‌‌‌V okres vědeckou a praktickou konferenci výzkum, design a kreativní práce studenti "První kroky ve vědě"

Výzkumná práce na toto téma:

"Koule a koule jsou obyčejná geometrická tělesa."

Vyplnil: student 9. ročníku MBOU

„Kochetovská průměr všeobecná střední škola» Romanov Dima.

Vedoucí: učitel matematiky a fyziky Tremaskina V.S.

Úvod ________________________________________________________________3

1. Historie studia geometrických těles: koule, koule ________________________3

2. Koule a koule.

2.1. Pojem koule a koule __________________________________________________3-4

2.2. Sférická rovnice_________________________________________________4

2.3. Vzájemné uspořádání koule a roviny __________________________ 4-6

2.4. Tečná rovina ke kouli ___________________________________________6-7

2.5. Plocha koule a objem míče ______________________________________ 7

2.6. Získání Orbu ______________________________________________ 7-8

2.7. Hledání koule a míče v přírodě_______________________________ 9-13

2.8 Koule a koule dovnitř Každodenní život _________________________________14-15

2.9. Aplikace koule a koule v architektuře _____________________________ 16-22

2.10. Použití koule a koule v geodézii _________________________________23

2.11 Aplikace koule a koule v astronomii a geografii__________________24

2.12. Koule a koule v umění ___________________________________________25

Závěr __________________________________________________________________25

Literatura ________________________________________________________________26

Relevance zvoleného tématu.

Po staletí lidstvo nepřestává doplňovat své vědecké znalosti v určitém oboru vědy. Mnoho vědeckých geometrů a dokonce i obyčejných lidí se zajímalo o takovou postavu, jako je míč a jeho „skořápka“, nazývaná koule. Mnoho skutečných objektů ve fyzice, astronomii, biologii a dalších přírodních vědách má kulovitý tvar. Proto bylo studium vlastností míče přiděleno v různých historických epochách a je mu v naší době přisuzována významná role.

Účel studia: studujte geometrická tělesa koule a koule, zvažte jejich použití v různých oblastech vědy, v každodenním životě, v přírodě, vytvořte prezentaci „Kule a koule jsou obyčejná geometrická tělesa“.

úkoly:

1. Sbírejte materiál o míči a kouli pomocí různých zdrojů informací, včetně internetových zdrojů.

2. Systematizujte materiál o míči a kouli.

4. Vytvořte prezentaci" Koule a koule - obyčejná geometrická tělesa».

5. Prezentujte práci v hodině geometrie při studiu tématu "Koule a koule".

Předmět studia : koule a koule

Předmět studia : prvky a vlastnosti koule a koule

Hypotéza: Potřebujeme koule, aby byl náš svět rozmanitější a objemnější.

Metody: dílčí rešerše, výzkum, srovnávací analýza, syntéza, praktické.

Výsledek výzkumu: získané znalosti jsou potřebné nejen pro astronomy, navigátory námořní lodě, letadla, kosmické lodě, které určují jejich souřadnice podle hvězd, ale i pro stavitele dolů, metra, tunelů, architekty, ale i pro geodetické zaměření velkých ploch zemského povrchu, kdy je potřeba brát v úvahu jeho kulovitost, v každodenním život.

Vědecká novinka: Teoretická látka je předkládána formou srozumitelnou pro středoškoláky.

Praktický význam: tento materiál lze použít jako základ pro výběrový kurz v hodinách fyzikálního a matematického profilu, ve výuce při studiu témat "Koule a míč".

Úvod

Po mnoho staletí lidstvo nepřestává doplňovat své vědecké znalosti v určitém oboru vědy. Stereometrie, jako věda o postavách ve vesmíru, je neoddělitelně spjata s mnoha vědeckými disciplínami. Mezi takové disciplíny patří: matematika, fyzika, informatika a programování, stejně jako chemie a biologie. V tom druhém je problém studia mikrosvěta, což je složitá kombinace různých částic v prostoru vůči sobě navzájem. V architektuře se neustále používají věty a důsledky ze stereometrie.

