Logaritmas duoto skaičiaus vadinamas eksponentu, į kurį turi būti pakeltas kitas skaičius, vadinamas pagrindu logaritmas, kad gautumėte šį skaičių. Pavyzdžiui, 10 bazinis 10 logaritmas yra 2. Kitaip tariant, 10 turi būti padalytas kvadratu, kad gautumėte 100 (10 2 = 100). Jeigu n- duotas numeris, b– bazė ir l– tada logaritmas b l = n. Skaičius n dar vadinamas baziniu antilogaritmu b numeriai l. Pavyzdžiui, antilogaritmas nuo 2 iki 10 bazės yra lygus 100. Tai galima parašyti ryšių žurnalo forma b n = l ir antilog b l = n.

Pagrindinės logaritmų savybės:

Bet koks teigiamas skaičius, išskyrus vieną, gali būti logaritmų pagrindas, bet, deja, paaiškėja, kad jei b Ir n yra racionalieji skaičiai, tada retais atvejais yra toks racionalus skaičius l, Ką b l = n. Tačiau galima apibrėžti iracionalųjį skaičių l Pavyzdžiui, 10 l= 2; tai neracionalus skaičius l bet kokiu reikiamu tikslumu galima aproksimuoti racionaliais skaičiais. Pasirodo, kad pateiktame pavyzdyje l yra apytiksliai lygus 0,3010, o šį 2 bazinio 10 logaritmo aproksimaciją galima rasti keturženklėse dešimtainių logaritmų lentelėse. 10 bazinių logaritmų (arba 10 bazinių logaritmų) taip dažnai naudojami skaičiavimai, kad jie vadinami įprastas logaritmus ir parašyta kaip log2 = 0,3010 arba log2 = 0,3010, nenurodant logaritmo pagrindo. Logaritmai iki pagrindo e, transcendentinis skaičius, maždaug lygus 2,71828, yra vadinami natūralus logaritmus. Jie daugiausia randami darbuose apie matematinę analizę ir jos pritaikymą įvairiems mokslams. Natūralūs logaritmai taip pat rašomi aiškiai nenurodant pagrindo, o naudojant specialų žymėjimą ln: pavyzdžiui, ln2 = 0,6931, nes e 0,6931 = 2.

Naudojant įprastų logaritmų lenteles.

Reguliarus skaičiaus logaritmas yra eksponentas, iki kurio reikia padidinti 10, kad gautume nurodytą skaičių. Kadangi 10 0 = 1, 10 1 = 10 ir 10 2 = 100, iš karto gauname, kad log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 ir t.t. sveikųjų skaičių laipsniams didinti 10. Taip pat 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 ir todėl log0,1 = –1, log0,01 = –2 ir kt. visų neigiamų sveikųjų skaičių laipsniai 10. Įprasti likusių skaičių logaritmai yra tarp artimiausių sveikųjų skaičių 10 laipsnių logaritmų; log2 turi būti nuo 0 iki 1, log20 turi būti nuo 1 iki 2, o log0.2 turi būti nuo -1 iki 0. Taigi logaritmas susideda iš dviejų dalių – sveikojo skaičiaus ir dešimtainės dalies, esančių tarp 0 ir 1. sveikoji dalis vadinama charakteristika logaritmas ir nustatomas pagal patį skaičių, vadinama trupmeninė dalis mantisa ir galima rasti iš lentelių. Be to, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 logaritmas yra 0,3010, taigi log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Panašiai log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. Atėmus gauname log0.2 = – 0.6990. Tačiau log0.2 patogiau pavaizduoti kaip 0.3010 – 1 arba kaip 9.3010 – 10; Taip pat galima suformuluoti bendrą taisyklę: visi skaičiai, gauti iš tam tikro skaičiaus padauginus iš 10 laipsnio, turi identiškas mantisas, lygias nurodyto skaičiaus mantisai. Daugumoje lentelių pateikiamos skaičių mantisos intervale nuo 1 iki 10, nes visų kitų skaičių mantisas galima gauti iš pateiktų lentelėje.

