‌‌‌V‌ Bezirk Wissenschaftliche und praktische Konferenz Forschung, Design u kreative Werke Schüler "Erste Schritte in der Wissenschaft"

Forschungsarbeit Zu diesem Thema:

"Kugel und Kugel sind gewöhnliche geometrische Körper."

Abgeschlossen von: MBOU-Schüler der 9. Klasse

"Kochetovskaya-Durchschnitt allgemein bildende Schule» Romanov Dima.

Betreuer: Mathematik- und Physiklehrer Tremaskina V.S.

Einleitung ________________________________________________________________3

1. Geschichte des Studiums geometrischer Körper: Kugel, Kugel _______________________3

2. Kugel und Kugel.

2.1. Das Konzept einer Kugel und eines Balls _________________________________________________3-4

2.2. Kugelgleichung________________________________________________4

2.3. Gegenseitige Anordnung der Kugel und der Ebene _________________________ 4-6

2.4. Die Tangentialebene an die Kugel __________________________________________6-7

2.5. Die Fläche der Kugel und das Volumen der Kugel ______________________ 7

2.6. Erhalt der Kugel _____________________________________________ 7-8

2.7. Die Kugel und den Ball in der Natur finden ______________________________ 9-13

2.8 Kugel und Kugel drin Alltagsleben _________________________________14-15

2.9 Anwendung von Kugel und Kugel in der Architektur ___________________________ 16-22

2.10. Die Verwendung von Kugel und Kugel in der Geodäsie ________________________________23

2.11 Anwendung von Sphäre und Kugel in Astronomie und Geographie _________________24

2.12. Kugel und Kugel in der Kunst _________________________________________25

Fazit _________________________________________________________________25

Literatur ________________________________________________________________26

Relevanz des gewählten Themas.

Seit Jahrhunderten hat die Menschheit nicht aufgehört, ihre wissenschaftlichen Kenntnisse in einem bestimmten Wissenschaftsgebiet zu ergänzen. Viele wissenschaftliche Geometer und sogar gewöhnliche Menschen interessierten sich für eine Figur wie eine Kugel und ihre „Hülle“, die als Kugel bezeichnet wird. Viele reale Objekte in Physik, Astronomie, Biologie und anderen Naturwissenschaften sind kugelförmig. Daher wurde die Erforschung der Eigenschaften der Kugel in verschiedenen historischen Epochen eingesetzt und wird auch in unserer Zeit eine bedeutende Rolle zugeschrieben.

Zweck der Studie: Studieren Sie die geometrischen Körper Kugel und Kugel, betrachten Sie ihre Anwendung in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft, im Alltag, in der Natur, erstellen Sie eine Präsentation „Kugel und Kugel sind gewöhnliche geometrische Körper“.

Aufgaben:

1. Sammeln Sie Material über den Ball und die Kugel mithilfe verschiedener Informationsquellen, einschließlich Internetquellen.

2. Systematisieren Sie das Material über Ball und Kugel.

4. Erstellen Sie eine Präsentation" Kugel und Kugel - gewöhnliche geometrische Körper».

5. Präsentieren Sie die Arbeit in der Geometriestunde beim Studium des Themas "Kugel und Kugel".

Studienobjekt : Kugel und Kugel

Gegenstand der Studie : Elemente und Eigenschaften der Kugel und Kugel

Hypothese: Wir brauchen Bälle, um unsere Welt vielfältiger und voluminöser zu machen.

Methoden: partielle Suche, Recherche, vergleichende Analyse, Synthese, praktisch.

Forschungsergebnis: das erworbene Wissen wird nicht nur für Astronomen, Seefahrer benötigt Seeschiffe, Flugzeug, Raumschiffe, die ihre Koordinaten durch die Sterne bestimmen, aber auch für die Erbauer von Bergwerken, U-Bahnen, Tunneln, Architekten sowie für geodätische Vermessungen großer Bereiche der Erdoberfläche, wenn es im Alltag notwendig wird, ihre Sphärizität zu berücksichtigen Leben.

Wissenschaftliche Neuheit: Der theoretische Stoff wird in einer für Gymnasiasten verständlichen Form präsentiert.

Praktische Bedeutung: Dieses Material kann als Grundlage für ein Wahlfach in Klassen mit physikalischem und mathematischem Profil verwendet werden, im Unterricht, wenn die Themen "Kugel und Kugel" behandelt werden.

Einführung

Seit vielen Jahrhunderten hat die Menschheit nicht aufgehört, ihre wissenschaftlichen Kenntnisse in einem bestimmten Wissenschaftsgebiet aufzufüllen. Die Stereometrie als Wissenschaft von den Figuren im Raum ist untrennbar mit vielen naturwissenschaftlichen Disziplinen verbunden. Zu diesen Disziplinen gehören: Mathematik, Physik, Informatik und Programmieren sowie Chemie und Biologie. Bei letzterem besteht das Problem, die Mikrowelt zu untersuchen, die eine komplexe Kombination verschiedener Teilchen im Raum relativ zueinander darstellt. In der Architektur werden ständig Sätze und Folgerungen aus der Stereometrie verwendet.

