1. Axiální řez válec je řez válcem rovinou procházející jeho osou. Axiální průřez válce je obdélník.

2. Řez válcem s rovinou rovnoběžnou se základnou.
V tomto případě je průřezem kruh rovný a rovnoběžný se základnou.

Kužel

Kužel je geometrické těleso, které se skládá z kruhu - důvody kužel, bod neležící v rovině této kružnice, − vrcholy kužel a všechny segmenty spojující vrchol kužele s hroty základny.

Nazývají se segmenty spojující vrchol kužele s body základní kružnice formování kužel

Kužel se nazývá Přímo, je-li přímka spojující vrchol kužele se středem podstavy kolmá k rovině podstavy.

Na rýže. A) rovný kužel, b) nakloněný kužel.

V následujícím budeme uvažovat pouze přímý kužel!

S- horní část kužele.

Kruh se středy O– základna kužele.

S.A.,C.B., SC- vytváření kuželů.

Výška kužele se nazývá kolmice sestupující z jeho vrcholu k rovině základny.

Osa kužele se nazývá přímka obsahující jeho výšku ( TAK).

Vlastnosti kužele:

Generátory kužele jsou stejné.

Kužel lze považovat za těleso získané rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem jeho strany.

Nejjednodušší části kužele.

1. Axiální řez kužel je řez kuželem rovinou procházející jeho osou. Axiální řez kuželem je trojúhelník.

2. Řez kuželem s rovinou rovnoběžnou se základnou.
V tomto případě je průřezem kruh podobný základně a rovnoběžný s ní.

Koule je geometrické těleso, které se skládá ze všech bodů v prostoru umístěných ve vzdálenosti ne větší než je daná vzdálenost od daného bodu.

Tento bod ( O) je nazýván centrum míč a tato vzdálenost je poloměr míč.

Hranice míče se nazývá kulový povrch nebo koule.

Jakýkoli segment spojující střed koule s bodem na kulové ploše se nazývá poloměr míč ( O.D., OB, OA).

Průměr koule je úsečka spojující dva body na kulové ploše a procházející středem koule ( AB).

Vlastnosti míče:

Poloměry koule jsou stejné;

Průměry koule jsou stejné.

Kouli lze považovat za těleso získané otáčením půlkruhu kolem jeho průměru.

Nejjednodušší části míče

1. Řez koule rovinou procházející jejím středem. V tomto případě je oddíl velký kruh.

2. Řez koule rovinou Ne procházející jeho středem. V tomto případě je oddíl kruh.

