IV. Elektrostatický indukční vektor Indukční tok. Tok vektoru elektrické indukce Gaussova věta pro magnetickou indukci

Nejobtížnější je studium elektrických jevů v nehomogenním elektrickém prostředí. V takovém prostředí má ε různé hodnoty, které se náhle mění na hranici dielektrik. Předpokládejme, že určíme intenzitu pole na rozhraní mezi dvěma médii: ε 1 =1 (vakuum nebo vzduch) a ε 2 =3 (kapalina - olej). Na rozhraní, při přechodu z vakua na dielektrikum, se intenzita pole sníží třikrát a tok vektoru síly se sníží o stejnou hodnotu (obr. 12.25, a). Náhlá změna vektoru intenzity elektrostatického pole na rozhraní mezi dvěma prostředími vytváří určité potíže při výpočtu polí. Co se týče Gaussovy věty, ta za těchto podmínek zcela ztrácí smysl.

Protože polarizovatelnost a intenzita odlišných dielektrik jsou různé, počet siločar v každém dielektriku se bude také lišit. Tuto potíž lze odstranit zavedením nové fyzikální charakteristiky pole, elektrické indukce D (nebo vektoru elektrický posun ).

Podle vzorce

ε 1 E 1 \u003d ε 2 E 2 \u003d E 0 \u003d konst

Vynásobením všech částí těchto rovností elektrickou konstantou ε 0 dostaneme

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 = ε 0 E 0 = konst.

Zaveďme označení ε 0 εЕ=D, pak bude mít předposlední vztah tvar

D 1 = D 2 = D 0 = konst

Nazývá se vektor D, který se rovná součinu intenzity elektrického pole v dielektriku a jeho absolutní permitivityvektor elektrického posunu

(12.45)

Jednotkou elektrického výtlaku je přívěsek na metr čtvereční(C/m2).

Elektrický posun je vektorová veličina, lze ji také vyjádřit jako

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Na rozdíl od napětí E je elektrický posuv D konstantní ve všech dielektrikách (obr. 12.25, b). Proto je vhodné elektrické pole v nehomogenním dielektrickém prostředí charakterizovat nikoli intenzitou E, ale vektorem posunutí D. Vektor D popisuje elektrostatické pole vytvořené volnými náboji (tj. ve vakuu), ale s jejich rozložením v prostoru, které je v přítomnosti dielektrika, protože vázané náboje vznikající v dielektriku mohou způsobit redistribuci volných nábojů vytvářejících pole. .

Vektorové pole je graficky znázorněno elektrickými posuvnými čarami stejným způsobem jako pole reprezentované siločárami.

Elektrické výtlačné vedení jsou přímky, jejichž tečny se v každém bodě shodují ve směru s vektorem elektrického posunutí.

Čáry vektoru E mohou začínat a končit na libovolných nábojích - volných i vázaných, zatímco čáry vektoruD- pouze za bezplatné poplatky. Vektorové čáryDna rozdíl od linií napětí jsou spojité.

Protože vektor elektrického posunutí nezažívá diskontinuitu na rozhraní mezi dvěma prostředími, proniknou jím všechny indukční čáry pocházející z nábojů obklopených nějakým uzavřeným povrchem. Proto si pro vektor elektrického posunutí Gaussova věta zcela zachovává svůj význam pro nehomogenní dielektrické prostředí.

Gaussova věta pro elektrostatické pole v dielektriku : tok vektoru elektrického posunutí libovolným uzavřeným povrchem se rovná algebraickému součtu nábojů uzavřených uvnitř tohoto povrchu.

(12.47)

Vektorový tok síly elektrického pole. Nechte malé hřiště DS(obr. 1.2) protínají siločáry elektrického pole, jehož směr je s normálou n rohu na tento web A. Za předpokladu, že vektor napětí E se na webu nemění DS, definovat vektorový tok napětí prostřednictvím webu DS Jak

DFE =E DS cos A.(1.3)

Protože hustota siločar je rovna číselné hodnotě napětí E, pak počet siločar protínajících oblastDS, bude číselně rovna hodnotě prouduDFEpřes povrchDS. Pravou stranu exprese (1.3) reprezentujeme jako skalární součin vektorů E ADS= nDS, Kde nje jednotkový normálový vektor k povrchuDS. Pro základní oblast d S výraz (1.3) má tvar

dFE = E d S

na celém webu S vektor intenzity se vypočítá jako integrál po povrchu

Elektrická indukční vektorový tok. Tok vektoru elektrické indukce se určuje podobně jako tok vektoru intenzity elektrického pole

dFD = D d S

V definicích toků existuje určitá nejednoznačnost, protože pro každý povrch můžete zadat dva normály v opačném směru. U uzavřeného povrchu je vnější normála považována za kladnou.

