कंप्यूटर गेम के पात्रों की गतिविधि का अनुकरण. कंप्यूटर विज्ञान पाठ "मोशन मॉडलिंग" वेरलेट एकीकरण विधि

गर्भावस्था

यह ट्यूटोरियल 3डी दृश्य के साथ आता है।

संक्षिप्त परिचय

दरअसल, पिछले पाठों में सिनेमा 4डी में भौतिकी के कुछ पहलुओं का पहले ही उल्लेख किया गया था: उदाहरण के लिए, इस साइट पर पहले पाठ में हमने एक गेंद को एक सपाट सतह पर गिराया था, बाद में सिनेमा 4डी के भौतिक मॉडल पर विचार किया गया था अनंत गति जनरेटर का अनुकरण करने के तरीकों में से एक। लेकिन अब तक ये भौतिकी के केवल आंशिक, अत्यंत सतही और सबसे आदिम पहलू थे।

इस पाठ में, हम सबसे दिलचस्प चीज़ की ओर बढ़ेंगे: एक विशिष्ट उदाहरण के आधार पर सिनेमा 4D में भौतिकी का गहन अध्ययन - हम एक पूरी तरह कार्यात्मक बनाने और कॉन्फ़िगर करने का प्रयास करेंगे (कम से कम सबसे आदिम संस्करण में) कार की गति का भौतिक मॉडलउबड़-खाबड़ इलाकों में, सामान्य शब्दों में उन्हीं सिद्धांतों का अनुकरण करना जिनके द्वारा एक कार वास्तविक दुनिया में चलती है।

वाहन चालन के भौतिक मॉडल का उपयोग करने की आवश्यकता "उबड़-खाबड़ भूभाग पर" शब्दों में निहित है। ज्यादातर मामलों में, ऑटोमोबाइल ट्रैफ़िक का मॉडलिंग करते समय, भौतिक मॉडल का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं होती है: कारें एक प्रक्षेपवक्र के साथ समान रूप से चलती हैं (यह बिल्कुल उसी प्रकार का ट्रैफ़िक प्रवाह है जिसे हमने एक कार मॉडल से बनाना सीखा है, याद है?), व्यावहारिक रूप से बातचीत करते हुए पर्यावरण के साथ इसका कोई संबंध नहीं है, और भौतिकी का सहारा लिए बिना, सरल साधनों का उपयोग करके इसे चित्रित करना आसान और सरल है। हालाँकि, जैसे ही हम उस जटिल इलाके के बारे में बात करते हैं जिस पर कार चल रही है, या कार के असाधारण व्यवहार (बहती, स्किडिंग या टकराव) के बारे में - यहीं पर भौतिकी की बारी आती है, जब तक कि आप और मैं नहीं चाहते मैन्युअल रूप से बड़ी संख्या में कुंजियाँ रखें और बाद के व्यवहार के प्रत्येक सेकंड के लिए त्रि-आयामी मॉडल के व्यवहार वक्रों को संपादित करें (और यह अंतिम रेंडर की दृश्य संभाव्यता की गारंटी के बिना)।

लक्ष्य और उद्देश्य

सबसे पहले, आइए अपने लक्ष्य और उद्देश्य परिभाषित करें। इस पाठ में, हमारा लक्ष्य असमान सतह पर गाड़ी चलाते समय कार के कम या ज्यादा प्रशंसनीय व्यवहार को चित्रित करना है। अधिक विशेष रूप से: कार को धक्कों से टकराते समय उछलना और लुढ़कना चाहिए, और पहियों को गड्ढों पर भी लटका देना चाहिए। और, निःसंदेह, घबराहट पर काबू पाने के दौरान उसे धीमी गति से चलना चाहिए और समतल क्षेत्रों में गति बढ़ानी चाहिए।

यदि यह इलाके के आधार पर कार के त्वरण और मंदी के लिए नहीं होता, तो शायद हम किसी दिए गए प्रक्षेपवक्र के साथ चलते हुए एक अदृश्य "नेता" को कार को "निलंबित" करके अपना कार्य सरल कर देते - इस मामले में, कार होगी बच्चों की स्लेज की तरह, जिसकी गति धावकों के नीचे बर्फ के बहाव की ऊंचाई पर और पिता के कदम की गति पर निर्भर नहीं करती है, जो अपने बेटे को स्लेज पर खींच रहा है। हमारे मामले में, समस्या का यह समाधान आपके और मेरे लिए उपयुक्त नहीं है, यानी हमें कार मॉडल को सबसे अधिक काम करने वाले इंजन से लैस करना होगा। अधिकतम प्रभाव के लिए, हम अपनी कार को रियर-व्हील ड्राइव एसयूवी बनाएंगे।

आएँ शुरू करें?

आइए कार की दिखावट के मॉडलिंग से शुरुआत करें (अर्थात् दिखावट, भौतिक मॉडल नहीं - यह एक ही बात नहीं है!)। हमारी कार में केवल पाँच त्रि-आयामी तत्व होंगे: एक बॉडी और चार पहिये। मुझे आशा है कि आप समझ गए होंगे कि प्रत्येक पहिया मॉडल का एक अलग तत्व होना चाहिए। इसके अलावा, प्रत्येक पहिये को ठोस (अखंड) बनाने की सलाह दी जाती है, यानी एक ही तत्व से, न कि तत्वों के एक सेट से, अन्यथा बाद में आपको बहुत सारी कठिनाइयों का सामना करना पड़ेगा - आपको एक साथ बांधना होगा प्रत्येक पहिये के सभी तत्व भौतिक संशोधक का उपयोग करते हैं, जो, मेरी राय में, समय की पूरी तरह से अनावश्यक बर्बादी होगी। मूल सिद्धांत जिसके आधार पर हमने मॉडल के तत्वों को विभाजित किया है, एसयूवी चलते समय एक दूसरे के सापेक्ष तत्वों के बाद के दृश्य विस्थापन की संभावना है।

कृपया ध्यान दें कि एसयूवी बॉडी के निचले भाग में पहियों के लिए कटआउट हैं - मैं तुरंत आरक्षण कर दूंगा कि उनकी अनुपस्थिति हमारे भविष्य के भौतिक मॉडल के काम में हस्तक्षेप नहीं करेगी (बाद में आप स्वयं देखेंगे), लेकिन देखते समय एनीमेशन में आप पहियों को नीचे से गुजरते हुए देख पाएंगे, जो निश्चित रूप से एक गंभीर दृश्य त्रुटि होगी।

अब सबसे महत्वपूर्ण बात पर चलते हैं: एसयूवी का वास्तविक भौतिक मॉडल बनाना। आप तुरंत मान सकते हैं कि पहियों को शरीर से जोड़ने का समय आ गया है। किसी भी मामले में नहीं! अभी नहीं, बाद में नहीं. और यही कारण है। तथ्य यह है कि यदि आप पहियों को सीधे शरीर से जोड़ते हैं, तो आपको फिर से बहुत सारी कठिनाइयाँ होंगी: सिनेमा 4D का भौतिक मॉडल पहियों को इस प्रकार समझेगा शरीर के अंदर(अर्थात, मानो इसके अंदर फंस गए हों), और हर कीमत पर उन्हें मुक्त करने का प्रयास करेंगे, जिसके परिणामस्वरूप, पहियों के अधिक या कम प्रशंसनीय व्यवहार के बजाय, आप मुख्य रूप से उनके छोटे, बिना रुके कंपन और एक देखेंगे एसयूवी के आसपास की अन्य वस्तुओं के साथ शारीरिक संपर्क पर न्यूनतम प्रतिक्रिया। बेशक, इस समस्या को दृश्य और मॉडल की गतिशीलता के मूल्यों के ठीक-ठीक और समय लेने वाले समायोजन द्वारा पूरी तरह से हल किया जा सकता है, जैसे कि अंतराल जिस पर पहुंचने पर त्रि-आयामी तत्वों की बातचीत शुरू होती है, लेकिन हम आसान रास्ता अपनाएंगे.

हम एक सरल मार्ग अपनाएंगे - और इस बार हम एक दृश्य नहीं, बल्कि कार बॉडी का एक भौतिक मॉडल बनाएंगे। जैसा कि लेखक ने डिज़ाइन किया है, यह सबसे साधारण बहुभुज घन है। आपके मामले में, यह कोई अन्य बहुभुज वस्तु हो सकती है - मुख्य बात यह है कि यह एसयूवी के शरीर के नीचे दिखाई नहीं देती है, और यह एक बहुभुज मॉडल है, जिसके किनारे पहियों से काफी दूर हैं। हम परंपरागत रूप से इस तत्व को भार केंद्र कहेंगे।

आप पूछते हैं, ऐसा क्यों है? यह एक NULL ऑब्जेक्ट या स्प्लाइन क्यों नहीं हो सकता?

क्योंकि हमने जो भार केंद्र बनाया है, परिभाषा के अनुसार और उसके नाम के आधार पर, एसयूवी के भौतिक मॉडल में सक्रिय रूप से भाग लेने का इरादा है। भौतिक विशेषताओं से संपन्न होने के कारण न तो स्प्लिन और न ही NULL वस्तुएं, बाद वाले का उपयोग करती हैं, क्योंकि उनके पास कोई भौतिक सतह नहीं होती है।

तो, एसयूवी का वजन केंद्र बनाया गया है। आइए पहियों को जोड़ने के लिए आगे बढ़ें। भौतिक मॉडल की अनुपस्थिति में, हम उन्हें ऑब्जेक्ट मैनेजर में बस एक क्यूब (या यहां तक कि एक बॉडी) के अधीन कर देंगे, और यह काफी पर्याप्त होगा। हमारे मामले में, पहियों को कठोरता से नहीं जोड़ा जाना चाहिए, लेकिन एक निश्चित भौतिक स्वतंत्रता को ध्यान में रखते हुए, यानी, दृश्य में अन्य वस्तुओं के साथ भौतिक संपर्क होने पर वजन केंद्र के सापेक्ष थोड़ा बदलाव करने की क्षमता (उदाहरण के लिए, असमान के साथ) सड़क की सतह)।

यह इस प्रकार के बन्धन के लिए है कि सिनेमा 4D "कनेक्टर" प्रकार की वस्तुएं प्रदान करता है (अंग्रेजी से "कनेक्ट" - "कनेक्ट करने के लिए")। शीर्ष मेनू पर जाएं, "सिमुलेशन" आइटम देखें, ड्रॉप-डाउन मेनू आइटम में "डायनामिक्स" उप-आइटम चुनें और ड्रॉप-डाउन सबमेनू में "कनेक्टर" पर क्लिक करें।

हम देखते हैं कि कार्यशील विंडो में एक नया ऑब्जेक्ट दिखाई दिया है, और उसका नाम ऑब्जेक्ट मैनेजर में दिखाई दिया है। आइए दाहिने सामने के पहिये से शुरू करें। हम कनेक्टर को उस बिंदु पर रखते हैं जहां पहिया का ज्यामितीय केंद्र स्थित है, जो कनेक्टर का उपयोग करके शरीर से जुड़ा होगा - जबकि पहिया का ज्यामितीय केंद्र स्वयं उस स्थान पर स्थित होना चाहिए जहां पहिया हब का केंद्र है पहिये पर स्थित है.