Mnoho vědců, geometrů, a dokonce i obyčejných lidí, se zajímalo o takovou postavu, jako je míč a jeho "skořápka", nazývaná koule. Kupodivu je míč jediným tělem, které má větší plocha plochy s objemem rovným objemu jiných porovnávaných těles, jako je krychle, hranol nebo jiné různé mnohostěny. Kuličky řešíme každý den. Téměř každý člověk například používá propisovací tužku, na jejímž konci je nasazena kovová kulička, která se otáčí působením třecích sil mezi ní a papírem a v procesu otáčení na svém povrchu kulička „nese ven“ další část inkoustu. V automobilovém průmyslu se vyrábí kulové klouby, které jsou velmi důležitý detail v autě a zajištění správného natočení kol a stability vozu na vozovce. Prvky strojů, letadel, raket, motocyklů, granátů, plachetnic, které jsou neustále vystaveny vodě nebo vzduchu, mají převážně nějaký druh kulového povrchu, nazývaného aerodynamické kryty.

Historie studia geometrických těles: koule, koule

Koulí je zvykem nazývat těleso ohraničené koulí, tzn. koule a koule jsou různá geometrická tělesa. Obě slova koule a koule však pocházejí ze stejného řeckého slova ohnivý - koule. Zároveň vzniklo slovo „koule“ přechodem souhlásek sph v sh.

V knize XI prvků Euklides definuje kouli jako obrazec popsaný půlkruhem rotujícím kolem pevného průměru. V dávných dobách byla koule držena ve velké úctě. Astronomická pozorování nebeské klenby vždy evokují obraz koule.

Koule byla vždy široce používána v různých oblastech vědy a techniky.

2.1. Koncept koule a koule

Koule je plocha sestávající ze všech bodů v prostoru umístěných v dané vzdálenosti od daného bodu.

Těleso ohraničené koulí se nazývá koule.

Tento bod se nazývá střed koule a tato vzdálenost se nazývá poloměr koule.

Úsečka, která spojuje dva body na kouli a prochází skrz

přes její střed se nazývá průměr koule.

Střed, poloměr, průměr koule se také nazývá střed, poloměr a průměr koule.

2.2. Sférická rovnice

Nastavíme pravoúhlý souřadnicový systém Óxyz

Postavme kouli se středem v bodě C (x 0; y 0; z 0)

a poloměr R

MS \u003d (x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2

MS = R nebo MS2 = R2

proto ta rovnice

koule vypadá takto:

(x-x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 + (z - z 0 ) 2 = R 2

2.3. Vzájemné uspořádání koule a roviny

Vzhledem k tomu:

Na kouli leží koule o poloměru R se středem C (x 0; y 0; z 0), bod M (x; y; z).

Jaká je vzdálenost MC?

Protože MS = R tedy

M

R

S

Z ZSS

Dáno: rovina α, koule (С; R),

d je vzdálenost od středu C k rovině α.

Zavedeme souřadnicový systém, kde bod je C (x 0; y 0; z 0). Sestavme rovnice koule a roviny α .

z

P
Nechť bod C leží na ose z. Pak jsou jeho souřadnice (0; 0; d ).

Kulová rovnice:

Rovinná rovnice α: z = 0

Pojďme prozkoumat soustavu rovnic:

z = 0

Pak

V závislosti na poměru d a R jsou možné 3 případy ...

1
) d< R .

Pak

kruhová rovnice (O; r)

Řez koulí rovinou - kružnice

2
) d = R.

Pak

V erno at

x=0 a y=0

Koule a rovina mají jeden společný bod.

3
) d > R .

Pak

nemá řešení.

Koule a rovina nemají společné body.

2.4. Tečná rovina ke kouli

Rovina, která má s koulí pouze jeden společný bod, se nazývá tečnou rovinou ke kouli a jejich společný bod se nazývá tečný bod roviny a koule.

Teorém. Poloměr koule nakreslené v bodě dotyku mezi koulí a rovinou je kolmý k tečné rovině.

Dáno: koule se středemÓ a poloměrR , α - tečna ke kouli v boděALE letadlo.

Dokázat: OA A .

Důkaz: Nech OA není kolmá k rovině A , pak OA je nakloněna k rovině, což znamená, že vzdálenost od středu k rovině d < R . Tito. koule musí rovinu protínat v kružnici, ale to nesplňuje podmínku věty. Prostředek, OA A .

Dokažme obrácenou větu.

Pokud je poloměr koule kolmý k rovině procházející jejím koncem ležícím na kouli, pak je tato rovina tečnou ke kouli.

Dáno: koule se středemÓ a poloměr OA , a, OA A .

Dokázat:A je tečnou rovinou.

Důkaz: OA A , pak se vzdálenost od středu koule k rovině rovná poloměru. Takže koule a rovina mají jeden společný bod. Podle definice je rovina tečnou ke kouli.

2.5. Plocha koule a objem koule

a poloměr koule jsou definovány pomocí vzorců:

Důkaz

Vezměte čtvrtkruh o poloměru R se středem v bodě. Kruhová rovnice pro tento kruh je:, kde.