Viele Wissenschaftler, Geometer und sogar gewöhnliche Menschen interessierten sich für eine Figur wie eine Kugel und ihre "Hülle", die als Kugel bezeichnet wird. Überraschenderweise ist der Ball der einzige Körper, der hat größere Fläche Oberflächen mit einem Volumen gleich dem Volumen anderer verglichener Körper, wie z. B. eines Würfels, eines Prismas oder anderer verschiedener Polyeder. Wir haben jeden Tag mit Bällen zu tun. Beispielsweise verwendet fast jede Person einen Kugelschreiber, an dessen Ende eine Metallkugel montiert ist, die sich unter Einwirkung von Reibungskräften zwischen ihr und Papier dreht und beim Drehen auf ihrer Oberfläche die Kugel „trägt“. out“ eine weitere Portion Tinte. In der Automobilindustrie werden Kugelgelenke hergestellt, die sehr leistungsfähig sind wichtiges Detail im Auto und sorgt für die richtige Drehung der Räder und die Stabilität des Autos auf der Straße. Elemente von Maschinen, Flugzeugen, Raketen, Motorrädern, Granaten, Segelschiffen, die ständig Wasser oder Luft ausgesetzt sind, haben hauptsächlich eine Art kugelförmige Oberfläche, die als Verkleidung bezeichnet wird.

Die Geschichte des Studiums geometrischer Körper: Kugel, Kugel

Es ist üblich, eine Kugel einen von einer Kugel begrenzten Körper zu nennen, d.h. Ball und Kugel sind verschiedene geometrische Körper. Allerdings stammen sowohl die Wörter Ball als auch Sphäre vom gleichen griechischen Wort sfire - Ball. Gleichzeitig wurde das Wort "Ball" aus dem Übergang der Konsonanten sph in sh gebildet.

In Buch XI der Elemente definiert Euklid eine Kugel als eine Figur, die durch einen Halbkreis beschrieben wird, der sich um einen festen Durchmesser dreht. In der Antike genoss die Kugel ein hohes Ansehen. Astronomische Beobachtungen des Firmaments rufen unweigerlich das Bild einer Kugel hervor.

Die Kugel ist seit jeher in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technologie weit verbreitet.

2.1. Das Konzept von Kugel und Kugel

Eine Kugel ist eine Fläche, die aus allen Punkten im Raum besteht, die sich in einem bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt befinden.

Ein Körper, der von einer Kugel begrenzt wird, heißt Kugel.

Dieser Punkt wird Kugelmittelpunkt genannt, und dieser Abstand wird Kugelradius genannt.

Ein Liniensegment, das zwei Punkte auf einer Kugel verbindet und durchläuft

durch ihren Mittelpunkt heißt der Durchmesser der Kugel.

Mittelpunkt, Radius und Durchmesser einer Kugel werden auch als Mittelpunkt, Radius und Durchmesser einer Kugel bezeichnet.

2.2. Kugelgleichung

Legen wir ein rechteckiges Koordinatensystem fest Öxyz

Lassen Sie uns eine Kugel bauen, die im Punkt C zentriert ist (x 0; y 0; z 0)

und Radius R

MS \u003d (x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2

MS = R oder MS2 = R2

daher die gleichung

Kugel sieht aus wie:

(x-x 0 ) 2 + (j - j 0 ) 2 + (z - z 0 ) 2 = R 2

2.3. Gegenseitige Anordnung von Kugel und Ebene

Gegeben:

Kugel vom Radius R mit Mittelpunkt C (x 0; y 0; z 0), Punkt M (x; y; z) liegt auf der Kugel.

Was ist die MC-Distanz?

Weil MS = R, dann

M

R

Mit

AUS AUSSS

Gegeben: Ebene α, Kugel (С; R),

d ist der Abstand vom Mittelpunkt C zur Ebene α.

Wir führen ein Koordinatensystem ein, dessen Punkt C (x 0; y 0; z 0) ist. Lassen Sie uns die Gleichungen der Kugel und der Ebene α zusammenstellen.

z

P
Der Punkt C liege auf der z-Achse. Dann sind seine Koordinaten (0; 0; d ).

Kugelgleichung:

Ebenengleichung α: z = 0

Lassen Sie uns das Gleichungssystem untersuchen:

z = 0

Dann

Je nach Verhältnis von d und R sind 3 Fälle möglich ...

1
) d< R .

Dann

Kreisgleichung (O; r)

Abschnitt einer Kugel durch eine Ebene - ein Kreis

2
) d = R .

Dann

BEI Erno bei

x=0 und y=0

Eine Kugel und eine Ebene haben einen gemeinsamen Punkt.

3
) d > R .

Dann

hat keine Lösungen.

Eine Kugel und eine Ebene haben keine gemeinsamen Punkte.

2.4. Tangentialebene zur Kugel

Eine Ebene, die nur einen gemeinsamen Punkt mit der Kugel hat, wird als Tangentialebene an die Kugel bezeichnet, und ihr gemeinsamer Punkt wird als Tangentialpunkt der Ebene und der Kugel bezeichnet.

Satz. Der Radius einer Kugel, der am Kontaktpunkt zwischen der Kugel und der Ebene gezeichnet wird, steht senkrecht zur Tangentialebene.

Gegeben: eine Kugel mit MittelpunktÖ und RadiusR , α - Tangente an die Kugel an einem PunktABER Flugzeug.

Beweisen: OA a .

Beweis: Let OA nicht senkrecht zur Ebene a , dann OA ist zur Ebene geneigt, was bedeutet, dass der Abstand vom Mittelpunkt zur Ebene d < R . Diese. die Kugel muss die Ebene in einem Kreis schneiden, aber das erfüllt nicht die Bedingung des Theorems. Meint, OA a .

Beweisen wir den Umkehrsatz.

Steht der Radius einer Kugel senkrecht auf der Ebene, die durch ihr auf der Kugel liegendes Ende geht, dann ist diese Ebene tangential zur Kugel.

Gegeben: eine Kugel mit MittelpunktÖ und Radius OA , a, OA a .

Beweisen:a ist die Tangentialebene.

Nachweisen: OA a , dann ist der Abstand vom Kugelmittelpunkt zur Ebene gleich dem Radius. Die Kugel und die Ebene haben also einen gemeinsamen Punkt. Definitionsgemäß tangiert eine Ebene eine Kugel.