Dauguma lentelių pateikia logaritmus su keturiais ar penkiais skaitmenimis po kablelio, nors yra ir septynių skaitmenų lentelių ir lentelių su dar daugiau skaitmenų po kablelio. Lengviausias būdas išmokti naudotis tokiomis lentelėmis yra pavyzdžiai. Norėdami rasti log3.59, visų pirma pažymime, kad skaičius 3.59 yra tarp 10 0 ir 10 1, taigi jo charakteristika yra 0. Lentelėje randame skaičių 35 (kairėje) ir eilute pereiname į stulpelis, kurio viršuje yra skaičius 9 ; šio stulpelio ir 35 eilutės sankirta yra 5551, taigi log3,59 = 0,5551. Norėdami rasti skaičiaus su keturiais reikšminiais skaitmenimis mantisą, turite naudoti interpoliaciją. Kai kuriose lentelėse interpoliaciją palengvina proporcijos, pateiktos paskutiniuose devyniuose stulpeliuose kiekvieno lentelių puslapio dešinėje. Dabar suraskime log736.4; skaičius 736,4 yra tarp 10 2 ir 10 3, todėl jo logaritmo charakteristika yra 2. Lentelėje randame eilutę, kurios kairėje yra 73 ir stulpelį 6. Šios eilutės ir šio stulpelio sankirtoje yra skaičių 8669. Tarp tiesinių dalių randame 4 stulpelį 73 eilutės ir 4 stulpelio sankirtoje yra skaičius 2. Pridėjus 2 prie 8669, gauname mantisą – ji lygi 8671. Taigi log736.4 = 2.8671.

Natūralūs logaritmai.

Natūralių logaritmų lentelės ir savybės yra panašios į įprastų logaritmų lenteles ir savybes. Pagrindinis skirtumas tarp abiejų yra tas, kad natūralaus logaritmo sveikoji dalis nėra reikšminga nustatant kablelio padėtį, todėl skirtumas tarp mantisos ir charakteristikos neturi ypatingo vaidmens. Natūralūs skaičių logaritmai 5,432; 54,32 ir 543,2 yra atitinkamai lygūs 1,6923; 3,9949 ir ​​6,2975. Ryšys tarp šių logaritmų taps akivaizdus, ​​jei atsižvelgsime į jų skirtumus: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; paskutinis skaičius yra ne kas kita, kaip natūralusis skaičiaus 10 logaritmas (parašytas taip: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; paskutinis skaičius yra 2ln10. Bet 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Taigi pagal tam tikro skaičiaus natūralųjį logaritmą a galite rasti skaičių natūraliuosius logaritmus, lygius skaičiaus sandaugoms a bet kokiam laipsniui n skaičiai 10 jei į ln a pridėkite ln10 padaugintą iš n, t.y. ln( aґ10n) = žurnalas a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Pavyzdžiui, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Todėl natūraliųjų logaritmų lentelėse, kaip ir paprastųjų logaritmų lentelėse, dažniausiai būna tik skaičių logaritmai nuo 1 iki 10. Natūraliųjų logaritmų sistemoje galima kalbėti apie antilogaritmus, bet dažniau kalbama apie eksponentinę funkciją arba laipsnį. Jeigu x= žurnalas y, Tai y = e x, Ir y vadinamas eksponentu x(dėl tipografinio patogumo jie dažnai rašo y= exp x). Rodiklis atlieka skaičiaus antilogaritmo vaidmenį x.

Naudodami dešimtainių ir natūraliųjų logaritmų lenteles, galite kurti logaritmų lenteles bet kokia baze, išskyrus 10 ir e. Jei žurnalas b a = x, Tai b x = a, todėl užsiregistruokite c b x= žurnalas c a arba xžurnalas c b= žurnalas c a, arba x= žurnalas c a/log c b= žurnalas b a. Todėl naudojant šią inversijos formulę iš bazinės logaritmų lentelės c logaritmų lenteles galite sudaryti bet kurioje kitoje bazėje b. Daugiklis 1/log c b paskambino perėjimo modulis nuo pagrindo cį bazę b. Niekas netrukdo, pavyzdžiui, naudoti inversijos formulę arba pereiti iš vienos logaritmų sistemos į kitą, rasti natūralius logaritmus įprastų logaritmų lentelėje arba atlikti atvirkštinį perėjimą. Pavyzdžiui, log105.432 = log e 5,432/logas e 10 = 1,6923 / 2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Skaičius 0,4343, iš kurio reikia padauginti natūralųjį tam tikro skaičiaus logaritmą, kad gautume paprastą logaritmą, yra perėjimo prie įprastų logaritmų sistemos modulis.

Specialūs stalai.

Logaritmai iš pradžių buvo išrasti taip, kad naudojant jų savybes log ab= žurnalas a+ žurnalas b ir žurnalas a/b= žurnalas a– žurnalas b, produktus paverskite sumomis, o dalinius – skirtumais. Kitaip tariant, jei log a ir žurnalas b yra žinomi, tada sudėti ir atimti galime nesunkiai rasti sandaugos logaritmą ir koeficientą. Tačiau astronomijoje dažnai pateikiamos log vertės a ir žurnalas b reikia rasti žurnalą ( a + b) arba žurnalas ( a – b). Žinoma, pirmiausia būtų galima rasti iš logaritmų lentelių a Ir b, tada atlikite nurodytą sudėjimą arba atimtį ir vėl remdamiesi lentelėmis suraskite reikiamus logaritmus, tačiau tokiai procedūrai į lenteles reikėtų kreiptis tris kartus. Z. Leonelli 1802 metais paskelbė lenteles vadinamųjų. Gauso logaritmai– sumų ir skirtumų sudėjimo logaritmai – tai leido apsiriboti viena prieiga prie lentelių.

