लोगारित्मकिसी दी गई संख्या का वह घातांक कहलाता है जिससे दूसरी संख्या बढ़ाई जानी चाहिए, कहा जाता है आधारइस संख्या को प्राप्त करने के लिए लघुगणक. उदाहरण के लिए, 100 का आधार 10 लघुगणक 2 है। दूसरे शब्दों में, 100 प्राप्त करने के लिए 10 का वर्ग करना होगा (10 2 = 100)। अगर एन- एक दिया गया नंबर, बी– आधार और एल- फिर लघुगणक बी एल = एन. संख्या एनइसे बेस एंटीलोगारिथ्म भी कहा जाता है बीनंबर एल. उदाहरण के लिए, 2 से आधार 10 का प्रतिलघुगणक 100 के बराबर है। इसे संबंध लॉग के रूप में लिखा जा सकता है बी एन = एलऔर एंटीलॉग बी एल = एन.

लघुगणक के मूल गुण:

एक के अलावा कोई भी सकारात्मक संख्या लघुगणक के लिए आधार के रूप में काम कर सकती है, लेकिन दुर्भाग्य से यह पता चला है कि यदि बीऔर एनपरिमेय संख्याएँ हैं, तो दुर्लभ मामलों में ऐसी कोई परिमेय संख्या होती है एल, क्या बी एल = एन. हालाँकि, एक अपरिमेय संख्या को परिभाषित करना संभव है एल, उदाहरण के लिए, जैसे कि 10 एल= 2; यह एक अपरिमेय संख्या है एलतर्कसंगत संख्याओं द्वारा किसी भी आवश्यक सटीकता के साथ अनुमान लगाया जा सकता है। दिए गए उदाहरण से यह पता चलता है एललगभग 0.3010 के बराबर है, और 2 के आधार 10 लघुगणक का यह अनुमान दशमलव लघुगणक की चार-अंकीय तालिकाओं में पाया जा सकता है। आधार 10 लघुगणक (या आधार 10 लघुगणक) का उपयोग गणनाओं में इतना सामान्यतः किया जाता है कि उन्हें कहा जाता है साधारणलघुगणक और लघुगणक के आधार के स्पष्ट संकेत को छोड़कर, log2 = 0.3010 या log2 = 0.3010 के रूप में लिखा जाता है। आधार के लिए लघुगणक इ, लगभग 2.71828 के बराबर एक पारलौकिक संख्या कहलाती है प्राकृतिकलघुगणक. वे मुख्य रूप से गणितीय विश्लेषण और विभिन्न विज्ञानों में इसके अनुप्रयोगों पर कार्यों में पाए जाते हैं। प्राकृतिक लघुगणक भी आधार को स्पष्ट रूप से इंगित किए बिना लिखे जाते हैं, लेकिन विशेष संकेतन ln का उपयोग करते हुए: उदाहरण के लिए, ln2 = 0.6931, क्योंकि इ 0,6931 = 2.

साधारण लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग करना।

किसी संख्या का नियमित लघुगणक एक घातांक होता है जिसमें दी गई संख्या प्राप्त करने के लिए 10 को बढ़ाया जाना चाहिए। चूँकि 10 0 = 1, 10 1 = 10 और 10 2 = 100, हमें तुरंत पता चलता है कि लॉग1 = 0, लॉग10 = 1, लॉग100 = 2, आदि। पूर्णांक घातों को बढ़ाने के लिए 10. इसी प्रकार, 10 -1 = 0.1, 10 -2 = 0.01 और इसलिए log0.1 = -1, log0.01 = -2, आदि। सभी नकारात्मक पूर्णांक घातों के लिए 10. शेष संख्याओं के सामान्य लघुगणक 10 की निकटतम पूर्णांक घातों के लघुगणक के बीच संलग्न होते हैं; log2 0 और 1 के बीच होना चाहिए, log20 1 और 2 के बीच होना चाहिए, और log0.2 -1 और 0 के बीच होना चाहिए। इस प्रकार, लघुगणक में दो भाग होते हैं, एक पूर्णांक और एक दशमलव, जो 0 और 1 के बीच संलग्न होता है। पूर्णांक भाग कहलाता है विशेषतालघुगणक और संख्या से ही निर्धारित होता है, भिन्नात्मक भाग कहलाता है अपूर्णांशऔर तालिकाओं से पाया जा सकता है। साथ ही, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 का लघुगणक 0.3010 है, इसलिए log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010। इसी प्रकार, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. घटाने के बाद, हमें log0.2 = – 0.6990 मिलता है। हालाँकि, log0.2 को 0.3010 - 1 या 9.3010 - 10 के रूप में प्रस्तुत करना अधिक सुविधाजनक है; एक सामान्य नियम भी तैयार किया जा सकता है: किसी दिए गए नंबर को 10 की घात से गुणा करके प्राप्त सभी संख्याओं में दिए गए नंबर के मंटिसा के बराबर समान मंटिसा होता है। अधिकांश तालिकाएँ 1 से 10 तक की संख्याओं के मंटिसा को दर्शाती हैं, क्योंकि अन्य सभी संख्याओं के मंटिसा को तालिका में दिए गए संख्याओं से प्राप्त किया जा सकता है।

