n nukrypimas r gali būti ±10 %.

7.2 lentelė Koeficiento skaičiavimo formulė

x i y i R x R y |d R | d R 2 Spearman koreliacijos koeficientas

13,2 4,75 8,5 3,0 5,5 30,25 r= 1 – . Vos

13,5 4,70 11,0 2,0 9,0 81,00 naudojame mūsų pavyzdį

12,7 5,10 4,5 6,5 2,0 4,00 skaičiavimui r, bet statykime

12,5 5,40 3,0 9,0 6,0 36,00 kita lentelė (7.2 lentelė).

13,0 5,10 6,0 6,5 0,5 0,25 Pakeiskite reikšmes:

13,2 5,00 8,5 4,5 4,0 16,00 r = 1– =

13,1 5,00 7,0 4,5 2,5 6,25 =1– 2538:1320 » 1–1,9 » – 0,9.

13,4 4,65 10,0 1,0 9,0 81,00 Matome: r pasirodė šiek tiek

12,4 5,60 2,0 11,0 9,0 81,00 daugiau nei r, bet tai yra kitaip

12,3 5,50 1,0 10,0 9,0 81,00 nelabai didelis. Juk pas

12,7 5,20 4,5 8,0 3,5 12,25 toks mažas n vertybes r ir r

åd R 2 = 423 yra labai apytiksliai, nėra labai patikimi, jų tikroji vertė gali labai svyruoti, todėl skirtumas r ir r 0,1 yra nereikšmingas. Paprastairlaikomas analogur , bet mažiau tikslūs. Ženklai adresu r ir r rodo ryšio kryptį.

7.3.4. Koreliacijos koeficientų taikymas ir įteisinimas. Norint kontroliuoti mums reikalingo veiksnio raidą, būtina nustatyti koreliacijos tarp veiksnių laipsnį: tam turime daryti įtaką kitiems veiksniams, kurie jį reikšmingai veikia, ir turime žinoti jų efektyvumo matą. Norint sukurti ar parinkti paruoštus testus, būtina žinoti veiksnių ryšį: testo informacinį turinį lemia jo rezultatų koreliacija su mus dominančios savybės ar savybės apraiškomis. Be žinių apie koreliacijas neįmanoma bet kokia atrankos forma.

Aukščiau buvo pažymėta, kad sporte ir bendrojoje pedagoginėje, medicinos ir net ekonominėje bei sociologinėje praktikoje didelis susidomėjimas atspindi apibrėžimą įnašas , kuri vienas veiksnys prisideda prie kito susidarymo. Taip yra dėl to, kad, be svarstomų veiksnių, priežastys taikinys(mus dominantis) veiksnys aktas, kiekvienas į jį įnešdamas vienokį ar kitokį indėlį ir kitus.

Manoma, kad kiekvieno veiksnio-priežasties indėlio matas gali būti determinacijos koeficientas D i = r 2 ´100 %. Taigi, pavyzdžiui, jei r = 0,6, t.y. santykis tarp faktorių A ir B yra vidutinis, tada D = 0,6 2 ´100% = 36%. Taigi žinant, kad faktoriaus A indėlis į faktoriaus B susidarymą yra maždaug 1 ½ 3, galima, pavyzdžiui, skirti maždaug 1 ½ 3 treniruočių kartai. Jei koreliacijos koeficientas r \u003d 0,4, tada D \u003d r 2 100% \u003d 16% arba maždaug 1 ½ 6 - daugiau nei du kartus mažiau, o pagal šią logiką jo plėtrai turėtų būti skiriamas tik 1 ½ 6 dalis treniruočių laiko.

Įvairių reikšmingų veiksnių D i reikšmės suteikia apytikslį supratimą apie kiekybinį jų įtakos mus dominančiam veiksniui santykį, kad pagerintume, kurį mes, tiesą sakant, dirbame su kitais veiksniais ( Pavyzdžiui, šuolininkas į tolį stengiasi padidinti savo sprinto greitį, todėl tai yra veiksnys, kuris labiausiai prisideda prie rezultato formavimo šuolių metu).

Prisiminkite tai apibrėždami D vietoj rįdėti r, nors, žinoma, nustatymo tikslumas yra mažesnis.

Remiantis atrankinis(apskaičiuota iš imties duomenų) koreliacijos koeficiento, negalima daryti išvados, kad tarp nagrinėjamų veiksnių apskritai yra ryšys. Norėdami padaryti tokią įvairaus pagrįstumo išvadą, naudokite standartą koreliacijos reikšmingumo kriterijai. Jų taikymas daro prielaidą, kad yra tiesinis ryšys tarp veiksnių ir normalus skirstinys dažniai kiekviename iš jų (tai reiškia ne atrankinį, o bendrą jų atvaizdavimą).