Funkce je spojitá, rostoucí, nezáporná. Když se čtvrtina kruhu otočí kolem osy Ox, vytvoří se polokoule, proto:

Kde je Ch. t.

Důkaz

H. t. d.

Část míče, [ ] odříznutý od něj nějakou rovinou se nazývá kulový nebo kulový segment. Základem kulového segmentu je kruh abeceda. Výška kulového segmentu je segment NM, tj. délka kolmice obnovená od středu N základny, dokud se neprotne s povrchem koule. Tečka M se nazývá vrchol kulového segmentu.

Objem segmentu míče vyjádřeno vzorcem:

PROTI = π h 2 ( R − 1/3 h)

kuličková vrstva je součástí míče [ ], uzavřený mezi dvěma sečnými rovnoběžnými rovinami. míčový pás nebo míčová zóna je zakřivený povrch kulové vrstvy. Kruhy ABC a DEF to jsou základy kulového pásu. Vzdálenost mezi baseON je výška kulové vrstvy.

Objem kulové vrstvy vyjádřeno vzorcem:

PROTI = 1/6 π h 3 + 1/2 π( r 1 2 + r 2 2 ) h

Míčový sektor je součástí míče [ ], ohraničený zakřiveným povrchem kulového segmentu a kuželovým povrchem, jehož základna segmentu slouží jako základna a střed koule slouží jako vrchol.

Objem sférického sektoru rovná se , jehož základna má stejnou plochu jako část kulové plochy vyříznutá sektorem a výška je rovna poloměru

PROTI = 1/3 R S = 2/3 π R 2 h

2.6. Získání koule

Kouli lze získat otáčením půlkruhu DAB kolem průměru AB

2.7. Hledání koule a míče v přírodě

W hádanky přírody - Sféry-zprávy.Tyto tajemné kamenné útvary dokonale kulatého tvaru byly objeveny koncem 40. let 20. století v džunglích Středoamerické republiky Kostarika. Míče mají velikosti od 10 cm do 3-4 metrů v průměru. Při leteckém snímkování se ukázalo, že nejsou roztroušeny po povrchu země náhodou, ale tvoří geometrické tvary. Je dokonce možné, že koule nejsou rozházené, ale rozložené do podoby obrovské hvězdné mapy; každá kulička je hvězda s odpovídajícím popisem.

Mezi hypotézami o původu koulí existují pouze exotické verze: od mimozemšťanů po sochaře Atlantidy. Existuje i verze, že koule vystřihli (na základě budoucích dividend z cestovního ruchu) znudění nacističtí migranti, kteří po rozpadu „Třetí říše“ zaplavili Latinskou Ameriku. Množství kuliček a podivných kreseb na nich nebylo možné vysvětlit přirozenými důvody. V Kazachstánu bylo při vývoji pískovny v poměrně velké hloubce také objeveno několik velkých exemplářů takových balvanů... Tento objev ohlásila komise Fenomén; Bohužel se nedochovaly žádné fotografie nálezů.

Křišťálová koule. Makro fotografie. Na větvi stromu leží skleněná koule, která odráží okolní přírodu. Velmi pěkné žluté květy a zelená šťavnatá tráva.

Z zářící koule

na fotografii v místech moci - výsledek rozpadu uranu nebo plazmoidní forma života?

Kostel Božího hrobu a další místa v Izraeli

A
zajímavý přírodní úkaz na březích Michiganského jezera se vytvořily tisíce pravidelných ledových koulí

Mořské řasy ve formě neobvyklých kuliček

podivné koule se objevil na pobřeží Hamptons, na východním pobřeží Spojených států, v červnu 2002. Přílivová vlna začala snášet nespočet takových nazelenalých míčků - měkkých, nejasně připomínajících houbu a velikosti tenisového nebo golfového míčku. Ve vzdálenosti asi 300 a více metrů byla celá písečná pláž doslova poseta takovými míčky. Okamžitě začaly spory - co to je a odkud to pochází? Do debaty byli zapojeni také mořští biologové, rekreanti na pláži a přihlížející. Nikdo předtím nic takového neviděl.