अधिकांश तालिकाएँ चार या पाँच दशमलव स्थानों के साथ लघुगणक देती हैं, हालाँकि सात अंकों की तालिकाएँ और इससे भी अधिक दशमलव स्थानों वाली तालिकाएँ हैं। ऐसी तालिकाओं का उपयोग करना सीखने का सबसे आसान तरीका उदाहरणों से है। लॉग3.59 को खोजने के लिए, सबसे पहले, हम ध्यान दें कि संख्या 3.59 10 0 और 10 1 के बीच है, इसलिए इसकी विशेषता 0 है। हम तालिका में संख्या 35 (बाईं ओर) पाते हैं और पंक्ति के साथ आगे बढ़ते हैं वह स्तंभ जिसके शीर्ष पर संख्या 9 है; इस स्तंभ और पंक्ति 35 का प्रतिच्छेदन 5551 है, इसलिए लॉग3.59 = 0.5551। चार महत्वपूर्ण अंकों वाली किसी संख्या का मंटिसा ज्ञात करने के लिए, आपको प्रक्षेप का उपयोग करना होगा। कुछ तालिकाओं में, तालिकाओं के प्रत्येक पृष्ठ के दाईं ओर अंतिम नौ स्तंभों में दिए गए अनुपात से प्रक्षेप की सुविधा होती है। आइए अब log736.4 खोजें; संख्या 736.4 10 2 और 10 3 के बीच स्थित है, इसलिए इसके लघुगणक की विशेषता 2 है। तालिका में हमें बाईं ओर एक पंक्ति मिलती है जिसके बाईं ओर 73 और स्तंभ 6 है। इस पंक्ति और इस स्तंभ के चौराहे पर है संख्या 8669। रैखिक भागों में हमें स्तंभ 4 मिलता है पंक्ति 73 और स्तंभ 4 के प्रतिच्छेदन पर संख्या 2 है। 8669 में 2 जोड़ने पर, हमें मंटिसा मिलता है - यह 8671 के बराबर है। इस प्रकार, लॉग736.4 = 2.8671.

प्राकृतिक लघुगणक.

प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाएँ और गुण सामान्य लघुगणक की तालिकाओं और गुणों के समान होते हैं। दोनों के बीच मुख्य अंतर यह है कि प्राकृतिक लघुगणक का पूर्णांक भाग दशमलव बिंदु की स्थिति निर्धारित करने में महत्वपूर्ण नहीं है, और इसलिए मंटिसा और विशेषता के बीच का अंतर कोई विशेष भूमिका नहीं निभाता है। संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक 5.432; 54.32 और 543.2 क्रमशः 1.6923 के बराबर हैं; 3.9949 और 6.2975. यदि हम उनके बीच के अंतरों पर विचार करें तो इन लघुगणक के बीच संबंध स्पष्ट हो जाएगा: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; अंतिम संख्या संख्या 10 के प्राकृतिक लघुगणक से अधिक कुछ नहीं है (इस तरह लिखा गया है: ln10); लॉग543.2 - लॉग5.432 = 4.6052; अंतिम संख्या 2ln10 है. लेकिन 543.2 = 10ґ54.32 = 10 2ґ5.432। इस प्रकार, किसी दी गई संख्या के प्राकृतिक लघुगणक द्वारा एआप संख्याओं के गुणनफल के बराबर संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक पा सकते हैं एकिसी भी डिग्री के लिए एनसंख्या 10 यदि एल.एन ए ln10 को गुणा करके जोड़ें एन, अर्थात। एलएन( एґ10एन) = लॉग ए + एनएलएन10 = एलएन ए + 2,3026एन. उदाहरण के लिए, ln0.005432 = ln(5.432ґ10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3ґ2.3026) = – 5.2155. इसलिए, सामान्य लघुगणक की तालिकाओं की तरह, प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाओं में आमतौर पर केवल 1 से 10 तक की संख्याओं के लघुगणक होते हैं। प्राकृतिक लघुगणक की प्रणाली में, कोई एंटीलघुगणक के बारे में बात कर सकता है, लेकिन अधिक बार वे एक घातीय फ़ंक्शन या एक घातांक के बारे में बात करते हैं। अगर एक्स= लॉग य, वह य = पूर्व, और यका प्रतिपादक कहा जाता है एक्स(टाइपोग्राफ़िक सुविधा के लिए, वे अक्सर लिखते हैं य= ऍक्स्प एक्स). घातांक संख्या के प्रतिलघुगणक की भूमिका निभाता है एक्स.

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग करके, आप 10 और के अलावा किसी भी आधार में लघुगणक की तालिकाएँ बना सकते हैं इ. यदि लॉग करें बी ० ए = एक्स, वह बी एक्स = ए, और इसलिए लॉग करें सी बी एक्स= लॉग सीएया एक्सलकड़ी का लट्ठा सी बी= लॉग सीए, या एक्स= लॉग सीए/लकड़ी का लट्ठा सी बी= लॉग बी ० ए. इसलिए, आधार लघुगणक तालिका से इस व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करें सीआप किसी अन्य आधार में लघुगणक की तालिकाएँ बना सकते हैं बी. गुणक 1/लॉग सी बीबुलाया संक्रमण मॉड्यूलआधार से सीआधार तक बी. उदाहरण के लिए, व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करने या लघुगणक की एक प्रणाली से दूसरे में संक्रमण करने, सामान्य लघुगणक की तालिका से प्राकृतिक लघुगणक खोजने या विपरीत संक्रमण करने से कुछ भी नहीं रोकता है। उदाहरण के लिए, लॉग105.432 = लॉग इ 5.432/लॉग इ 10 = 1.6923/2.3026 = 1.6923ґ0.4343 = 0.7350। संख्या 0.4343, जिससे एक साधारण लघुगणक प्राप्त करने के लिए किसी दिए गए संख्या के प्राकृतिक लघुगणक को गुणा किया जाना चाहिए, सामान्य लघुगणक की प्रणाली में संक्रमण का मापांक है।

विशेष टेबल.