अब आपको कनेक्टर को कॉन्फ़िगर करने की आवश्यकता है। ऑब्जेक्ट मैनेजर में इसका नाम चुनें और नीचे खुलने वाली प्रॉपर्टी विंडो देखें।

पहला पैरामीटर जिसका मान हमें बदलना चाहिए वह कनेक्शन का प्रकार ("प्रकार" पैरामीटर) है, यह निर्धारित करता है कि पहिया शरीर के सापेक्ष कैसे चलेगा। जाहिर है, हमारे मामले में सबसे उपयुक्त प्रकार का कनेक्शन "व्हील सस्पेंशन" होगा। "ऑब्जेक्ट ए" शब्दों के विपरीत क्षेत्र में, ऑब्जेक्ट मैनेजर से वजन केंद्र का नाम खींचें; नीचे की छवि में इसे "बेस" के रूप में नामित किया गया है - यह है जिस पर आपत्ति हैहम पहिया जोड़ रहे हैं. "ऑब्जेक्ट बी" शब्दों के विपरीत क्षेत्र में, पहिया का नाम खींचें (छवि में "व्हील_एफआर" के रूप में दर्शाया गया है, संक्षिप्त नाम "व्हील फ्रंट राइट" से) - यह है उस पर आपत्ति करोहम इसे आपके साथ संलग्न कर रहे हैं. हम "अटैचमेंट ए" और "अटैचमेंट बी" मापदंडों को नहीं छूएंगे - वे इंगित करते हैं कि वस्तुओं के द्रव्यमान केंद्र कहां हैं, और इस मामले में डिफ़ॉल्ट मान हमारे लिए काफी उपयुक्त हैं।

आइए कनेक्टर को फाइन-ट्यूनिंग करने के लिए आगे बढ़ें।

"टकराव पर ध्यान न दें" सेटिंग तब के लिए है जब आप पहिये और भार केंद्र के बीच भौतिक संपर्क से बचना चाहते हैं - उदाहरण के लिए, यदि कनेक्टर सेटिंग्स पहिये को 45 डिग्री तक विचलित करने की अनुमति देती हैं, लेकिन पहिया अभी भी वस्तु पर टिका हुआ है। छू रहा है। जुड़ा हुआ है, और अधिकतम अनुमत कोण तक विचलित नहीं हो सकता है, तो यह सेटिंग मदद कर सकती है। "स्टीयरिंग एंगल" पैरामीटर अपनी मूल स्थिति से पहिया के विचलन का अधिकतम अनुमत कोण है। "सस्पेंशन रेस्ट पोजीशन" पैरामीटर आराम की स्थिति में पहिये के ऊर्ध्वाधर विस्थापन को निर्धारित करता है (अर्थात, उन क्षणों में जब पहिया किसी भी चीज़ के साथ संपर्क नहीं करता है)। हमारे मामले में, मान -15 सेमी है - यदि आप इसे -25 में बदलते हैं, तो एसयूवी का शरीर पहियों के संबंध में इस समय से भी अधिक ऊंचा हो जाएगा, और ग्राउंड क्लीयरेंस बढ़ जाएगा, लेकिन उसी समय एसयूवी की स्थिरता कम हो जाएगी, क्योंकि वजन केंद्र अधिक होगा - क्या ऐसा नहीं है, यह पहले से ही वास्तविक दुनिया में कारों की स्थिरता के संतुलन जैसा दिखता है? निलंबन की कोमलता "निलंबन कठोरता" पैरामीटर के मान पर निर्भर करती है। मूल्य जितना कम होगा, निलंबन उतना ही नरम होगा। "निलंबन डंपिंग" पैरामीटर निलंबन के "उछाल" को निर्धारित करता है। और अंत में, यदि आप चाहें, तो आप "लोअर लिमिट वाई" और "अपर लिमिट वाई" पैरामीटर को सक्रिय कर सकते हैं और उनके लिए दूरी मान निर्दिष्ट कर सकते हैं जिसके आगे पहिया विचलित नहीं हो सकता है।

कनेक्टर स्थापित करने के बाद, हम उसी ऑपरेशन को दोहराते हैं - एक नए कनेक्टर के निर्माण से शुरू करते हुए - दूसरे फ्रंट व्हील के लिए, इस बार बाएं वाले के लिए। शीर्ष मेनू के माध्यम से यात्रा करने के बजाय, जैसा कि आप शायद पहले ही समझ चुके हैं, आप बस दाहिने सामने के पहिये के कनेक्टर को ढूंढ सकते हैं जिसे हमने पहले बनाया था, और कीबोर्ड पर "Ctrl" कुंजी को अपनी पूरी ताकत से दबाकर रखें, खींचें ऑब्जेक्ट मैनेजर में रिक्त स्थान पर कनेक्टर का नाम - इस ऑपरेशन को पूरा करने के बाद, आपको और मुझे कनेक्टर की एक नई प्रति प्राप्त होगी, जिसमें इसके मूल से सभी सेटिंग्स भी प्राप्त होंगी। मुख्य बात यह याद रखना है कि नए कनेक्टर के गुणों के "ऑब्जेक्ट बी" फ़ील्ड में दाएं पहिये का नाम बाएं पहिये के नाम में बदलना है।

आगे के पहिये ख़त्म हो गए हैं. चलिए पीछे की ओर चलते हैं।

और हमें तुरंत एक ऐसे प्रश्न का सामना करना पड़ता है जो पहली नज़र में कुछ हद तक स्पष्ट नहीं है: हमारी एसयूवी में कितने इंजन होने चाहिए? आप कहते हैं, यह कैसा अजीब सवाल है - बेशक एक।

आइए मैं समझाऊं कि यह प्रश्न किससे संबंधित है। एक वास्तविक कार तंत्र में, यांत्रिक ड्राइव की एक जटिल प्रणाली के माध्यम से टॉर्क को दोनों ड्राइव पहियों पर एक साथ प्रेषित किया जाता है। आपके और मेरे लिए इस ड्राइव सिस्टम को मॉडल करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि हमारे पास एसयूवी की आंतरिक संरचना को देखने का काम नहीं है, जिसका अर्थ है कि इंजन के पूर्ण संचालन के बजाय, हम किसी भी सरलीकृत भौतिक नकल का खर्च उठा सकते हैं। यह, जब तक ड्राइव के पहिये घूमते हैं और कार को आगे की ओर धकेलते हैं।

इस प्रकार, आपके और मेरे पास दो वैकल्पिक समाधान हैं: यदि हमें चित्रित करने की सख्त आवश्यकता है दो ड्राइविंग पहियों का अलग-अलग कर्षण, हम वर्चुअल डिज़ाइन में दो अलग-अलग मोटर जोड़ सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक अपना स्वयं का पहिया घुमाएगा। यदि हमें अलग-अलग कर्षण मॉडल की आवश्यकता नहीं है, तो कार को गति में सेट करने का सबसे प्रभावी और सरल तरीका एक तथाकथित "पहिया जोड़ी" बनाना है - दो पहियों को कसकर एक साथ सीमेंट किया जाता है, जो एक मोटर द्वारा संचालित होते हैं।

इस पाठ में, हम दूसरी, सरल विधि चुनेंगे - एक व्हीलसेट बनाना और उसे एक मोटर से घुमाना। इस चेतावनी के साथ कि, सिद्धांत रूप में, यदि आप चाहें, तो आप इस विधि को जटिल बना सकते हैं - उदाहरण के लिए, व्हीलसेट को नहीं, बल्कि कनेक्टर्स का उपयोग करके ड्राइव व्हील्स के साथ एक्सल को घुमाएं, ताकि बाद वाला स्वतंत्र रूप से आगे और पीछे डगमगा सके, जैसे हमने पहले से ही आगे के पहियों के लिए पहियों को कॉन्फ़िगर कर लिया है हालाँकि, इस पाठ में हम अपने कार्य को अनावश्यक रूप से जटिल नहीं बनाएंगे; यदि आपकी इच्छा हो तो इस पाठ से जुड़े दृश्य के आधार पर स्वयं प्रयोग करें; इसका लिंक पाठ के आरंभ में पाया जा सकता है।

तो, यह तय हो गया है - हम एक व्हीलसेट बनाते हैं: दो पीछे के पहियों का चयन करें - आप कार्यशील विंडो में, आप ऑब्जेक्ट मैनेजर पर जा सकते हैं, जहां यह आपके लिए अधिक सुविधाजनक है - फिर ऑब्जेक्ट मैनेजर में हम किसी पर राइट-क्लिक करें उनमें से और ड्रॉप-डाउन संदर्भ मेनू में हम "कनेक्ट" आइटम +डिलीट ("कनेक्ट और डिलीट") की तलाश करते हैं। उसी संदर्भ मेनू में ऊपर की पंक्ति में एक "कनेक्ट" आइटम है - तत्वों को संयोजित करते समय, यह एक नई वस्तु बनाता है, मर्ज किए गए मॉडल के मूल को अछूता छोड़ देता है; हमें अलग-अलग पिछले पहियों के मूल की आवश्यकता नहीं होगी।

हम देखते हैं कि एसयूवी के पिछले पहिये एक त्रि-आयामी तत्व बन गए हैं - जिसकी हमें आवश्यकता थी।

हम एक और कनेक्टर बनाते हैं - इस बार रियर व्हीलसेट के लिए, और इसकी अखंड प्रकृति को देखते हुए, केवल एक ही है, और फिर हम इसे कॉन्फ़िगर करते हैं। हम इसे, स्वाभाविक रूप से, व्हीलसेट के केंद्र में रखते हैं।

अब एक मोटर बनाएं: शीर्ष मेनू, फिर से "सिमुलेशन" आइटम, ड्रॉप-डाउन मेनू, "डायनामिक्स" उप-आइटम, ड्रॉप-डाउन मेनू में "मोटर" उप-आइटम।

हम बनाई गई मोटर को व्हीलसेट के लिए कनेक्टर के समान स्थान पर रखते हैं - पीछे के पहियों के बीच में (या, वैज्ञानिक रूप से कहें तो, रियर व्हीलसेट के ज्यामितीय केंद्र में), फिर ऑब्जेक्ट मैनेजर में इसका नाम चुनें, आसानी से आगे बढ़ें हमारी नज़र नीचे खुलने वाली मोटर प्रॉपर्टीज़ विंडो पर है और हम एक निर्माण स्थल की ओर बढ़ते हैं।

"ऑब्जेक्ट ए" शब्दों के आगे वाले क्षेत्र में, ऑब्जेक्ट मैनेजर से रियर व्हीलसेट का नाम खींचें (छवि में इसे "बैक व्हील्स" के रूप में दर्शाया गया है)। हम "ऑब्जेक्ट बी" शब्दों के आगे वाले क्षेत्र में कुछ भी नहीं खींचते हैं। "प्रकार" पैरामीटर के लिए, "कोणीय" मान का चयन करें - सब कुछ सही है, क्योंकि एसयूवी को स्थानांतरित करने के लिए, हमारे द्वारा बनाई गई मोटर को ड्राइव व्हीलसेट को एक निश्चित कोण पर लगातार मोड़ना होगा। "मोड" पैरामीटर को "रेगुलेट स्पीड" पर सेट करें। और अंत में, हम "कोणीय लक्ष्य गति" और "टोक़" मापदंडों के लिए संख्यात्मक मान इंगित करते हैं।

आप संभवतः एनीमेशन चलाने और परिणामों की जांच करने के लिए तैयार हैं। यदि ऐसा है, तो यह थोड़ा जल्दी है: आखिरकार, हमने काम का केवल एक हिस्सा पूरा किया है - हमने वस्तुओं पर भौतिक प्रभाव स्थापित किया है, जबकि भौतिक वस्तुएं अभी तक हमारे पास नहीं हैं। और पहिये, आप कहते हैं, और शरीर, और वजन घन? यह सच है, बहुभुज मॉडल बनाए गए हैं, लेकिन भौतिक रूप से प्रभाव की ताकतों के लिए न तो पहिए, न ही शरीर, न ही वजन घन अभी तक मौजूद हैं - जब तक कि गतिशीलता टैग पहियों, शरीर और वजन घन को नहीं सौंपा जाता है। क्योंकि यह त्रि-आयामी दृश्य के बहुभुज तत्व को सौंपा गया डायनेमिक्स टैग है जो इंगित करता है कि यह तत्व गतिशील विशेषताओं वाले अन्य तत्वों के साथ बातचीत में भाग लेता है।

आइए एसयूवी की भौतिक विशेषताओं को स्थापित करना शुरू करें। और साथ ही हम उन तत्वों की एक पदानुक्रमित संरचना बनाते हैं जिनमें से यह शामिल है। सबसे पहले, हम एक समूह बनाते हैं जिसमें कार के सभी तत्व एकत्र किए जाएंगे (यदि यह पहले से नहीं किया गया है) - यह Alt + G कुंजी संयोजन का उपयोग करके हाथ में आने वाले पहले कुछ तत्वों को जोड़कर किया जा सकता है (मैं आपको याद दिला दूं कि, सिनेमा 4डी अनुक्रमिक अलग-अलग कुंजी दबाने में आम तौर पर स्वीकृत विधि के विपरीत, यह संयोजन एक साथ दबाया जाता है!), या एक शून्य ऑब्जेक्ट बनाकर।

इसके बाद, हम बनाए गए समूह को कुछ अद्वितीय, अद्वितीय और अविस्मरणीय शब्द कहते हैं (उदाहरण के लिए, लेखक ने इसे "सीएआर" कहा है) और एसयूवी से संबंधित सभी तत्वों को इसमें भर देते हैं: बॉडी, पहिए, कनेक्टर, वेट क्यूब और मोटर।

अब हम समूह के तत्वों को आसपास के भौतिक मॉडल के साथ भौतिक संपर्क में प्रतिभागियों के रूप में नामित करते हैं: समूह का नाम चुनें, उस पर राइट-क्लिक करें, ड्रॉप-डाउन मेनू में, माउस कर्सर को "डायनामिक्स टैग" आइटम पर ले जाएं और अंतिम सबमेनू से ड्रॉप-डाउन मेनू में, केवल एक आइटम - "डायनामिक्स बॉडी" चुनें।

यदि आप अब तक इस पाठ को ध्यान से पढ़ रहे हैं, तो आप पूछ रहे होंगे: "सीएआर" समूह, एक शून्य वस्तु होने के नाते, भौतिक मॉडल में भौतिक रूप से कैसे बातचीत कर सकता है? यह सही है, NULL ऑब्जेक्ट स्वयं काम नहीं करता है। लेकिन गतिशीलता के गुणों को इसके अधीनस्थ सभी तत्वों द्वारा विरासत में प्राप्त किया जा सकता है, और प्रत्येक तत्व को व्यक्तिगत रूप से गतिशीलता टैग निर्दिष्ट करने की कोई आवश्यकता नहीं है। मुख्य बात ग्रुप डायनेमिक्स टैग को सही ढंग से सेट करना है। कॉन्फ़िगर करें: टैग का चयन करें और नीचे खुलने वाली प्रॉपर्टी विंडो में, "डायनामिक्स" टैब का चयन करें, जिसमें हम "सक्षम" पैरामीटर को सक्रिय करते हैं (जिससे इंटरेक्शन भौतिकी शामिल है) और "डायनामिक" पैरामीटर के लिए "ऑन" मान का चयन करें ( जिससे दृश्य के लिए सामान्य सभी भौतिक नियमों, जैसे गुरुत्वाकर्षण, आदि) में समूह की भागीदारी का संकेत मिलता है...