Příroda se bojí symetrie, příroda nezná ideální geometrické tvary. Na druhou stranu může člověk přinutit přírodu, aby získala tyto cizí formy. Dobrým příkladem toho je dílo korejského umělce Lee Jae-Hyo, který tvoří zkmeny stromů ideální koule

T

Tisíce malých fialových kuliček podivně skončily uprostřed pouště v Arizoně v USA. Obyvatelé Tucsonu Geraldine Vargas a její manžel objevili před pár týdny při procházce po okolí nevysvětlitelný shluk podivných kuliček. "Fotili jsme přírodu pouště, když jsme narazili na toto podivné místo... Nechápu, jak jsme si toho hned nevšimli," řekla novinářům Geraldine. "Na slunci se to jen lesklo." Fotografové poslali fotografii s podivnými předměty své kamarádce zooložce, ale nedokázala říct, co to bylo, neměla o tom ani žádné domněnky.

Minerální kuličky.

Ametyst, Brazílie.

Horský krystal.South.Chelyab.reg.Prodáno.

Amazonit. Poloostrov Kola. Prodáno.

2.8 Koule a míč v každodenním životě

H
a geometrická koule jsou podobné zeměkoule, fotbalový míč, vánoční hračky.

DIY pěnový míč

Zorbing - Toto je dnes jedna z nejmódnějších extrémních zábav. Zorbing vám umožní zažít nové, neobvykle jasné a silné pocity a vymanit se z rutiny každodenního života.

Co je to zorb míč

W orb (ZORB) je průhledná koule (koule) o průměru 3,2 metru uvnitř které je koule o průměru 1,8 metru, ve které je zorbonaut (pasažér zorb). Prostor mezi těmito koulemi je vyplněn vzduchem, jehož tlakem se koule od sebe roztrhnou a naopak jsou drženy závěsy. Takový systém velmi dobře pohlcuje, vyhlazuje nerovnosti stopy a dělá jízdu bezpečnou.

2.9.Využití koule a koule v architektuře

Tento dům se jmenuje VIGVAM. Takové domy se staví INDIÁNI.

Nerezové kuličky a polokoule

Fontána „Otáčející semíč "v St.

Petrohrad -

moderní domy

Co kdyžDům nejen na stromě, ale i ve tvaru koule.

Tohle je vesnice těch nejskutečnějšíchkulaté domy .

Z
Moderní kulaté domy

Montreal Biosphere - americký pavilon na Expo 67 v Kanadě,

navrhl architekt Richard Fuller.

Hotel v podobě průhledných koulí

V
o francouzském městě Roubaix (Roubaix) v jednom z parků otevřeli přenosné hotelové pokoje Hotel Bolha. Udělali jsme to speciálně pro lidi, kteří i v centru městské džungle chtějí být blíže přírodě.Koncept bubliny vytvořil designér Pierre Stéphane Dumas. Takto pokročilý design byl vytvořen s cílem dočasně propojit hosty s neznámým. Přeci jen málokdo si může dovolit spát pod kulatým stropem.

Balonové šaty.

venkovská kancelář Brzy jaro (a pak léto) a mnozí začnou jezdit na venkov odpočívat.
Ale někdy je potřeba pracovat na venkově (sakra!). Nemáte kde odejít do důchodu?
Zde je možné v takové malé kulovité struktuře "Archipod":

ENERGETICKÁ ÚČINNOST varchitektura . Smart House je molekula.

Vědeckotechnický park La Vilette, postavený na místě jatek na východním okraji Paříže, se vyznačuje obří koulí, která na svém zrcadlovém povrchu odráží pařížskou oblohu a okolní krajinu. Dnes je tato stavba považována za nejdokonalejší kulovou stavbu na světě. Pařížané tomu říkají Geode. Toto je panoramatický

kino s největším plátnem v Evropě. domácí koule zrcadlo

Takové koule nití lze jednoduše zavěsit z větví stromu, pokud se vaše dovolená odehrává v přírodě nebo ze stropu. A také mohou uspořádat banketní stůl a doplnit kompozici svíčkami a květinami.

2.10. Aplikace koule a koule v geodézii.

Mapové projekce

zobrazení celého povrchu zemského elipsoidu (viz ) nebo její část na rovinu, získané hlavně za účelem sestavení mapy.

Měřítko.K. položky jsou stavěny v určitém měřítku. Mentální zmenšení zemského elipsoidu naMkrát, například 10 000 000 krát, získejte jeho geometrický model - , jehož obraz je na rovině již v životní velikosti, dává mapu povrchu tohoto elipsoidu. Hodnota 1:M(v příkladu 1: 10 000 000) definuje hlavní neboli obecné měřítko mapy. Protože plochy elipsoidu a koule nelze vyvinout do roviny bez nespojitostí a záhybů (nepatří do třídy rozvinutelných ploch (viz obr. )), každá mapa má zkreslení v délkách čar, úhlů atd., které jsou charakteristické pro jakoukoli mapu. Hlavní charakteristikou C.P. v jakémkoli bodě je dílčí měřítko μ. Toto je převrácená hodnota poměru infinitezimálního segmentudsna zemském elipsoidu k obrazu svémudσ na povrchu: μ min ≤ μ ≤ μ maxa rovnost je zde možná pouze v určitých bodech nebo podél určitých čar na mapě. Hlavní měřítko mapy ji tedy charakterizuje pouze obecně, v nějaké průměrné formě. přístup μ / M se nazývá relativní měřítko nebo zvětšení délky, rozdíl M = 1.