Gaussova věta. Zvážit bod pozitivní elektrický náboj q, umístěný uvnitř libovolného uzavřeného povrchu S(obr. 1.3). Průtok indukčního vektoru povrchovým prvkem d S rovná se
(1.4)

Komponenta d S D = d S cos Apovrchový prvek d S ve směru vektoru indukceDpovažován za prvek kulové plochy o poloměru r, v jejímž středu je umístěn nábojq.

Vzhledem k tomu, že d S D/ r 2 se rovná elementární tělesné roh dw, pod kterým od místa, kde je nábojqpovrchový prvek d viditelný S, převedeme výraz (1.4) do tvaru d FD = q d w / 4 p, odkud po integraci přes celý prostor obklopující náboj, tedy v prostorovém úhlu od 0 do 4p, dostaneme

FD = q.

Tok vektoru elektrické indukce uzavřeným povrchem libovolného tvaru se rovná náboji uzavřenému uvnitř tohoto povrchu.

Je-li libovolný uzavřený povrch S nehradí bodový poplatek q(obr. 1.4), poté, co jsme vytvořili kuželovou plochu s vrcholem v bodě, kde se nachází náboj, rozdělíme plochu S na dvě části: S 1 a S 2. Vektorový tok D přes povrch S najdeme jako algebraický součet průtoků plochami S 1 a S 2:

.

Oba povrchy z místa, kde se nachází náboj q viditelné z jednoho pevného úhlu w. Takže toky jsou stejné

Jelikož při výpočtu průtoku uzavřenou plochou používáme vnější normál na povrch je snadné vidět, že tok Ф 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Celkový průtok Ф D= 0. To znamená, že tok vektoru elektrické indukce uzavřeným povrchem libovolného tvaru nezávisí na nábojích umístěných mimo tento povrch.

Je-li elektrické pole tvořeno soustavou bodových nábojů q 1 , q 2 ,¼ , q n, který je krytý uzavřeným povrchem S, pak v souladu s principem superpozice je tok indukčního vektoru touto plochou definován jako součet toků vytvořených každým z nábojů. Tok vektoru elektrické indukce uzavřeným povrchem libovolného tvaru se rovná algebraickému součtu nábojů pokrytých tímto povrchem:

Je třeba poznamenat, že poplatky Qi nemusí být nutně bodové, nutnou podmínkou je, že nabitá oblast musí být zcela pokryta povrchem. Pokud v prostoru ohraničeném uzavřenou plochou S, elektrický náboj je distribuován plynule, pak je třeba uvažovat, že každý elementární objem d PROTI má náboj. V tomto případě je na pravé straně výrazu (1.5) algebraický součet nábojů nahrazen integrací přes objem uzavřený uvnitř uzavřeného povrchu S:

(1.6)

Výraz (1.6) je nejobecnější formulací Gaussovy věty: tok vektoru elektrické indukce uzavřeným povrchem libovolného tvaru se rovná celkovému náboji v objemu pokrytém tímto povrchem a nezávisí na nábojích umístěných mimo uvažovaný povrch. Gaussův teorém lze také napsat pro tok vektoru síly elektrického pole:

.

Důležitá vlastnost elektrického pole vyplývá z Gaussovy věty: siločáry začínají nebo končí pouze na elektrických nábojích nebo jdou do nekonečna. Ještě jednou zdůrazňujeme, že navzdory skutečnosti, že síla elektrického pole E a elektrickou indukcí D závisí na umístění všech nábojů v prostoru, toky těchto vektorů přes libovolný uzavřený povrch S pouze určeno ty náboje, které se nacházejí uvnitř povrchu S.