फिर उसी गुण विंडो में "टकराव" टैब पर जाएं और उन मानों को निर्दिष्ट करें जो समूह तत्वों को गतिशीलता नियमों को प्राप्त करने के लिए मजबूर करते हैं: "इनहेरिट टैग" पैरामीटर के लिए "बच्चों पर टैग लागू करें" ("विरासत"), "व्यक्तिगत तत्वों" के लिए "सभी", "स्वयं टकराव" के लिए एक चेकमार्क और "आकार" ("सर्किट") के लिए "स्वचालित (MoDynamics)"। हम शेष मापदंडों को आपकी पसंद के अनुसार कॉन्फ़िगर करते हैं।

यहां अंततः एसयूवी की बॉडी के बारे में याद करना उचित होगा। हमारे विचार के अनुसार, इसे त्रि-आयामी दृश्य के आसपास के भौतिक मॉडल के साथ भी बातचीत करनी चाहिए - उदाहरण के लिए, अपनी नाक के साथ कार्डबोर्ड बक्से की एक दीवार फेंकें - लेकिन साथ ही इसे अपने समूह के अन्य तत्वों के साथ बातचीत नहीं करनी चाहिए - एक वजन घन और पहियों के साथ. इस परिणाम को प्राप्त करने के लिए, हम इसे वेट क्यूब के अधीन कर देंगे और बॉडी को एक व्यक्तिगत डायनेमिक्स टैग असाइन करेंगे - बिल्कुल कार तत्वों के समूह की तरह - लेकिन बॉडी डायनेमिक्स टैग में हम "डायनामिक" पैरामीटर को बंद कर देंगे (मान सेट करें) इसके लिए "ऑफ़" टैब में "डायनामिक्स" (ध्यान दें कि "सक्षम" पैरामीटर सक्रिय रहता है, अन्यथा शरीर दृश्य के भौतिक मॉडल में पूरी तरह से भाग लेना बंद कर देगा, और एसयूवी के रास्ते में आने वाली कोई भी बाधा स्वतंत्र रूप से शरीर से गुजरें!) बॉडी को सौंपे गए डायनामिक्स टैग के "टकराव" टैब में, आप क्रमशः "इनहेरिट टैग" और "व्यक्तिगत तत्व" पैरामीटर के लिए "कोई नहीं" और "ऑफ" निर्दिष्ट कर सकते हैं - बॉडी में अधीनस्थ तत्व नहीं हैं जिनके लिए शरीर के गतिशील गुणों को स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

जो कुछ बचा है वह त्रि-आयामी दृश्य में आसपास के भौतिक मॉडल को जोड़ना है जिसका बार-बार ऊपर उल्लेख किया गया है - कुछ असमान राहत, जो अंतिम एनीमेशन में गड्ढों के साथ बातचीत के लिए कार की शारीरिक रूप से प्रशंसनीय प्रतिक्रिया को प्रकट करेगी। पाठ से जुड़े दृश्य में, यह टीलों से युक्त एक क्षेत्र के किसी प्रकार का एक मोटा सा उदाहरण है।

अंत में

इस पाठ में, हमने कार की गति के सबसे सरल भौतिक मॉडल के निर्माण का अध्ययन किया - बिना किसी अतिरिक्त प्लगइन और मॉड्यूल के, मानक सिनेमा 4डी टूल का उपयोग करके। पाठ में, जैसा कि आपने देखा, घुमावों के मॉडलिंग पर चर्चा नहीं की गई है; हमने जो मॉडल बनाया है वह केवल एक सीधी रेखा में चलने में सक्षम है - बेशक, जब तक कि पहियों के नीचे का असमान इलाका गति के प्रक्षेप पथ को नहीं बदल देता (जो कि होता है) नीचे दिए गए वीडियो में)। वैसे, लेखक ने जानबूझकर त्रि-आयामी दृश्य के भौतिक मॉडल के मापदंडों को समायोजित किया ताकि एसयूवी की गति अतिरंजित हो, ताकि पहियों और कार बॉडी की बातचीत को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया जा सके। अनियमितताएँ. इसके अलावा, पाठ से जुड़े दृश्य में अन्य तत्व शामिल हैं जिनका पाठ में उल्लेख नहीं किया गया है, जो शूटिंग और प्रकाश व्यवस्था के लिए हैं। इसके बाद, शायद, साइट पर अधिक जटिल भौतिक मॉडलों पर विचार किया जाएगा।

अंतिम परिणाम एनीमेशन के रूप में है.

लेख का संक्षिप्त अनुवाद-रीटेलिंग:।

परिचय

लेख वस्तुओं की गति को मॉडलिंग करने के दृष्टिकोण की मूल बातें बताता है, जो कंप्यूटर गेम में उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है। यह दृष्टिकोण सरल है, इसे लागू करने वाले प्रोग्राम तेज़ी से काम करते हैं और काफी स्थिर होते हैं। इसके अलावा, इसकी मूल बातें समझने के लिए किसी विशेष गणितीय ज्ञान की आवश्यकता नहीं है (हालाँकि इस दृष्टिकोण में स्वयं ठोस गणितीय आधार हैं)। इसकी मदद से, आप ऊतकों, नरम और कठोर निकायों के साथ-साथ कनेक्शन को ध्यान में रखते हुए निकायों की गति का अनुकरण कर सकते हैं।

भौतिक मॉडलिंग, यानी भौतिकी (या बल्कि यांत्रिकी) के नियमों के आधार पर पात्रों की गति का मॉडलिंग, का अध्ययन काफी लंबे समय से किया जा रहा है। साहित्य में विभिन्न दृष्टिकोण प्रस्तावित हैं (देखें आदि), और सटीक और विश्वसनीय एल्गोरिदम बनाने में बहुत प्रयास किए गए हैं। मॉडलिंग गति के लिए सटीक तरीके भौतिकी में लंबे समय से ज्ञात हैं। हालाँकि, गेम और वर्चुअल रियलिटी सिस्टम के लिए, सटीकता सबसे महत्वपूर्ण लाभ नहीं है (हालाँकि जब यह अच्छा होता है)। अधिक महत्वपूर्ण है प्रशंसनीयता (प्रोग्रामर वास्तविकता के मॉडल को जितना चाहे उतना विकृत कर सकता है, जब तक वह खिलाड़ी को मोहित करने में कामयाब होता है) और निष्पादन की गति (एनीमेशन फ्रेम के प्रदर्शन के लिए समय का केवल एक हिस्सा आवंटित किया जाता है) मॉडलिंग आंदोलन के लिए गणना)। भौतिक मॉडलिंग के मामले में, "प्रशंसनीयता" शब्द का तात्पर्य स्थिरता से भी है: एक मॉडलिंग विधि जिसमें शरीर बाधाओं को भेदते हैं या तब उछलते हैं जब उन्हें अभी भी लेटे रहना चाहिए, सफल नहीं माना जा सकता है। इस कार्य में वर्णित विधियों को मुख्य रूप से गणना की संभाव्यता और गति प्राप्त करने के लिए विकसित किया गया था। उनका प्रदर्शन उच्च है और उन्हें लागू करना काफी सरल है (कम से कम अन्य तरीकों की तुलना में जो समान समस्याओं का समाधान करते हैं)।

विचाराधीन विधि पुनरावृत्तीय है, ताकि एक निश्चित चरण से शुरू करके इसे किसी भी समय रोका जा सके। यह गणना सटीकता और खर्च किए गए समय के बीच एक व्यापार-बंद की अनुमति देता है: यदि एक निश्चित मात्रा में त्रुटि को स्वीकार्य माना जाता है, तो कोड को तेजी से चलने की अनुमति दी जा सकती है; इसके अलावा, निष्पादन के दौरान त्रुटि की भयावहता को अनुकूल रूप से चुना जा सकता है। यह विधि टकरावों और आराम करने वाले संपर्कों को भी संभालती है और एक दूसरे के ऊपर रखे गए निकायों के ढेर का मॉडलिंग करती है, जो कई भौतिकी इंजनों के लिए एक समस्या है।

विधि की सफलता कई तकनीकों के लाभों के सही संयोजन और उपयोग पर निर्भर करती है:

वेरलेट संख्यात्मक एकीकरण विधि;
प्रक्षेपण का उपयोग करके टकराव और शरीर में प्रवेश को संभालना;
विश्राम का उपयोग करते हुए एक सरल बाधा समाधानकर्ता;
वर्गमूल सन्निकटन, जिससे गणना की गति बढ़ जाती है;
ठोसों को बंधनों से जुड़े कणों के रूप में मॉडलिंग करना।

हम इनमें से प्रत्येक तकनीक का संक्षिप्त विवरण देंगे। इस दस्तावेज़ को लिखते समय, लेखक ने कार्यान्वयन के लिए आवश्यक जानकारी खोए बिना इसे यथासंभव व्यापक दर्शकों तक पहुंचाने का प्रयास किया। इसका मतलब यह है कि गणितीय स्पष्टीकरण और औचित्य को न्यूनतम रखा जाता है जब तक कि वे विषय को समझने के लिए महत्वपूर्ण न हों। कार्य का लक्ष्य गणितीय सूक्ष्मताओं में फंसे बिना भौतिक मॉडलिंग की काफी उन्नत और मजबूत पद्धति को लागू करने की संभावना प्रदर्शित करना है।

सामग्री निम्नानुसार व्यवस्थित है. धारा 2 वेग का उपयोग किए बिना एक कण प्रणाली के प्रतिनिधित्व का वर्णन करती है। इस प्रतिनिधित्व के कई फायदे हैं, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण कनेक्शन और अन्य बाधाओं के कार्यान्वयन की स्थिरता और आसानी है। धारा 3 बताती है कि टकराव से कैसे निपटा जाता है। फिर, धारा 4 में, कण प्रणाली को कनेक्शन के साथ संवर्धित किया जाता है जो कपड़े की गति को अनुकरण करने की अनुमति देता है। धारा 5 बताती है कि एक कठोर पिंड का मॉडल बनाने के लिए परस्पर जुड़े कणों की एक प्रणाली कैसे स्थापित की जाए। आगे, धारा 6 में, हम दिखाते हैं कि निकायों (विशेष रूप से, टिका) के बीच कनेक्शन कैसे लागू किया जाए। धारा 7 में घर्षण को लागू करने पर विभिन्न संक्षिप्त नोट्स और कुछ अनुभव शामिल हैं।

निम्नलिखित में, वैक्टर को तीरों वाले अक्षरों द्वारा और उनके घटकों को सबस्क्रिप्ट द्वारा दर्शाया जाता है: $\vec(x)=(x_1,x_2,x_3)$ ।