1. Sítě sférických souřadnic.

2.11. Aplikace koule a koule v astronomii a geografii.

Z koule a koule, stejně jako kruh a kruh, byly považovány za starověku. Objev kulovitosti Země, vznik myšlenek o nebeské sféře dal podnět k rozvoji speciální vědy - SFÉRY, která studuje postavy umístěné na sféře.

Zavedením cestování po světě, si navigátoři všimli, že při návratu na stejné místo dochází ke ztrátě či zisku celého dne, což by bylo zcela nemožné, kdyby Země měla tvar disku.

Takže důkazy pro kulovitost Země jsou v současnosti:

Vždy kruhový obrazec obzoru v oceánu a v otevřených nížinách nebo náhorních plošinách;

Cestování kolem světa.

Postupné přibližování nebo odstraňování předmětů;

A
učení různé geografické mapy, zjistili jsme, že v zeměpisu existuje zeměpisné názvy spojené s míčem. Například mezi Severem a jižní ostrovy Novaya Zemlya má úžinu, která spojuje Barentsovo a Karské moře, která se nazývá Matochkin Shar, nebo úžina mezi břehy ostrova Vaigach a pevninou Eurasie - Yugorsky Shar. Myslíme si, že tyto úžiny se nazývají koule, protože svými rozměry a tvarem dna připomínají kulovou plochu.

2.12. Koule a koule v umění

Escherova matematika

Escherovy obrazy, které zobrazují různé „nemožné postavy“, si navíc „pohrávají“ s logikou prostoru; Escher je ztvárnil jak samostatně, tak v dějových litografiích a rytinách.

Tři koule. 1946

Ruka s reflexní koulí. 1935

Závěr

Domnívám se, že materiál, který jsem nashromáždil, a poznatky získané během vykonávané práce mohou být použity v hodinách geometrie, práce, v každodenním životě, jako základ pro volitelný kurz ve fyzikálních a matematických třídách, jakož i v mimoškolních aktivitách rozšířit obzory žáků.

Literatura

Hadamard J. Elementární geometrie. Část 2. M. Uchpedgiz, 1958. Andreev

Atanasyan L.S. Geometrie. Část 2. - M: Osvícení, 1987. - 352 s.

Bazylev V.T. Geometrie. M: Osvícení, 1975.

Bazylev V.T. Sbírka úloh z geometrie. M: Osvícení, 1980. -240. léta.

Egorov I.P. Geometrie. - M: Osvícení, 1979. - 256 s.

Egorov I.P. Základy geometrie. - M: Osvícení, 1984. - 144 s.

Problémová kniha "Quantum": Matematika. Část 1. / Ed. N.B. Vasiliev. M: 1997.

Rosenfeld B.A. Historie neeuklidovské geometrie. Vývoj konceptu geometrického prostoru. M. Nauka., 1976. - 408s.

Encyklopedie elementární matematiky. Kniha 4 - Geometrie. M., 1963.

10. Internetové zdroje.

Když lidé dostanou otázku, jak se koule liší od koule, mnozí jen pokrčí rameny a myslí si, že jsou vlastně totéž (analogie s kruhem a kruhem). Opravdu, známe všichni geometrii dobře ze školních osnov a dokážeme na tuto otázku okamžitě odpovědět? Koule má od míče určité odlišnosti, které musí znát nejen školáci, aby za své prokázané znalosti dostali dobrou známku, ale například i řada dalších lidí, jejichž práce s kresbou přímo souvisí.

Definice

Míč je souhrn všech bodů ve vesmíru. Všechny tyto body jsou od středu geometrického tělesa ve vzdálenosti, která není větší než zadaná. Tato vzdálenost sama o sobě se nazývá poloměr. Koule jako geometrické těleso je vytvořena následovně: kolem jejího průměru se otáčí půlkruh. Pokud jde o kouli, jedná se o povrch koule (např. uzavřená koule ji zahrnuje, otevřená nikoli). Výpočet plochy nebo objemu koule je celý geometrický vzorec, který je velmi složitý, navzdory zdánlivé jednoduchosti samotného geometrického útvaru.