Válcová plocha m Nějaká přímka m, pohybující se po křivce, popisuje válcovou plochu. Pokud je tato křivka uzavřená, pak je popsána uzavřená válcová plocha. Pokud má uzavřená křivka tvar kruhu, pak je popsán kruhový válec. Pokud je přímka m kolmá k rovině křivky, pak je popsán pravý kruhový válec TYPY VÁLCŮ Eliptický válec TYPY VÁLCŮ Hyperbolický válec TYPY VÁLCŮ Parabolický válec 26.07.2014 6 Definice válce. Válec je těleso, které se skládá ze dvou kružnic, které neleží ve stejné rovině a jsou spojeny paralelním posunem, a ze všech segmentů spojujících odpovídající body těchto kružnic. Válec Válec lze získat otáčením obdélníku kolem přímky obsahující kteroukoli z jeho stran. Poloměr válce je poloměr jeho základny. Výška válce je vzdálenost mezi rovinami jeho podstav. Osou válce je přímka procházející středy podstav. Vlastnosti válce. 1) Základny jsou stejné a rovnoběžné. 2) Všechny tvořící přímky válce jsou rovnoběžné a navzájem stejné Vývoj válce Boční plocha válce je rozvinuta do obdélníku, jehož jedna strana je výška válce a druhá délka obvodu základny Rovnostranný válec je válec, jehož osový průřez je čtvercovým průřezem válce. Průřez válcem s rovinou rovnoběžnou s jeho osou je obdélník. Jeho dvě strany jsou tvořící přímky válce a další dvě jsou rovnoběžné tětivy základen. Řez válce procházející osou válce se nazývá axiální řez a je také obdélník. Rovina rovnoběžná s rovinou podstavy válce protíná jeho boční plochu po kružnici rovné obvodu podstavy. Tečná rovina Pokud má rovina společnou přímku s povrchem pláště, pak se tato rovina nazývá tečnou rovinou. Čára tečnosti je tvořící přímka válce Plná a boční plocha válce Boční plocha válce je obdélník, jehož jedna strana je výška válce a druhá je obvod. Celý povrch válce se skládá ze dvou kruhů a bočního povrchu. L H 2 RH S boční plocha válce a S kružnice R 2 R 2 RH 2 R (R H) 2 S kružnice S boční S plná plocha válce 2 a plocha válce 2 a Objem válce Objem válec se rovná součinu základní plochy a výšky válce. V S základna V R 2 H H Vysvětlete, co je pravý kruhový válec? Jaký je poloměr, výška, tvořící čára a osa válce? Jaký je axiální průřez válce? Který válec se nazývá rovnostranný? Jaký je řez válcem rovinou kolmou k ose válce? Co rozumíme bočním a celkovým povrchem válce? Jak zjistit boční a celkový povrch válce? PRVKY VÁLCE Úloha 1. Axiální řez válcem je čtverec, jehož plocha je Q. Najděte plochu základny válce. Dáno: válec, osový řez - čtverec Řez = Q Najděte: Sbas = Kruh Řešení: Úloha 2. Boční plocha válce se změní na čtverec o ploše 4 cm2. Najděte celkový povrch a objem válce. Předpokládejme 3 N lkruh Dáno: válec Sq.=4 cm2 Najděte: Sp.p., Vcyl. Řešení: Laboratorní a praktická práce Téma: Válec 1. Definice, vlastnosti. 2. Výkres, rozměry v mm. 3. Vypočítejte: a) základní plochu b) boční povrch válce. c) celý povrch válce. d) objem válce. Úlohy Úhlopříčka osového řezu je 48 cm. Úhel mezi úhlopříčkou a tvořící přímkou ​​válce je 60o. Najděte 1) výšku válce; 2) poloměr válce; 3) Sbas Výška válce je 8 cm, poloměr je 5 cm. Najděte plochu průřezu roviny rovnoběžné s její osou, pokud je vzdálenost mezi touto rovinou a osou válce 3 cm. Plocha boční plochy válce je S. Najděte axiální příčný průřez. průřezová plocha válce. Válec se získá otočením čtverce se stranou α kolem jedné z jeho stran. Najděte oblast: 1) osového řezu válce; 2) celá plocha válce Válec Originalita v designu a architektuře Problém: O kolik se zvětší objem spalovacího prostoru motoru automobilu GAZ-53, je-li průměr pístu 10 cm a zdvih pístu 9 cm? Řešení V=пR2H: V=3,14 52 9=706,5 (cm3) Úloha: Určete kapacitu olejové nádrže čerpadla posilovače řízení automobilu ZIL130, pokud je její průměr 126 mm a výška 140 mm. Řešení V=пR2H = 3,14. 3969,140=174477,24

Válec (rovný kruhový válec) je těleso sestávající ze dvou kruhů (základny válce), spojených paralelním posunem, a všech segmentů spojujících odpovídající body těchto kruhů během paralelního posunu. Segmenty spojující odpovídající body základních kružnic se nazývají generátory válce.

Zde je další definice:

Válec- těleso, které je omezeno válcovou plochou s uzavřeným vedením a dvěma rovnoběžnými rovinami protínajícími tvořící přímky této plochy.