लघुगणक का आविष्कार मूल रूप से इसलिए किया गया था ताकि, उनके गुणों का उपयोग करके लॉग किया जा सके अब= लॉग ए+ लॉग बीऔर लॉग करें ए/बी= लॉग ए-लकड़ी का लट्ठा बी, गुणनफल को योग में और भागफल को अंतर में बदलें। दूसरे शब्दों में, यदि लॉग एऔर लॉग करें बीज्ञात हैं, तो जोड़ और घटाव का उपयोग करके हम उत्पाद और भागफल का लघुगणक आसानी से पा सकते हैं। हालाँकि, खगोल विज्ञान में, अक्सर लॉग के मान दिए जाते हैं एऔर लॉग करें बीलॉग ढूंढने की आवश्यकता है( ए + बी) या लॉग( ए – बी). निःसंदेह, कोई भी सबसे पहले लघुगणक की तालिकाओं से पता लगा सकता है एऔर बी, फिर संकेतित जोड़ या घटाव करें और, फिर से तालिकाओं का संदर्भ लेते हुए, आवश्यक लघुगणक खोजें, लेकिन ऐसी प्रक्रिया के लिए तालिकाओं को तीन बार संदर्भित करने की आवश्यकता होगी। 1802 में जेड लियोनेली ने तथाकथित की तालिकाएँ प्रकाशित कीं। गाऊसी लघुगणक- योगों और अंतरों को जोड़ने के लिए लघुगणक - जिससे स्वयं को तालिकाओं तक एक पहुंच तक सीमित करना संभव हो गया।

1624 में, आई. केप्लर ने आनुपातिक लघुगणक की तालिकाएँ प्रस्तावित कीं, अर्थात्। संख्याओं के लघुगणक ए/एक्स, कहाँ ए– कुछ सकारात्मक स्थिरांक मान. इन तालिकाओं का उपयोग मुख्य रूप से खगोलविदों और नाविकों द्वारा किया जाता है।

आनुपातिक लघुगणक पर ए=1 कहलाते हैं कोलोगैरिथ्मऔर गणना में उपयोग किया जाता है जब किसी को उत्पादों और भागफल से निपटना होता है। किसी संख्या का कोलोगैरिथ्म एनपारस्परिक संख्या के लघुगणक के बराबर; वे। कोलॉग एन= लॉग1/ एन= – लॉग एन. यदि log2 = 0.3010, तो colog2 = - 0.3010 = 0.6990 - 1. कोलोगारिथ्म का उपयोग करने का लाभ यह है कि जैसे भावों के लघुगणक के मान की गणना करते समय पी क्यू/आरधनात्मक दशमलव का तिगुना योग लॉग करें पी+ लॉग क्यू+कोलॉग आरमिश्रित योग और अंतर लॉग की तुलना में इसे खोजना आसान है पी+ लॉग क्यू-लकड़ी का लट्ठा आर.

कहानी।

लघुगणक की किसी भी प्रणाली के अंतर्निहित सिद्धांत को बहुत लंबे समय से जाना जाता है और इसका पता प्राचीन बेबीलोनियन गणित (लगभग 2000 ईसा पूर्व) में लगाया जा सकता है। उन दिनों, चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए पूर्णांकों की सकारात्मक पूर्णांक शक्तियों के तालिका मानों के बीच प्रक्षेप का उपयोग किया जाता था। बहुत बाद में, आर्किमिडीज़ (287-212 ईसा पूर्व) ने तत्कालीन ज्ञात ब्रह्मांड को पूरी तरह से भरने के लिए आवश्यक रेत के कणों की संख्या की ऊपरी सीमा खोजने के लिए 108 की शक्तियों का उपयोग किया। आर्किमिडीज़ ने घातांकों की उस संपत्ति की ओर ध्यान आकर्षित किया जो लघुगणक की प्रभावशीलता को रेखांकित करती है: शक्तियों का उत्पाद घातांकों के योग से मेल खाता है। मध्य युग के अंत और आधुनिक युग की शुरुआत में, गणितज्ञों ने तेजी से ज्यामितीय और अंकगणितीय प्रगति के बीच संबंधों की ओर रुख करना शुरू कर दिया। एम. स्टिफ़ेल ने अपने निबंध में पूर्णांक अंकगणित(1544) ने संख्या 2 की सकारात्मक और नकारात्मक शक्तियों की एक तालिका दी:

स्टिफ़ेल ने देखा कि पहली पंक्ति (घातांक पंक्ति) में दो संख्याओं का योग नीचे की पंक्ति (घातांक पंक्ति) में दो संगत संख्याओं के उत्पाद के बराबर है। इस तालिका के संबंध में, स्टिफ़ेल ने घातांक पर संचालन के लिए चार आधुनिक नियमों या लघुगणक पर संचालन के लिए चार नियमों के बराबर चार नियम तैयार किए: शीर्ष रेखा पर योग नीचे की रेखा पर उत्पाद से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर घटाव निचली रेखा पर विभाजन से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर गुणन नीचे की रेखा पर घातांक से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर विभाजन निचली रेखा पर रूटिंग से मेल खाता है।