वेरलेट एकीकरण विधि

सिमुलेशन का दिल (यानी कंप्यूटर सिस्टम का उपयोग करके भौतिक प्रक्रिया का अनुकरण करना) एक कण प्रणाली है। आमतौर पर, ऐसी प्रणाली को लागू करते समय, यह माना जाता है कि प्रत्येक कण की दो मुख्य विशेषताएं होती हैं: समन्वय (स्थिति) $\vec(x)$ और गति $\vec(v)$ । फिर, निर्देशांक $\vec(x)^\ prime$ और गति $\vec(v)^\ prime$ के नए मानों की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है

$$ \begin(संरेखित) \vec(x)^\प्राइम &= \vec(x) + \vec(v) \Delta t, \\ \vec(v)^\प्राइम &= \vec(v) + \vec(a) \Delta t, \end(संरेखित) $$

जहां $\Delta t$ समय चरण है, $\vec(a)$ न्यूटन के दूसरे नियम $\vec(f)=m \vec(a)$ के अनुसार गणना की गई त्वरण है (जहां $\vec(f)$ कण पर लगने वाला कुल बल है)। दिए गए सूत्र संख्यात्मक एकीकरण की सबसे सरल विधि - यूलर की विधि को लागू करते हैं।

हम एक कण के दूसरे विवरण पर विचार करेंगे जिसमें वेग का उपयोग नहीं किया गया है: प्रत्येक कण की स्थिति और वेग को संग्रहीत करने के बजाय, हम कण की वर्तमान स्थिति (\vec(x)\) और उसकी पिछली स्थिति को संग्रहीत करेंगे। एकीकरण चरण $\vec(x)^ (*)$ . यह मानते हुए कि एकीकरण चरण स्थिर है, हमें नए मानों की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होते हैं:

$$ \begin(संरेखित) \vec(x)^\प्राइम &= 2\vec(x) - \vec(x)^(*) + \vec(a) \Delta t^2, \\ \vec( x)^(*) &= \vec(x). \end(संरेखित) $$

संख्यात्मक एकीकरण की इस विधि को वेरलेट विधि (देखें) कहा जाता है और आणविक गतिशीलता में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है।

वेरलेट विधि दूसरे व्युत्पन्न की गणना के लिए एक अनुमानित सूत्र पर आधारित है

$$ \frac(\Delta^2 \vec(x))(\Delta t^2) = \frac( \frac(\vec(x)^\ prime - \vec(x))(\Delta t) - \frac(\vec(x) - \vec(x)^(*))(\Delta t) )(\Delta t) = \frac(\vec(x)^\ prime - 2\vec(x) + \vec(x)^(*))(\Delta t^2) = \vec(a) $$

यह सन्निकटन सबसे सटीक नहीं है (संख्यात्मक एकीकरण के अधिक उन्नत तरीके हैं), लेकिन यह स्थिर है और तेज़ी से काम करता है। कारक 2 को घटाकर, मान लीजिए, 1.99 करके, हम एक ड्रैग बल का परिचय देते हैं जो सिस्टम की ऊर्जा को नष्ट कर देता है। यह भी ध्यान दें कि $\vec(x)-\vec(x)^(*)$ अंतिम एकीकरण चरण ($\vec(v)\Delta t$ ) के दौरान तय की गई दूरी है।

एकीकरण चरण के अंत में, प्रत्येक कण $\vec(x)$ की वर्तमान स्थिति को अगले चरण में उपयोग के लिए संबंधित चर $\vec(x)^(*)$ में संग्रहीत किया जाता है। यदि सिस्टम में कई कण हैं, तो उनके निर्देशांक की प्रतिलिपि बनाने के बजाय पॉइंटर पुनर्निर्देशन का उपयोग करना सुविधाजनक है।

ऊपर वर्णित विचारों को लागू करने वाला कोड इस तरह दिख सकता है (वेक्टर3 वर्ग में वेक्टर पर सभी आवश्यक ऑपरेशन शामिल हैं)

क्लास पार्टिकलसिस्टम (वेक्टर3 m_x [ NUM_PARTICLES ]; // वर्तमान पदवेक्टर3 m_oldx [ NUM_PARTICLES ]; // पुरानी स्थितिवेक्टर3 m_a [ NUM_PARTICLES ]; // कुल बल (त्वरण)वेक्टर3 m_vगुरुत्वाकर्षण ; // ग्रेविटी फ्लोट m_fTimeStep; सार्वजनिक: शून्य टाइमस्टेप(); निजी: शून्य वेरलेट(); शून्य संतुष्टि बाधाएं(); शून्य संचय बल(); // (हम कंस्ट्रक्टर, फील्ड इनिशियलाइज़ेशन आदि को छोड़ देंगे) }; // वेरलेट विधि द्वारा एकीकरण चरण void पार्टिकलसिस्टम::वेरलेट() ( for (int i = 0 ; i< NUM_PARTICLES ; i ++ ) { Vector3 & x = m_x [ i ]; Vector3 temp = x ; Vector3 & oldx = m_oldx [ i ]; Vector3 & a = m_a [ i ]; x += x - oldx + a * fTimeStep * fTimeStep ; oldx = temp ; } } // प्रत्येक कण पर कार्यरत बलों का योगशून्य कणप्रणाली::संचयबल() ( // सभी कण गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में हैंके लिए (int i = 0 ; i< NUM_PARTICLES ; i ++ ) m_a [ i ] = m_vGravity ; } // सुपरइम्पोज़्ड कनेक्शन के अनुपालन की जाँच करनाशून्य पार्टिकल सिस्टम::संतुष्ट बाधाएं() ( // अब हमें इसकी परवाह नहीं है कि इसे कैसे लागू किया जाता है।) // गणना चरण शून्य पार्टिकल सिस्टम :: टाइमस्टेप () (एक्यूमुलेटफोर्सेस (); वेरलेट (); संतुष्ट बाधाएं (); )

अब तक, ऊपर वर्णित सभी चीजें बहुत प्रभावशाली नहीं लगती हैं। एक बार जब हम बाधाओं के उपयोग और कठोर निकायों के विवरण पर आगे बढ़ेंगे तो इस दृष्टिकोण के फायदे स्पष्ट हो जाएंगे।

$\vec(a)=(0,0,1)$ और प्रारंभिक शर्तें $\vec(x)=(1,0,0)$ , $\vec(x)^*= सेट करने का प्रयास करें (0,0,0)$. हाथ से कुछ चरणों की गणना करें और देखें कि क्या होता है।

प्रक्षेपण का उपयोग करके टकराव और संपर्क प्रबंधन

दंड कार्यों (दंड-आधारित योजनाओं) के उपयोग के आधार पर निकायों के बीच संपर्कों को संसाधित करने के तरीके सुझाव देते हैं कि संपर्क के बिंदु पर, जहां निकायों का एक दूसरे में प्रवेश संभव है, आपको इस संपर्क को अनुकरण करने के लिए एक स्प्रिंग डालने की आवश्यकता है। इस दृष्टिकोण को लागू करना आसान है, लेकिन इससे कई गंभीर समस्याएं पैदा होती हैं। विशेष रूप से, स्प्रिंग की कठोरता का चयन करना बहुत कठिन है, ताकि एक ओर, वस्तुएं एक-दूसरे में बहुत गहराई तक न घुसें, और दूसरी ओर, ताकि सिस्टम स्प्रिंग की कठोरता के कारण स्थिरता न खोए। बहुत ऊँचा होना. टकराव प्रसंस्करण के लिए एक और दृष्टिकोण यह है कि जब टकराव का पता चलता है, तो समय को "रिवाइंड" किया जाता है, पिंडों के संपर्क के सटीक क्षण तक (उदाहरण के लिए, बाइनरी खोज का उपयोग करके), फिर पिंडों की स्थिति और वेग को ठीक किया जाता है (भौतिकी पाठ्यक्रम से ज्ञात टकरावों के सूत्रों का उपयोग करके), जिसके बाद इस समय से गणना फिर से शुरू होती है। और इसलिए - प्रत्येक टक्कर के लिए. यदि आप वास्तविक समय में कई पिंडों की गति का अनुकरण करने की योजना बनाते हैं तो यह बहुत किफायती दृष्टिकोण नहीं है।

यहां हम एक अलग दृष्टिकोण देखेंगे। हम उन कणों को बाधा के बाहर प्रक्षेपित करेंगे जो बाधा में घुस गए हैं। प्रक्षेपण से हमारा तात्पर्य एक कण की गति से है, जो इतना छोटा हो कि उसे बाधा से मुक्त कर सके। आमतौर पर, इसमें कण को संपर्क सतह (बाधा) की सामान्य दिशा में ले जाना शामिल है - इसलिए "प्रक्षेपण" शब्द की उत्पत्ति हुई।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें. मान लीजिए कि हमारी "दुनिया" आकार (0,0,0)--(1000,1000,1000) के घन के अंदर है और, इसके अलावा, कणों का पुनर्स्थापन गुणांक शून्य है (यानी, सतह से टकराने वाले कण) घन इससे प्रतिबिंबित नहीं होते हैं)। यह सुनिश्चित करने के लिए कि कणों के निर्देशांक घन के अंदर बने रहें, हम निम्नलिखित कोड लिखते हैं जो प्रक्षेपण को लागू करता है:

// कणों को घन के अंदर रहने के लिए बाध्य करता हैशून्य पार्टिकल सिस्टम :: संतुष्ट बाधाएं () (के लिए (int i = 0; i< NUM_PARTICLES ; i ++ ) { // सभी कणों के लिएवेक्टर3 और x = m_x [i]; x = vmin(vmax(x, वेक्टर3(0, 0, 0)), वेक्टर3(1000, 1000, 1000)); ) )

(vmax अधिकतम की गणना करने का घटकवार संचालन है, और vmin न्यूनतम के समतुल्य गणना है)। यह कोड टकराव और आराम करने वाले संपर्कों दोनों को संभालता है (अर्थात, ऐसे मामले जहां एक बिंदु घन की सतह पर आराम पर होता है), और घन के अंदर सभी कणों की स्थिति को संग्रहीत करता है। वेरलेट विधि की सुंदरता यह है कि गति मानों में उचित परिवर्तन स्वचालित रूप से किए जाते हैं। टाइमस्टेप() के बाद के कॉल में, गति को समायोजित किया जाएगा ताकि इसमें क्यूब की सतह पर लंबवत कोई घटक न हो (जो शून्य पुनर्प्राप्ति कारक से मेल खाता हो)। चित्र 1 देखें.

इन गणनाओं को स्वयं करने का प्रयास करें - और आप देखेंगे कि घन की दीवार के लंबवत दिशा में गति को शून्य करने की कोई आवश्यकता नहीं है - यह "स्वयं" होता है। यदि हम खुद को मॉडलिंग कणों तक सीमित रखते हैं तो यह मामूली लग सकता है, लेकिन जैसे ही हम बांड और जुड़े कठोर निकायों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं, वेरलेट विधि के मुख्य लाभ दिखाई देंगे। यानी अभी.

