Ostrogradského-Gaussova věta. Gaussova věta Vektor elektrické indukce

Gaussův teorém pro elektrickou indukci (elektrický posuv)[

Pro pole v dielektrickém prostředí lze elektrostatickou Gaussovu větu napsat jiným způsobem (alternativně) - tokem vektoru elektrického posunutí (elektrická indukce). V tomto případě je formulace věty následující: tok vektoru elektrického posunutí uzavřeným povrchem je úměrný volnému elektrickému náboji uvnitř tohoto povrchu:

V diferenciální formě:

Gaussova věta pro magnetickou indukci

Tok vektoru magnetické indukce jakýmkoli uzavřeným povrchem je nulový:

nebo v diferenciální formě

To je ekvivalentní skutečnosti, že v přírodě neexistují žádné „magnetické náboje“ (monopoly), které by vytvářely magnetické pole, stejně jako elektrické náboje vytvářejí elektrické pole. Jinými slovy, Gaussův teorém pro magnetickou indukci ukazuje, že magnetické pole je (zcela) vír.

Gaussova věta pro Newtonovu gravitaci

Pro intenzitu pole Newtonovy gravitace (zrychlení volného pádu) se Gaussova věta prakticky shoduje s tou v elektrostatice, kromě konstant (ty však stále závisí na libovolné volbě soustavy jednotek) a hlavně znaménka :

Kde G- intenzita gravitačního pole, M- gravitační náboj (tj. hmota) uvnitř povrchu S, ρ - hustota hmoty, G je Newtonova konstanta.

vodičů v elektrickém poli. Pole uvnitř vodiče a na jeho povrchu.

Vodiče jsou tělesa, kterými mohou elektrické náboje procházet z nabitého tělesa do nenabitého. Schopnost vodičů procházet přes ně elektrické náboje se vysvětluje přítomností volných nosičů náboje v nich. Vodiče - kovová tělesa v pevném a kapalném stavu, kapalné roztoky elektrolytů. Volné náboje vodiče zavedené do elektrického pole se jeho působením začnou pohybovat. Redistribuce nábojů způsobuje změnu elektrického pole. Když se intenzita elektrického pole ve vodiči stane nulovou, elektrony se přestanou pohybovat. Jev oddělení opačných nábojů ve vodiči umístěném v elektrickém poli se nazývá elektrostatická indukce. Uvnitř vodiče není žádné elektrické pole. Slouží k elektrostatické ochraně - ochraně kovovými vodiči před elektrickým polem. Povrch vodivého tělesa libovolného tvaru v elektrickém poli je ekvipotenciální povrch.

Kondenzátory

K získání zařízení, která by při malém potenciálu vzhledem k médiu akumulovala na sobě (kondenzovala) náboje znatelné velikosti, využívají skutečnosti, že elektrická kapacita vodiče se zvyšuje, když se k němu přiblíží jiná tělesa. Působením pole vytvořeného nabitými vodiči totiž vznikají na tělese k němu přivedeném náboje indukované (na vodiči) nebo vázané (na dielektriku) (obr. 15.5). Náboje opačného znaménka než náboj vodiče q jsou umístěny blíže vodiči než stejnojmenné náboje s q, a proto mají velký vliv na jeho potenciál.

Proto, když je těleso přivedeno k nabitému vodiči, intenzita pole klesá a následně se snižuje potenciál vodiče. Podle rovnice to znamená zvýšení kapacity vodiče.

Kondenzátor se skládá ze dvou vodičů (desek) (obr. 15.6), oddělených dielektrickou vrstvou. Když je na vodič aplikován určitý potenciálový rozdíl, jeho desky jsou nabity stejnými náboji opačného znaménka. Elektrická kapacita kondenzátoru je chápána jako fyzikální veličina úměrná náboji q a nepřímo úměrná rozdílu potenciálů mezi deskami

Určíme kapacitu plochého kondenzátoru.