जाहिरा तौर पर, स्टिफ़ेल के नियमों के समान नियमों ने जे. नेपर को औपचारिक रूप से अपने काम में लघुगणक की पहली प्रणाली पेश करने के लिए प्रेरित किया। लघुगणक की अद्भुत तालिका का विवरण, 1614 में प्रकाशित। लेकिन नेपियर के विचार तभी से उत्पादों को रकम में परिवर्तित करने की समस्या में व्यस्त थे, अपने काम के प्रकाशन से दस साल से अधिक पहले, नेपियर को डेनमार्क से खबर मिली कि टाइको ब्राहे वेधशाला में उनके सहायकों के पास एक विधि थी जो बनाई गई थी उत्पादों को रकम में परिवर्तित करना संभव है। नेपियर को प्राप्त संदेश में चर्चा की गई विधि त्रिकोणमितीय सूत्रों के उपयोग पर आधारित थी

इसलिए नेपर की तालिकाओं में मुख्य रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के लघुगणक शामिल थे। यद्यपि नेपियर द्वारा प्रस्तावित परिभाषा में आधार की अवधारणा को स्पष्ट रूप से शामिल नहीं किया गया था, उनके सिस्टम में लघुगणक प्रणाली के आधार के बराबर भूमिका संख्या (1 - 10 -7)ґ10 7 द्वारा निभाई गई थी, जो लगभग 1/ के बराबर थी। इ.

नेपर से स्वतंत्र रूप से और लगभग उसके साथ ही, जे. बर्गी द्वारा प्राग में लघुगणक की एक प्रणाली का आविष्कार और प्रकाशन किया गया था, जो 1620 में प्रकाशित हुआ था। अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति तालिकाएँ. ये आधार (1 + 10 -4) ґ10 4 के प्रति लघुगणक की तालिकाएँ थीं, जो संख्या का काफी अच्छा अनुमान था इ.

नेपर प्रणाली में, संख्या 10 7 का लघुगणक शून्य माना जाता था, और जैसे-जैसे संख्याएँ घटती गईं, लघुगणक बढ़ते गए। जब जी. ब्रिग्स (1561-1631) ने नेपियर का दौरा किया, तो दोनों इस बात पर सहमत हुए कि संख्या 10 को आधार के रूप में उपयोग करना और एक के लघुगणक को शून्य मानना ​​​​अधिक सुविधाजनक होगा। फिर, जैसे-जैसे संख्याएँ बढ़ती गईं, उनके लघुगणक भी बढ़ते गए। इस प्रकार हमने दशमलव लघुगणक की आधुनिक प्रणाली प्राप्त की, जिसकी तालिका ब्रिग्स ने अपने काम में प्रकाशित की लघुगणक अंकगणित(1620). आधार के लिए लघुगणक इ, हालांकि नेपर द्वारा पेश किए गए बिल्कुल सही नहीं हैं, फिर भी उन्हें अक्सर नेपर कहा जाता है। ब्रिग्स द्वारा "विशेषतावादी" और "मेंटिसा" शब्द प्रस्तावित किए गए थे।

पहले लघुगणक में, ऐतिहासिक कारणों से, संख्याओं के सन्निकटन का उपयोग किया जाता था 1/ इऔर इ. कुछ समय बाद, प्राकृतिक लघुगणक का विचार हाइपरबोला के अंतर्गत क्षेत्रों के अध्ययन से जुड़ा होने लगा xy= 1 (चित्र 1)। 17वीं सदी में यह दिखाया गया कि इस वक्र, अक्ष से घिरा क्षेत्र एक्सऔर निर्देशांक एक्स= 1 और एक्स = ए(चित्र 1 में यह क्षेत्र बोल्डर और विरल बिंदुओं से ढका हुआ है) अंकगणितीय प्रगति में वृद्धि होती है जब एतेजी से बढ़ता है. यह वह निर्भरता है जो घातांक और लघुगणक के साथ संचालन के नियमों में उत्पन्न होती है। इसने नेपेरियन लघुगणक को "अतिशयोक्तिपूर्ण लघुगणक" कहने को जन्म दिया।

लघुगणकीय कार्य.

एक समय था जब लघुगणक को केवल गणना के साधन के रूप में माना जाता था, लेकिन 18 वीं शताब्दी में, मुख्य रूप से यूलर के काम के लिए धन्यवाद, एक लघुगणक फ़ंक्शन की अवधारणा का गठन किया गया था। ऐसे फ़ंक्शन का ग्राफ़ य= लॉग एक्स, जिसके निर्देशांक अंकगणितीय प्रगति में बढ़ते हैं, जबकि भुज ज्यामितीय प्रगति में बढ़ते हैं, चित्र में प्रस्तुत किया गया है। 2, ए. व्युत्क्रम या घातांकीय फलन का ग्राफ़ वाई = ई एक्स, जिनके निर्देशांक ज्यामितीय प्रगति में बढ़ते हैं, और जिनके भुज अंकगणितीय प्रगति में बढ़ते हैं, क्रमशः चित्र में प्रस्तुत किए गए हैं। 2, बी. (वक्र य= लॉग एक्सऔर य = 10एक्सआकार में वक्र के समान य= लॉग एक्सऔर य = पूर्व.) लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की वैकल्पिक परिभाषाएँ भी प्रस्तावित की गई हैं, उदाहरण के लिए।