2.5. Fläche einer Kugel und Volumen einer Kugel

und Kugelradius sind durch die Formeln definiert:

Nachweisen

Nehmen Sie einen Viertelkreis mit dem Radius R, der um den Punkt zentriert ist. Die Kreisgleichung für diesen Kreis lautet:, wo.

Die Funktion ist stetig, steigend, nichtnegativ. Wenn sich ein Viertelkreis um die Ochsenachse dreht, entsteht eine Halbkugel, also:

Wo kommt Ch. t.

Nachweisen

H. t. d.

Teil des Balls, [ ], das von einem Flugzeug davon abgeschnitten wird, heißt sphärisches oder kugeliges Segment. Die Basis eines Kugelsegments ist ein Kreis A B C D. Die Höhe eines Kugelsegments ist das Segment NM, d.h. Länge der vom Zentrum wiederhergestellten Senkrechten N Basis, bis sie die Oberfläche der Kugel schneidet. Punkt M heißt Scheitel des Kugelabschnitts.

Volumen des Kugelsegments ausgedrückt durch die Formel:

v = π h 2 ( R − 1/3 h)

Ball Schicht ist Teil des Balls [ ], eingeschlossen zwischen zwei sekanten parallelen Ebenen. Kugelgürtel oder Ballzone ist die gekrümmte Oberfläche der sphärischen Schicht. Kreise ABC und DEF Dies sind die Basen des Kugelgürtels. Abstand zwischen basesON ist die Höhe der Kugelschicht.

Das Volumen der sphärischen Schicht ausgedrückt durch die Formel:

v = 1/6 π h 3 + 1/2 π( r 1 2 + r 2 2 ) h

Kugelsektor ist Teil des Balls [ ], begrenzt durch die gekrümmte Oberfläche des Kugelsegments und die konische Oberfläche, von der die Basis des Segments als Basis dient und der Mittelpunkt der Kugel als Spitze dient.

Das Volumen des Kugelsektors gleich , deren Grundfläche den gleichen Flächeninhalt hat wie der durch den Sektor ausgeschnittene Teil der Kugeloberfläche, und deren Höhe gleich dem Radius ist

v = 1/3 R S = 2/3 π R 2 h

2.6. Kugel erhalten

Die Kugel erhält man, indem man den Halbkreis DAB um den Durchmesser AB dreht

2.7. Eine Kugel und einen Ball in der Natur finden

Z Rätsel der Natur - Sphären-Botschaften.Diese mysteriösen Steinformationen mit perfekt runder Form wurden Ende der 1940er Jahre im Dschungel der zentralamerikanischen Republik Costa Rica entdeckt. Bälle haben Größen von 10 cm bis 3-4 Meter Durchmesser. Bei Luftaufnahmen stellte sich heraus, dass sie nicht zufällig über die Erdoberfläche verstreut sind, sondern geometrische Formen bilden. Es ist sogar möglich, dass die Kugeln nicht verstreut, sondern in Form einer riesigen Sternenkarte ausgelegt sind; Jeder Ball ist ein Stern mit einer entsprechenden Beschreibung.

Unter den Hypothesen zur Herkunft der Kugeln gibt es nur exotische Versionen: von Außerirdischen bis zu den Bildhauern von Atlantis. Es gibt auch eine Version, dass die Bälle (basierend auf zukünftigen Dividenden aus dem Tourismus) von gelangweilten Nazi-Migranten herausgeschnitten wurden, die nach dem Zusammenbruch des "Dritten Reiches" Lateinamerika überschwemmten. Die Fülle der Bälle und die seltsamen Zeichnungen darauf waren mit natürlichen Gründen nicht zu erklären. In Kasachstan wurden während der Entwicklung einer Sandgrube in ziemlich großer Tiefe auch mehrere große Exemplare solcher Felsbrocken entdeckt ... Diese Entdeckung wurde von der Phänomenkommission gemeldet; Leider sind keine Fotos der Funde erhalten geblieben.

Kristallkugel. Makrofotografie. Auf einem Ast eines Baumes liegt eine Glaskugel, sie spiegelt die umgebende Natur wider. Sehr hübsche gelbe Blumen und grünes saftiges Gras.

AUS leuchtende Kugeln

auf dem Foto an Orten der Macht - das Ergebnis des Uranzerfalls oder eine plasmoide Lebensform?

Grabeskirche und andere Orte in Israel

Und
interessantes Naturphänomen An den Ufern des Michigansees bildeten sich Tausende regelmäßiger Eisbälle

Algen in Form von ungewöhnlichen Kugeln

seltsame Kugeln erschien im Juni 2002 an der Küste der Hamptons an der Ostküste der Vereinigten Staaten. Die Flutwelle begann, unzählige solcher grünlicher Bälle zu ertragen – weich, vage ähnlich einem Schwamm und von der Größe eines Tennis- oder Golfballs. In einer Entfernung von etwa 300 Metern oder mehr war der gesamte Sandstrand buchstäblich mit solchen Kugeln übersät. Streitigkeiten begannen sofort - was ist das und woher kommt es? An der Debatte beteiligten sich auch Meeresbiologen, Strandurlauber und Passanten. Niemand hatte so etwas zuvor gesehen.