Koule, jak je uvedeno výše, je povrch míče, jeho skořápka. Všechny body v prostoru jsou stejně vzdálené od středu koule. Pokud jde o poloměr geometrického tělesa, nazývá se libovolný segment, jehož jeden bod je přímo středem koule a druhý může být umístěn v libovolném bodě povrchu. Dá se říci, že koule je obal koule bez obsahu (konkrétnější příklady budou uvedeny níže). Stejně jako koule je koule rotačním tělesem. Mimochodem, mnozí se také diví, jaký je rozdíl mezi kruhem a kruhem od koule a míče. Všechno je zde jednoduché: v prvním případě se jedná o postavy v rovině, ve druhém - ve vesmíru.

Srovnání

Již bylo řečeno, že koule je povrch koule, což již umožňuje mluvit o jednom výrazném znaku odlišnosti. Rozdíl mezi těmito dvěma geometrickými tělesy je také pozorován v některých dalších aspektech:

• Všechny body koule jsou ve stejné vzdálenosti od středu, přičemž těleso je omezeno povrchem (koule, která je uvnitř prázdná). Jinými slovy, koule je dutá. Obvykle se pro snazší pochopení uvádí jednoduchý příklad s balonem a kulečníkovou koulí. Oba tyto předměty se nazývají koule, ale v prvním případě máme co do činění s koulí a ve druhém s plnohodnotnou koulí s obsahem uvnitř.
• Koule má svou vlastní plochu, ale nemá žádný objem. Na druhé straně koule má objem, který lze vypočítat, zatímco nemá žádnou plochu. Může někdo říct, že je to tak hlavní rys rozdíly, ale objeví se pouze v případě, že je nutné provést nějaké výpočty (složité geometrické vzorce). Proto je hlavní rozdíl v tom, že koule je dutá a koule je tělo s obsahem uvnitř.
• Další rozdíl spočívá v poloměru. Například poloměr koule není jen vzdálenost bodů ke středu. Jakýkoli segment spojující bod na kouli s jejím středem lze nazvat poloměrem. Všechny tyto segmenty jsou si navzájem rovné. Pokud jde o kouli, body ležící v ní jsou méně než poloměr od středu (právě kvůli kouli, která ji ohraničuje).

Místo nálezu

1. Koule je dutá, zatímco koule je těleso vyplněné uvnitř. Například, Balón je koule, kulečníková koule je plnohodnotná koule.
2. Koule má plochu a žádný objem, zatímco koule dělá opak.
3. Třetím rozdílem je měření poloměru dvou geometrických těles.

Koule a koule jsou primárně geometrické útvary, a pokud je koule geometrickým tělesem, pak je koule povrchem koule. Tyto údaje byly zajímavé před mnoha tisíci lety před naším letopočtem.

Následně, když se zjistilo, že Země je koule a nebe je nebeská koule, byl vyvinut nový fascinující směr v geometrii - geometrie na kouli nebo sférická geometrie. Aby bylo možné mluvit o velikosti a objemu míče, musíte jej nejprve definovat.

Míč

Koule o poloměru R se středem v bodě O v geometrii se nazývá těleso, které je vytvořeno všemi body v prostoru, které mají společnou vlastnost. Tyto body jsou umístěny ve vzdálenosti nepřesahující poloměr koule, to znamená, že vyplňují celý prostor méně, než je poloměr koule ve všech směrech od jejího středu. Pokud budeme uvažovat pouze ty body, které jsou stejně vzdálené od středu koule, budeme uvažovat její povrch nebo plášť koule.

Jak mohu získat míč? Z papíru můžeme vystřihnout kruh a začít s ním otáčet kolem jeho vlastního průměru. To znamená, že průměr kruhu bude osou otáčení. Vzdělaná postava bude ples. Proto se kouli také říká rotační těleso. Protože se dá vytvořit otáčením plochého obrazce - kruhu.

Vezmeme nějaké letadlo a uřízneme si s ním kouli. Stejně jako krájíme nožem pomeranč. Kus, který jsme odřízli z koule, se nazývá segment koule.

Ve starověkém Řecku uměli nejen pracovat s koulí a koulí, jako například s geometrickými obrazci, používat je ve stavebnictví, ale také věděli, jak vypočítat povrch koule a objem. míč.

Koule je jiný název pro povrch koule. Koule není těleso - je to povrch rotačního tělesa. Protože však Země a mnoho těles má kulový tvar, jako je například kapka vody, studium geometrických vztahů uvnitř koule se rozšířilo.