Diferenciální tvar Gaussovy věty. Všimněte si, že integrální forma Gaussova věta charakterizuje vztah mezi zdroji elektrického pole (náboje) a charakteristikami elektrického pole (síla nebo indukce) v objemu PROTI libovolná, ale postačující pro utváření integrálních vztahů, hodnota. Dělením objemu PROTI pro malé objemy Vi, dostaneme výraz

platí jak obecně, tak pro každý termín. Výsledný výraz transformujeme takto:

(1.7)

a zvážit limit, ke kterému směřuje výraz na pravé straně rovnosti, uzavřený ve složených závorkách, s neomezeným dělením objemu PROTI. V matematice se tato limita nazývá divergence vektor (v tomto případě vektor elektrické indukce D):

Vektor Divergence D v kartézských souřadnicích:

Výraz (1.7) je tedy transformován do tvaru:

.

Vezmeme-li v úvahu, že při neomezeném dělení přejde součet na levé straně posledního výrazu do objemového integrálu, dostaneme

Výsledný vztah musí platit pro libovolný libovolně zvolený objem PROTI. To je možné, pouze pokud jsou hodnoty integrandů v každém bodě prostoru stejné. Proto divergence vektoru D souvisí s hustotou náboje ve stejném bodě pomocí rovnosti

nebo pro vektor intenzity elektrostatického pole

Tyto rovnosti vyjadřují Gaussův teorém rozdílová forma.

Všimněte si, že v procesu přechodu na diferenciální formu Gaussovy věty se získá vztah, který má obecný charakter:

.

Výraz se nazývá Gauss-Ostrogradského vzorec a spojuje objemový integrál divergence vektoru s tokem tohoto vektoru uzavřeným povrchem, který ohraničuje objem.

Otázky

1) Jaký je fyzikální význam Gaussovy věty pro elektrostatické pole ve vakuu

2) Ve středu krychle je bodový nábojq. Jaký je tok vektoru E:

a) přes celou plochu krychle; b) přes jednu ze stěn krychle.

Změní se odpovědi, pokud:

a) náboj není ve středu krychle, ale uvnitř ; b) náboj je mimo krychli.

3) Co je lineární, povrchová, objemová hustota náboje.

4) Uveďte vztah mezi objemem a hustotou povrchového náboje.

5) Může být pole mimo opačně a rovnoměrně nabité paralelní nekonečné roviny odlišné od nuly?

6) Uvnitř uzavřeného povrchu je umístěn elektrický dipól. Jaký je průtok tímto povrchem

Gaussův teorém pro elektrickou indukci (elektrický posuv)[

Pro pole v dielektrickém prostředí lze elektrostatickou Gaussovu větu napsat jiným způsobem (alternativně) - tokem vektoru elektrického posunutí (elektrická indukce). V tomto případě je formulace věty následující: tok vektoru elektrického posunutí uzavřeným povrchem je úměrný volnému elektrickému náboji uvnitř tohoto povrchu:

V diferenciální formě:

Gaussova věta pro magnetickou indukci

Tok vektoru magnetické indukce jakýmkoli uzavřeným povrchem je nulový:

nebo v diferenciální formě

To je ekvivalentní skutečnosti, že v přírodě neexistují žádné „magnetické náboje“ (monopoly), které by vytvářely magnetické pole, stejně jako elektrické náboje vytvářejí elektrické pole. Jinými slovy, Gaussův teorém pro magnetickou indukci ukazuje, že magnetické pole je (zcela) vír.

Gaussova věta pro Newtonovu gravitaci

Pro intenzitu pole Newtonovy gravitace (zrychlení volného pádu) se Gaussova věta prakticky shoduje s tou v elektrostatice, kromě konstant (ty však stále závisí na libovolné volbě soustavy jednotek) a hlavně znaménka :

Kde G- intenzita gravitačního pole, M- gravitační náboj (tj. hmota) uvnitř povrchu S, ρ - hustota hmoty, G je Newtonova konstanta.

vodičů v elektrickém poli. Pole uvnitř vodiče a na jeho povrchu.