Pokud je plocha desky S a náboj na ní je q, pak intenzita pole mezi deskami

Na druhou stranu, potenciální rozdíl mezi deskami odkud

Energie soustavy bodových nábojů, nabitého vodiče a kondenzátoru.

Jakýkoli systém nábojů má určitou potenciální energii interakce, která se rovná práci vynaložené na vytvoření tohoto systému. Energie soustavy bodových poplatků q 1 , q 2 , q 3 ,… q N je definován takto:

Kde φ 1 - potenciál elektrického pole vytvořeného všemi náboji kromě q 1 v místě, kde je náboj q 1 atd. Pokud se změní konfigurace systému nábojů, změní se i energie systému. Chcete-li změnit konfiguraci systému, je třeba udělat práci.

Potenciální energii systému bodových nábojů lze vypočítat jiným způsobem. Potenciální energie dvou bodových nábojů q 1 , q 2 ve vzdálenosti od sebe je stejná. Pokud existuje více nábojů, pak lze potenciální energii tohoto systému nábojů definovat jako součet potenciálních energií všech párů nábojů, které lze pro tento systém sestavit. Takže pro systém tří kladných nábojů je energie systému rovna

Energie nabitého osamělého vodiče a kondenzátoru

Má-li osamocený vodič náboj q, pak je kolem něj elektrické pole, jehož potenciál na povrchu vodiče je , a kapacita C. Zvyšme náboj o dq. Při přenosu náboje dq z nekonečna pracujte rovně . Ale potenciál elektrostatického pole daného vodiče v nekonečnu je roven nule. Pak

Když se náboj dq přenese z vodiče do nekonečna, stejnou práci vykonají síly elektrostatického pole. Následně se zvýšením náboje vodiče o dq roste potenciální energie pole, tzn.

Integrací tohoto výrazu zjistíme potenciální energii elektrostatického pole nabitého vodiče, když jeho náboj roste z nuly na q:

Aplikací vztahu lze získat následující výrazy pro potenciální energii W:

Pro nabitý kondenzátor je tedy rozdíl potenciálů (napětí) roven poměru celkové energie jeho elektrostatického pole ve tvaru

Hlavním aplikovaným úkolem elektrostatiky je výpočet elektrických polí vznikajících v různých zařízeních a zařízeních. Obecně je tento problém řešen pomocí Coulombova zákona a principu superpozice. Tento problém se však velmi komplikuje při uvažování velkého počtu bodových nebo prostorově rozmístěných nábojů. Ještě větší obtíže nastávají v přítomnosti dielektrik nebo vodičů v prostoru, kdy při působení vnějšího pole E 0 dochází k redistribuci mikroskopických nábojů, které vytvářejí vlastní přídavné pole E. Proto pro praktické řešení těchto problémů je vhodné pomocné používají se metody a techniky, které využívají složitý matematický aparát. Budeme uvažovat nejjednodušší metodu založenou na aplikaci Ostrogradského-Gaussova teorému. Pro formulaci této věty zavádíme několik nových pojmů:

A) hustota náboje

Pokud je nabité tělo velké, musíte znát rozložení nábojů uvnitř těla.

Objemová hustota náboje- se měří nábojem na jednotku objemu:

Hustota povrchového náboje- se měří nábojem jednotkové plochy tělesa (když je náboj rozložen po povrchu):

Lineární hustota náboje(rozložení náboje podél vodiče):

b) vektor elektrostatické indukce

Vektorová elektrostatická indukce (electric displacement vector) je vektorová veličina charakterizující elektrické pole.

Vektor se rovná součinu vektoru na absolutní permitivitě média v daném bodě:

Zkontrolujeme rozměr D v soustavě jednotek SI:

, protože
,

pak se rozměry D a E neshodují a jejich číselné hodnoty jsou také odlišné.