विश्राम विधि का उपयोग करके एक साथ लगाए गए कई कनेक्शनों का प्रसंस्करण

एक कपड़ा मॉडल आमतौर पर स्प्रिंग्स द्वारा जुड़े कणों की एक प्रणाली होती है। ऐसी प्रणाली के लिए विभेदक समीकरण बनाना कठिन नहीं है। लेकिन इसे बनाना एक बात है और हल करना बिलकुल दूसरी बात है। साथ ही, पेनल्टी फ़ंक्शंस का उपयोग करते समय हमारे सामने आने वाली सभी समस्याएं सामने आती हैं: बहुत कठोर स्प्रिंग्स के कारण समीकरणों की प्रणाली स्वयं "कठोर प्रणाली" बन जाती है, और यदि संख्यात्मक एकीकरण के सबसे सरल तरीकों का उपयोग किया जाता है तो यह अस्थिरता की ओर जाता है। धीमा काम, यदि अधिक उन्नत तरीकों का उपयोग किया जाता है, तो दोनों ही मामलों में सिरदर्द की गारंटी है। इसके विपरीत, बहुत नरम स्प्रिंग्स के कारण कपड़ा अवास्तविक रूप से लचीला दिखाई देगा।

हालाँकि, सबसे दिलचस्प बात तब होती है जब स्प्रिंग की कठोरता को अनंत तक निर्देशित किया जाता है: सिस्टम स्थिर रहते हुए भी अचानक एक बहुत ही सरल (और तेज़) एकीकरण विधि के लिए भी हल करने योग्य हो जाता है। लेकिन इससे पहले कि हम कपड़े के बारे में बात करना जारी रखें, आइए पिछले उदाहरण पर वापस जाएँ। जिस घन के साथ हम काम कर रहे थे उसे एकतरफा बाधाओं (अर्थात, असमानताओं के रूप में लिखी गई बाधाएं) के संग्रह के रूप में सोचा जा सकता है - घन के प्रत्येक पक्ष के लिए एक - जिसे पूरे सिमुलेशन में किया जाना चाहिए।

\begin(समीकरण) x_i \geq 0 \ \text(and)\ x_i \leq 1000 \quad (i=1,2,3). \लेबल(eq:C1) \end(समीकरण)

विचारित उदाहरण में, बांड द्वारा लगाए गए प्रतिबंधों का पालन करने के लिए (ताकि कण घन के अंदर रहें), यह घन की सतह पर "चढ़े हुए" कणों के निर्देशांक को प्रोजेक्ट करने के लिए पर्याप्त है। यह विचार निम्नलिखित छद्मकोड में वर्णित है:

// बाधाओं को लागू करने के लिए स्यूडोकोड (1) i = 1, 2, 3 के लिए सेट xi = न्यूनतम (अधिकतम (xi, 0), 1000)

इसे इस तरह सोचा जा सकता है जैसे कि कण और बाधा की सतह एक असीम रूप से कठोर स्प्रिंग से जुड़ी हुई है, जो लम्बी होने पर तुरंत अपनी सामान्य लंबाई, शून्य के बराबर, पर वापस आ जाती है।

आइए इसमें 100 लंबाई की एक छड़ जोड़कर अपने मॉडल का विस्तार करें। ऐसा करने के लिए, हमें दो कणों ($\vec(x)_1$ और $\vec(x)_2$ ) को परिभाषित करने की आवश्यकता है और इसकी आवश्यकता है उनके बीच की दूरी हमेशा 100 के बराबर होती है। इस द्विपक्षीय संबंध के लिए गणितीय संकेतन है:

\bec(समीकरण) |\vec(x)_2-\vec(x)_1| = 100. \लेबल(eq:C2) \end(समीकरण)

भले ही समय के प्रारंभिक क्षण में कणों की स्थिति शर्तों \eqref(eq:C2) को संतुष्ट करती हो, तो अगले क्षण में ये स्थितियाँ संभवतः संतुष्ट नहीं होंगी। सही दूरी मान प्राप्त करने के लिए, हम कणों को स्थानांतरित करते हैं, उन्हें \eqref(eq:C2) द्वारा वर्णित समाधानों के सेट पर प्रक्षेपित करते हैं। ऐसा करने के लिए, कण या तो एक दूसरे से दूर चले जाते हैं या करीब खींचे जाते हैं, यह इस पर निर्भर करता है कि संख्यात्मक एकीकरण द्वारा प्राप्त दूरी छोटी है या बड़ी। चित्र 2 देखें.

उस दूरी को ठीक करने के लिए कणों को ले जाना जो बाधा को संतुष्ट नहीं करती है \eqref(eq:C2)

शर्तों को लागू करने वाला स्यूडोकोड \eqref(eq:C2):

डेल्टा = x2 - x1 ; डेल्टालेंथ = sqrt(डेल्टा * डेल्टा); अंतर = (डेल्टालेंथ - रेस्टलेंथ) / डेल्टालेंथ; X1 -= डेल्टा * 0.5 * अंतर; x2 += डेल्टा * 0.5 * अंतर;

ध्यान दें कि डेल्टा एक वेक्टर है, और डेल्टा*डेल्टा एक अदिश उत्पाद है। यह छद्मकोड कणों को अलग कर देगा या उनके बीच आवश्यक दूरी प्राप्त करने के लिए उन्हें स्थानांतरित कर देगा। फिर, हम इसे एक असीम रूप से कठोर स्प्रिंग के रूप में सोच सकते हैं जो तुरंत 100 की अपनी सामान्य लंबाई पर लौट आता है।

अब मान लीजिए कि, शर्त \eqref(eq:C2) के अलावा, शर्त \eqref(eq:C1) भी संतुष्ट होनी चाहिए (कण घन के अंदर होने चाहिए)। ऐसा हो सकता है कि \eqref(eq:C2) स्थिति को संतुष्ट करने का प्रयास करते समय, छड़ के कुछ कण \eqref(eq:C1) की आवश्यकताओं का उल्लंघन करेंगे (छड़ घन से बाहर निकल जाएगी)। बेशक, आप \eqref(eq:C1) को क्रियान्वित करके आपत्तिजनक कण को फिर से घन की सतह पर प्रक्षेपित कर सकते हैं, लेकिन तब \eqref(eq:C2) टूट जाएगा।

\eqref(eq:C1) और \eqref(eq:C2) की आवश्यकताओं को एक साथ संतुष्ट करने के लिए हमें समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है। हम ऐसा करेंगे, लेकिन सीधे तौर पर नहीं: हम बस छद्म कोड के दो टुकड़ों को एक के बाद एक निश्चित संख्या में दोहराएंगे, इस उम्मीद में कि परिणाम उपयोगी होगा। यह दृष्टिकोण निम्नलिखित कोड में कार्यान्वित किया गया है:

//एक घन के अंदर एक छड़ के मॉडलिंग का कार्यान्वयनशून्य पार्टिकल सिस्टम :: संतुष्ट बाधाएं () (के लिए (int j = 0 ; j< NUM_ITERATIONS ; j ++ ) { // पहले हम शर्तें पूरी करते हैं (1)के लिए (int i = 0 ; i< NUM_PARTICLES ; i ++ ) { // सभी कणों के लिएवेक्टर3 और x = m_x [i]; x = vmin(vmax(x, वेक्टर3(0, 0, 0)), वेक्टर3(1000, 1000, 1000)); ) //अब चलो संतुष्ट करें (2)वेक्टर3 और x1 = m_x [ 0 ]; वेक्टर3 और x2 = m_x [1 ]; वेक्टर3 डेल्टा = x2 - x1 ; फ्लोट डेल्टालेंथ = sqrt (डेल्टा * डेल्टा); फ्लोट अंतर = (डेल्टालेंथ - रेस्टलेंथ) / डेल्टालेंथ; X1 -= डेल्टा * 0.5 * अंतर; x2 += डेल्टा * 0.5 * अंतर; ) )

(कण आरंभीकरण यहां छोड़ दिया गया है)। यद्यपि "गूंगा" दोहराव की यह विधि कुछ हद तक अनुभवहीन लग सकती है, फिर भी यह उस समाधान पर केंद्रित है जिसे हम ढूंढ रहे हैं! गणित में इसे कहा जाता है विश्राम विधि(या जैकोबी, या गॉस-सीडेल - यह इस पर निर्भर करता है कि आप इसे वास्तव में कैसे करते हैं, देखें)। यह व्यक्तिगत बाधाओं को क्रमिक रूप से संतुष्ट करके काम करता है और एक वैश्विक विन्यास में परिवर्तित होता है जो सभी बाधाओं को एक साथ संतुष्ट करता है। यह विधि उन स्थितियों में बहुत उपयोगी है जहां कई स्वतंत्र बाधाओं को एक साथ संतुष्ट करना पड़ता है।

आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या मॉडल की जा रही प्रणाली और गति की प्रकृति पर निर्भर करती है। आप पिछली पुनरावृत्ति के सापेक्ष हुए परिवर्तन को मापकर इस संख्या के चुनाव को अनुकूलनीय बना सकते हैं। यदि हम पुनरावृत्तियों को बहुत पहले ही रोक देते हैं, तो परिणाम पर्याप्त सटीक नहीं होगा, लेकिन, वेरलेट की विधि के लिए धन्यवाद, यह संभवतः अगले फ्रेम में थोड़ा बेहतर होगा, और अगले फ्रेम में और भी बेहतर होगा, आदि। इसका मतलब है कि विश्राम को भी रोकना शीघ्रता एनीमेशन को पूरी तरह से नष्ट नहीं करेगी, बल्कि चित्र को और अधिक झटकेदार बना देगी।

कपड़ा मॉडलिंग

तथ्य यह है कि रॉड-प्रकार की बाधा को बहुत कठोर स्प्रिंग के रूप में सोचा जा सकता है, इस प्रकार की बाधा को ऊतक मॉडलिंग के लिए उपयोग करने की अनुमति मिलती है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि कपड़े को त्रिकोणों से युक्त एक हेक्सागोनल जाल द्वारा दर्शाया गया है। प्रत्येक जाल नोड एक कण का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रत्येक चेहरा कणों को जोड़ने वाला एक रॉड-प्रकार का कनेक्शन है (एक रॉड की सामान्य लंबाई उन नोड्स के बीच की दूरी के बराबर होती है जो इसे जोड़ती है)।

HandleConstraints() फ़ंक्शन, जो बाधाओं को संसाधित करने के लिए ज़िम्मेदार है, सभी बाधाओं पर छूट का उपयोग करता है। विश्राम चक्र को कई बार दोहराया जा सकता है। हालाँकि, ज्यादातर मामलों में एक अच्छा दिखने वाला एनीमेशन पाने के लिए सिर्फ एक पुनरावृत्ति ही पर्याप्त है। इसका मतलब यह है कि फैब्रिक सिमुलेशन की समय खपत मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि $N$ वर्गमूल और $N$ विभाजन संचालन करने में कितना समय लगता है (जहां $N$ जाल अनुकरण में किनारों की संख्या है कपड़ा) . नीचे हम आपको वर्गमूल गणना से छुटकारा पाने की एक तरकीब दिखाएंगे। लेकिन पहले, आइए देखें कि बाधा प्रसंस्करण कैसा दिखता है।

// फैब्रिक मॉडलिंग का कार्यान्वयनसंरचना बाधा (इंट पार्टिकलए, पार्टिकलबी; फ्लोट रेस्टलेंथ;); // मान लें कि m_constraints सरणी पहले से मौजूद हैशून्य पार्टिकल सिस्टम :: संतुष्ट बाधाएं () (के लिए (int j = 0 ; j< NUM_ITERATIONS ; j ++ ) { for (int i = 0 ; i < NUM_CONSTRAINTS ; i ++ ) { Constraint & c = m_constraints [ i ]; Vector3 & x1 = m_x [ c . particleA ]; Vector3 & x2 = m_x [ c . particleB ]; Vector3 delta = x2 - x1 ; float deltalength = sqrt (delta * delta ); float diff = (deltalength - c . restlength ) / deltalength ; x1 -= delta * 0.5 * diff ; x2 += delta * 0.5 * diff ; } // कपड़े को बनाने वाले कणों में से एक को मूल से जोड़ें m_x [ 0 ] = वेक्टर3 ( 0 , 0 , 0 ); ) )

अब आइए चर्चा करें कि वर्गमूल गणना से कैसे छुटकारा पाया जाए। यदि सभी प्रतिबंध पूरे हो गए हैं (अच्छी तरह से, या लगभग पूरे हो गए हैं), तो, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, वर्गमूल की गणना का परिणाम $r$ - कनेक्शन की सामान्य लंबाई (रॉड) की ओर जाता है। हम इस तथ्य का उपयोग वर्गमूल फ़ंक्शन के लिए अनुमानित अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए करते हैं। आइए फ़ंक्शन $\sqrt(x)$ को लंबाई $r$ के पड़ोस में इसके टेलर श्रृंखला विस्तार से पहले क्रम के शब्द से बदलें (यह न्यूटन-रैपसन विधि के एक पुनरावृत्ति के बराबर है) प्रारंभिक सन्निकटन $r$). कुछ परिवर्तनों के बाद, हमें निम्नलिखित छद्मकोड मिलता है:

// sqrt सन्निकटन का उपयोग करके बाधाओं (2) को लागू करने के लिए छद्म कोडडेल्टा = x2 - x1 ; डेल्टा * = विश्राम लंबाई * विश्राम लंबाई / (डेल्टा * डेल्टा + विश्राम लंबाई * विश्राम लंबाई ) - 0.5 ; X1 -= डेल्टा ; x2 += डेल्टा ;

ध्यान दें कि यदि दूरी पहले से ही बाधाओं को संतुष्ट करती है (यानी, यदि |delta|=restlength), तो हमें (0,0,0) के बराबर डेल्टा मिलेगा और कोई परिवर्तन नहीं होगा।