1624 metais I. Kepleris pasiūlė proporcinių logaritmų lenteles, t.y. skaičių logaritmai a/x, Kur a– tam tikra teigiama pastovi reikšmė. Šias lenteles daugiausia naudoja astronomai ir navigatoriai.

Proporciniai logaritmai ties a= 1 yra vadinami kolaritmai ir naudojami skaičiuojant, kai tenka spręsti sandaugas ir koeficientus. Skaičiaus klogaritmas n lygus atvirkštinio skaičiaus logaritmui; tie. colog n= log1/ n= – žurnalas n. Jei log2 = 0,3010, tai colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Kologaritmų naudojimo pranašumas yra tas, kad skaičiuojant reiškinių logaritmo reikšmę, pvz. pq/r triguba teigiamų dešimtainių skaičių žurnalo suma p+ žurnalas q+ odekolas r yra lengviau rasti nei mišrios sumos ir skirtumo žurnalas p+ žurnalas q– žurnalas r.

Istorija.

Principas, kuriuo grindžiama bet kokia logaritmų sistema, buvo žinomas labai ilgą laiką ir gali būti atsektas iki senovės Babilono matematikos (apie 2000 m. pr. Kr.). Tais laikais, norint apskaičiuoti sudėtines palūkanas, buvo naudojama interpoliacija tarp sveikųjų skaičių teigiamų sveikųjų skaičių lentelės verčių. Daug vėliau Archimedas (287–212 m. pr. Kr.) panaudojo 108 galias, kad nustatytų viršutinę smėlio grūdelių skaičiaus ribą, reikalingą visiškai užpildyti tuomet žinomą Visatą. Archimedas atkreipė dėmesį į eksponentų savybę, kuria grindžiamas logaritmų efektyvumas: galių sandauga atitinka eksponentų sumą. Viduramžių pabaigoje ir moderniosios eros pradžioje matematikai vis labiau ėmė nagrinėti geometrinės ir aritmetinės progresijos ryšį. M. Stiefel savo esė Sveikųjų skaičių aritmetika(1544) pateikė skaičiaus 2 teigiamų ir neigiamų galių lentelę:

Stiefelis pastebėjo, kad dviejų skaičių suma pirmoje eilutėje (rodiklio eilutėje) yra lygi dviejų rodikliui, atitinkančiam dviejų atitinkamų skaičių sandaugą apatinėje eilutėje (rodiklio eilutėje). Ryšium su šia lentele Stiefel suformulavo keturias taisykles, lygiavertes keturioms šiuolaikinėms operacijų su eksponentais taisyklėms arba keturioms logaritmų operacijų taisyklėms: suma viršutinėje eilutėje atitinka sandaugą apatinėje eilutėje; atimtis viršutinėje eilutėje atitinka padalijimą apatinėje eilutėje; daugyba viršutinėje eilutėje atitinka eksponenciją apatinėje eilutėje; padalijimas viršutinėje eilutėje atitinka įsišaknijimą apatinėje eilutėje.

Matyt, taisyklės, panašios į Stiefelio taisykles, paskatino J. Naperį savo darbe oficialiai įdiegti pirmąją logaritmų sistemą. Nuostabios logaritmų lentelės aprašymas, išleistas 1614 m. Tačiau Napier mintys buvo užimtos produktų konvertavimo į sumas problema, nes daugiau nei dešimt metų iki jo darbo paskelbimo Napier gavo žinių iš Danijos, kad Tycho Brahe observatorijoje jo padėjėjai turi metodą, kuris padarė galima produktus konvertuoti į sumas. Napier gautame pranešime aptartas metodas buvo pagrįstas trigonometrinių formulių, pvz., naudojimo

todėl Naperio lenteles daugiausia sudarė trigonometrinių funkcijų logaritmai. Nors pagrindo sąvoka nebuvo aiškiai įtraukta į Napier pasiūlytą apibrėžimą, logaritmų sistemos bazei lygiavertį vaidmenį jo sistemoje atliko skaičius (1 – 10 –7)ґ10 7, apytiksliai lygus 1/ e.

Nepriklausomai nuo Naperio ir beveik kartu su juo, logaritmų sistemą, gana panašaus tipo, išrado ir paskelbė J. Bürgi Prahoje, išleistą 1620 m. Aritmetinės ir geometrinės progresijos lentelės. Tai buvo antilogaritmų pagal bazę lentelės (1 + 10 –4) ґ10 4, gana geras skaičiaus apytikslis. e.