Pavyzdžiui, galite taikyti Stjudento t testus. Jo rasė

lygi formulė: tp= –2 , čia k yra tiriamos imties koreliacijos koeficientas, a n- palygintų mėginių tūris. Gauta apskaičiuota t kriterijaus reikšmė (t p) lyginama su lentelės reikšme mūsų pasirinktame reikšmingumo lygyje ir laisvės laipsnių skaičiumi n = n - 2. Norėdami atsikratyti skaičiavimo darbų, galite naudoti specialus stalas imties koreliacijos koeficientų kritinės vertės(žr. aukščiau), atitinkantį reikšmingą ryšį tarp veiksnių (atsižvelgiant į n ir a).

7.3 lentelė.

Imties koreliacijos koeficiento patikimumo ribinės vertės

Laisvės laipsnių skaičius nustatant koreliacijos koeficientus yra lygus 2 (t.y. n= 2) Nurodyta lentelėje. 7,3 reikšmės turi apatinę pasikliautinojo intervalo ribą tiesa koreliacijos koeficientas yra 0, tai yra, su tokiomis reikšmėmis negalima teigti, kad koreliacija apskritai vyksta. Jei imties koreliacijos koeficiento reikšmė yra didesnė, nei nurodyta lentelėje, atitinkamu reikšmingumo lygiu galima laikyti, kad tikrasis koreliacijos koeficientas nėra lygus nuliui.

Tačiau atsakymas į klausimą, ar yra tikras ryšys tarp nagrinėjamų veiksnių, palieka vietos kitam klausimui: kokiame intervale tai daro tikroji vertė koreliacijos koeficientas, koks jis iš tikrųjų gali būti, su be galo dideliu n? Šis intervalas bet kuriai konkrečiai vertei r ir n galima apskaičiuoti lyginamuosius veiksnius, tačiau patogiau naudoti grafikų sistemą ( nomograma), kur kiekviena kreivių pora sudaryta kai kurioms aukščiau nurodytoms kreivioms n, atitinka intervalo ribas.

Ryžiai. 7.4. Imties koreliacijos koeficiento pasitikėjimo ribos (a = 0,05). Kiekviena kreivė atitinka esančią virš jos. n.

Atsižvelgiant į nomogramą pav. 7.4, galima nustatyti tikrojo koreliacijos koeficiento verčių intervalą apskaičiuotoms imties koreliacijos koeficiento reikšmėms, kai a = 0,05.

7.3.5. koreliaciniai ryšiai. Jei poros koreliacija nelinijinis, neįmanoma apskaičiuoti koreliacijos koeficiento, nustatyti koreliaciniai ryšiai . Privalomas reikalavimas: požymiai turi būti matuojami santykio skalėje arba intervalų skalėje. Galite apskaičiuoti koeficiento priklausomybę nuo koreliacijos X nuo faktoriaus Y ir faktoriaus koreliacinė priklausomybė Y nuo faktoriaus X– jie skirtingi. Su nedideliu tūriu n apsvarstytos imtys, atspindinčios veiksnius, koreliacijos ryšiams apskaičiuoti galite naudoti formules:

koreliacijos santykis h x ½ m= ;

koreliacijos santykis h y ½ x= .

Čia ir yra X ir Y imčių aritmetiniai vidurkiai ir - intraklasėje aritmetiniai vidurkiai. Tai yra, tų reikšmių aritmetinis vidurkis faktoriaus X imtyje, su kuriuo konjuguoti vienodas reikšmes Y veiksnio pavyzdyje (pavyzdžiui, jei faktorius X turi reikšmes 4, 6 ir 5, su kuriomis faktoriaus Y pavyzdyje susietos 3 parinktys su ta pačia verte 9, tada = (4+6+ 5) ½ 3 = 5). Atitinkamai - tų Y veiksnio imties verčių, kurios yra susietos su tomis pačiomis X faktoriaus imties reikšmėmis, aritmetinis vidurkis. Pateiksime pavyzdį ir apskaičiuokime:

X: 75 77 78 76 80 79 83 82 ; Y: 42 42 43 43 43 44 44 45 .

7.4 lentelė

Skaičiavimo lentelė

x i	y i	x y	x i – x	(x i – x) 2	x i - x y	(x i–x y) 2
			–4		–1
			–2
			–3		–2
			–1
					–3
x=79	y = 43			S = 76		S = 28

Todėl h y ½ x= » 0,63.