Válcový povrch- plocha, která vzniká pohybem přímky po určité křivce. Přímka se nazývá tvořící čára válcové plochy a zakřivená čára se nazývá vedení válcové plochy.

Boční povrch válce- část válcové plochy, která je omezena rovnoběžnými rovinami.

Základny válců- části rovnoběžných rovin odříznuté boční plochou válce.

Obr.1 mini

Válec se nazývá Přímo(Cm. Obr. 1), pokud jsou jeho generátory kolmé k rovinám základen. Jinak se nazývá válec nakloněný.

Kruhový válec- válec, jehož základnou jsou kruhy.

Pravý kruhový válec (jen válec) je těleso získané otáčením obdélníku kolem jedné z jeho stran. Cm. Obr. 1.

Poloměr válce je poloměr jeho základny.

Generátor válce- tvořící čára válcové plochy.

Výška válce se nazývá vzdálenost mezi rovinami podstav. Osa válce nazývaná přímka procházející středy základen. Řez válce rovinou procházející osou válce se nazývá axiální řez.

Osa válce je rovnoběžná s jeho tvořící přímkou ​​a je osou symetrie válce.

Rovina procházející tvořící přímkou ​​přímého válce a kolmá k osovému řezu vedenému touto tvořící přímkou ​​se nazývá tečnou rovinu válce. Cm. Obr.2.

Vývoj boční plochy válce- obdélník se stranami rovnými výšce válce a obvodu základny.

Boční povrch válce- rozvojová oblast bočního povrchu. $$S_(strana)=2\pi\cdot rh$$ , kde h je výška válce a r– poloměr základny.

Celková plocha válce- plocha, která se rovná součtu ploch dvou podstav válce a jeho boční plochy, tzn. je vyjádřeno vzorcem: $$S_(plný)=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , kde h je výška válce a r– poloměr základny.

Objem libovolného válce rovná se součinu plochy základny a výšky: $$V = S\cdot h$$ Objem kulatého válce: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , kde ( r- poloměr základny).

Hranol je speciální typ válce (generátory jsou rovnoběžné s bočními žebry, vedení je mnohoúhelník ležící na základně). Na druhé straně lze libovolný válec považovat za degenerovaný („vyhlazený“) hranol s velmi velkým počtem velmi úzkých ploch. V praxi je válec od takového hranolu k nerozeznání. Ve válci jsou zachovány všechny vlastnosti hranolu.

Stereometrie je odvětví geometrie, ve kterém se studují postavy v prostoru. Hlavními postavami v prostoru jsou bod, přímka a rovina. Ve stereometrii se objevuje nový typ relativního uspořádání čar: křížení čar. Toto je jeden z mála významných rozdílů mezi stereometrií a planimetrií, protože v mnoha případech se problémy ve stereometrii řeší zvažováním různých rovin, ve kterých jsou splněny planimetrické zákony.

V přírodě kolem nás je mnoho objektů, které jsou fyzickými modely této postavy. Například mnoho částí strojů má tvar válce nebo je jejich kombinací a majestátní sloupy chrámů a katedrál, vyrobené ve tvaru válců, zdůrazňují jejich harmonii a krásu.

řecký − kylindros. Starodávný termín. V každodenním životě - papyrusový svitek, váleček, váleček (sloveso - kroutit, válet).

Pro Euklida se válec získá otáčením obdélníku. V Cavalieri - pohybem tvořící čáry (s libovolným vedením - „válcem“).

Účelem této eseje je zvážit geometrické těleso - válec.

K dosažení tohoto cíle je nutné zvážit následující úkoly:

− uveďte definice válce;

− zvážit prvky válce;

− studovat vlastnosti válce;

− zvážit typy sekcí válce;

- odvodit vzorec pro plochu válce;

− odvodit vzorec pro objem válce;

− řešit problémy pomocí válce.