केपीआई; और, इसी तरह, संख्या -1 के प्राकृतिक लघुगणक (2) के रूप की जटिल संख्याएँ हैं क + 1)अनुकरणीय, कहाँ क- पूर्णांक। समान कथन सामान्य लघुगणक या लघुगणक की अन्य प्रणालियों के लिए सत्य हैं। इसके अतिरिक्त, जटिल संख्याओं के जटिल लघुगणक को शामिल करने के लिए यूलर की पहचान का उपयोग करके लघुगणक की परिभाषा को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एक वैकल्पिक परिभाषा कार्यात्मक विश्लेषण द्वारा प्रदान की जाती है। अगर एफ(एक्स) - एक वास्तविक संख्या का निरंतर कार्य एक्स, जिसमें निम्नलिखित तीन गुण हैं: एफ (1) = 0, एफ (बी) = 1, एफ (पराबैंगनी) = एफ (यू) + एफ (वी), वह एफ(एक्स) को संख्या के लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है एक्सपर आधारित बी. इस लेख की शुरुआत में दी गई परिभाषा की तुलना में इस परिभाषा के कई फायदे हैं।

अनुप्रयोग।

लॉगरिदम का उपयोग मूल रूप से केवल गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया गया था, और यह एप्लिकेशन अभी भी उनके सबसे महत्वपूर्ण में से एक है। उत्पादों, भागफलों, घातों और मूलों की गणना न केवल लघुगणक की प्रकाशित तालिकाओं की व्यापक उपलब्धता से, बल्कि तथाकथित के उपयोग से भी सुगम होती है। स्लाइड नियम - एक कम्प्यूटेशनल उपकरण जिसका संचालन सिद्धांत लघुगणक के गुणों पर आधारित है। रूलर लघुगणकीय पैमानों से सुसज्जित है, अर्थात्। नंबर 1 से किसी भी नंबर की दूरी एक्सलॉग के बराबर चुना गया एक्स; एक पैमाने को दूसरे के सापेक्ष स्थानांतरित करके, लघुगणक के योग या अंतर को आलेखित करना संभव है, जिससे सीधे पैमाने से संबंधित संख्याओं के उत्पादों या भागफल को पढ़ना संभव हो जाता है। आप संख्याओं को लघुगणकीय रूप में प्रस्तुत करने के लाभों का भी लाभ उठा सकते हैं। ग्राफ़ बनाने के लिए लॉगरिदमिक पेपर (दोनों समन्वय अक्षों पर लॉगरिदमिक स्केल मुद्रित होने वाला पेपर)। यदि कोई फ़ंक्शन प्रपत्र के शक्ति नियम को संतुष्ट करता है y = kxn, तो इसका लघुगणक ग्राफ एक सीधी रेखा जैसा दिखता है, क्योंकि लकड़ी का लट्ठा य= लॉग क + एनलकड़ी का लट्ठा एक्स- लॉग के संबंध में समीकरण रैखिक यऔर लॉग करें एक्स. इसके विपरीत, यदि किसी कार्यात्मक निर्भरता का लघुगणक ग्राफ एक सीधी रेखा जैसा दिखता है, तो यह निर्भरता एक शक्ति है। सेमी-लॉग पेपर (जहां y-अक्ष में एक लघुगणकीय पैमाना होता है और x-अक्ष में एक समान पैमाना होता है) तब उपयोगी होता है जब आपको घातीय कार्यों की पहचान करने की आवश्यकता होती है। प्रपत्र के समीकरण वाई = केबी आरएक्सयह तब घटित होता है जब कोई मात्रा, जैसे जनसंख्या, रेडियोधर्मी सामग्री की मात्रा, या बैंक बैलेंस, जनसंख्या की मात्रा, रेडियोधर्मी सामग्री, या वर्तमान में उपलब्ध धन के आनुपातिक दर से घटती या बढ़ती है। यदि ऐसी निर्भरता अर्ध-लघुगणक कागज पर अंकित की जाती है, तो ग्राफ़ एक सीधी रेखा जैसा दिखेगा।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन विभिन्न प्रकार के प्राकृतिक रूपों के संबंध में उत्पन्न होता है। सूरजमुखी के पुष्पक्रम में फूल लघुगणक सर्पिल में व्यवस्थित होते हैं, मोलस्क के गोले मुड़े होते हैं नॉटिलस, पहाड़ी भेड़ के सींग और तोते की चोंच। ये सभी प्राकृतिक आकृतियाँ एक लघुगणकीय सर्पिल के रूप में जाने जाने वाले वक्र के उदाहरण के रूप में काम कर सकती हैं, क्योंकि एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, इसका समीकरण है आर = एई बीक्यू, या एल.एन आर= लॉग ए + bq. इस तरह के वक्र को एक गतिमान बिंदु द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसके ध्रुव से दूरी ज्यामितीय प्रगति में बढ़ती है, और इसके त्रिज्या वेक्टर द्वारा वर्णित कोण अंकगणितीय प्रगति में बढ़ता है। इस तरह के वक्र की सर्वव्यापकता, और इसलिए लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की, इस तथ्य से अच्छी तरह से चित्रित होती है कि यह एक विलक्षण कैमरे के समोच्च और प्रकाश की ओर उड़ने वाले कुछ कीड़ों के प्रक्षेपवक्र के रूप में इतने दूर और पूरी तरह से अलग क्षेत्रों में होता है।