Pokud například spojíme dva body koule navzájem přímkou, pak se tato přímka bude nazývat tětiva a pokud tato tětiva prochází středem koule, který se shoduje se středem koule, pak se tětiva bude nazývat průměr koule.

Pokud nakreslíme přímku, která se koule dotýká právě v jednom bodě, pak se tato přímka bude nazývat tečna. Navíc tato tečna ke kouli v tomto bodě bude kolmá k poloměru koule nakreslené k tečnému bodu.

Pokud budeme pokračovat v tětivě k přímce jedním směrem a druhým směrem od koule, pak se tato tětiva bude nazývat sečna. Nebo to můžete říci jinak – sečna ke kouli obsahuje její tětivu.

Objem míče

Vzorec pro výpočet objemu míče je:

kde R je poloměr koule.

Pokud potřebujete zjistit objem kulového segmentu, použijte vzorec:

V seg \u003d πh 2 (R-h / 3), h je výška kulového segmentu.

Povrchová plocha koule nebo koule

Chcete-li vypočítat plochu koule nebo povrch koule (jsou stejné):

kde R je poloměr koule.

Archimédes měl kouli a kouli velmi rád, dokonce požádal, aby na jeho hrobce zanechal kresbu, ve které je ve válci vepsána koule. Archimédes věřil, že objem koule a její povrch se rovnají dvěma třetinám objemu a povrchu válce, ve kterém je koule vepsána.

Míč (koule)

kulový povrch. Míč (koule). Míčové sekce: kruhy.

Archimedova věta. Části koule: kuličkový (kulový) segment,

sférická vrstva, sférický pás, sférický sektor.

kulový povrch - tohle je těžiště bodů(těch. mnohosoubor všech bodů)v prostoru stejně vzdáleném od jednoho bodu Ó , který se nazývá střed kulové plochy (Obr.90). Poloměr AOi průměr AB jsou definovány stejným způsobem jako v kruhu.

Míč (koule) - tohle je těleso ohraničené kulovou plochou. Umět získat míč otáčením půlkruhu ( nebo kruh ) kolem průměru. Všechny rovinné řezy koule jsou kruhy ( obr.90 ). Největší kruh leží v úseku procházejícím středem koule a je tzv velký kruh. Jeho poloměr se rovná poloměru koule. Jakékoli dvě velké kružnice se protínají v průměru koule ( AB, obr.91 Tento průměr je také průměrem protínajících se velkých kružnic. Přes dva body kulové plochy umístěné na koncích stejného průměru(A a B, obr.91 ), můžete nakreslit nekonečné množství velkých kruhů. Například přes póly Země lze kreslit nekonečné množství poledníků.

Objem koule je jedenapůlkrát menší než objem válce, který je kolem ní opsán. (obr.92 ), A povrch koule je jedenapůlkrát menší než celkový povrch stejného válce ( Archimédova věta):

Tady S míč a PROTI míč jsou povrch a objem koule;

S cyl a PROTI cyl - celkový povrch a objem opsaného válce.

Kuličkové díly. Část míče (koule ), odříznutý od něj nějakou rovinou ( ABC, obr. 93), volala míč(kulovitý ) segment. Kruh ABC volala základ kuličkový segment. Úsečka MN kolmice vedená od středu N kruh ABC dokud se neprotne s kulovou plochou, je tzv vysoký kuličkový segment. Tečka M volala summit kuličkový segment.

Část koule uzavřená mezi dvěma rovnoběžnými rovinami ABC a DEF protínající kulovou plochu (obr. 93), volala sférická vrstva; zakřivený povrch kulové vrstvy se nazývá míčový pás(zóna). Kruhy ABC a DEF – důvody míčový pás. Vzdálenost NK mezi základnami kulového pásu - jeho výška. Část koule ohraničená zakřiveným povrchem kulového segmentu ( AMCB, obr.93) a kuželovou plochou OABC , jehož základna je základnou segmentu ( ABC ) a vrchol je středem kouleÓ , je nazýván míčový sektor.

Definice.

Koule (povrch míče) je soubor všech bodů v trojrozměrném prostoru, které jsou stejně vzdálené od jednoho bodu, tzv střed koule(Ó).

Kouli lze popsat jako trojrozměrný obrazec, který vznikne otočením kruhu kolem jeho průměru o 180° nebo půlkruhu kolem jeho průměru o 360°.

Definice.