Die Natur hat Angst vor Symmetrie, die Natur kennt keine idealen geometrischen Figuren. Andererseits kann der Mensch die Natur zwingen, diese fremden Formen anzunehmen. Ein gutes Beispiel dafür ist die Arbeit des koreanischen Künstlers Lee Jae-Hyo, der aus kreiertBaumstämme ideale Kugeln

T

Tausende kleiner violetter Kugeln sind seltsamerweise mitten in einer Wüste in Arizona, USA, gelandet. Die Bewohnerin von Tucson, Geraldine Vargas, und ihr Mann entdeckten vor ein paar Wochen eine unerklärliche Ansammlung seltsamer Bälle, als sie durch die Nachbarschaft gingen. „Wir fotografierten die Natur der Wüste, als wir auf diesen seltsamen Ort stießen … Ich verstehe nicht, warum wir es nicht sofort bemerkt haben", sagte Geraldine gegenüber Reportern. „Es funkelte einfach in der Sonne." Fotografen schickten ein Foto mit seltsamen Objekten an ihre befreundete Zoologin, aber sie konnte nicht sagen, was es war, sie hatte nicht einmal irgendwelche Vermutungen darüber.

Mineralkugeln.

Amethyst Brasilien.

Bergkristall.South.Chelyab.reg.Verkauft.

Amazonit, Halbinsel Kola, verkauft.

2.8 Kugel und Ball im Alltag

H
und der geometrische Ball sind ähnlich der Globus, Fußball, Weihnachtsspielzeug.

Schaumkugel selber machen

Zorben - Dies ist heute eine der angesagtesten extremen Unterhaltungen. Beim Zorbing können Sie neue, ungewöhnlich helle und kraftvolle Empfindungen erleben und sich aus der Routine des Alltags schütteln.

Was ist ein zorbball

Z Kugel (ZORB) ist eine transparente Kugel (Kugel) mit einem Durchmesser von 3,2 Metern, in der sich eine Kugel mit einem Durchmesser von 1,8 Metern befindet, in der sich befindet Zorbonaut (zorb passagier). Der Raum zwischen diesen Kugeln ist mit Luft gefüllt, durch deren Druck die Kugeln auseinander platzen und im Gegenteil von Schlingen gehalten werden. Ein solches System dämpft sehr gut, gleicht die Unebenheiten der Strecke aus und macht das Fahren sicher.

2.9.Die Verwendung von Kugel und Ball in der Architektur

Dieses Haus heißt WIGWAM. Solche Häuser werden gebaut INDIANER.

Kugeln und Halbkugeln aus Edelstahl

Brunnen "RotierendBall "in st.

Petersburg -

moderne Häuser

Und wennHaus nicht nur an einem Baum, sondern auch in Kugelform.

Dies ist das Dorf der RealstenRunde Häuser .

AUS
Moderne Rundhäuser

Montreal Biosphere - US-Pavillon auf der Expo 67 in Kanada,

entworfen vom Architekten Richard Fuller.

Hotel in Form von transparenten Kugeln

BEI
über der französischen Stadt Roubaix (Roubaix) in einem der Parks eröffnete tragbare Hotelzimmer Hotel Bolha. Das haben wir speziell für Menschen gemacht, die auch mitten im Großstadtdschungel der Natur näher sein wollen.Das Konzept der Blase wurde von Designer Pierre Stéphane Dumas entworfen. Ein solch fortschrittliches Design wurde mit dem Ziel geschaffen, Gäste vorübergehend mit dem Unbekannten zu verbinden. Schließlich können es sich nicht viele Menschen leisten, unter einer runden Decke zu schlafen.

Ballonkleid.

Landesbüro Bald wird der Frühling (und dann der Sommer) und viele werden aufs Land gehen, um sich auszuruhen.
Aber manchmal muss man auf dem Land arbeiten (verdammt noch mal!). Kein Rückzugsort?
Es ist hier in einem so kleinen kugelförmigen Gebilde „Archipod“ möglich:

ENERGIEEFFIZIENZ imdie Architektur . Smart House ist ein Molekül.

Der Wissenschafts- und Technologiepark La Vilette wurde auf dem Gelände eines Schlachthofs am östlichen Stadtrand von Paris erbaut und verfügt über eine riesige Kugel, die den Pariser Himmel und die umliegende Landschaft in ihrer Spiegelfläche widerspiegelt. Heute gilt dieses Gebäude als das perfekteste Kugelgebäude der Welt. Die Pariser nennen es Geode. Dies ist ein Panorama

Kino mit der größten Leinwand Europas. Hausball-Spiegel

Solche Fadenknäuel können einfach an die Äste eines Baumes gehängt werden, wenn Ihr Urlaub in der Natur stattfindet, oder an der Decke. Sie können auch einen Banketttisch arrangieren und die Komposition mit Kerzen und Blumen ergänzen.

2.10. Anwendung von Kugel und Kugel in der Geodäsie.

Kartenprojektionen

Darstellung der gesamten Oberfläche des Erdellipsoids (vgl ) oder einen Teil davon auf ein Flugzeug, das hauptsächlich zum Erstellen einer Karte erhalten wurde.

Skala.K. Gegenstände werden in einem bestimmten Maßstab gebaut. Das Ellipsoid der Erde mental reduzierenMMal, zum Beispiel 10.000.000 Mal, erhält sein geometrisches Modell - , dessen Abbild in der Ebene bereits lebensgroß ist, gibt eine Karte der Oberfläche dieses Ellipsoids. Wert 1:M(in Beispiel 1: 10.000.000) definiert den Haupt- oder allgemeinen Maßstab der Karte. Da die Oberflächen eines Ellipsoids und einer Kugel nicht ohne Unterbrechungen und Falten in eine Ebene entwickelt werden können (sie gehören nicht zur Klasse der abwickelbaren Oberflächen (siehe Abb. )), weist jede Karte Verzerrungen in den Längen von Linien, Winkeln usw. auf, die für jede Karte charakteristisch sind. Das Hauptmerkmal eines CP an jedem Punkt ist die Teilskala μ. Dies ist der Kehrwert des Verhältnisses des infinitesimalen SegmentsDSauf dem Ellipsoid der Erde zu seinem Bilddσ auf der Oberfläche: μ Mindest ≤ μ ≤ μ max, und Gleichheit ist hier nur an bestimmten Punkten oder entlang bestimmter Linien auf der Karte möglich. Der Hauptmaßstab der Karte charakterisiert sie also nur allgemein, in einigermaßen durchschnittlicher Form. Attitüde μ / M wird als relative Skala oder Längenzunahme bezeichnet, die Differenz M = 1.