Vodiče jsou tělesa, kterými mohou elektrické náboje procházet z nabitého tělesa do nenabitého. Schopnost vodičů procházet přes ně elektrické náboje se vysvětluje přítomností volných nosičů náboje v nich. Vodiče - kovová tělesa v pevném a kapalném stavu, kapalné roztoky elektrolytů. Volné náboje vodiče zavedené do elektrického pole se jeho působením začnou pohybovat. Redistribuce nábojů způsobuje změnu elektrického pole. Když se intenzita elektrického pole ve vodiči stane nulovou, elektrony se přestanou pohybovat. Jev oddělení opačných nábojů ve vodiči umístěném v elektrickém poli se nazývá elektrostatická indukce. Uvnitř vodiče není žádné elektrické pole. Slouží k elektrostatické ochraně - ochraně kovovými vodiči před elektrickým polem. Povrch vodivého tělesa libovolného tvaru v elektrickém poli je ekvipotenciální povrch.

Kondenzátory

K získání zařízení, která by při malém potenciálu vzhledem k médiu akumulovala na sobě (kondenzovala) náboje znatelné velikosti, využívají skutečnosti, že elektrická kapacita vodiče se zvyšuje, když se k němu přiblíží jiná tělesa. Působením pole vytvořeného nabitými vodiči totiž vznikají na tělese k němu přivedeném náboje indukované (na vodiči) nebo vázané (na dielektriku) (obr. 15.5). Náboje opačného znaménka než náboj vodiče q jsou umístěny blíže vodiči než stejnojmenné náboje s q, a proto mají velký vliv na jeho potenciál.

Proto, když je těleso přivedeno k nabitému vodiči, intenzita pole klesá a následně se snižuje potenciál vodiče. Podle rovnice to znamená zvýšení kapacity vodiče.

Kondenzátor se skládá ze dvou vodičů (desek) (obr. 15.6), oddělených dielektrickou vrstvou. Když je na vodič aplikován určitý potenciálový rozdíl, jeho desky jsou nabity stejnými náboji opačného znaménka. Elektrická kapacita kondenzátoru je chápána jako fyzikální veličina úměrná náboji q a nepřímo úměrná rozdílu potenciálů mezi deskami

Určíme kapacitu plochého kondenzátoru.

Pokud je plocha desky S a náboj na ní je q, pak intenzita pole mezi deskami

Na druhou stranu, potenciální rozdíl mezi deskami odkud

Energie soustavy bodových nábojů, nabitého vodiče a kondenzátoru.

Jakýkoli systém nábojů má určitou potenciální energii interakce, která se rovná práci vynaložené na vytvoření tohoto systému. Energie soustavy bodových poplatků q 1 , q 2 , q 3 ,… q N je definován takto:

Kde φ 1 - potenciál elektrického pole vytvořeného všemi náboji kromě q 1 v místě, kde je náboj q 1 atd. Pokud se změní konfigurace systému nábojů, změní se i energie systému. Chcete-li změnit konfiguraci systému, je třeba udělat práci.

Potenciální energii systému bodových nábojů lze vypočítat jiným způsobem. Potenciální energie dvou bodových nábojů q 1 , q 2 ve vzdálenosti od sebe je stejná. Pokud existuje více nábojů, pak lze potenciální energii tohoto systému nábojů definovat jako součet potenciálních energií všech párů nábojů, které lze pro tento systém sestavit. Takže pro systém tří kladných nábojů je energie systému rovna

Energie nabitého osamělého vodiče a kondenzátoru

Má-li osamocený vodič náboj q, pak je kolem něj elektrické pole, jehož potenciál na povrchu vodiče je , a kapacita C. Zvyšme náboj o dq. Při přenosu náboje dq z nekonečna pracujte rovně . Ale potenciál elektrostatického pole daného vodiče v nekonečnu je roven nule. Pak

Když se náboj dq přenese z vodiče do nekonečna, stejnou práci vykonají síly elektrostatického pole. Následně se zvýšením náboje vodiče o dq roste potenciální energie pole, tzn.

Integrací tohoto výrazu zjistíme potenciální energii elektrostatického pole nabitého vodiče, když jeho náboj roste z nuly na q:

Aplikací vztahu lze získat následující výrazy pro potenciální energii W:

Pro nabitý kondenzátor je tedy rozdíl potenciálů (napětí) roven poměru celkové energie jeho elektrostatického pole ve tvaru

Účel lekce: Ostrogradského–Gaussova věta byla založena ruským matematikem a mechanikem Michailem Vasilievičem Ostrogradským ve formě nějaké obecné matematické věty a německým matematikem Carlem Friedrichem Gaussem. Tato věta může být použita při studiu fyziky na úrovni profilu, protože umožňuje racionálnější výpočty elektrických polí.