7.3.6. Dalinės ir daugybinės koreliacijos koeficientai. Norėdami įvertinti ryšį tarp 2 veiksnių, skaičiuodami koreliacijos koeficientus, pagal nutylėjimą darome prielaidą, kad jokie kiti veiksniai neturi jokios įtakos šiam ryšiui. Iš tikrųjų taip nėra. Taigi, svorio ir ūgio santykį labai stipriai įtakoja dietos kalorijų kiekis, sistemingos mitybos vertė. fizinė veikla, paveldimumas ir tt Kai būtina vertinant ryšį tarp 2 faktorių atsižvelgti į didelį poveikį kitus veiksnius ir tuo pačiu kaip nuo jų atsiriboti, laikant jas nepakeistomis, apskaičiuoti privatus (kitaip - dalinis ) koreliacijos koeficientai.

Pavyzdys: turite įvertinti suporuotas priklausomybes tarp 3 esminių veikimo veiksniai X, Y ir Z. Pažymėkite r XY (Z) privačios (dalinės) koreliacijos koeficientas tarp veiksnių X ir Y (šiuo atveju faktoriaus Z reikšmė laikoma nepakitusi), r ZX (Y) – dalinės koreliacijos koeficientas tarp faktorių Z ir X (su pastovia faktoriaus Y verte), r YZ (X) – dalinės koreliacijos koeficientas tarp faktorių Y ir Z (su pastovia faktoriaus X verte). Naudojant apskaičiuotus paprastus suporuotus (pagal Bravais-Pearson) koreliacijos koeficientus r xy, r XZ ir r YZ, m

Privačiuosius (dalinius) koreliacijos koeficientus galite apskaičiuoti naudodami formules:

rXY- r XZ' r YZ r XZ- r XY' r ZY r ZY –r ZX ´ r YZ

r XY (Z) = ; r XZ (Y) = ; r ZY (X) =

Ö(1– r 2XZ) (1– r 2 YZ) Ö(1– r 2XY)(1– r 2 ZY) Ö(1– r 2ZX) (1– r 2YX)

O dalinės koreliacijos koeficientai gali turėti reikšmes nuo -1 iki +1. Padalinus juos kvadratu, gauname atitinkamus koeficientus determinacijos koeficientai taip pat vadinama privačių tikrumo priemonių(dauginant iš 100, išreiškiame %%). Dalinės koreliacijos koeficientai daugiau ar mažiau skiriasi nuo paprastų (pilnų) porų koeficientų, kurie priklauso nuo 3-iojo faktoriaus įtakos jiems stiprumo (tarsi nepakitusių). Tikrinama nulinė hipotezė (H 0), tai yra hipotezė, kad nėra ryšio (priklausomybės) tarp faktorių X ir Y (su bendru požymių skaičiumi). k) apskaičiuojant t testą pagal formulę: t P = r XY (Z) ´ ( n–k) 1 ½ 2 ' (1– r 2XY(Z)) –1 ½ 2 .

Jeigu t R< t a n , hipotezė priimta (manome, kad priklausomybės nėra), jei t P ³ t a n - hipotezė paneigiama, tai yra, manoma, kad priklausomybė tikrai vyksta. t a n paimtas iš lentelės t-Studento kriterijus, ir k- veiksnių, į kuriuos atsižvelgta, skaičius (mūsų 3 pavyzdyje), laisvės laipsnių skaičius n= n - 3. Kiti dalinės koreliacijos koeficientai tikrinami panašiai (į formulę vietoj r XY (Z) atitinkamai pakeičiami r XZ (Y) arba r ZY(X)).

7.5 lentelė

Pradiniai duomenys

Ö (1 – 0,71 2) (1 – 0,71 2) Ö (1 – 0,5) (1 – 0,5)

Norėdami įvertinti faktoriaus X priklausomybę nuo kelių veiksnių (čia faktorių Y ir Z) bendro veikimo, apskaičiuokite paprastų porinių koreliacijos koeficientų reikšmes ir jas naudodami apskaičiuokite. daugkartinis koreliacijos koeficientas r X (YZ):

Ö r 2XY+ r 2XZ – 2 r XY' r XZ' r YZ

r X (YZ) = .

Ö 1 - r 2 YZ

7.2.7. asociacijos koeficientas. Dažnai reikia kiekybiškai įvertinti ryšį tarp kokybėsženklai, t.y. tokie ženklai, kurių negalima pavaizduoti (apibūdinti) kiekybiškai, kurie neišmatuojamas. Pavyzdžiui, užduotis yra išsiaiškinti, ar yra ryšys tarp dalyvaujančių asmenų sporto specializacijos ir tokių asmeninių savybių kaip intravertiškumas (asmenybės dėmesys savo subjektyvaus pasaulio reiškiniams) ir ekstraversija (asmenybės susitelkimas į pasaulį išoriniai objektai). Simboliai pateikti lentelėje. 7.6.