1. Netzwerke von sphärischen Koordinatenlinien.

2.11. Anwendung von Kugel und Kugel in Astronomie und Geographie.

AUS die Kugel und der Ball sowie der Kreis und der Kreis wurden in der Antike betrachtet. Die Entdeckung der Sphärizität der Erde, die Entstehung von Ideen über die Himmelskugel gaben Anstoß zur Entwicklung einer speziellen Wissenschaft - SPHÄREN, die die auf der Kugel befindlichen Figuren untersucht.

Durch die Umsetzung Weltreise, Navigatoren bemerkten, dass bei der Rückkehr an denselben Ort ein ganzer Tag verloren oder gewonnen wird, was völlig unmöglich wäre, wenn die Erde die Form einer Scheibe hätte.

Der Beweis für die Sphärizität der Erde ist also derzeit:

Immer eine kreisförmige Figur des Horizonts im Ozean und in offenen Niederungen oder Hochebenen;

Reisen um die Welt.

Allmähliche Annäherung oder Entfernung von Objekten;

Und
verschiedene lernen geografische Karten, wir haben festgestellt, dass es in der Geographie gibt geografische Namen dem Ball zugeordnet. Zum Beispiel zwischen Nord und südlichen Inseln Novaya Zemlya hat eine Meerenge, die die Barents- und die Karasee verbindet, die Matochkin Shar genannt wird, oder die Meerenge zwischen den Ufern der Insel Vaigach und dem Festland Eurasiens - Yugorsky Shar. Wir denken, dass diese Meerengen aufgrund der Tatsache, dass ihre Abmessungen und die Form des Bodens einer Kugeloberfläche ähneln, als Kugeln bezeichnet werden.

2.12. Kugel und Ball in der Kunst

Eschers Mathematik

Zudem „spielen“ Eschers Gemälde, die verschiedene „unmögliche Figuren“ darstellen, mit der Logik des Raums; Escher hat sie sowohl einzeln als auch in Plotlithographien und Kupferstichen dargestellt.

Drei Kugeln. 1946

Hand mit reflektierender Kugel. 1935

Fazit

Ich denke, dass das von mir gesammelte Material und die im Laufe der geleisteten Arbeit gewonnenen Erkenntnisse im Geometrieunterricht, im Arbeitsalltag, als Grundlage für ein Wahlfach im physikalischen und mathematischen Unterricht sowie als Grundlage für ein Wahlfach verwendet werden können in außerschulischen Aktivitäten, um den Horizont der Schüler zu erweitern.

Literatur

Hadamard J. Elementare Geometrie. Teil 2. M.Utschpedgiz, 1958. Andrejew

Atanasyan L.S. Geometrie. Teil 2. - M: Aufklärung, 1987. - 352 p.

Bazylew V. T. Geometrie. M: Aufklärung, 1975.

Bazylew V. T. Sammlung von Problemen in der Geometrie. M: Aufklärung, 1980. -240s.

Egorov I. P. Geometrie. - M: Aufklärung, 1979. - 256 p.

Egorov I. P. Grundlagen der Geometrie. - M: Aufklärung, 1984. - 144 p.

Aufgabenbuch "Quantum": Mathematik. Teil 1. / Ed. Hinweis: Wassiljew. M: 1997.

Rosenfeld B.A. Geschichte der nichteuklidischen Geometrie. Entwicklung des Begriffs des geometrischen Raums. M. Nauka., 1976. - 408s.

Enzyklopädie der Elementarmathematik. Buch 4 - Geometrie. M., 1963.

10.Internet-Ressourcen.

Wenn Leute gefragt werden, wie sich eine Kugel von einer Kugel unterscheidet, zucken viele nur mit den Schultern und denken, dass sie eigentlich dasselbe sind (eine Analogie mit einem Kreis und einem Kreis). Kennen wir uns doch alle gut aus dem Schullehrplan mit Geometrie aus und können diese Frage sofort beantworten? Die Kugel hat einige Unterschiede zum Ball, die nicht nur Schüler kennen müssen, um eine gute Note für ihr nachgewiesenes Wissen zu bekommen, sondern zum Beispiel auch viele andere Menschen, deren Arbeit in direktem Zusammenhang mit Zeichnungen steht.

Definition

Ball ist die Gesamtheit aller Punkte im Raum. Alle diese Punkte befinden sich vom Mittelpunkt des geometrischen Körpers in einem Abstand, der nicht größer als der angegebene ist. Dieser Abstand selbst wird als Radius bezeichnet. Eine Kugel als geometrischer Körper ist wie folgt aufgebaut: Ein Halbkreis dreht sich um seinen Durchmesser. Bei der Kugel ist dies die Oberfläche der Kugel (eine geschlossene Kugel schließt sie beispielsweise ein, eine offene nicht). Die Berechnung der Fläche oder des Volumens einer Kugel ist eine ganze geometrische Formel, die trotz der scheinbaren Einfachheit der geometrischen Figur selbst sehr komplex ist.