Pro odvození Ostrogradského–Gaussovy věty je nutné zavést tak důležité pomocné pojmy, jako je vektor elektrické indukce a tok tohoto vektoru Ф.

Je známo, že elektrostatické pole se často zobrazuje pomocí siločar. Předpokládejme, že určíme napětí v bodě ležícím na rozhraní mezi dvěma médii: vzduchem (=1) a vodou (=81). V tomto bodě, při přechodu ze vzduchu do vody, síla elektrického pole podle vzorce se sníží 81krát. Pokud zanedbáme vodivost vody, pak se stejným faktorem sníží počet siločar. Při řešení různých úloh pro výpočet polí vznikají určité nepříjemnosti v důsledku diskontinuity vektoru síly na rozhraní mezi médiem a na dielektriku. Aby se jim zabránilo, je zaveden nový vektor, který se nazývá vektor elektrické indukce:

Vektor elektrické indukce je roven součinu vektoru a elektrické konstanty a permitivity prostředí v daném bodě.

Je zřejmé, že při průchodu hranicí dvou dielektrik se počet elektrických indukčních čar pro pole bodového náboje (1) nemění.

V soustavě SI se vektor elektrické indukce měří v coulombech na metr čtvereční (C / m 2). Výraz (1) ukazuje, že číselná hodnota vektoru nezávisí na vlastnostech média. Vektorové pole je graficky znázorněno podobně jako pole napětí (např. pro bodový náboj viz obr. 1). Pro vektorové pole platí princip superpozice:

Elektrický indukční tok

Vektor elektrické indukce charakterizuje elektrické pole v každém bodě prostoru. Lze zavést ještě jednu veličinu v závislosti na hodnotách vektoru nikoli v jednom bodě, ale ve všech bodech povrchu ohraničeného plochým uzavřeným obrysem.

K tomu uvažujme plochý uzavřený vodič (obvod) s plochou S, umístěný v rovnoměrném elektrickém poli. Normála k rovině vodiče svírá úhel se směrem vektoru elektrické indukce (obr. 2).

Tok elektrické indukce plochou S nazýváme hodnotou rovnou součinu modulu indukčního vektoru a plochy S a kosinu úhlu mezi vektorem a normálou:

Tato věta umožňuje najít tok vektoru elektrické indukce uzavřeným povrchem, uvnitř kterého jsou elektrické náboje.

Nechť je nejprve jeden bodový náboj q umístěn ve středu koule o libovolném poloměru r 1 (obr. 3). Pak ; . Vypočítejme celkový indukční tok procházející celým povrchem této koule: ; (). Pokud vezmeme kouli o poloměru , pak také Ф = q. Pokud nakreslíme kouli, která neobklopuje náboj q, pak celkový tok Ф \u003d 0 (protože každá čára vstoupí na povrch a jindy jej opustí).

Tedy Ф = q, pokud je náboj umístěn uvnitř uzavřeného povrchu, a Ф = 0, pokud je náboj umístěn mimo uzavřený povrch. Tok F nezávisí na tvaru povrchu. Nezáleží také na uspořádání nábojů uvnitř povrchu. To znamená, že získaný výsledek platí nejen pro jeden náboj, ale také pro libovolný počet libovolně umístěných nábojů, pokud pod q rozumíme pouze algebraický součet všech nábojů umístěných uvnitř povrchu.

Gaussova věta: tok elektrické indukce libovolnou uzavřenou plochou je roven algebraickému součtu všech nábojů uvnitř plochy: .

Ze vzorce je vidět, že rozměr elektrického toku je stejný jako rozměr elektrického náboje. Jednotkou toku elektrické indukce je tedy přívěsek (C).

Poznámka: je-li pole nehomogenní a povrch, kterým se určuje proudění, není rovina, pak lze tento povrch rozdělit na nekonečně malé prvky ds a každý prvek lze považovat za plochý a pole v jeho blízkosti je homogenní. Proto pro jakékoli elektrické pole je tok vektoru elektrické indukce povrchovým prvkem: dФ=. V důsledku integrace je celkový tok uzavřeným povrchem S v jakémkoli nehomogenním elektrickém poli roven: , kde q je algebraický součet všech nábojů obklopených uzavřenou plochou S. Poslední rovnici vyjádříme z hlediska intenzity elektrického pole (pro vakuum): .