Z definice z toho vyplývá, že pro vektorové pole platí stejný princip superpozice jako u pole :

Pole je graficky znázorněno indukčními čarami, stejně jako pole . Indukční čáry jsou nakresleny tak, aby tečna v každém bodě souhlasila se směrem a počet řádků se rovná číselné hodnotě D v daném místě.

Abychom pochopili smysl úvodu podívejme se na příklad.

PROTI) vektorový tok elektrostatické indukce

Uvažujme plochu S v elektrickém poli a zvolte směr normály

1. Je-li pole rovnoměrné, pak počet siločar procházejících povrchem S:

2. Pokud je pole nestejnoměrné, pak se plocha rozdělí na infinitezimální prvky dS, které jsou považovány za ploché a pole v jejich blízkosti je homogenní. Proto je průtok povrchovým prvkem: dN = D n dS,

zatímco celkový průtok jakýmkoli povrchem je:

(6)

Tok indukce N je skalární hodnota; v závislosti na  může být > 0 popř< 0, или = 0.

Obecná formulace: Tok vektoru intenzity elektrického pole libovolným libovolně zvoleným uzavřeným povrchem je úměrný elektrickému náboji obsaženému v tomto povrchu.

V systému GSSE:

V soustavě SI:

je tok vektoru síly elektrického pole uzavřeným povrchem.

je celkový náboj obsažený v objemu, který ohraničuje povrch.

je elektrická konstanta.

Tento výraz je Gaussova věta v integrálním tvaru.

V diferenciální formě odpovídá Gaussova věta jedné z Maxwellových rovnic a je vyjádřena následovně

v soustavě SI:

,

v systému GSSE:

Zde je objemová hustota náboje (v případě přítomnosti média celková hustota volného a vázaného náboje) a je operátor nabla.

Pro Gaussovu větu platí princip superpozice, to znamená, že tok vektoru napětí povrchem nezávisí na rozložení náboje uvnitř povrchu.

Fyzikálním základem Gaussovy věty je Coulombův zákon, jinak je Gaussova věta integrální formulací Coulombova zákona.

Gaussův teorém pro elektrickou indukci (elektrický posuv).

Pro pole v látce lze Gaussovu elektrostatickou větu zapsat i jinak – prostřednictvím toku vektoru elektrického posunutí (elektrická indukce). V tomto případě je formulace věty následující: tok vektoru elektrického posunutí uzavřeným povrchem je úměrný volnému elektrickému náboji uvnitř tohoto povrchu:

Uvažujeme-li větu o intenzitě pole v látce, pak jako náboj Q je třeba vzít součet volného náboje umístěného uvnitř povrchu a polarizačního (indukovaného, ​​vázaného) náboje dielektrika:

,

Kde ,
je vektor polarizace dielektrika.

Gaussova věta pro magnetickou indukci

Tok vektoru magnetické indukce jakýmkoli uzavřeným povrchem je nulový:

.

To je ekvivalentní skutečnosti, že v přírodě neexistují žádné „magnetické náboje“ (monopoly), které by vytvářely magnetické pole, stejně jako elektrické náboje vytvářejí elektrické pole. Jinými slovy, Gaussův teorém pro magnetickou indukci ukazuje, že magnetické pole je vírové.

Aplikace Gaussovy věty

K výpočtu elektromagnetických polí se používají následující veličiny:

Objemová hustota náboje (viz výše).

Hustota povrchového náboje

kde dS je nekonečně malá plocha povrchu.

Lineární hustota náboje

kde dl je délka infinitezimálního segmentu.

Uvažujme pole vytvořené nekonečnou homogenní nabitou rovinou. Nechť je hustota povrchového náboje v rovině stejná a rovna σ. Představte si v duchu válec s generátory kolmými k rovině a základnou ΔS umístěnou symetricky vzhledem k rovině. Kvůli symetrii. Vektorový tok intenzity je roven . Když použijeme Gaussovu větu, dostaneme:

,

z nichž

v systému GSSE

Je důležité poznamenat, že navzdory své univerzálnosti a obecnosti má Gaussova věta v integrálním tvaru relativně omezené použití kvůli nepohodlnosti výpočtu integrálu. V případě symetrického problému se však jeho řešení stává mnohem jednodušším než použití principu superpozice.