Naperio sistemoje skaičiaus 10 7 logaritmas buvo laikomas nuliu, o skaičiams mažėjant logaritmai didėjo. Kai G. Briggsas (1561–1631) lankėsi Napieryje, abu sutarė, kad būtų patogiau kaip bazę naudoti skaičių 10, o vieneto logaritmą laikyti nuliu. Tada, padidėjus skaičiams, jų logaritmai padidėtų. Taip gavome šiuolaikinę dešimtainių logaritmų sistemą, kurios lentelę Briggsas paskelbė savo darbe Logaritminė aritmetika(1620). Logaritmai iki pagrindo e, nors ir ne visai tie, kuriuos pristatė Naper, dažnai vadinami Naperio. Sąvokas „charakteristika“ ir „mantisa“ pasiūlė Briggsas.

Pirmieji logaritmai dėl istorinių priežasčių naudojo skaičių aproksimaciją 1/ e Ir e. Kiek vėliau natūralių logaritmų idėja buvo pradėta sieti su hiperbolės plotų tyrimu. xy= 1 (1 pav.). XVII amžiuje buvo parodyta, kad šios kreivės apribotas plotas, ašis x ir ordinatės x= 1 ir x = a(1 pav. ši sritis padengta ryškesniais ir retesniais taškais) didėja aritmetinė progresija, kai a didėja eksponentiškai. Kaip tik ši priklausomybė atsiranda operacijų su eksponentais ir logaritmais taisyklėse. Dėl to Naperio logaritmai buvo vadinami „hiperboliniais logaritmais“.

Logaritminė funkcija.

Buvo laikas, kai logaritmai buvo laikomi tik skaičiavimo priemone, tačiau XVIII amžiuje, daugiausia dėl Eulerio darbų, susiformavo logaritminės funkcijos samprata. Tokios funkcijos grafikas y= žurnalas x, kurio ordinatės didėja aritmetine progresija, o abscisės didėja geometrine progresija, parodyta fig. 2, A. Atvirkštinės arba eksponentinės funkcijos grafikas y = e x, kurio ordinatės didėja geometrine progresija, o abscisės didėja aritmetinėje progresijoje, atitinkamai parodytos fig. 2, b. (Kreivės y= žurnalas x Ir y = 10x savo forma panaši į kreives y= žurnalas x Ir y = e x.) Taip pat buvo pasiūlyti alternatyvūs logaritminės funkcijos apibrėžimai, pvz.

kpi ; ir, panašiai, skaičiaus -1 natūralūs logaritmai yra kompleksiniai skaičiai formos (2 k + 1)pi, Kur k– sveikasis skaičius. Panašūs teiginiai galioja bendriesiems logaritmams ar kitoms logaritmų sistemoms. Be to, logaritmų apibrėžimas gali būti apibendrintas naudojant Eulerio tapatybes, įtraukiant sudėtingus kompleksinių skaičių logaritmus.

Alternatyvus logaritminės funkcijos apibrėžimas pateikiamas atliekant funkcinę analizę. Jeigu f(x) – tolydžioji tikrojo skaičiaus funkcija x, turintis šias tris savybes: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), tai f(x) yra apibrėžiamas kaip skaičiaus logaritmas x remiantis b. Šis apibrėžimas turi daug privalumų, palyginti su šio straipsnio pradžioje pateiktu apibrėžimu.

Programos.

Logaritmai iš pradžių buvo naudojami tik skaičiavimams supaprastinti, o ši programa vis dar yra viena iš svarbiausių. sandaugų, koeficientų, laipsnių ir šaknų skaičiavimą palengvina ne tik platus publikuotų logaritmų lentelių prieinamumas, bet ir vadinamųjų naudojimas. skaidrių taisyklė – skaičiavimo įrankis, kurio veikimo principas pagrįstas logaritmų savybėmis. Liniuotė aprūpinta logaritminėmis skalėmis, t.y. atstumas nuo 1 iki bet kurio skaičiaus x pasirinktas lygus log x; Perkeliant vieną skalę kitos atžvilgiu, galima nubraižyti logaritmų sumas arba skirtumus, o tai leidžia tiesiogiai iš skalės nuskaityti atitinkamų skaičių sandaugas arba dalinius. Taip pat galite pasinaudoti skaičių vaizdavimo logaritmine forma pranašumais. logaritminis popierius grafikams braižyti (popierius su logaritminėmis skalėmis, atspausdintomis ant abiejų koordinačių ašių). Jei funkcija tenkina formos laipsnio dėsnį y = kxn, tada jo logaritminis grafikas atrodo kaip tiesi linija, nes žurnalas y= žurnalas k + nžurnalas x– logo atžvilgiu tiesinė lygtis y ir žurnalas x. Priešingai, jei tam tikros funkcinės priklausomybės logaritminis grafikas atrodo kaip tiesi linija, tada ši priklausomybė yra laipsniška. Pusiau žurnalinis popierius (kai y ašis turi logaritminę skalę, o x ašis turi vienodą skalę) yra naudingas, kai reikia nustatyti eksponentines funkcijas. Formos lygtys y = kb rxįvyksta, kai kiekis, pvz., gyventojų skaičius, radioaktyviųjų medžiagų kiekis arba banko likutis, mažėja arba didėja proporcingu gyventojų, radioaktyviųjų medžiagų kiekiui ar šiuo metu turimiems pinigams. Jei tokia priklausomybė nubraižyta ant pusiau logaritminio popieriaus, grafikas atrodys kaip tiesi linija.