तो, हमारे पास दो की शक्तियाँ हैं। यदि आप नीचे की पंक्ति से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिस तक आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को चौथी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब, वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

x का आधार लघुगणक वह शक्ति है जिस तक x प्राप्त करने के लिए a को बढ़ाया जाना चाहिए।

नोटेशन: लॉग ए एक्स = बी, जहां ए आधार है, एक्स तर्क है, बी वह है जो लघुगणक वास्तव में बराबर है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 ⇒ लघुगणक 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। उसी सफलता के साथ, लॉग 2 64 = 6, क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार पर किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया को लघुगणक कहा जाता है। तो, आइए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ें:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
लॉग 2 2 = 1	लॉग 2 4 = 2	लॉग 2 8 = 3	लॉग 2 16 = 4	लॉग 2 32 = 5	लॉग 2 64 = 6

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक की गणना इतनी आसानी से नहीं की जाती है। उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क बताता है कि लघुगणक अंतराल पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याओं को अनंत तक लिखा जा सकता है, और उन्हें कभी भी दोहराया नहीं जाता है। यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस प्रकार छोड़ना बेहतर है: लघुगणक 2 5, लघुगणक 3 8, लघुगणक 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक अभिव्यक्ति है। कई लोग पहले तो भ्रमित हो जाते हैं कि आधार कहां है और तर्क कहां है। कष्टप्रद ग़लतफहमियों से बचने के लिए, बस चित्र देखें:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है। याद करना: लघुगणक एक शक्ति है, जिसमें तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बनाया जाना चाहिए। यह आधार है जिसे एक शक्ति तक उठाया जाता है - इसे चित्र में लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। इससे पता चलता है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं अपने विद्यार्थियों को पहले पाठ में ही यह अद्भुत नियम बता देता हूँ - और कोई भ्रम पैदा नहीं होता।

हमने परिभाषा समझ ली है - जो कुछ बचा है वह सीखना है कि लघुगणक की गणना कैसे करें, अर्थात। "लॉग" चिह्न से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य निकलते हैं:

1. तर्क और आधार सदैव शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत घातांक द्वारा डिग्री की परिभाषा से अनुसरण करता है, जिसमें लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
2. आधार एक से भिन्न होना चाहिए, क्योंकि किसी भी स्तर तक एक अभी भी एक ही रहता है। इस कारण से, यह प्रश्न कि "दो प्राप्त करने के लिए एक को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए" निरर्थक है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंध कहलाते हैं स्वीकार्य मूल्यों की सीमा(ओडीजेड)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं है। उदाहरण के लिए, लघुगणक ऋणात्मक हो सकता है: लघुगणक 2 0.5 = −1, क्योंकि 0.5 = 2 −1.

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों पर विचार कर रहे हैं, जहाँ लघुगणक का VA जानने की आवश्यकता नहीं है। कार्यों के लेखकों द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब लघुगणक समीकरण और असमानताएं चलन में आएंगी, तो डीएल आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। आख़िरकार, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण शामिल हो सकते हैं जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

आइए अब लघुगणक की गणना के लिए सामान्य योजना देखें। इसमें तीन चरण होते हैं:

1. आधार a और तर्क x को एक घात के रूप में व्यक्त करें जिसका न्यूनतम संभव आधार एक से अधिक हो। साथ ही, दशमलव से छुटकारा पाना बेहतर है;
2. चर b के लिए समीकरण हल करें: x = a b ;
3. परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

बस इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। यह आवश्यकता कि आधार एक से बड़ा हो, बहुत महत्वपूर्ण है: इससे त्रुटि की संभावना कम हो जाती है और गणनाएँ बहुत सरल हो जाती हैं। दशमलव भिन्नों के साथ भी ऐसा ही है: यदि आप उन्हें तुरंत सामान्य भिन्नों में बदल दें, तो बहुत कम त्रुटियाँ होंगी।

आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके देखें कि यह योजना कैसे काम करती है:

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 5 25

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना पाँच की घात के रूप में करें: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   लॉग 5 25 = बी ⇒ (5 1) बी = 5 2 ⇒ 5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;
3. हमें उत्तर मिला: 2.

काम। लघुगणक की गणना करें:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 4 64

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   लॉग 4 64 = बी ⇒ (2 2) बी = 2 6 ⇒ 2 2बी = 2 6 ⇒ 2बी = 6 ⇒ बी = 3;
3. हमें उत्तर मिला: 3.

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 16 1

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   लॉग 16 1 = बी ⇒ (2 4) बी = 2 0 ⇒ 2 4बी = 2 0 ⇒ 4बी = 0 ⇒ बी = 0;
3. हमें उत्तर मिला: 0.