Představme si pojem toku vektoru elektrické indukce. Uvažujme nekonečně malou oblast. Ve většině případů je nutné znát nejen velikost lokality, ale také její orientaci v prostoru. Představme si pojem vektorové plochy. Domluvme se na chápání plošného vektoru jako vektoru směřujícího kolmo k ploše a číselně rovného velikosti plochy.

Obrázek 1 - K definici vektoru - webu

Nazvěme vektorový tok prostřednictvím webu
bodový součin vektorů A
. Tím pádem,

Vektorový tok přes libovolný povrch se nachází integrací všech elementárních toků

(4)

Pokud je pole rovnoměrné a povrch rovný umístěna kolmo k poli, pak:

. (5)

Výše uvedený výraz určuje počet siločar procházejících místem za jednotku času.

Ostrogradského-Gaussova věta. Divergence intenzity elektrického pole

Tok vektoru elektrické indukce libovolnou uzavřenou plochou se rovná algebraickému součtu volných elektrických nábojů pokrytý tímto povrchem

(6)

Výraz (6) je O-G věta v integrálním tvaru. Věta 0-G pracuje s integrálním (celkovým) účinkem, tzn. Li
pak není známo, zda to znamená absenci nábojů ve všech bodech studované části prostoru, nebo zda je součet kladných a záporných nábojů umístěných v různých bodech tohoto prostoru roven nule.

Pro nalezení lokalizovaných nábojů a jejich velikosti v daném poli je nutné mít vztah spojující vektor elektrické indukce v daném bodě s nábojem ve stejném bodě.

Předpokládejme, že potřebujeme určit přítomnost náboje v bodě A(obr.2)

Obrázek 2 - K výpočtu vektorové divergence

Aplikujeme O-G větu. Tok vektoru elektrické indukce libovolnou plochou, která omezuje objem, ve kterém se bod nachází A, je rovný

Algebraický součet nábojů v objemu lze zapsat jako integrál objemu

(7)

Kde - poplatek za jednotku objemu ;

- objemový prvek.

Získat spojení mezi polem a nábojem v bodě A snížíme objem stažením povrchu do bodu A. V tomto případě vydělíme obě části naší rovnosti hodnotou . Překročením limitu dostaneme:

.

Pravá strana výsledného výrazu je podle definice objemová hustota náboje v uvažovaném bodě prostoru. Levá strana představuje mez poměru toku vektoru elektrické indukce uzavřeným povrchem k objemu ohraničenému tímto povrchem, když objem směřuje k nule. Tato skalární veličina je důležitou charakteristikou elektrického pole a nazývá se vektorová divergence .

Tím pádem:

,

proto

, (8)

Kde je objemová hustota náboje.

Pomocí tohoto vztahu se jednoduše řeší inverzní problém elektrostatiky, tzn. nalezení distribuovaných nábojů ve známém poli.

Pokud je vektor je dán, takže jeho projekce jsou známé
,
,
na souřadnicových osách jako funkce souřadnic a pro výpočet distribuované hustoty nábojů, které vytvořily dané pole, se ukazuje, že stačí najít součet tří parciálních derivací těchto projekcí vzhledem k odpovídajícím proměnným. V těch bodech, pro které
nejsou žádné poplatky. V bodech, kde
kladný, existuje kladný náboj s objemovou hustotou rovnou
a v těch bodech, kde
bude mít zápornou hodnotu, je nalezen záporný náboj, jehož hustota je rovněž určena hodnotou divergence.

Výraz (8) představuje větu 0-G v diferenciální formě. V této podobě ukazuje věta že zdroje elektrického pole jsou volné elektrické náboje; siločáry vektoru elektrické indukce začínají a končí na kladných a záporných nábojích.