अब हम प्रत्येक संबंध को संसाधित करते समय वर्गमूलों का उपयोग नहीं करते हैं। इसके अतिरिक्त, विश्रामलंबाई * विश्रामलंबाई के वर्ग की गणना पहले से की जा सकती है। प्रति फ्रेम $N$ डिवीजनों को निष्पादित करने (और संबंधित मेमोरी तक पहुंचने) तक समय लेने वाले ऑपरेशन कम हो जाते हैं - ऐसी किसी भी चीज़ के बारे में सोचना मुश्किल है जो काफी तेजी से चलती है।

जरूरी नहीं कि बाधाएं एक पुनरावृत्ति में संतुष्ट हों, लेकिन, वेरलेट विधि के लिए धन्यवाद, सिस्टम जल्दी से सही स्थिति में परिवर्तित हो जाता है (जब सभी बाधाएं संतुष्ट हो जाती हैं) - वस्तुतः कुछ फ़्रेमों में। वास्तव में, केवल एक पुनरावृत्ति और वर्गमूल सन्निकटन का उपयोग समीकरणों की प्रणाली की कठोरता की समस्या को समाप्त कर देता है, जो आवश्यक रूप से बिल्कुल कठोर छड़ों वाली प्रणाली में दिखाई देगी।

आसन्न शीर्षों के जोड़े के बीच पिन लिंक रखकर, ऊतक मॉडलिंग एल्गोरिदम को प्लांट मॉडलिंग तक बढ़ाया जा सकता है।

इस खंड में चर्चा किए गए कोड और समीकरण मानते हैं कि सभी कणों का द्रव्यमान समान है। अलग-अलग द्रव्यमान वाले कणों को एक ही तरह से मॉडल किया जा सकता है, लेकिन परिणामी समीकरण थोड़े अधिक जटिल होंगे।

इस प्रकार, विभिन्न द्रव्यमान वाले कणों के लिए बाधा \eqref(eq:C2) का अनुपालन निम्नलिखित छद्मकोड द्वारा कार्यान्वित किया जाता है:

// बाधाओं को लागू करने के लिए छद्म कोड (2)डेल्टा = x2 - x1 ; डेल्टालेंथ = sqrt(डेल्टा * डेल्टा); अंतर = (डेल्टालेंथ - रेस्टलेंथ ) / (डेल्टालेंथ * (invmass1 + invmass2 )); X1 -= invmass1 * डेल्टा * अंतर; x2 += invmass2 * डेल्टा * अंतर;

यहां invmass1 और invmass2 कणों $\vec(x)_1$ और $\vec(x)_2$ के व्युत्क्रम द्रव्यमान को संग्रहीत करते हैं। यदि हम चाहते हैं कि कण स्थिर रहे, तो हमें इसे invmass = 0 पर सेट करना होगा, जो अनंत द्रव्यमान से मेल खाता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, गणनाओं में तेजी लाने के लिए अनुमानित वर्गमूल गणनाओं का उपयोग किया जा सकता है।

एसएनएफ

कठोर पिंडों की गति के समीकरण आधुनिक कंप्यूटर के आविष्कार से बहुत पहले प्रस्तावित किए गए थे। उन दिनों कोई भी उपयोगी परिणाम प्राप्त करने के लिए गणितज्ञों को सूत्रों का रूपांतरण करना पड़ता था। इससे जड़ता टेंसर, कोणीय गति, बल का क्षण, अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए चतुर्भुज आदि जैसी उपयोगी अवधारणाओं और उपकरणों का उदय हुआ। इस बीच, बड़ी मात्रा में डेटा को डिजिटल रूप में संसाधित करने की क्षमता अब गणना करने की अनुमति देती है। सरल तत्वों के लिए, और कुछ मामलों में ऐसी गणनाओं को अधिक लाभदायक भी बनाते हैं। त्रि-आयामी ठोस के मामले में, इसका मतलब यह है कि ठोस को चार कणों और छह बंधनों के साथ मॉडल करना सुविधाजनक हो सकता है (स्वतंत्रता की डिग्री की सही संख्या देते हुए: $4\cdot 3 - 6 = 6$)। इससे बहुत सी चीज़ें सरल हो जाती हैं, और आगे हम यही करेंगे।

एक चतुष्फलक पर विचार करें जिसके चारों शीर्षों पर एक-एक कण रखा हुआ है। इसके अतिरिक्त, टेट्राहेड्रोन के छह किनारों में से प्रत्येक पिछले अनुभाग में चर्चा की गई बार-प्रकार की बाधा का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक ठोस शरीर का अनुकरण करने के लिए काफी है। टेट्राहेड्रोन को ऊपर चर्चा किए गए क्यूब के अंदर रखा जा सकता है, और वेरलेट इंटीग्रेटर इसकी सही गति सुनिश्चित करेगा। संतुष्टी बाधाएं () फ़ंक्शन को दो बातों का ध्यान रखने की आवश्यकता है: 1) कि कण घन के अंदर रहें, और 2) कि छह स्टेम बाधाओं का सम्मान किया जाए। यह पहले की तरह, विश्राम का उपयोग करके किया जा सकता है: आमतौर पर 3-4 पुनरावृत्तियाँ पर्याप्त होती हैं। कुशल वर्गमूल गणनाओं के बारे में भी न भूलें।

हालाँकि, यह स्पष्ट है कि टकराव के दौरान, ठोस पिंड "कंकाल" टेट्राहेड्रोन से अलग व्यवहार करेंगे। एक और समस्या है: अब तक हमने एक कठोर पिंड और आसपास की "दुनिया" के बीच टकराव के तथ्य का पता केवल शीर्षों के बारे में जानकारी के आधार पर लगाया था: यदि कोई शीर्ष घन के बाहर था, तो इसे फिर से अंदर प्रक्षेपित किया गया था। यह तब तक बढ़िया काम करता है जब तक "दुनिया" का अंदरूनी हिस्सा उत्तल है। यदि यह मामला नहीं है, तो टेट्राहेड्रोन "दुनिया" की सीमा को भेदने में सक्षम होगा, तब भी जब इसका कोई भी शीर्ष इस सीमा को पार नहीं करेगा (चित्र 3 देखें, जहां त्रिकोण टेट्राहेड्रोन का एक सपाट एनालॉग है)। आइए देखें कि इस समस्या का समाधान कैसे किया जाता है।

सबसे पहले, आइए समस्या का एक सरल संस्करण देखें। आइए एक छड़ लें, इसे एक घन "दुनिया" में रखें और मान लें कि घन में अंदर की ओर इशारा करते हुए एक छोटा सा उभार है। अब छड़ "दुनिया" की सीमाओं को पार कर सकती है, हालाँकि इसके सिरों पर दोनों कण घन के अंदर रहते हैं (चित्र 4)। हम टकराव का पता लगाने वाले तंत्र को विकसित करने की पेचीदगियों में नहीं जाएंगे, क्योंकि यह एक पूरी तरह से अलग विज्ञान है। आइए इसके बजाय मान लें कि एक टकराव का पता लगाने वाला सबसिस्टम पहले से मौजूद है और अपना काम कर रहा है: दो टकराने वाली वस्तुओं में से प्रत्येक के लिए प्रवेश की गहराई और प्रवेश बिंदुओं के निर्देशांक का निर्धारण करना। प्रवेश बिंदु और प्रवेश गहराई की एक परिभाषा है: प्रवेश गहराई $d_p$ वह न्यूनतम दूरी है जिससे टकराने से बचने के लिए दो वस्तुओं को उपयुक्त दिशा में अलग किया जाना चाहिए। प्रवेश बिंदु प्रत्येक वस्तु पर वे बिंदु होते हैं जहां ऊपर उल्लिखित स्थानांतरण होने के बाद वस्तुएं एक-दूसरे को स्पर्श करती हैं।

चित्र 4 पर एक और नज़र डालें। यहां, संख्यात्मक एकीकरण चरण के बाद, छड़ी सीमा के माध्यम से घुस गई। टकराव डिटेक्टर ने दो प्रवेश बिंदुओं की पहचान की: $\vec(p)$ और $\vec(q)$ । चित्र 4a में, बिंदु $\vec(p)$ वास्तव में अंतिम कणों में से एक के साथ मेल खाता है: $\vec(p)=\vec(x)_1$ । चित्र 4बी में, $\vec(p)$ $\vec(x)_1$ और $\vec(x)_2$ के बीच रॉड की लंबाई के 1/4 की दूरी पर स्थित है। (\vec( x)_1\) . दोनों मामलों में, बिंदु $\vec(p)$ रॉड पर स्थित है और इसलिए, इसके निर्देशांक को बिंदु $\vec(x)_1$ और \ के निर्देशांक के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। (\vec(x) _2\) : $\vec(p) = c_1\vec(x)_1 + c_2\vec(x)_2$ऐसा कि $c_1 + c_2 = 1$ . पहले मामले में, $c_1 = 1$ , $c_2 = 0$ , और दूसरे में - $c_1 = 0.75$ और $c_2 = 0.25$ . ये मान हमें बताते हैं कि संबंधित कणों को कितनी दूर तक ले जाने की आवश्यकता है।

छड़ की स्थिति को सही करने के लिए, इसे इस प्रकार घुमाएँ कि बिंदु $\vec(p)$ $\vec(q)$ से मेल खाए। ऐसा करने के लिए, हम कणों $\vec(x)_1$ और $\vec(x)_2$ को $\vec(p)$ और  को जोड़ने वाले वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट दिशा में ले जाते हैं। vec(q)\ ): .

पहले मामले में (चित्र 4ए), हम बस $\vec(x)_1$ को उस क्षेत्र के बाहर प्रक्षेपित करते हैं जहां ऐसा होना "निषिद्ध" है, जैसा कि हमने पहले किया था (दिशा में $\vec(q) )$ ). यह पर्याप्त होगा, और निर्देशांक $\vec(x)_2$ को बिल्कुल भी बदलने की आवश्यकता नहीं है। दूसरे मामले में (चित्र 4 बी), बिंदु $\vec(x)_1$ को भी $\vec(x)_2$ से अधिक दूरी पर ले जाने की आवश्यकता है, क्योंकि बिंदु $\vec (p)$ $\vec(x)_1$ के करीब स्थित है (वास्तव में, चूँकि $\vec(p) = 0.75\vec(x)_1 + 0.25\vec(x)_2$, तो हर बार जब हम $\vec(x)_1$ को 0.75 से आगे बढ़ाते हैं, तो हम $\vec(x)_2$ को केवल 0.25 से आगे बढ़ाते हैं। दूसरे शब्दों में, कणों $\vec(x)_1^\ prime$ और $\vec(x)_2^\ prime$ की नई स्थिति संबंधों द्वारा दी गई है

\begin(समीकरण) \begin(संरेखित) \vec(x)_1^\प्राइम &= \vec(x)_1 + 0.75\lambda\cdot\vec(\Delta), \\ \vec(x)_2^\ अभाज्य और = \vec(x)_2 + 0.25\lambda\cdot\vec(\Delta), \end(संरेखित) \label(eq:x_new) \end(समीकरण)

जहां $\lambda$ एक अज्ञात मात्रा है। कण की नई स्थिति $\vec(p)$ - $\vec(p)^\ prime$ - की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

$$ \vec(p)^\प्राइम = c_1\vec(x)_1^\प्राइम + c_2\vec(x)_2^\प्राइम। $$

आइए याद रखें कि हम उस $\vec(p)^\ prime = \vec(q)$ को प्राप्त करना चाहते हैं, अर्थात, हमें $\lambda$ को बिल्कुल इस तरह चुनना होगा कि $\vec(p ) ^\प्राइम$ परिणामस्वरूप $\vec(q)$ से मेल खाता है। चूँकि हम कणों को केवल $\vec(\Delta)$ दिशा में गति करते हैं, तो $\vec(p)$ भी दिशा $\vec(\Delta)$ में गति करता है और इसलिए इसका समाधान होता है समीकरण \ (\vec(p)^\ prime = \vec(q)\) को $\lambda$ से व्यक्त करके पाया जा सकता है

\begin(समीकरण) \vec(p)^\ prime\cdot\vec(\Delta) = \vec(q)\cdot\vec(\Delta) . \लेबल(eq:pq) \end(समीकरण)