Kugel, wie oben erwähnt, ist die Oberfläche des Balls, seine Hülle. Alle Punkte im Raum sind gleich weit vom Kugelmittelpunkt entfernt. Der Radius eines geometrischen Körpers wird als beliebiges Segment bezeichnet, von dem ein Punkt direkt der Mittelpunkt der Kugel ist und der andere an einem beliebigen Punkt auf der Oberfläche liegen kann. Wir können sagen, dass die Kugel die Hülle der Kugel ohne Inhalt ist (genauere Beispiele werden weiter unten gegeben). Genau wie eine Kugel ist eine Kugel ein Rotationskörper. Übrigens fragen sich viele auch, was der Unterschied zwischen einem Kreis und einem Kreis von einer Kugel und einer Kugel ist. Hier ist alles einfach: Im ersten Fall handelt es sich um Figuren in einem Flugzeug, im zweiten - im Weltraum.

Vergleich

Es wurde bereits gesagt, dass die Kugel die Oberfläche einer Kugel ist, was bereits von einem signifikanten Unterschied sprechen lässt. Der Unterschied zwischen den beiden geometrischen Körpern wird auch in einigen anderen Aspekten beobachtet:

• Alle Punkte der Kugel haben den gleichen Abstand vom Mittelpunkt, während der Körper durch die Oberfläche (eine innen leere Kugel) begrenzt wird. Mit anderen Worten, die Kugel ist hohl. Üblicherweise wird zum leichteren Verständnis ein einfaches Beispiel mit einem Luftballon und einer Billardkugel gegeben. Diese beiden Objekte werden Kugeln genannt, aber im ersten Fall haben wir es mit einer Kugel zu tun und im zweiten mit einer vollwertigen Kugel mit Inhalt darin.
• Eine Kugel hat ihre eigene Fläche, aber sie hat kein Volumen. Eine Kugel hingegen hat ein berechenbares Volumen, während sie keine Fläche hat. Kann jemand sagen, dass dies der Fall ist Hauptmerkmal Unterschiede, aber es erscheint nur, wenn es notwendig ist, einige Berechnungen durchzuführen (komplexe geometrische Formeln). Daher besteht der Hauptunterschied darin, dass die Kugel hohl ist und die Kugel ein Körper mit Inhalt im Inneren ist.
• Ein weiterer Unterschied liegt im Radius. Beispielsweise ist der Radius einer Kugel nicht nur der Abstand der Punkte zum Mittelpunkt. Jedes Segment, das einen Punkt auf einer Kugel mit seinem Mittelpunkt verbindet, kann als Radius bezeichnet werden. Alle diese Segmente sind einander gleich. Was den Ball betrifft, so sind die darin liegenden Punkte weniger als einen Radius vom Mittelpunkt entfernt (nur wegen der ihn begrenzenden Kugel).

Fundstelle

1. Eine Kugel ist hohl, während eine Kugel ein fester Stoff ist, der innen gefüllt ist. Zum Beispiel, Luftballon eine Kugel ist, ist eine Billardkugel eine vollwertige Kugel.
2. Eine Kugel hat eine Fläche und kein Volumen, während eine Kugel das Gegenteil tut.
3. Der dritte Unterschied ist die Messung des Radius zweier geometrischer Körper.

Kugel und Kugel sind in erster Linie geometrische Figuren, und wenn die Kugel ein geometrischer Körper ist, dann ist die Kugel die Oberfläche der Kugel. Diese Zahlen waren vor vielen tausend Jahren v. Chr. von Interesse.

Als später entdeckt wurde, dass die Erde eine Kugel und der Himmel eine Himmelskugel ist, wurde eine neue faszinierende Richtung in der Geometrie entwickelt - Geometrie auf einer Kugel oder sphärische Geometrie. Um über die Größe und das Volumen eines Balls zu sprechen, müssen Sie ihn zuerst definieren.

Ball

Eine Kugel mit Radius R, die in einem Punkt O in der Geometrie zentriert ist, wird als Körper bezeichnet, der von allen Punkten im Raum erzeugt wird, die eine gemeinsame Eigenschaft haben. Diese Punkte befinden sich in einem Abstand, der den Radius des Balls nicht überschreitet, dh sie füllen den gesamten Raum weniger als den Radius des Balls in alle Richtungen von seinem Zentrum aus. Betrachten wir nur die Punkte, die vom Mittelpunkt der Kugel gleich weit entfernt sind, betrachten wir deren Oberfläche bzw. die Hülle der Kugel.

Wie bekomme ich einen Ball? Wir können einen Kreis aus Papier ausschneiden und beginnen, ihn um seinen eigenen Durchmesser zu drehen. Das heißt, der Durchmesser des Kreises ist die Rotationsachse. Eine gebildete Figur wird ein Ball sein. Daher wird die Kugel auch Rotationskörper genannt. Weil es durch Drehen einer flachen Figur - eines Kreises - gebildet werden kann.

Nehmen wir ein Flugzeug und schneiden uns damit den Ball ab. So wie wir eine Orange mit einem Messer schneiden. Das Stück, das wir von der Kugel abschneiden, heißt Kugelsegment.

Im alten Griechenland wusste man nicht nur, wie man mit einer Kugel und einer Kugel arbeitet, wie zum Beispiel mit geometrischen Figuren, um sie beim Bauen zu verwenden, sondern wusste auch, wie man die Oberfläche einer Kugel und das Volumen berechnet ein Ball.

Eine Kugel ist ein anderer Name für die Oberfläche einer Kugel. Eine Kugel ist kein Körper – sie ist die Oberfläche eines Rotationskörpers. Da jedoch die Erde und viele Körper eine Kugelform haben, wie beispielsweise ein Wassertropfen, ist die Untersuchung geometrischer Beziehungen innerhalb der Kugel weit verbreitet.