Účel lekce: Ostrogradského–Gaussova věta byla založena ruským matematikem a mechanikem Michailem Vasilievičem Ostrogradským ve formě nějaké obecné matematické věty a německým matematikem Carlem Friedrichem Gaussem. Tato věta může být použita při studiu fyziky na úrovni profilu, protože umožňuje racionálnější výpočty elektrických polí.

Pro odvození Ostrogradského–Gaussovy věty je nutné zavést tak důležité pomocné pojmy, jako je vektor elektrické indukce a tok tohoto vektoru Ф.

Je známo, že elektrostatické pole se často zobrazuje pomocí siločar. Předpokládejme, že určíme napětí v bodě ležícím na rozhraní mezi dvěma médii: vzduchem (=1) a vodou (=81). V tomto bodě, při přechodu ze vzduchu do vody, síla elektrického pole podle vzorce se sníží 81krát. Pokud zanedbáme vodivost vody, pak se stejným faktorem sníží počet siločar. Při řešení různých úloh pro výpočet polí vznikají určité nepříjemnosti v důsledku diskontinuity vektoru síly na rozhraní mezi médiem a na dielektriku. Aby se jim zabránilo, je zaveden nový vektor, který se nazývá vektor elektrické indukce:

Vektor elektrické indukce je roven součinu vektoru a elektrické konstanty a permitivity prostředí v daném bodě.

Je zřejmé, že při průchodu hranicí dvou dielektrik se počet elektrických indukčních čar pro pole bodového náboje (1) nemění.

V soustavě SI se vektor elektrické indukce měří v coulombech na metr čtvereční (C / m 2). Výraz (1) ukazuje, že číselná hodnota vektoru nezávisí na vlastnostech média. Vektorové pole je graficky znázorněno podobně jako pole napětí (např. pro bodový náboj viz obr. 1). Pro vektorové pole platí princip superpozice:

Elektrický indukční tok

Vektor elektrické indukce charakterizuje elektrické pole v každém bodě prostoru. Lze zavést ještě jednu veličinu v závislosti na hodnotách vektoru nikoli v jednom bodě, ale ve všech bodech povrchu ohraničeného plochým uzavřeným obrysem.

K tomu uvažujme plochý uzavřený vodič (obvod) s plochou S, umístěný v rovnoměrném elektrickém poli. Normála k rovině vodiče svírá úhel se směrem vektoru elektrické indukce (obr. 2).

Tok elektrické indukce plochou S nazýváme hodnotou rovnou součinu modulu indukčního vektoru a plochy S a kosinu úhlu mezi vektorem a normálou:

Tato věta umožňuje najít tok vektoru elektrické indukce uzavřeným povrchem, uvnitř kterého jsou elektrické náboje.

Nechť je nejprve jeden bodový náboj q umístěn ve středu koule o libovolném poloměru r 1 (obr. 3). Pak ; . Vypočítejme celkový indukční tok procházející celým povrchem této koule: ; (). Pokud vezmeme kouli o poloměru , pak také Ф = q. Pokud nakreslíme kouli, která neobklopuje náboj q, pak celkový tok Ф \u003d 0 (protože každá čára vstoupí na povrch a jindy jej opustí).

Tedy Ф = q, pokud je náboj umístěn uvnitř uzavřeného povrchu, a Ф = 0, pokud je náboj umístěn mimo uzavřený povrch. Tok F nezávisí na tvaru povrchu. Nezáleží také na uspořádání nábojů uvnitř povrchu. To znamená, že získaný výsledek platí nejen pro jeden náboj, ale také pro libovolný počet libovolně umístěných nábojů, pokud pod q rozumíme pouze algebraický součet všech nábojů umístěných uvnitř povrchu.

Gaussova věta: tok elektrické indukce libovolnou uzavřenou plochou je roven algebraickému součtu všech nábojů uvnitř plochy: .