1.1. Definice válce

Uvažujme nějakou přímku (křivku, lomenou nebo smíšenou) l ležící v nějaké rovině α a nějakou přímku S protínající tuto rovinu. Všemi body dané přímky l vedeme přímky rovnoběžné s přímkou ​​S; plocha α tvořená těmito přímkami se nazývá válcová plocha. Přímka l se nazývá průvodcem této plochy, přímky s 1, s 2, s 3,... jsou jejími generátory.

Pokud je vedení porušeno, pak se taková válcová plocha skládá z řady plochých pásů uzavřených mezi dvojicemi rovnoběžných přímek a nazývá se prizmatická plocha. Tvořící přímky procházející vrcholy vodící lomené čáry se nazývají hrany hranolové plochy, ploché pásy mezi nimi jsou její plochy.

Rozebereme-li libovolnou válcovou plochu libovolnou rovinou, která není rovnoběžná s jejími generátory, získáme přímku, kterou lze brát i jako vodítko pro tuto plochu. Mezi vodítky vyniká to, které je získáno řezáním povrchu rovinou kolmou k tvořícím přímkám povrchu. Takový úsek se nazývá normální úsek a odpovídající průvodce se nazývá normální průvodce.

Je-li vedením uzavřená (konvexní) čára (přerušovaná nebo zakřivená), pak se odpovídající plocha nazývá uzavřená (konvexní) prizmatická nebo válcová plocha. Nejjednodušší z válcových ploch má jako normální vedení kruh. Rozeberme uzavřenou konvexní prizmatickou plochu se dvěma rovinami rovnoběžnými navzájem, ale ne rovnoběžnými s generátory.

V řezech získáváme konvexní polygony. Nyní část hranolové plochy uzavřená mezi rovinami α a α" a dvě polygonální desky vytvořené v těchto rovinách omezují těleso zvané hranolové těleso - hranol.

Válcové těleso - válec je definován podobně jako hranol:
Válec je těleso ohraničené na stranách uzavřenou (konvexní) válcovou plochou a na koncích dvěma plochými rovnoběžnými podstavami. Obě základny válce jsou stejné a všechny součásti válce jsou si rovny, tzn. segmenty tvořících přímek válcové plochy mezi rovinami podstav.

Válec (přesněji kruhový válec) je geometrické těleso, které se skládá ze dvou kružnic, které neleží ve stejné rovině a jsou spojeny rovnoběžným posunem, a všech segmentů spojujících odpovídající body těchto kružnic (obr. 1) .

Kruhy se nazývají základny válce a segmenty spojující odpovídající body obvodů kruhů se nazývají generátory válce.

Protože rovnoběžný posun je pohyb, základny válce jsou stejné.

Protože se při rovnoběžném posouvání rovina přeměňuje v rovnoběžnou rovinu (nebo do sebe), pak základny válce leží v rovnoběžných rovinách.

Protože během paralelního posunu jsou body posunuty podél rovnoběžných (nebo shodných) čar o stejnou vzdálenost, pak jsou generátory válce rovnoběžné a stejné.

Povrch válce se skládá ze základny a boční plochy. Boční plocha se skládá z tvořících přímek.

Válec se nazývá přímý, pokud jsou jeho generátory kolmé k rovinám základen.

Přímý válec si lze vizuálně představit jako geometrické těleso, které při otáčení kolem jeho strany jako osy popisuje obdélník (obr. 2).

Rýže. 2 − Přímý válec

V následujícím budeme uvažovat pouze přímý válec, který pro stručnost nazýváme jednoduše válec.

Poloměr válce je poloměr jeho základny. Výška válce je vzdálenost mezi rovinami jeho podstav. Osou válce je přímka procházející středy podstav. Je paralelní s generátory.

Válec se nazývá rovnostranný, pokud je jeho výška rovna průměru základny.

Pokud jsou základny válce ploché (a proto jsou roviny, které je obsahují, rovnoběžné), říká se, že válec stojí na rovině. Pokud jsou základny válce stojícího v rovině kolmé k tvořící přímce, pak se válec nazývá přímý.