Logaritminė funkcija atsiranda dėl įvairių natūralių formų. Gėlės saulėgrąžų žiedynuose išsidėstę logaritminėmis spiralėmis, moliuskų kiautai susisukę Nautilus, kalnų avių ragai ir papūgos snapai. Visos šios natūralios formos gali būti kreivės, žinomos kaip logaritminė spiralė, pavyzdžiai, nes polinėje koordinačių sistemoje jos lygtis yra r = ae bq, arba ln r= žurnalas a + bq. Tokią kreivę apibūdina judantis taškas, kurio atstumas nuo ašigalio didėja geometrine progresija, o jo spindulio vektoriumi aprašomas kampas – aritmetine progresija. Tokios kreivės, taigi ir logaritminės funkcijos paplitimą gerai iliustruoja tai, kad ji atsiranda tokiose tolimose ir visiškai skirtingose ​​srityse, kaip ekscentrinio kumštelio kontūras ir kai kurių vabzdžių, skrendančių link šviesos, trajektorija.

Taigi, mes turime dviejų galių. Jei paimsite skaičių iš apatinės eilutės, galite lengvai rasti galią, iki kurios turėsite pakelti du, kad gautumėte šį skaičių. Pavyzdžiui, norėdami gauti 16, turite pakelti du į ketvirtą laipsnį. O norint gauti 64, reikia pakelti du iki šeštos laipsnio. Tai matyti iš lentelės.

Ir dabar, iš tikrųjų, logaritmo apibrėžimas:

Pagrindas a logaritmas x yra laipsnis, iki kurio reikia pakelti a, kad gautume x.

Žymėjimas: log a x = b, kur a yra bazė, x yra argumentas, b yra tai, kam iš tikrųjų lygus logaritmas.

Pavyzdžiui, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (bazinis 2 logaritmas iš 8 yra trys, nes 2 3 = 8). Esant tokiai pat sėkmei, log 2 64 = 6, nes 2 6 = 64.

Skaičiaus logaritmo pagal tam tikrą bazę radimo operacija vadinama logaritmavimu. Taigi, į savo lentelę įtraukime naują eilutę:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Deja, ne visi logaritmai taip lengvai apskaičiuojami. Pavyzdžiui, pabandykite rasti log 2 5. Skaičiaus 5 lentelėje nėra, bet logika nurodo, kad logaritmas bus kažkur intervale. Nes 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tokie skaičiai vadinami neracionaliais: skaičiai po kablelio gali būti rašomi iki begalybės ir jie niekada nesikartoja. Jei logaritmas pasirodo neracionalus, geriau palikti jį taip: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Svarbu suprasti, kad logaritmas yra išraiška su dviem kintamaisiais (bazė ir argumentas). Daugelis žmonių iš pradžių painioja, kur yra pagrindas, o kur argumentas. Kad išvengtumėte erzinančių nesusipratimų, tiesiog pažiūrėkite į paveikslėlį:

[Paveikslo antraštė]

Prieš mus yra ne kas kita, kaip logaritmo apibrėžimas. Prisiminti: logaritmas yra galia, į kurią turi būti įdėta bazė, kad būtų gautas argumentas. Būtent pagrindas yra pakeltas iki galios – paveikslėlyje jis paryškintas raudonai. Pasirodo, pagrindas visada yra apačioje! Šią nuostabią taisyklę savo mokiniams sakau jau pačioje pirmoje pamokoje – ir nekyla painiavos.