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 7 14

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना सात की घात के रूप में करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की घात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
2. पिछले पैराग्राफ से यह पता चलता है कि लघुगणक की गिनती नहीं होती है;
3. उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14।

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। आप यह कैसे सुनिश्चित कर सकते हैं कि एक संख्या किसी अन्य संख्या की सटीक घात नहीं है? यह बहुत सरल है - बस इसे अभाज्य गुणनखंडों में शामिल करें। और यदि ऐसे कारकों को समान घातांक वाली घातों में एकत्रित नहीं किया जा सकता है, तो मूल संख्या एक सटीक घात नहीं है।

काम। पता लगाएँ कि क्या संख्याएँ सटीक घात हैं: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - एक सटीक घात नहीं है, क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 · 5 - फिर से कोई सटीक शक्ति नहीं;
14 = 7 · 2 - फिर भी कोई सटीक डिग्री नहीं;

यह भी ध्यान दें कि अभाज्य संख्याएँ हमेशा स्वयं की सटीक घातें होती हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य हैं कि उनका एक विशेष नाम और प्रतीक होता है।

x का दशमलव लघुगणक आधार 10 का लघुगणक है, अर्थात संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या 10 को जिस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलजी एक्स.

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; लॉग 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें कि यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है. हालाँकि, यदि आप इस संकेतन से अपरिचित हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

जो कुछ सामान्य लघुगणक के लिए सत्य है वह दशमलव लघुगणक के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना पदनाम है। कुछ मायनों में, यह दशमलव से भी अधिक महत्वपूर्ण है। हम प्राकृतिक लघुगणक के बारे में बात कर रहे हैं।

x का प्राकृतिक लघुगणक आधार e का लघुगणक है, अर्थात। वह शक्ति जिससे संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या e को बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएन एक्स .

कई लोग पूछेंगे: ई संख्या क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है, इसका सटीक मान न तो पाया जा सकता है और न ही लिखा जा सकता है। मैं केवल प्रथम आंकड़े दूँगा:
ई = 2.718281828459...

यह नंबर क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है, इसके बारे में हम विस्तार से नहीं बताएंगे। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार ln e = 1; एलएन ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी भी परिमेय संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिमेय होता है। बेशक, एक को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, वे सभी नियम मान्य हैं जो सामान्य लघुगणक के लिए सत्य हैं।

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\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

आइए इसे और अधिक सरलता से समझाएं। उदाहरण के लिए, \(\log_(2)(8)\) उस शक्ति के बराबर है जिससे \(8\) प्राप्त करने के लिए \(2\) को बढ़ाया जाना चाहिए। इससे यह स्पष्ट है कि \(\log_(2)(8)=3\).

उदाहरण:		\(\log_(5)(25)=2\)		क्योंकि \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		क्योंकि \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		क्योंकि \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

लघुगणक का तर्क और आधार

किसी भी लघुगणक में निम्नलिखित "शरीर रचना" होती है:

लघुगणक का तर्क आमतौर पर उसके स्तर पर लिखा जाता है, और आधार लघुगणक चिह्न के करीब सबस्क्रिप्ट में लिखा जाता है। और यह प्रविष्टि इस प्रकार है: "पच्चीस से आधार पाँच का लघुगणक।"

लघुगणक की गणना कैसे करें?

लघुगणक की गणना करने के लिए, आपको इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: तर्क प्राप्त करने के लिए आधार को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए?

उदाहरण के लिए, लघुगणक की गणना करें: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) प्राप्त करने के लिए \(4\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? जाहिर है दूसरा. इसीलिए:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ग) \(1\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(5)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? कौन सी शक्ति किसी भी नंबर को एक बनाती है? बिल्कुल शून्य!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(7)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? सबसे पहले, पहली घात वाली कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है।

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) प्राप्त करने के लिए \(3\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? हम जानते हैं कि यह एक भिन्नात्मक शक्ति है, जिसका अर्थ है कि वर्गमूल \(\frac(1)(2)\) की शक्ति है।

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

उदाहरण : लघुगणक की गणना करें \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

समाधान :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		हमें लघुगणक का मान ज्ञात करना होगा, आइए इसे x के रूप में निरूपित करें। आइए अब लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) और \(8\) को क्या जोड़ता है? दो, क्योंकि दोनों संख्याओं को दो द्वारा दर्शाया जा सकता है: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		बाईं ओर हम डिग्री के गुणों का उपयोग करते हैं: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) और \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		आधार समान हैं, हम संकेतकों की समानता की ओर बढ़ते हैं
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		समीकरण के दोनों पक्षों को \(\frac(2)(5)\) से गुणा करें
		परिणामी मूल लघुगणक का मान है

उत्तर : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

लघुगणक का आविष्कार क्यों किया गया?

इसे समझने के लिए, आइए समीकरण को हल करें: \(3^(x)=9\). समीकरण को कार्यान्वित करने के लिए बस \(x\) का मिलान करें। बेशक, \(x=2\).