समता के बायीं ओर के व्यंजक को लिखने पर हमें प्राप्त होता है

$$ \begin(संरेखित) \vec(p)^\प्राइम\cdot\vec(\Delta) &= (0.75\vec(x)_1^\प्राइम + 0.25\vec(x)_2^\प्राइम) \cdot \vec(\Delta) \\ &= (0.75 (\vec(x)_1 + 0.75\lambda\cdot\vec(\Delta)) + 0.25 (\vec(x)_2 + 0.25\lambda\cdot\vec( \Delta))) \cdot\vec(\Delta) \\ &= ((0.75\vec(x)_1 + 0.25\vec(x)_2)\cdot\vec(\Delta) + \lambda(0.75^2 + 0.25^2)\cdot\Delta^2 \\ &= \vec(p) \cdot\vec(\Delta) + \lambda(0.75^2 + 0.25^2)\cdot\Delta^2 , \end( संरेखित) $$

जो, दाहिनी ओर \eqref(eq:pq) को ध्यान में रखते हुए, देता है

$$ \lambda = \frac((\vec(p)-\vec(q)) \cdot\vec(\Delta))((0.75^2 + 0.25^2)\cdot\Delta^2) . $$

पाए गए $\lambda$ को \eqref(eq:x_new\) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें कणों $\vec(x)_1$ और $\vec(x)_2$ की सही स्थिति प्राप्त होती है, जिस पर $ \vec( p)^\ prime$ $\vec(q)$ से मेल खाएगा।

चित्र 5 कणों के हिलने के बाद उत्पन्न होने वाली स्थिति को दर्शाता है। अब वस्तुओं का कोई पारस्परिक प्रवेश नहीं है, लेकिन छड़ की लंबाई स्थिर रहने की आवश्यकता का उल्लंघन किया गया है। इसे ठीक करने के लिए, आइए विश्राम चक्र (या यहां तक कि कई) का एक और पुनरावृत्ति करें, जिसके बाद हम कणों की स्थिति को सही करने का चक्र पूरा करते हैं।

टेट्राहेड्रोन के मामले में, ऊपर वर्णित रणनीति इसी तरह काम करेगी। सबसे पहले, इंटरपेनिट्रेशन के बिंदु $\vec(p)$ और $\vec(q)$ पाए जाते हैं (वे त्रिकोण के अंदर भी स्थित हो सकते हैं) और $\vec(p)$ को इस प्रकार दर्शाया गया है चार कणों का एक रैखिक संयोजन $\vec(p)=c_1\vec(x)_1+c_2\vec(x)_2+c_3\vec(x)_3+c_4\vec(x)_4$ऐसा कि $c_1+c_2+c_3+c_4=1$ (इसके लिए रैखिक समीकरणों की एक छोटी प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होगी)। एक बार मिल गया $\vec(\Delta) = \vec(q)-\vec(p)$, सूत्र का उपयोग करके $\lambda$ मान ज्ञात करना संभव होगा

$$ \lambda = \frac((\vec(p)-\vec(q)) \cdot\vec(\Delta))((c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + c_4^2)\cdot \Delta^2), $$

और सही कण स्थिति को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$$ \begin(संरेखित*) \vec(x)_1^\प्राइम &= \vec(x)_1 + c_1\lambda\cdot\vec(\Delta), \\ \vec(x)_2^\प्राइम & = \vec(x)_2 + c_2\lambda\cdot\vec(\Delta), \\ \vec(x)_3^\ prime &= \vec(x)_3 + c_3\lambda\cdot\vec(\Delta ), \\ \vec(x)_4^\प्राइम &= \vec(x)_4 + c_4\lambda\cdot\vec(\Delta). \end(संरेखित*) $$

इसलिए, हमने एक कठोर शरीर की गतिहीन "दुनिया" के साथ टकराव पर विचार किया है। कई कठोर पिंडों के टकराव को संभालने के लिए ऊपर वर्णित विधि को आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है। इस मामले में, टकरावों को एक समय में निकायों की एक जोड़ी के लिए संसाधित किया जाता है और, केवल $\vec(p)$ को स्थानांतरित करने के बजाय, आपको $\vec(p)$ और \(\vec (q)\ ) एक दूसरे के प्रति।

और फिर, निकायों के आपसी प्रवेश से बचने के लिए कणों की स्थिति को समायोजित करने के बाद, छह और प्रतिबंधों को पूरा करने का ध्यान रखना आवश्यक है - ठोस शरीर बनाने वाले कणों के बीच की दूरी की अपरिवर्तनीयता। इस पद्धति का उपयोग करके, टेट्राहेड्रोन को किसी अन्य वस्तु के अंदर भी घोंसला बनाया जा सकता है, जो टकराव से निपटने के दौरान टेट्राहेड्रोन के बजाय उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है। चित्र 6 एक घन में रखे गए चतुष्फलक को दर्शाता है।

सबसे पहले, क्यूब को किसी तरह टेट्राहेड्रोन से जोड़ा जाना चाहिए। एक तरीका यह है कि टेट्राहेड्रोन के द्रव्यमान के केंद्र को घन के केंद्र के रूप में चुना जाए $0.25\cdot (\vec(x)_1 + \vec(x)_2 + \vec(x)_3 + \vec(x)_4)$, और फिर, टेट्राहेड्रोन के वर्तमान निर्देशांक का उपयोग करके, घन के शीर्षों के निर्देशांक की गणना करें। जब टकराव का पता चलता है, तो संपर्क बिंदु $\vec(p)$ (जो अब क्यूब पर स्थित है) को उपरोक्त तरीके से संसाधित किया जाता है। अद्यतन कण निर्देशांक की गणना उसी तरह की जाती है। गणना में तेजी लाने के लिए, आप घन के सभी शीर्षों के लिए गुणांक $c_1$ -$c_4$ की पूर्व-गणना कर सकते हैं। यदि $\vec(p)$ एक शीर्ष होता है, तो मान $c_1$ -$c_4$ को सीधे पाया और उपयोग किया जा सकता है। अन्यथा, $\vec(p)$ त्रिभुज के अंदर या उसकी किसी एक भुजा पर स्थित होता है, और $c_1$-$c_4$ का मान पूर्व-गणना किए गए मानों से प्राप्त किया जा सकता है प्रक्षेप का उपयोग करके त्रिभुज के शीर्ष।

एक नियम के रूप में, टकराव को संभालने के लिए 3-4 पुनरावृत्तियाँ पर्याप्त हैं। यदि विश्राम बहुत पहले ही बंद कर दिया जाए, तो शरीर पूरी तरह से ठोस व्यवहार नहीं करेगा। लेकिन यह और भी अच्छा है, क्योंकि प्रकृति में बिल्कुल ठोस शरीर मौजूद नहीं हैं। इसके अलावा, यह सिस्टम को अधिक स्थिर बनाता है।

टेट्राहेड्रोन बनाने वाले कणों की स्थिति को पुनर्व्यवस्थित करते समय, शरीर के भौतिक गुणों को तदनुसार बदला जाना चाहिए (गणितीय रूप से, इसका मतलब है कि शरीर की जड़ता टेंसर कणों की स्थिति और द्रव्यमान के आधार पर बदलती है)।

टेट्राहेड्रोन के समान सिद्धांत का उपयोग करके, आप कणों को निर्देशांक $(0,0)$, $(1,0,0)$ वाले बिंदुओं पर रखकर कणों और बांडों का एक और समान विन्यास सेट कर सकते हैं। $ (0,1,0)$ और $(0,0,1)$ . मान लीजिए $\vec(a)$ , $\vec(b)$ , और $\vec(c)$ क्रमशः कण 1 से कण 2, 3 और 4 की ओर निर्देशित वेक्टर हैं। हम कणों की स्थिति को इस आवश्यकता से प्रतिबंधित करते हैं कि वैक्टर $\vec(a)$ , $\vec(b)$ , और $\vec(c)$ की इकाई लंबाई और कोण हो वैक्टर के तीन जोड़े में से प्रत्येक के बीच $90^\circ$ के बराबर था (संबंधित अदिश उत्पाद शून्य के बराबर होना चाहिए)। ध्यान दें कि यह फिर से, टेट्राहेड्रोन की तरह, 4 कण और 6 बंधन देगा।

व्यक्त निकाय

अब हम कई कठोर पिंडों को टिका (बेलनाकार, गोलाकार, आदि) का उपयोग करके जोड़ सकते हैं। यह मानते हुए कि दो पिंडों में एक सामान्य कण है, हमें एक गोलाकार काज (पिन जोड़) मिलता है, और यदि दो कण आम हैं, तो हमें एक बेलनाकार काज (काज) मिलता है (चित्र 7)। उसी तरह, आप एक रॉड या किसी अन्य प्रकार के कनेक्शन का उपयोग करके दो निकायों को जोड़ सकते हैं - आपको बस रिलैक्सेशन लूप में नए प्रकार के कनेक्शन को संभालने के लिए कोड जोड़ना याद रखना होगा।

यह दृष्टिकोण हमें व्यक्त मानव शरीर का एक संपूर्ण मॉडल बनाने की अनुमति देता है। यदि आप अतिरिक्त रूप से टिका में कोणीय गति पर प्रतिबंध लागू करते हैं तो यथार्थवाद बढ़ेगा। ऐसे प्रतिबंधों को लागू करने के कई तरीके हैं। सबसे सरल विधि में एक रॉड प्रकार की बाधा का उपयोग करना शामिल है, जो केवल तभी ट्रिगर होता है जब दो कणों के बीच की दूरी एक निश्चित सीमा मूल्य से कम हो जाती है (इस मामले में हम फॉर्म के एक तरफा युग्मन से निपट रहे हैं $|\vec(x)_2 - \vec(x)_1| > 100$). इसके परिणामस्वरूप, दोनों कण कभी भी एक-दूसरे के बहुत करीब नहीं आ सकते (चित्र 8)।

कोणीय गतियों पर प्रतिबंध लगाने की एक अन्य विधि के लिए डॉट उत्पाद को पूरा करने के लिए निम्नलिखित शर्तों की आवश्यकता होती है:

$$ (\vec(x)_2 - \vec(x)_0)\cdot (\vec(x)_1 - \vec(x)_0)< \alpha . $$

आप कण की गति को एक विशिष्ट तल तक भी सीमित कर सकते हैं। फिर, कण की स्थिति जो दी गई बाधाओं को पूरा नहीं करती है उसे ठीक किया जाना चाहिए। यह छड़ के मामले की तरह ही किया जाता है, हालांकि संबंधित सूत्र थोड़े अधिक जटिल होंगे।

| स्प्रेडशीट में मॉडलिंग

पाठ 17-18
स्प्रेडशीट में मॉडलिंग

गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में शरीर की गति का अनुकरण

गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गति के उदाहरण सर्वविदित हैं। यह एक निश्चित ऊंचाई से किसी पिंड का गिरना है, और एक निश्चित गति से ऊपर की ओर फेंके गए पिंड की गति है, और क्षितिज पर एक कोण पर फेंके गए शरीर की गति है। यदि ऐसी समस्याओं में वायु प्रतिरोध के बल को ध्यान में नहीं रखा जाता है, तो सभी सूचीबद्ध प्रकार की गति का वर्णन प्रसिद्ध सूत्रों द्वारा किया जाता है। लेकिन जिन समस्याओं में वायु प्रतिरोध को ध्यान में रखा जाता है वे भी कम दिलचस्प नहीं हैं।

समस्या 3.24. लक्ष्य पर प्रहार

स्टेज I समस्या का निरूपण

कार्य का विवरण

लड़के बैडमिंटन खेलते हैं. हवा का एक झोंका शटलकॉक को उठाकर एक पेड़ की शाखाओं तक ले गया। आगे का कठिन कार्य शटलकॉक प्राप्त करना है। समस्या को कई तरीकों से हल किया जा सकता है। प्रत्येक विधि के अपने फायदे और नुकसान हैं।

उदाहरण के लिए, आप किसी पेड़ पर चढ़ सकते हैं। लेकिन यह एक बहुत ही खतरनाक गतिविधि है: पेड़ की शाखाएँ जितनी ऊँची होती हैं, वे उतनी ही पतली होती हैं। गिरने की प्रबल संभावना है. आप एक पेड़ काट सकते हैं. लेकिन, जाहिरा तौर पर, अभी तक किसी ने भी समस्या को हल करने का यह तरीका आजमाया नहीं है। यदि सभी ने समस्या को हल करने का यह तरीका चुना होता, तो बहुत समय पहले एक भी पेड़ नहीं बचता। आप हवा के अगले झोंके से शटलकॉक के अपने आप गिरने का इंतजार कर सकते हैं। अक्सर वे शटलकॉक को पत्थर से गिराने की कोशिश करते हैं। हम भी व्यवहार का यही मॉडल चुनेंगे. इसके अलावा, हम शरीर की गति के नियमों को जानते हैं।

अनुकरण का उद्देश्य

क्षैतिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति की जांच करें। फेंकने की गति और कोण के प्रारंभिक मानों का चयन करें ताकि फेंका गया शरीर लक्ष्य से टकराए।

समस्या का औपचारिकीकरण

टिप्पणी। हिट सटीकता सेट करने के लिए △ , आपको शरीर के आकार को ध्यान में रखना होगा।

सटीकता मारो △ शरीर के सबसे छोटे ज्यामितीय आकार के आधे से अधिक नहीं होना चाहिए।

इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि लक्ष्य लगभग 7 सेमी व्यास वाला शटलकॉक है, तो △ = 3.5 सेमी. यदि लक्ष्य 40 सेमी व्यास वाला एक बास्केटबॉल घेरा है, तो △ = 20 सेमी. यदि लक्ष्य 5 मीटर ऊंचा गुब्बारा है, तो △ = 2.5 मी.