Wenn wir zum Beispiel zwei Punkte der Kugel durch eine gerade Linie miteinander verbinden, dann wird diese gerade Linie Sehne genannt, und wenn diese Sehne durch den Mittelpunkt der Kugel geht, der mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammenfällt, dann wird die Sehne der Durchmesser der Kugel genannt.

Wenn wir eine gerade Linie zeichnen, die die Kugel nur an einem Punkt berührt, wird diese Linie Tangente genannt. Außerdem ist diese Tangente an die Kugel an diesem Punkt senkrecht zum Radius der Kugel, die zum Tangentenpunkt gezogen wird.

Wenn wir den Akkord in einer Richtung und in der anderen von der Kugel zu einer geraden Linie fortsetzen, wird dieser Akkord als Sekante bezeichnet. Oder man kann es anders sagen – die Sekante zur Kugel enthält ihren Akkord.

Ballvolumen

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Balls lautet:

wobei R der Radius der Kugel ist.

Wenn Sie das Volumen eines Kugelsegments ermitteln müssen, verwenden Sie die Formel:

V seg \u003d πh 2 (R-h / 3), h ist die Höhe des Kugelsegments.

Oberfläche einer Kugel oder Kugel

So berechnen Sie die Fläche einer Kugel oder die Oberfläche einer Kugel (sie sind gleich):

wobei R der Radius der Kugel ist.

Archimedes liebte den Ball und die Kugel sehr, er bat sogar darum, eine Zeichnung auf seinem Grab zu hinterlassen, in der eine Kugel in einen Zylinder eingeschrieben ist. Archimedes glaubte, dass das Volumen einer Kugel und ihre Oberfläche zwei Dritteln des Volumens und der Oberfläche des Zylinders entsprechen, in den die Kugel eingeschrieben ist.

Kugel (Kugel)

sphärische Oberfläche. Kugel (Kugel). Kugelabschnitte: Kreise.

Satz von Archimedes. Teile der Kugel: Kugelsegment (kugelförmig),

Kugelschicht, Kugelgürtel, Kugelsektor.

sphärische Oberfläche - Das Ort der Punkte(diese. vieleMenge aller Punkte)im Raum gleich weit von einem Punkt entfernt Ö , die als Mittelpunkt der Kugeloberfläche bezeichnet wird (Abb.90). Radius AOi Durchmesser AB sind wie in einem Kreis definiert.

Kugel (Kugel) - Das ein Körper, der von einer Kugeloberfläche begrenzt wird. dürfen Holen Sie sich einen Ball, indem Sie einen Halbkreis drehen ( oder Kreis ) um den Durchmesser. Alle ebenen Schnitte der Kugel sind Kreise ( Abb.90 ). Der größte Kreis liegt in dem Abschnitt, der durch die Mitte der Kugel geht, und heißt großer Kreis. Ihr Radius ist gleich dem Radius der Kugel. Zwei beliebige Großkreise schneiden sich im Durchmesser der Kugel ( AB, Abb.91 ). Dieser Durchmesser ist auch der Durchmesser der sich schneidenden Großkreise. Durch zwei Punkte einer Kugeloberfläche, die sich an den Enden des gleichen Durchmessers befinden(A und B, Abb.91 ) können Sie unendlich viele Großkreise zeichnen. Beispielsweise können unendlich viele Meridiane durch die Pole der Erde gezogen werden.

Das Volumen einer Kugel ist anderthalbmal kleiner als das Volumen des umschriebenen Zylinders. (Abb.92 ), a Die Oberfläche einer Kugel ist anderthalbmal kleiner als die Gesamtoberfläche desselben Zylinders ( Satz von Archimedes):

Hier S Ball und v Ball sind die Oberfläche bzw. das Volumen der Kugel;

S Zyl und v Zyl - Gesamtfläche und Volumen des umschriebenen Zylinders.

Kugelteile. Teil des Balls (Kugeln ), von einem Flugzeug abgeschnitten ( ABC, Abb.93), genannt Ball(kugelförmig ) Segment. ABC-Kreis genannt Basis Kugelsegment. Liniensegment MN eine von der Mitte gezogene Senkrechte N Kreis ABC bis es eine Kugeloberfläche schneidet, heißt hoch Kugelsegment. Punkt M genannt Gipfel Kugelsegment.

Teil einer Kugel, die zwischen zwei parallelen Ebenen eingeschlossen ist ABC und DEF schneiden eine Kugeloberfläche (Abb.93), genannt sphärische Schicht; die gekrümmte Oberfläche der Kugelschicht heißt Kugelgürtel(Zone). Kreise ABC und DEF – Gründen Kugelgürtel. Distanz NK zwischen den Basen des Kugelgürtels - seine Höhe. Teil einer Kugel, begrenzt durch die gekrümmte Oberfläche eines Kugelsegments ( AMCB, Abb.93) und eine konische Oberfläche OABC , dessen Basis die Basis des Segments ist ( ABC ), und der Scheitelpunkt ist der Mittelpunkt der KugelÖ , wird genannt Kugelsektor.

Definition.

Kugel (Kugeloberfläche) ist die Sammlung aller Punkte im dreidimensionalen Raum, die von einem einzigen Punkt gleich weit entfernt sind, genannt das Zentrum der Kugel(Ö).

Eine Kugel kann als dreidimensionale Figur beschrieben werden, die entsteht, indem ein Kreis um 180° um ihren Durchmesser oder ein Halbkreis um 360° um ihren Durchmesser gedreht wird.

Definition.

Ball ist die Sammlung aller Punkte im dreidimensionalen Raum, deren Abstand zu einem als Punkt bezeichneten bestimmten Abstand eine bestimmte Entfernung nicht überschreitet Kugelzentrum(O) (Menge aller Punkte des dreidimensionalen Raums, die durch eine Kugel begrenzt sind).