Toto je jedna z Maxwellových základních rovnic pro elektromagnetické pole, zapsaná v integrální formě. Ukazuje, že zdrojem konstantního elektrického pole v čase jsou nehybné elektrické náboje.

Pojďme nyní určit pomocí Ostrogradského-Gaussova teorému intenzitu pole pro řadu případů.

1. Elektrické pole rovnoměrně nabité kulové plochy.

Koule o poloměru R. Nechť je náboj +q rovnoměrně rozložen po kulové ploše o poloměru R. Rozložení náboje po ploše je charakterizováno hustotou povrchového náboje (obr. 4). Hustota povrchového náboje je poměr náboje k ploše povrchu, na kterém je distribuován. . V SI.

Pojďme určit sílu pole:

a) mimo kulovou plochu,
b) uvnitř kulové plochy.

a) Vezměme si bod A, který je ve vzdálenosti r>R od středu nabité kulové plochy. Prokreslime jím v duchu kulovou plochu S o poloměru r, která má společný střed s nabitou kulovou plochou. Z úvah o symetrii je zřejmé, že siločáry jsou radiální přímky kolmé k ploše S a rovnoměrně prostupují touto plochou, tzn. napětí ve všech bodech tohoto povrchu je co do velikosti konstantní. Aplikujme na tuto kulovou plochu S o poloměru r Ostrogradského-Gaussovu větu. Celkový průtok koulí je tedy N = E? S; N=E. Na druhé straně . Rovnoměrné: . Proto: pro r>R.

Tedy: napětí vytvářené rovnoměrně nabitou kulovou plochou mimo ni je stejné, jako kdyby byl celý náboj v jejím středu (obr. 5).

b) Najděte intenzitu pole v bodech ležících uvnitř nabité kulové plochy. Vezměme bod B vzdálený od středu koule na dálku . Potom E = 0 pro r

2. Síla pole rovnoměrně nabité nekonečné roviny

Uvažujme elektrické pole vytvořené nekonečnou rovinou nabitou hustotou konstantou ve všech bodech roviny. Z důvodů symetrie můžeme předpokládat, že čáry napětí jsou kolmé k rovině a směřují z ní oběma směry (obr. 6).

Zvolíme bod A ležící vpravo od roviny a v tomto bodě počítáme pomocí Ostrogradského-Gaussova teorému. Jako uzavřenou plochu volíme válcovou plochu tak, aby boční plocha válce byla rovnoběžná se siločárami, a jeho základny a byly rovnoběžné s rovinou a základna procházela bodem A (obr. 7). Vypočítejme tok napětí uvažovanou válcovou plochou. Průtok boční plochou je 0, protože tažné čáry jsou rovnoběžné s bočním povrchem. Potom je celkový průtok součtem průtoků a procházejících podstavami válce a . Oba tyto toky jsou kladné =+; =; =; ==; N=2.

- řez rovinou ležící uvnitř zvolené válcové plochy. Náboj uvnitř tohoto povrchu je q.

Pak ; - lze brát jako bodový náboj) s bodem A. Pro nalezení celkového pole je nutné geometricky sečíst všechna pole vytvořená každým prvkem: ; .

Uvažujme, jak se mění hodnota vektoru E na rozhraní mezi dvěma prostředími, například vzduchem (ε 1) a vodou (ε = 81). Síla pole ve vodě se náhle sníží faktorem 81. Toto chování vektoru E vytváří určité nepříjemnosti při výpočtu polí v různých prostředích. Aby se předešlo této nepříjemnosti, je zaveden nový vektor D je vektor indukce nebo elektrického posunutí pole. Komunikace vektorů D A E má formu

D = ε ε 0 E.

Je zřejmé, že pro pole bodového náboje bude elektrický posun roven

Je snadné vidět, že elektrický posun je měřen v C/m 2 , nezávisí na vlastnostech a je graficky znázorněn čarami podobnými čarám napětí.