Míč je souhrn všech bodů v trojrozměrném prostoru, jejichž vzdálenost nepřesahuje určitou vzdálenost k bodu tzv míčový střed(O) (množina všech bodů trojrozměrného prostoru ohraničeného koulí).

Míč lze popsat jako trojrozměrný obrazec, který vznikne otočením kruhu kolem svého průměru o 180° nebo půlkruhu kolem svého průměru o 360°.

Definice. Poloměr koule (koule).(R) je vzdálenost od středu koule (koule) Ó do libovolného bodu koule (povrchu koule).

Definice. Průměr koule (koule).(D) je úsečka spojující dva body koule (povrch koule) a procházející jejím středem.

Vzorec. Objem míče:

V =	4	π R3 =	1	π D 3
	3		6

Vzorec. Povrchová plocha koule přes poloměr nebo průměr:

S = 4π R 2 = π D 2

Sférická rovnice

1. Rovnice koule s poloměrem R a středem v počátku kartézského souřadnicového systému:

x2 + y2 + z2 = R2

2. Rovnice koule o poloměru R a středu v bodě se souřadnicemi (x 0 , y 0 , z 0) v kartézském souřadném systému:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definice. diametrálně odlišné body jsou libovolné dva body na povrchu koule (koule), které jsou spojeny průměrem.

Základní vlastnosti koule a koule

1. Všechny body koule jsou stejně vzdálené od středu.

2. Jakýkoli řez koule rovinou je kruh.

3. Jakýkoli řez koule rovinou je kruh.

4. Koule má největší objem ze všech prostorových obrazců se stejným povrchem.

5. Prostřednictvím libovolných dvou diametrálně opačných bodů můžete nakreslit mnoho velkých kruhů pro kouli nebo kruhů pro míč.

6. Prostřednictvím dvou libovolných bodů, kromě diametrálně opačných bodů, je možné nakreslit pouze jeden velký kruh pro kouli nebo velký kruh pro míč.

7. Jakékoli dvě velké kružnice jedné koule se protínají podél přímky procházející středem koule a kružnice se protínají ve dvou diametrálně opačných bodech.

8. Je-li vzdálenost mezi středy libovolných dvou kuliček menší než součet jejich poloměrů a větší než modul rozdílu jejich poloměrů, pak takové kuličky protínají se a v rovině průsečíku se vytvoří kružnice.

Sečna, tětiva, rovina sečny koule a jejich vlastnosti

Definice. Sekta koulí je přímka, která protíná kouli ve dvou bodech. Průsečíky se nazývají bodové body povrch nebo vstupní a výstupní body na povrchu.

Definice. Akord koule (koule) je úsečka spojující dva body koule (povrch koule).

Definice. řezná rovina je rovina, která protíná kouli.

Definice. Diametrální rovina- jedná se o sečnou rovinu procházející středem koule nebo koule, řez tvoří resp velký kruh a velký kruh. Velký kruh a velký kruh mají střed, který se shoduje se středem koule (koule).

Jakákoli tětiva procházející středem koule (koule) je průměr.

Akord je segment sečny.

Vzdálenost d od středu koule k sečně je vždy menší než poloměr koule:

d< R

Vzdálenost m mezi rovinou řezu a středem koule je vždy menší než poloměr R:

m< R

Řez rovinou řezu na kouli bude vždy vedlejší kruh, a na míči bude oddíl malý kruh. Malý kruh a malý kruh mají své středy, které se neshodují se středem koule (koule). Poloměr r takové kružnice lze nalézt podle vzorce:

r \u003d √ R 2 - m2,

Kde R je poloměr koule (koule), m je vzdálenost od středu koule k rovině řezu.

Definice. Hemisféra (polokoule)- jedná se o polovinu koule (koule), která vznikne při rozříznutí diametrální rovinou.

Tečna, tečná rovina ke kouli a jejich vlastnosti

Definice. Tečna ke kouli je přímka, která se koule dotýká pouze v jednom bodě.

Definice. Tečná rovina ke kouli je rovina, která se koule dotýká pouze v jednom bodě.

Tečna (rovina) je vždy kolmá k poloměru koule nakreslené k bodu dotyku

Vzdálenost od středu koule k tečně (rovině) je rovna poloměru koule.

Definice. kuličkový segment- to je část koule, která je od koule odříznuta řeznou rovinou. Páteř segmentu zavolejte kruh, který se vytvořil v místě úseku. výška segmentu h je délka kolmice vedené od středu základny segmentu k povrchu segmentu.

Vzorec. Vnější povrch segmentu koule s výškou h ve smyslu poloměru koule R:

S = 2π Rh