7.6 lentelė.

X (metai)	Y (kartai)	Z (kartai)		X (metai)	Y (kartai)	Z (kartai)

1 funkcija 2 funkcija	uždarumas	Ekstraversija
Sportiniai žaidimai	a	b
Gimnastika	Su	d

Akivaizdu, kad čia mūsų turimi skaičiai gali būti tik paskirstymo dažniai. Šiuo atveju apskaičiuokite asociacijos koeficientas (Kitas vardas " atsitiktinumo koeficientas “). Apsvarstykite paprasčiausią atvejį: dviejų požymių porų ryšį, o apskaičiuotas atsitiktinumo koeficientas vadinamas tetrachorikas (žr. lentelę).

7.7 lentelė.

a = 20	b = 15	a + b = 35
c = 15	d=5	c + d = 20
a + c = 35	b + d = 20	n = 55

Skaičiuojame pagal formulę:

ad-bc 100-225-123

Asociacijos koeficientų (konjugacijos koeficientų) su didesniu požymių skaičiumi skaičiavimas siejamas su skaičiavimais naudojant panašią atitinkamos eilės matricą.

Tiriant įvairius socialinius ir ekonominius reiškinius, išskiriamas funkcinis ryšys ir stochastinė priklausomybė. Funkcinis ryšys – tai santykių tipas, kai tam tikra veiksnio rodiklio reikšmė atitinka tik vieną efektyvaus rodiklio reikšmę. Funkcinis ryšys pasireiškia visais tyrimo atvejais ir kiekvienam konkrečiam analizuojamos populiacijos vienetui.

Paskelbta www.svetainėje

Tuo atveju, kai priežastinė priklausomybė veikia ne kiekvienu konkrečiu atveju, o bendrai visai stebimai populiacijai, nemažos dalies stebėjimų vidurkis, tada tokia priklausomybė yra stochastinė. Ypatingas stochastinės priklausomybės atvejis yra koreliacija, kai efektyvaus rodiklio vidutinės vertės pokytį sukelia faktorių rodiklių reikšmių pasikeitimas. Bendravimo artumo laipsnio ir krypties skaičiavimas yra reikšmingas tyrimo uždavinys ir kiekybinis įvertinimasįvairių socialinių ekonominių reiškinių santykis. Norint nustatyti skirtingų rodiklių ryšio glaudumo laipsnį, reikia nustatyti gaunamo ženklo pokyčio santykio lygį nuo pokyčio viename (jei tiriamos suporuotos priklausomybės) arba kelių kitimo (tyrinėjant). daugialypės priklausomybės) ženklai-veiksniai. Šiam lygiui nustatyti naudojamas koreliacijos koeficientas.

Tiesinės koreliacijos koeficientas pirmą kartą buvo įvestas 1990-ųjų pradžioje. 19-tas amžius Pearsono ir parodo sandarumo laipsnį ir ryšio kryptį tarp dviejų koreliuojančių veiksnių tuo atveju, jei tarp jų yra tiesinis ryšys. Interpretuojant gautą tiesinės koreliacijos koeficiento reikšmę, ženklų santykio artimumo laipsnis vertinamas Chaddock skalėje, vienas iš šios skalės variantų pateiktas žemiau esančioje lentelėje:

Chaddock skalė, skirta kiekybiniam bendravimo artumo laipsnio įvertinimui

Ryšio glaudumo rodiklio reikšmė

Santykių pobūdis

Praktiškai nėra

Vidutinis

Interpretuojant tiesinės koreliacijos koeficiento reikšmę komunikacijos kryptimi, išskiriama tiesioginė ir atvirkštinė. Jeigu yra tiesioginis ryšys su faktoriaus požymio vertės padidėjimu ar sumažėjimu, atsiranda efektyvaus požymio rodiklių padidėjimas arba sumažėjimas, t.y. veiksnys ir rezultatas keičiasi ta pačia kryptimi. Pavyzdžiui, pelno dydžio padidėjimas prisideda prie pelningumo rodiklių augimo. Esant grįžtamajam ryšiui, gauto požymio reikšmės keičiasi veikiant veiksnio požymiui, tačiau priešinga kryptimi, palyginti su faktoriaus atributo dinamika. Pavyzdžiui, didėjant darbo našumui, mažėja produkcijos vieneto savikaina ir kt.