Išsiaiškinom apibrėžimą – belieka išmokti skaičiuoti logaritmus, t.y. atsikratyti „rąsto“ ženklo. Pirmiausia pažymime, kad iš apibrėžimo išplaukia du svarbūs faktai:

1. Argumentas ir bazė visada turi būti didesni už nulį. Tai išplaukia iš laipsnio apibrėžimo racionaliuoju rodikliu, iki kurio logaritmo apibrėžimas sumažinamas.
2. Pagrindas turi skirtis nuo vieno, nes vienas bet kokiu laipsniu vis tiek išlieka. Dėl šios priežasties klausimas „į kokią galią reikia pakelti, kad gautum du“ yra beprasmis. Tokio laipsnio nėra!

Tokie apribojimai vadinami priimtinų verčių diapazoną(ODZ). Pasirodo, logaritmo ODZ atrodo taip: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiui b (logaritmo reikšmei) nėra jokių apribojimų. Pavyzdžiui, logaritmas gali būti neigiamas: log 2 0,5 = −1, nes 0,5 = 2–1.

Tačiau dabar svarstome tik skaitines išraiškas, kur logaritmo VA žinoti nebūtina. Į visus apribojimus jau atsižvelgė užduočių autoriai. Tačiau kai pradės veikti logaritminės lygtys ir nelygybės, DL reikalavimai taps privalomi. Juk pagrinde ir argumente gali būti labai stiprių konstrukcijų, kurios nebūtinai atitinka minėtus apribojimus.

Dabar pažvelkime į bendrą logaritmų skaičiavimo schemą. Jį sudaro trys žingsniai:

1. Išreikškite bazę a ir argumentą x kaip laipsnį, kurio mažiausia galima bazė yra didesnė už vienetą. Pakeliui geriau atsisakyti kablelio;
2. Išspręskite kintamojo b lygtį: x = a b ;
3. Gautas skaičius b bus atsakymas.

Tai viskas! Jei logaritmas pasirodys neracionalus, tai bus matoma jau pirmame žingsnyje. Reikalavimas, kad bazė būtų didesnė už vieną, yra labai svarbus: tai sumažina klaidos tikimybę ir labai supaprastina skaičiavimus. Tas pats ir su dešimtainėmis trupmenomis: jei iš karto jas konvertuosite į įprastas, klaidų bus daug mažiau.

Pažiūrėkime, kaip ši schema veikia, naudodami konkrečius pavyzdžius:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 5 25

1. Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip penkių laipsnį: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
2. Sukurkime ir išspręskime lygtį:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Gavome atsakymą: 2.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą:

[Paveikslo antraštė]

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 4 64

1. Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Sukurkime ir išspręskime lygtį:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Gavome atsakymą: 3.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 16 1

1. Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Sukurkime ir išspręskime lygtį:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Gavome atsakymą: 0.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 7 14

1. Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip septyneto laipsnį: 7 = 7 1 ; 14 negali būti vaizduojamas kaip septynių laipsnis, nes 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iš ankstesnės pastraipos matyti, kad logaritmas neskaičiuojamas;
3. Atsakymas nesikeičia: žurnalas 7 14.

Maža pastaba apie paskutinį pavyzdį. Kaip galite būti tikri, kad skaičius nėra tiksli kito skaičiaus laipsnis? Tai labai paprasta – tiesiog įtraukite tai į pagrindinius veiksnius. Ir jei tokių veiksnių negalima surinkti į laipsnius su tais pačiais rodikliais, tada pradinis skaičius nėra tikslus laipsnis.

Užduotis. Išsiaiškinkite, ar skaičiai yra tikslūs laipsniai: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tikslus laipsnis, nes yra tik vienas daugiklis;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nėra tiksli galia, nes yra du veiksniai: 3 ir 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tikslus laipsnis;
35 = 7 · 5 - vėlgi nėra tiksli galia;
14 = 7 · 2 - vėlgi nėra tikslus laipsnis;

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad patys pirminiai skaičiai visada yra tikslios jų galios.

Dešimtainis logaritmas

Kai kurie logaritmai yra tokie įprasti, kad turi specialų pavadinimą ir simbolį.

Dešimtainis x logaritmas yra logaritmas iki 10 bazės, t.y. Galia, iki kurios reikia pakelti skaičių 10, kad gautume skaičių x. Pavadinimas: lg x.

Pavyzdžiui, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 ir kt.

Nuo šiol, kai vadovėlyje pasirodys tokia frazė kaip „Rasti lg 0,01“, žinokite, kad tai nėra rašybos klaida. Tai yra dešimtainis logaritmas. Tačiau, jei nesate susipažinę su šiuo užrašu, visada galite jį perrašyti:
log x = log 10 x

Viskas, kas tinka įprastiniams logaritmams, galioja ir dešimtainiams logaritmams.

Natūralus logaritmas

Yra dar vienas logaritmas, turintis savo pavadinimą. Kai kuriais atžvilgiais tai net svarbesnė nei dešimtainė. Mes kalbame apie natūralųjį logaritmą.