चरण II. विकास का मॉडल

सूचना मॉडल

हम वस्तुओं की विशेषताओं और प्रक्रिया को एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करते हैं।

शरीर की गति के पैरामीटर चित्र 3.4 में प्रस्तुत किए गए हैं। क्षैतिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति का वर्णन सूत्रों द्वारा किया जाता है

कंप्यूटर मॉडल

मॉडलिंग के लिए, हम एक टेबल प्रोसेसर वातावरण चुनेंगे। इस वातावरण में, सारणीबद्ध जानकारी और गणितीय मॉडल को एक तालिका में संयोजित किया जाता है जिसमें तीन क्षेत्र होते हैं:

♦ प्रारंभिक डेटा;
♦ मध्यवर्ती गणना;
♦ परिणाम.

1. नमूने के अनुसार स्रोत डेटा क्षेत्र भरें।

कॉलम ए, बी, सी, डी, ई, एफऊपर से नीचे तक समान सूत्रों से भरें।

2. मध्यवर्ती गणना और परिणाम क्षेत्र भरें।

प्रायोगिक योजना

परिक्षण

प्रयोग 1

शरीर की गतिविधियों का अन्वेषण करें।

प्रयोग 2

प्रारंभिक गति में परिवर्तन होने पर किसी पिंड की गति में परिवर्तन की जांच करें।

प्रयोग 3

फेंकने का कोण बदलने पर शरीर की गति में परिवर्तन की जाँच करें।

प्रयोग 4

प्रारंभिक गति और फेंकने के कोण को बदलकर, लक्ष्य के संबंध में शरीर की गति की प्रकृति और उसकी स्थिति की जांच करें।

प्रयोग 5

प्रारंभिक प्रारंभिक गति और कोण को बदलकर, मानों का चयन करें ताकि फेंका गया शरीर निर्दिष्ट सटीकता के साथ लक्ष्य को हिट कर सके।

अनुसंधान का संचालन

परिक्षण

1. गणना तालिका की उतनी ही पंक्तियाँ भरें जितने निर्देशांक हों पर शून्य से कम नहीं होगा.

2. परीक्षण गणना के परिणामों की तुलना गणना उदाहरण में दिए गए परिणामों से करें। नीचे दी गई तालिका दिए गए प्रारंभिक डेटा के आधार पर गणना के परिणामों के साथ कई पंक्तियाँ दिखाती है।

3. कॉलम बी और सी का उपयोग करके, एक गति आरेख बनाएं। एक उदाहरण चित्र 3.6 में दिखाया गया है। आरेख बनाने के लिए, इतने परिकलित मान लें कि वक्र क्षैतिज अक्ष को काट दे एक्स .

4. यह कैसे निर्धारित करें कि एक आरेख बनाने के लिए कितने गणना बिंदु लेने की आवश्यकता है?

निष्कर्ष। एक आरेख बनाने के लिए, आपको परिकलित मान लेने होंगे जिनका निर्देशांक है य 0 से अधिक और एक ऋणात्मक मान।

प्रयोग 1. शरीर की गति का अध्ययन

1. परीक्षण केस आरेख का उपयोग करके बताएं कि शरीर कैसे चलता है।

2. आरेख से बताएं कि पिंड का उच्चतम उन्नयन बिंदु कैसे निर्धारित किया जाए।

3. स्पष्ट करें कि क्षैतिज x-अक्ष के साथ वक्र का प्रतिच्छेदन आरेख पर क्या दर्शाता है। गणना तालिका का उपयोग करके इस बिंदु को कैसे निर्धारित करें?

4. आरेख से निर्धारित करें कि फेंकने के बिंदु से कितनी दूरी पर शरीर जमीन पर गिरेगा।

5. गणना तालिका से निर्धारित करें:

अधिकतम उठाने की ऊँचाई;
उच्चतम बिंदु तक यात्रा का समय;
फेंकने के बिंदु से जमीन पर प्रभाव के बिंदु तक की दूरी;
गिरने से पहले आंदोलन का समय.

स्प्रेडशीट के मुक्त क्षेत्र में प्रस्तावित पैटर्न के अनुसार शरीर की गति के अध्ययन के परिणाम लिखें।

6. प्रारंभिक डेटा का दूसरा संस्करण दर्ज करें, उनके लिए प्रयोग परिणामों की तालिका भरें।

प्रयोग 2. प्रारंभिक गति पर शरीर की गति की निर्भरता (फेंक कोण अपरिवर्तित)

1. प्रारंभिक गति को 5 से 20 मीटर/सेकेंड तक बदलते हुए देखें कि अधिकतम लिफ्ट ऊंचाई कैसे बदलती है (y समन्वय)

2. देखें कि उड़ान सीमा कैसे बदलती है (एक्स समन्वय)बढ़ती प्रारंभिक गति के साथ.

3. एक निश्चित कोण के लिए गणना करें और स्प्रेडशीट के मुक्त क्षेत्र पर संकलित एक तालिका (तालिका 2) में अनुसंधान परिणामों को सारांशित करें।

4. प्रयोग के परिणामों के आधार पर निष्कर्ष तालिका में लिखें: जब प्रारंभिक गति बदलती है (निरंतर फेंकने वाले कोण के साथ) तो ऊंचाई और उड़ान सीमा कैसे बदलती है?

प्रयोग 3. फेंकने वाले कोण पर शरीर की गति की निर्भरता (गति की प्रारंभिक गति अपरिवर्तित है)

1. मॉडल का उपयोग करके गणना करें, फेंकने के कोण को 5° से बढ़ाकर 85° करें और प्रारंभिक गति को अपरिवर्तित छोड़ दें (उदाहरण के लिए, 15 मीटर/सेकेंड)।

2. लिफ्ट की ऊंचाई में परिवर्तन का निरीक्षण करें (y समन्वय) जैसे-जैसे फेंकने का कोण बढ़ता है, प्रारंभिक गति अपरिवर्तित रहती है।

3. उड़ान सीमा में परिवर्तन का निरीक्षण करें (एक्स समन्वय) जैसे-जैसे फेंकने का कोण बढ़ता है।

4. स्प्रेडशीट के मुक्त क्षेत्र में गणना के परिणामों को तालिका में रखें (तालिका 3)।

5. प्रयोग के परिणामों के आधार पर निष्कर्ष तालिका में लिखें: फेंकने का कोण बदलने पर (निरंतर प्रारंभिक गति के साथ) उड़ान की ऊंचाई और सीमा कैसे बदलती है?

प्रयोग 4. शरीर की गति की प्रकृति और लक्ष्य के संबंध में उसकी स्थिति का अध्ययन

चित्र 3.7 लक्ष्य के संबंध में शरीर की गति के वक्र के स्थान के लिए विकल्प दिखाता है। उन्हें इस प्रकार चित्रित किया जा सकता है:

1. चलते समय, शरीर उस ऊंचाई तक नहीं पहुंच पाता जिस पर लक्ष्य स्थित है और बिना पहुंचे ही जमीन पर गिर जाता है एक्स टी .

2. चलते समय, शरीर उस ऊंचाई तक नहीं पहुंचता जिस पर लक्ष्य स्थित है, बल्कि जमीन पर और गिर जाता है एक्स सी.

3. चलते समय शरीर ऊंचा उठ जाता है वाई सी, लेकिन बिना पहुँचे जमीन पर गिर जाता है एक्स सी.

4. चलते समय शरीर ऊंचा उठ जाता है वाई सीऔर जमीन पर और गिर जाता है एक्स सी.

स्तंभों में डी, ई और एफमानों की गणना की जाती है एस एक्स , एस वाई , एस,जो लक्ष्य के सापेक्ष शरीर की स्थिति दर्शाते हैं।

1. शोध करें कि संकेत का क्या अर्थ है एस एक्स और एस वाईसमय के विभिन्न बिंदुओं पर.

निष्कर्ष।

2. अन्वेषण करें कि यह कैसे बदलता है एसजब शरीर हिलता है.

निष्कर्ष। लक्ष्य की कुल दूरी पहले घटती है और फिर बढ़ती है।

3. स्प्रेडशीट (तालिका 4) के मुक्त क्षेत्र में चित्र 3.7 में प्रस्तुत शरीर की गति के विकल्पों के अनुरूप प्रारंभिक डेटा (प्रारंभिक गति और फेंकने का कोण) का चयन करें।

प्रयोग 5. लक्ष्य पर प्रहार के लिए प्रारंभिक मूल्यों का चयन

सबसे पहले, हम ध्यान दें कि प्रारंभिक डेटा को लक्ष्य तक पहुंचाने के लिए अनंत संख्या में विकल्प हैं। हमारा काम एक विकल्प चुनना है.

1. कॉलम द्वारा एफसबसे छोटा मान निर्धारित करें एस. इस समय शरीर लक्ष्य के सबसे करीब उड़ता है।

2. कॉलम प्लॉट करें जीहिट विश्लेषण. यदि लक्ष्य की दूरी निर्दिष्ट सटीकता से कम हो जाती है तो हम मान लेंगे कि शरीर ने लक्ष्य को हिट कर दिया है (सेल $D$10). ऐसा करने के लिए, सेल में जी16सूत्र दर्ज करें =आईएफ(एफ16<$D$10; «попал»; «мимо») .

3. लक्ष्य का सर्वोत्तम अनुमान प्राप्त करने के लिए इनपुट डेटा बदलें।

4. शोध परिणामों को स्प्रेडशीट के मुक्त क्षेत्र में लिखें (तालिका 5)।

5. प्रारंभिक डेटा का एक और सेट चुनें, जिसमें शरीर "ओवरहैंग" लक्ष्य को हिट करेगा, यानी, वृद्धि के उच्चतम बिंदु को पार करने के बाद।

6. लक्ष्य निर्देशांक बदलें और नई लक्ष्य स्थिति के लिए प्रारंभिक गति और फेंकने वाले कोण के मान का चयन करें।

प्रयोगों में प्राप्त परिणामों और निष्कर्षों को एक टेक्स्ट दस्तावेज़ में रिपोर्ट के रूप में प्रस्तुत करें। अपनी रिपोर्ट में, निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर प्रदान करें:

1. क्षैतिज से एक कोण पर फेंका गया पिंड कैसे गति करता है?
2. चढ़ाई का उच्चतम बिंदु कैसे निर्धारित करें?
3. उड़ान सीमा का निर्धारण कैसे करें?
4. प्रारंभिक गति और स्थिर थ्रो कोण में वृद्धि के साथ अधिकतम लिफ्ट ऊंचाई कैसे बदलती है?
5. प्रारंभिक गति और निरंतर थ्रो कोण में वृद्धि के साथ उड़ान सीमा कैसे बदलती है?
6. फेंकने के बढ़ते कोण और स्थिर प्रारंभिक गति के साथ अधिकतम लिफ्ट ऊंचाई कैसे बदलती है?
7. फेंकने के बढ़ते कोण और स्थिर प्रारंभिक गति के साथ उड़ान सीमा कैसे बदलती है?
8. हम समय के प्रत्येक क्षण में लक्ष्य के संबंध में पिंड की स्थिति की गणना कैसे कर सकते हैं? इसे गणना तालिका से कैसे निर्धारित किया जा सकता है?
9. गति के दौरान शरीर से लक्ष्य तक की दूरी कैसे बदलती है और गणना तालिका का उपयोग करके इसे कैसे निर्धारित किया जा सकता है?