Ze vzorce je vidět, že rozměr elektrického toku je stejný jako rozměr elektrického náboje. Jednotkou toku elektrické indukce je tedy přívěsek (C).

Poznámka: je-li pole nehomogenní a povrch, kterým se určuje proudění, není rovina, pak lze tento povrch rozdělit na nekonečně malé prvky ds a každý prvek lze považovat za plochý a pole v jeho blízkosti je homogenní. Proto pro jakékoli elektrické pole je tok vektoru elektrické indukce povrchovým prvkem: dФ=. V důsledku integrace je celkový tok uzavřeným povrchem S v jakémkoli nehomogenním elektrickém poli roven: , kde q je algebraický součet všech nábojů obklopených uzavřenou plochou S. Poslední rovnici vyjádříme z hlediska intenzity elektrického pole (pro vakuum): .

Toto je jedna z Maxwellových základních rovnic pro elektromagnetické pole, zapsaná v integrální formě. Ukazuje, že zdrojem konstantního elektrického pole v čase jsou nehybné elektrické náboje.

Pojďme nyní určit pomocí Ostrogradského-Gaussova teorému intenzitu pole pro řadu případů.

1. Elektrické pole rovnoměrně nabité kulové plochy.

Koule o poloměru R. Nechť je náboj +q rovnoměrně rozložen po kulové ploše o poloměru R. Rozložení náboje po ploše je charakterizováno hustotou povrchového náboje (obr. 4). Hustota povrchového náboje je poměr náboje k ploše povrchu, na kterém je distribuován. . V SI.

Pojďme určit sílu pole:

a) mimo kulovou plochu,
b) uvnitř kulové plochy.

a) Vezměme si bod A, který je ve vzdálenosti r>R od středu nabité kulové plochy. Prokreslime jím v duchu kulovou plochu S o poloměru r, která má společný střed s nabitou kulovou plochou. Z úvah o symetrii je zřejmé, že siločáry jsou radiální přímky kolmé k ploše S a rovnoměrně prostupují touto plochou, tzn. napětí ve všech bodech tohoto povrchu je co do velikosti konstantní. Aplikujme na tuto kulovou plochu S o poloměru r Ostrogradského-Gaussovu větu. Celkový průtok koulí je tedy N = E? S; N=E. Na druhé straně . Rovnoměrné: . Proto: pro r>R.

Tedy: napětí vytvářené rovnoměrně nabitou kulovou plochou mimo ni je stejné, jako kdyby byl celý náboj v jejím středu (obr. 5).

b) Najděte intenzitu pole v bodech ležících uvnitř nabité kulové plochy. Vezměme bod B vzdálený od středu koule na dálku . Potom E = 0 pro r

2. Síla pole rovnoměrně nabité nekonečné roviny

Uvažujme elektrické pole vytvořené nekonečnou rovinou nabitou hustotou konstantou ve všech bodech roviny. Z důvodů symetrie můžeme předpokládat, že čáry napětí jsou kolmé k rovině a směřují z ní oběma směry (obr. 6).

Zvolíme bod A ležící vpravo od roviny a v tomto bodě počítáme pomocí Ostrogradského-Gaussova teorému. Jako uzavřenou plochu volíme válcovou plochu tak, aby boční plocha válce byla rovnoběžná se siločárami, a jeho základny a byly rovnoběžné s rovinou a základna procházela bodem A (obr. 7). Vypočítejme tok napětí uvažovanou válcovou plochou. Průtok boční plochou je 0, protože tažné čáry jsou rovnoběžné s bočním povrchem. Potom je celkový průtok součtem průtoků a procházejících podstavami válce a . Oba tyto toky jsou kladné =+; =; =; ==; N=2.

- řez rovinou ležící uvnitř zvolené válcové plochy. Náboj uvnitř tohoto povrchu je q.

Pak ; - lze brát jako bodový náboj) s bodem A. Pro nalezení celkového pole je nutné geometricky sečíst všechna pole vytvořená každým prvkem: ; .