Natūralusis x logaritmas yra logaritmas iki pagrindo e, t.y. galia, iki kurios reikia pakelti skaičių e, kad gautume skaičių x. Pavadinimas: ln x .

Daugelis paklaus: koks yra skaičius e? Tai neracionalus skaičius, jo tikslios reikšmės negalima rasti ir užrašyti. Pateiksiu tik pirmuosius skaičius:
e = 2,718281828459...

Mes nesigilinsime į tai, kas yra šis skaičius ir kodėl jis reikalingas. Tiesiog atminkite, kad e yra natūraliojo logaritmo pagrindas:
ln x = log e x

Taigi ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 ir kt. Kita vertus, ln 2 yra neracionalus skaičius. Apskritai bet kurio racionalaus skaičiaus natūralusis logaritmas yra neracionalus. Žinoma, išskyrus vieną: ln 1 = 0.

Natūraliųjų logaritmų atveju galioja visos taisyklės, kurios galioja įprastiems logaritmams.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminio proceso metu ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

\(a^(b)=c\) \(\Rodyklė į kairę\) \(\log_(a)(c)=b\)

Paaiškinkime tai paprasčiau. Pavyzdžiui, \(\log_(2)(8)\) yra lygus galiai, iki kurios \(2\) turi būti padidinta, kad gautumėte \(8\). Iš to aišku, kad \(\log_(2)(8)=3\).

Pavyzdžiai:		\(\log_(5)(25)=2\)		nes \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		nes \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		nes \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentas ir logaritmo pagrindas

Bet kuris logaritmas turi tokią „anatomiją“:

Logaritmo argumentas paprastai rašomas jo lygyje, o bazė rašoma apatiniu indeksu arčiau logaritmo ženklo. Ir šis įrašas skamba taip: „logaritmas nuo dvidešimt penkių iki bazinių penkių“.

Kaip apskaičiuoti logaritmą?

Norėdami apskaičiuoti logaritmą, turite atsakyti į klausimą: iki kokios galios reikia pakelti bazę, kad gautumėte argumentą?

Pavyzdžiui, apskaičiuokite logaritmą: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Kokia galia turi būti padidinta \(4\), kad gautume \(16\)? Akivaizdu, kad antrasis. Štai kodėl:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Kokia galia turi būti padidinta \(\sqrt(5)\), kad gautume \(1\)? Kokia galia daro bet kurį pirmą numerį? Nulis, žinoma!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Kokia galia turi būti padidinta \(\sqrt(7)\), kad gautume \(\sqrt(7)\)? Pirma, bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau pačiam.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Kokia galia turi būti padidinta \(3\), kad gautume \(\sqrt(3)\)? Mes žinome, kad tai yra trupmeninė galia, o tai reiškia, kad kvadratinė šaknis yra \(\frac(1)(2)\) laipsnis.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Pavyzdys : Apskaičiuokite logaritmą \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Sprendimas :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Turime rasti logaritmo reikšmę, pažymėkime ją x. Dabar naudokime logaritmo apibrėžimą: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Rodyklė į kairę\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Kas jungia \(4\sqrt(2)\) ir \(8\)? Du, nes abu skaičiai gali būti pavaizduoti dviem: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Kairėje mes naudojame laipsnio savybes: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ir \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazės lygios, pereiname prie rodiklių lygybės
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Padauginkite abi lygties puses iš \(\frac(2)(5)\)
		Gauta šaknis yra logaritmo reikšmė

Atsakymas : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Kodėl buvo išrastas logaritmas?

Norėdami tai suprasti, išspręskime lygtį: \(3^(x)=9\). Tiesiog suderinkite \(x\), kad lygtis veiktų. Žinoma, \(x=2\).

Dabar išspręskite lygtį: \(3^(x)=8\). Kam x lygus? Tai yra esmė.

Protingiausi pasakys: „X yra šiek tiek mažiau nei du“. Kaip tiksliai parašyti šį skaičių? Norint atsakyti į šį klausimą, buvo išrastas logaritmas. Jo dėka atsakymas čia gali būti parašytas kaip \(x=\log_(3)(8)\).

Noriu pabrėžti, kad \(\log_(3)(8)\), patinka bet koks logaritmas yra tik skaičius. Taip, atrodo neįprastai, bet trumpas. Nes jei norėtume rašyti kaip dešimtainį skaičių, jis atrodytų taip: \(1.892789260714.....\)

Pavyzdys : išspręskite lygtį \(4^(5x-4)=10\)

Sprendimas :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) ir \(10\) negalima perkelti į tą pačią bazę. Tai reiškia, kad jūs negalite išsiversti be logaritmo. Naudokime logaritmo apibrėžimą: \(a^(b)=c\) \(\Rodyklė į kairę\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Apverskime lygtį taip, kad X būtų kairėje
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prieš mus. Perkelkime \(4\) į dešinę. Ir nebijokite logaritmo, traktuokite jį kaip paprastą skaičių.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Padalinkite lygtį iš 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Tai mūsų šaknis. Taip, atrodo neįprasta, bet jie nesirenka atsakymo.