Směr siločar charakterizuje směr pole v prostoru (siločáry samozřejmě neexistují, jsou zavedeny pro usnadnění ilustrace) nebo směr vektoru intenzity pole. Pomocí čar napětí lze charakterizovat nejen směr, ale i velikost intenzity pole. Abychom toho dosáhli, dohodli jsme se, že je provedeme s určitou hustotou, takže počet čar napětí pronikajícího jednotkovým povrchem, kolmých k čarám napětí, byl úměrný modulu vektoru. E(obr. 78). Potom počet čar procházejících elementární plochou dS, ke které normála n svírá s vektorem úhel α E, se rovná E dScos α = E n dS,

kde E n - vektorová složka E ve směru normálu n. Hodnota dФ Е = E n dS = E d S volal tok vektoru napětí místem d S(d S= dS n).

Pro libovolnou uzavřenou plochu S tok vektoru E přes tento povrch je

Podobný výraz má tok vektoru elektrického posunutí Ф D

.

Ostrogradského-Gaussova věta

Tato věta umožňuje určit tok vektorů E a D z libovolného počtu nábojů. Vezměte bodový náboj Q a definujte tok vektoru E přes kulovou plochu o poloměru r, v jejímž středu se nachází.

Pro kulovou plochu α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 a

Ф E = E · 4 πr 2 .

Dosazením výrazu za E dostaneme

Z každého bodového náboje tedy pochází tok Ф E vektoru E rovna Q/ ε 0 . Zobecněním tohoto závěru na obecný případ libovolného počtu bodových nábojů dáme formulaci věty: celkový tok vektoru E přes uzavřenou plochu libovolného tvaru je číselně rovna algebraickému součtu elektrických nábojů uzavřených uvnitř této plochy, děleno ε 0, tzn.

Pro vektorový tok elektrického posuvu D můžete získat podobný vzorec

tok indukčního vektoru uzavřenou plochou je roven algebraickému součtu elektrických nábojů pokrytých touto plochou.

Vezmeme-li uzavřenou plochu, která náboj neobklopuje, pak každý řádek E A D překročí tento povrch dvakrát - na vstupu a výstupu, takže celkový průtok se ukáže jako nulový. Zde je nutné vzít v úvahu algebraický součet řádků, příchozích a odchozích.

Aplikace Ostrogradského-Gaussovy věty k výpočtu elektrických polí generovaných rovinami, koulí a válcem

Kulová plocha o poloměru R nese náboj Q rovnoměrně rozložený po povrchu s plošnou hustotou σ

Vezměme bod A mimo kouli ve vzdálenosti r od středu a v duchu nakreslíme kouli o poloměru r symetrickou k nabité (obr. 79). Jeho plocha je S = 4 πr 2 . Tok vektoru E bude roven

Podle Ostrogradského-Gaussova teorému
, tedy,
vezmeme-li v úvahu, že Q = σ 4 πr 2, dostaneme

Pro body umístěné na povrchu koule (R = r)

D Pro body uvnitř duté koule (uvnitř koule není žádný náboj), E = 0.

2 . Dutá válcová plocha s poloměrem R a délkou l nabitý konstantní hustotou povrchového náboje
(obr. 80). Narýsujme souosou válcovou plochu o poloměru r > R.

Vektorový tok E přes tento povrch

Podle Gaussovy věty

Porovnáním správných částí daných rovností dostaneme

.

Pokud je dána lineární hustota náboje válce (nebo tenkého vlákna).
Že

3. Pole nekonečných rovin s hustotou povrchového náboje σ (obr. 81).

Uvažujme pole vytvořené nekonečnou rovinou. Z úvah o symetrii vyplývá, že intenzita v libovolném bodě pole má směr kolmý k rovině.

V symetrických bodech bude E stejná co do velikosti a opačného směru.

Sestrojme mentálně povrch válce se základnou ΔS. Potom každou ze základen válce vyteče proud

F E = E ∆S a celkový průtok válcovou plochou bude roven F E = 2E ∆S.

Uvnitř povrchu je náboj Q = σ · ΔS. Podle Gaussovy věty,

kde

Získaný výsledek nezávisí na výšce zvoleného válce. Intenzita pole E v jakékoli vzdálenosti je tedy co do velikosti stejná.

Pro dvě opačně nabité roviny se stejnou hustotou povrchového náboje σ je podle principu superpozice mimo prostor mezi rovinami intenzita pole rovna nule E = 0 a v prostoru mezi rovinami
(obr. 82a). Pokud jsou roviny nabity podobnými náboji se stejnou hustotou povrchového náboje, pozorujeme opačný obraz (obr. 82b). V prostoru mezi rovinami E=0 a v prostoru mimo roviny
.