Zejména je-li podstavou válce stojícího na rovině kruh, pak mluvíme o válci kruhovém (kruhovém); pokud je to elipsa, pak je to elipsa.

1. 3. Řezy válce

Průřez válcem s rovinou rovnoběžnou s jeho osou je obdélník (obr. 3, a). Jeho dvě strany jsou generátory válce a další dvě jsou rovnoběžné tětivy základen.

A) b)

PROTI) G)

Rýže. 3 – Řezy válce

Obdélník je zejména axiální řez. Jedná se o řez válcem s rovinou procházející jeho osou (obr. 3, b).

Průřez válce s rovinou rovnoběžnou se základnou je kruh (obrázek 3, c).

Průřez válcem s rovinou, která není rovnoběžná se základnou a jeho osou, je ovál (obr. 3d).

Věta 1. Rovina rovnoběžná s rovinou podstavy válce protíná jeho boční plochu po kružnici rovné obvodu podstavy.

Důkaz. Nechť β je rovina rovnoběžná s rovinou podstavy válce. Rovnoběžný posuv ve směru osy válce, kombinující rovinu β s rovinou základny válce, kombinuje řez boční plochy rovinou β s obvodem základny. Věta je dokázána.

Boční povrch válce.

Plocha bočního povrchu válce se považuje za mez, ke které směřuje plocha bočního povrchu pravidelného hranolu vepsaného do válce, když se počet stran základny tohoto hranolu neomezeně zvyšuje.

Věta 2. Plocha bočního povrchu válce je rovna součinu obvodu jeho základny a jeho výšky (S strana.c = 2πRH, kde R je poloměr základny válce, H je výška válce).

A) b)
Rýže. 4 − Plocha bočního povrchu válce

Důkaz.

Nechť P n a H jsou obvody podstavy a výška pravidelného n-gonálního hranolu vepsaného do válce (obr. 4, a). Potom je plocha boční plochy tohoto hranolu S strana.c − P n H. Předpokládejme, že počet stran mnohoúhelníku vepsaného do základny neomezeně roste (obr. 4, b). Potom obvod P n směřuje k obvodu C = 2πR, kde R je poloměr podstavy válce a výška H se nemění. Plocha bočního povrchu hranolu má tedy tendenci k hranici 2πRH, tj. plocha bočního povrchu válce se rovná S side.c = 2πRH. Věta je dokázána.

Celková plocha válce.

Celková plocha válce je součtem ploch boční plochy a dvou základen. Plocha každé základny válce je rovna πR 2, proto se plocha celkového povrchu válce S total vypočítá podle vzorce S strana.c = 2πRH+ 2πR 2.

r

T 1

T

F

F 1

F

T

A)

F

b)

Rýže. 5 - Celková plocha válce

Pokud je boční plocha válce rozříznuta podél tvořící přímky FT (obr. 5, a) a rozložena tak, že všechny generátory jsou ve stejné rovině, pak jako výsledek dostaneme obdélník FTT1F1, který se nazývá rozvinutí boční povrch válce. Strana FF1 obdélníku je rozvinutím kružnice základny válce, tedy FF1=2πR, a její strana FT je rovna tvořící přímce válce, tj. FT = H (obr. 5, b). Plocha FT∙FF1=2πRH rozvinutí válce se tedy rovná ploše jeho bočního povrchu.

1.5. Objem válce

Pokud je geometrické těleso jednoduché, to znamená, že jej lze rozdělit na konečný počet trojúhelníkových jehlanů, pak se jeho objem rovná součtu objemů těchto jehlanů. Pro libovolné těleso se objem určí následovně.

Dané těleso má objem V, pokud existují jednoduchá tělesa, která jej obsahují, a jednoduchá tělesa v něm obsažená s objemy tak málo odlišnými od V, jak je žádoucí.

Aplikujme tuto definici na zjištění objemu válce s poloměrem základny R a výškou H.