Atsakymas : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dešimtainiai ir natūralūs logaritmai

Kaip nurodyta logaritmo apibrėžime, jo bazė gali būti bet koks teigiamas skaičius, išskyrus vieną \((a>0, a\neq1)\). Ir tarp visų galimų bazių yra du, kurie pasitaiko taip dažnai, kad logaritmams su jais buvo išrastas specialus trumpas žymėjimas:

Natūralusis logaritmas: logaritmas, kurio pagrindas yra Eulerio skaičius \(e\) (lygus apytiksliai \(2,7182818…\)), o logaritmas parašytas kaip \(\ln(a)\).

Tai yra, \(\ln(a)\) yra toks pat kaip \(\log_(e)(a)\)

Dešimtainis logaritmas: logaritmas, kurio bazė yra 10, rašoma \(\lg(a)\).

Tai yra, \(\lg(a)\) yra toks pat kaip \(\log_(10)(a)\), kur \(a\) yra koks nors skaičius.

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Logaritmai turi daug savybių. Vienas iš jų vadinamas „pagrindiniu logaritminiu tapatumu“ ir atrodo taip:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ši savybė tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo. Pažiūrėkime, kaip tiksliai atsirado ši formulė.

Prisiminkime trumpą logaritmo apibrėžimo užrašą:

jei \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

Tai yra, \(b\) yra toks pat kaip \(\log_(a)(c)\). Tada galime parašyti \(\log_(a)(c)\) vietoj \(b\) formulėje \(a^(b)=c\). Paaiškėjo, kad \(a^(\log_(a)(c))=c\) - pagrindinė logaritminė tapatybė.

Galite rasti kitų logaritmų savybių. Jų pagalba galite supaprastinti ir apskaičiuoti logaritmų išraiškų reikšmes, kurias sunku tiesiogiai apskaičiuoti.

Pavyzdys : Raskite išraiškos reikšmę \(36^(\log_(6)(5))\)

Sprendimas :

Atsakymas : \(25\)

Kaip parašyti skaičių kaip logaritmą?

Kaip minėta aukščiau, bet koks logaritmas yra tik skaičius. Taip pat yra atvirkščiai: bet kurį skaičių galima parašyti logaritmu. Pavyzdžiui, žinome, kad \(\log_(2)(4)\) yra lygus dviem. Tada vietoj dviejų galite parašyti \(\log_(2)(4)\).

Tačiau \(\log_(3)(9)\) taip pat yra lygus \(2\), o tai reiškia, kad galime parašyti ir \(2=\log_(3)(9)\) . Panašiai ir su \(\log_(5)(25)\) ir su \(\log_(9)(81)\) ir kt. Tai yra, pasirodo

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Taigi, jei reikia, galime užrašyti du kaip logaritmą su bet kuria baze bet kurioje vietoje (ar tai būtų lygtis, išraiška ar nelygybė) – bazę tiesiog parašome kvadratu kaip argumentą.

Tas pats ir su trigubu – jis gali būti parašytas kaip \(\log_(2)(8)\), arba kaip \(\log_(3)(27)\), arba kaip \(\log_(4)( 64) \)... Čia kaip argumentą įrašome bazę kube:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ir su keturiais:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ir su minusu vienu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\) \(...\)

Ir su trečdaliu:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bet koks skaičius \(a\) gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su baze \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Pavyzdys : Raskite posakio prasmę \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Sprendimas :

Atsakymas : \(1\)

Kas yra logaritmas?

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Kas yra logaritmas? Kaip išspręsti logaritmus? Šie klausimai glumina daugelį abiturientų. Tradiciškai logaritmų tema laikoma sudėtinga, nesuprantama ir bauginančia. Ypač lygtys su logaritmais.

Tai visiškai netiesa. absoliučiai! Netikite manimi? gerai. Dabar vos per 10–20 minučių jūs:

1. Suprasite kas yra logaritmas.

2. Išmokite išspręsti visą klasę eksponentinių lygčių. Net jei nieko apie juos negirdėjote.

3. Išmokite skaičiuoti paprastus logaritmus.

Be to, tam jums tereikia žinoti daugybos lentelę ir kaip skaičių pakelti į laipsnį...

Jaučiu, kad tau kyla abejonių... Na, gerai, pažymėk laiką! Pirmyn!

Pirmiausia savo galvoje išspręskite šią lygtį:

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.