Eine Kugel kann als dreidimensionale Figur beschrieben werden, die durch Drehung eines Kreises um 180° um ihren Durchmesser oder eines Halbkreises um 360° um ihren Durchmesser entsteht.

Definition. Kugelradius(R) ist der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel (Ball) Ö zu einem beliebigen Punkt der Kugel (Oberfläche der Kugel).

Definition. Durchmesser der Kugel (Kugel).(D) ist ein Segment, das zwei Punkte der Kugel (die Oberfläche der Kugel) verbindet und durch ihren Mittelpunkt verläuft.

Formel. Ballvolumen:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Formel. Oberfläche einer Kugel Durchgangsradius oder Durchmesser:

S = 4π R 2 = π D 2

Kugelgleichung

1. Gleichung einer Kugel mit Radius R und Mittelpunkt im Ursprung des kartesischen Koordinatensystems:

x2 + y2 + z2 = R2

2. Gleichung einer Kugel mit Radius R und Mittelpunkt an einem Punkt mit Koordinaten (x 0 , y 0 , z 0) im kartesischen Koordinatensystem:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definition. diametral gegenüberliegende Punkte sind zwei beliebige Punkte auf der Oberfläche einer Kugel (Kugel), die durch einen Durchmesser verbunden sind.

Grundlegende Eigenschaften einer Kugel und einer Kugel

1. Alle Punkte der Kugel sind gleich weit vom Mittelpunkt entfernt.

2. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis.

3. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis.

4. Die Kugel hat das größte Volumen unter allen Raumfiguren mit gleichem Flächeninhalt.

5. Durch zwei beliebige diametral gegenüberliegende Punkte können Sie viele große Kreise für eine Kugel oder Kreise für eine Kugel zeichnen.

6. Durch zwei beliebige Punkte, mit Ausnahme von diametral gegenüberliegenden Punkten, ist es möglich, nur einen großen Kreis für eine Kugel oder einen großen Kreis für eine Kugel zu zeichnen.

7. Zwei beliebige Großkreise einer Kugel schneiden sich entlang einer geraden Linie, die durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft, und die Kreise schneiden sich an zwei diametral gegenüberliegenden Punkten.

8. Wenn der Abstand zwischen den Mittelpunkten zweier Kugeln kleiner ist als die Summe ihrer Radien und größer als der Betrag der Differenz zwischen ihren Radien, dann solche Kugeln schneiden, und in der Schnittebene wird ein Kreis gebildet.

Die Sekante, Sehne, Sekantenebene der Kugel und ihre Eigenschaften

Definition. Die Sekante der Sphären ist eine Gerade, die die Kugel an zwei Punkten schneidet. Die Schnittpunkte werden genannt Punktionsstellen Oberfläche oder Ein- und Austrittspunkte auf der Oberfläche.

Definition. Sehne einer Kugel (Ball) ist ein Segment, das zwei Punkte einer Kugel (der Oberfläche einer Kugel) verbindet.

Definition. Schnittebene ist die Ebene, die die Kugel schneidet.

Definition. Diametralebene- Dies ist eine Sekantenebene, die durch den Mittelpunkt einer Kugel oder Kugel verläuft, deren Schnitt jeweils gebildet wird schöner Kreis und großer Kreis. Der Großkreis und der Großkreis haben einen Mittelpunkt, der mit dem Mittelpunkt der Kugel (Kugel) zusammenfällt.

Jede Sehne, die durch den Mittelpunkt einer Kugel (Ball) verläuft, ist ein Durchmesser.

Ein Akkord ist ein Segment einer Sekantenlinie.

Der Abstand d vom Kugelmittelpunkt zur Sekante ist immer kleiner als der Kugelradius:

d< R

Der Abstand m zwischen Schnittebene und Kugelmittelpunkt ist immer kleiner als der Radius R:

m< R

Der Schnitt der Schnittebene auf der Kugel wird immer sein kleiner Kreis, und am Ball wird der Abschnitt sein kleiner Kreis. Ein kleiner Kreis und ein kleiner Kreis haben ihre Mittelpunkte, die nicht mit dem Mittelpunkt der Kugel (Kugel) zusammenfallen. Der Radius r eines solchen Kreises kann durch die Formel gefunden werden:

r \u003d √ R 2 - m2,

Wobei R der Radius der Kugel (Kugel) ist, m ist der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Schnittebene.

Definition. Halbkugel (Halbkugel)- Dies ist die Hälfte der Kugel (Kugel), die entsteht, wenn sie von einer diametralen Ebene geschnitten wird.

Tangente, Tangentialebene an die Kugel und ihre Eigenschaften

Definition. Tangente an die Kugel ist eine Gerade, die die Kugel nur an einem Punkt berührt.

Definition. Tangentialebene zur Kugel ist eine Ebene, die die Kugel nur an einem Punkt berührt.

Die Tangente (Ebene) steht immer senkrecht auf dem Radius der zum Berührungspunkt gezogenen Kugel

Der Abstand vom Kugelmittelpunkt zur Tangente (Ebene) ist gleich dem Kugelradius.

Definition. Kugelsegment- Dies ist der Teil der Kugel, der durch eine Schnittebene von der Kugel abgeschnitten wird. Das Rückgrat des Segments Nennen Sie den Kreis, der sich an der Stelle des Abschnitts gebildet hat. Segmenthöhe h ist die Länge der von der Mitte der Tübbingbasis zur Tübbingoberfläche gezogenen Senkrechten.

Formel. Äußerer Oberflächenbereich eines Kugelsegments mit Höhe h bezogen auf den Kugelradius R:

S = 2π Rh