Při odvozování vzorce pro obsah kruhu byly sestrojeny dva n-úhelníky (jeden obsahující kruh, druhý obsažený v kruhu) tak, aby se jejich plochy s neomezeným nárůstem n blížily ploše kruh bez omezení. Sestrojme takové polygony pro kružnici na základně válce. Nechť P je mnohoúhelník obsahující kruh a P“ je mnohoúhelník obsažený v kruhu (obr. 6).

Rýže. 7 − Válec s popsaným a vepsaným hranolem

Sestrojme dva přímé hranoly se základnami P a P" a výškou H rovnou výšce válce. První hranol obsahuje válec a druhý hranol je obsažen ve válci. Protože s neomezeným nárůstem n, plochy základů hranolů se neomezeně přibližují k ploše základny válce S, pak se jejich objemy neomezeně přibližují k SH Podle definice objemu válce

V = SH = πR2H.

Objem válce se tedy rovná součinu plochy základny a výšky.

Úkol 1.

Osovým řezem válce je čtverec o ploše Q.

Najděte oblast základny válce.

Dáno: válec, čtverec - osový řez válcem, S čtverec = Q.

Najděte: S hlavní válec

Strana náměstí je . Rovná se průměru základny. Proto je plocha základny .

Odpověď: S hlavní válec. =

Úkol 2.

Ve válci je vepsán pravidelný šestiboký hranol. Najděte úhel mezi úhlopříčkou jeho boční plochy a osou válce, pokud je poloměr podstavy roven výšce válce.

Je dáno: válec, pravidelný šestiboký hranol vepsaný do válce, poloměr základny = výška válce.

Najděte: úhel mezi úhlopříčkou jeho boční plochy a osou válce.

Řešení: Boční strany hranolu jsou čtvercové, protože strana pravidelného šestiúhelníku vepsaného do kruhu je rovna poloměru.

Hrany hranolu jsou rovnoběžné s osou válce, proto je úhel mezi úhlopříčkou čela a osou válce roven úhlu mezi úhlopříčkou a boční hranou. A tento úhel je 45°, protože plochy jsou čtvercové.

Odpověď: úhel mezi úhlopříčkou jeho boční plochy a osou válce = 45°.

Úkol 3.

Výška válce je 6 cm, poloměr základny je 5 cm.

Najděte oblast řezu nakresleného rovnoběžně s osou válce ve vzdálenosti 4 cm od ní.

Dáno: H = 6 cm, R = 5 cm, OE = 4 cm.

Najít: S sec.

S sek. = KM×KS,

OE = 4 cm, KS = 6 cm.

Trojúhelník OKM - rovnoramenný (OK = OM = R = 5 cm),

trojúhelník OEK je pravoúhlý trojúhelník.

Z trojúhelníku OEK podle Pythagorovy věty:

KM = 2EK = 2×3 = 6,

S sek. = 6×6 = 36 cm2.

Účel této eseje byl splněn; bylo uvažováno geometrické těleso, jako je válec.

Zvažují se následující úkoly:

− je uvedena definice válce;

− jsou uvažovány prvky válce;

− byly studovány vlastnosti válce;

− jsou uvažovány typy sekcí válců;

- je odvozen vzorec pro plochu válce;

− je odvozen vzorec pro objem válce;

− vyřešení problémů pomocí válce.

1. Pogorelov A.V Geometrie: Učebnice pro 10 – 11 ročníků vzdělávacích institucí, 1995.

2. Beskin L.N. Stereometrie. Manuál pro středoškolské učitele, 1999.

3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometrie: Učebnice pro ročníky 10 - 11 vzdělávacích institucí, 2000.

4. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometrie: učebnice pro ročníky 10-11 ve všeobecně vzdělávacích institucích, 1998.

5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometrie: Stereometrie: ročníky 10 – 11: Učebnice a problémová kniha, 2000.