अब समीकरण हल करें: \(3^(x)=8\).x किसके बराबर है? यही तो बात है।

सबसे चतुर लोग कहेंगे: "X दो से थोड़ा कम है।" इस संख्या को वास्तव में कैसे लिखें? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए लघुगणक का आविष्कार किया गया। उनके लिए धन्यवाद, यहां उत्तर \(x=\log_(3)(8)\) के रूप में लिखा जा सकता है।

मैं इस बात पर जोर देना चाहता हूं कि \(\log_(3)(8)\), जैसे कोई भी लघुगणक सिर्फ एक संख्या है. हाँ, यह असामान्य दिखता है, लेकिन यह संक्षिप्त है। क्योंकि अगर हम इसे दशमलव के रूप में लिखना चाहें, तो यह इस तरह दिखेगा: \(1.892789260714...\)

उदाहरण : समीकरण को हल करें \(4^(5x-4)=10\)

समाधान :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) और \(10\) को एक ही आधार पर नहीं लाया जा सकता। इसका मतलब है कि आप लघुगणक के बिना काम नहीं कर सकते। आइए लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		आइए समीकरण को पलटें ताकि X बाईं ओर हो
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		हमारे सामने। आइए \(4\) को दाईं ओर ले जाएं। और लघुगणक से डरो मत, इसे एक सामान्य संख्या की तरह समझो।
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		समीकरण को 5 से विभाजित करें
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		यह हमारी जड़ है. हाँ, यह असामान्य लगता है, लेकिन वे इसका उत्तर नहीं चुनते हैं।

उत्तर : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक

जैसा कि लघुगणक की परिभाषा में बताया गया है, इसका आधार एक \((a>0, a\neq1)\) को छोड़कर कोई भी धनात्मक संख्या हो सकता है। और सभी संभावित आधारों में से, दो ऐसे आधार हैं जो इतनी बार घटित होते हैं कि उनके साथ लघुगणक के लिए एक विशेष लघु अंकन का आविष्कार किया गया था:

प्राकृतिक लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार यूलर की संख्या \(e\) है (लगभग \(2.7182818...\) के बराबर), और लघुगणक को \(\ln(a)\) के रूप में लिखा जाता है।

वह है, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) के समान है

दशमलव लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार 10 है उसे \(\lg(a)\) लिखा जाता है।

वह है, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) के समान है, जहां \(a\) कोई संख्या है।

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

लघुगणक में कई गुण होते हैं। उनमें से एक को "बेसिक लॉगरिदमिक आइडेंटिटी" कहा जाता है और यह इस तरह दिखता है:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

यह गुण सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है। आइए देखें कि वास्तव में यह फार्मूला कैसे आया।

आइए हम लघुगणक की परिभाषा का एक संक्षिप्त विवरण याद करें:

यदि \(a^(b)=c\), तो \(\log_(a)(c)=b\)

अर्थात्, \(b\) \(\log_(a)(c)\) के समान है। फिर हम सूत्र \(a^(b)=c\) में \(b\) के बजाय \(\log_(a)(c)\) लिख सकते हैं। यह \(a^(\log_(a)(c))=c\) निकला - मुख्य लघुगणकीय पहचान।

आप लघुगणक के अन्य गुण पा सकते हैं। उनकी मदद से, आप लघुगणक के साथ अभिव्यक्तियों के मूल्यों को सरल और गणना कर सकते हैं, जिनकी सीधे गणना करना मुश्किल है।

उदाहरण : अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए \(36^(\log_(6)(5))\)

समाधान :

उत्तर : \(25\)

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे लिखें?

जैसा कि ऊपर बताया गया है, कोई भी लघुगणक सिर्फ एक संख्या है। इसका विपरीत भी सत्य है: किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि \(\log_(2)(4)\) दो के बराबर है। फिर आप दो के बजाय \(\log_(2)(4)\) लिख सकते हैं।

लेकिन \(\log_(3)(9)\) भी \(2\) के बराबर है, जिसका अर्थ है कि हम \(2=\log_(3)(9)\) भी लिख सकते हैं। इसी तरह \(\log_(5)(25)\), और \(\log_(9)(81)\), आदि के साथ। यानी यह पता चला है

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ लॉग_(7)(49)...\)

इस प्रकार, यदि हमें आवश्यकता हो, तो हम कहीं भी किसी भी आधार के साथ दो को लघुगणक के रूप में लिख सकते हैं (चाहे वह किसी समीकरण में हो, किसी अभिव्यक्ति में हो, या किसी असमानता में हो) - हम बस आधार वर्ग को एक तर्क के रूप में लिखते हैं।

यह ट्रिपल के साथ भी ऐसा ही है - इसे \(\log_(2)(8)\), या \(\log_(3)(27)\), या \(\log_(4)( के रूप में लिखा जा सकता है) 64)\)... यहां हम आधार को घन में एक तर्क के रूप में लिखते हैं:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ लॉग_(7)(343)...\)

और चार के साथ:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ लॉग_(7)(2401)...\)

और शून्य से एक के साथ:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

और एक तिहाई के साथ:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

किसी भी संख्या \(a\) को आधार \(b\) के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

उदाहरण : अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

समाधान :

उत्तर : \(1\)

लघुगणक क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेषकर लघुगणक वाले समीकरण।

यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! मुझ पर विश्वास नहीं है? अच्छा। अब, केवल 10-20 मिनट में आप:

1. समझें लघुगणक क्या है.

2. घातीय समीकरणों की एक पूरी कक्षा को हल करना सीखें। भले ही आपने उनके बारे में कुछ नहीं सुना हो.

3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।

इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणन तालिका और किसी संख्या को घात तक कैसे बढ़ाया जाए यह जानने की आवश्यकता होगी...

मुझे लगता है कि आपको संदेह है... ठीक है, ठीक है, समय चिह्नित करें! जाना!

सबसे पहले, इस समीकरण को अपने दिमाग में हल करें:

यदि आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।