Az algebra egy összetett és érdekes tudomány, amely számos függvényen alapul. Nézzük meg, mi a logaritmus, és mik a tulajdonságai.

A logaritmus az a hatvány, amelyre az a számot emelni kell, hogy megkapjuk az x számot.

Az algebra sokféle logaritmust ismer. A logaritmusok leggyakoribb típusai a következők:

• természetes e=2,718281 bázissal, ln jelöléssel.
  Példa: ln1=0. lne=1;
• decimális 10-es alapjel, lg jelöléssel.
  Példa: lg100=2. log 10 100=2, mivel 10 2 =100;
• bináris, lb(b) vagy lb 2 b. Vajon a 2 x =b egyenlet megoldása.
  Példa: lb16=4.

Ez utóbbiakat széles körben használják a számítástechnikában, az információelméletben, valamint a diszkrét matematika számos részterületén. A logaritmusok segítenek a statisztikusoknak meghatározni a legfontosabb valószínűségi eloszlásokat. A genetikában is használják.

Számlálás logaritmussal

A matematikusok már régóta tisztában vannak a logaritmusok egyedi tulajdonságaival, valamint annak lehetőségével, hogy bonyolult számítások egyszerűsítésére használják őket. Tehát, ha a logaritmusra lépünk:

• a szorzás könnyen helyettesíthető összeadással;
• osztás - kivonás;
• bizonyos hatványra emelés vagy gyökérvétel szorzássá vagy osztássá válik.

Ha logaritmussal számol, meg kell szabadulnia a log jeltől. Ahol:

• Az indoknak és az érvelésnek pozitívnak kell lennie;
• Az alapnak különböznie kell egytől, mivel ez a szám bármilyen hatványra emelve változatlan marad.

Logaritmikus függvény

Az y = loga x logaritmikus függvényt (ahol a > 0, a ≠ 1) is használjuk a számításokhoz. Tulajdonságai között a következők találhatók:

• ennek a függvénynek a definíciós tartománya a pozitív számok halmazában van;
• a függvényértékek halmazát valós számok képviselik;
• a függvénynek nincs maximális vagy minimális értéke;
• a függvény az általános formához tartozik, nem páros vagy páratlan;
• a függvény nem periodikus;
• a gráf áthalad a koordinátatengelyeken az (1;0) pontban;
• ha a bázis nagyobb egynél, a függvény növekszik, ha pedig kisebb egynél, akkor csökken.

Most már van egy ötlete a logaritmusokról, azok hatóköréről, valamint a logaritmikus függvény tulajdonságairól.

A b szám a alapú logaritmusa az a kitevő, amelyre az a számot emelni kell, hogy megkapjuk a b számot.

Ha akkor.

Logaritmus - szélsőséges fontos matematikai mennyiség, hiszen a logaritmikus számítás nem csak exponenciális egyenletek megoldását teszi lehetővé, hanem kitevőkkel való operációt, exponenciális és logaritmikus függvények megkülönböztetését, integrálását és elfogadhatóbb számítási formába vezetését is.

Kapcsolatban áll

A logaritmusok minden tulajdonsága közvetlenül kapcsolódik az exponenciális függvények tulajdonságaihoz. Például az a tény, hogy azt jelenti, hogy:

Meg kell jegyezni, hogy konkrét feladatok megoldása során a logaritmusok tulajdonságai fontosabbnak és hasznosabbnak bizonyulhatnak, mint a hatványokkal való munka szabályai.

Mutassunk néhány identitást:

Íme az alapvető algebrai kifejezések:

;

.

Figyelem! csak x>0, x≠1, y>0 esetén létezhet.

Próbáljuk megérteni azt a kérdést, hogy mi a természetes logaritmus. Különös érdeklődés a matematika iránt két típust képviselnek- az elsőnek a „10” az alapja, és „tizedes logaritmusnak” hívják. A másodikat természetesnek nevezik. A természetes logaritmus alapja az „e” szám. Erről fogunk részletesen beszélni ebben a cikkben.

Megnevezések:

• lg x - decimális;
• ln x - természetes.

Az azonosságot felhasználva láthatjuk, hogy ln e = 1, valamint azt, hogy lg 10=1.

Természetes logaritmus gráf

Szerkesszük meg pontról pontra a természetes logaritmus gráfját a standard klasszikus módszerrel. Ha szeretné, a függvény vizsgálatával ellenőrizheti, hogy helyesen szerkesztjük-e meg a függvényt. Érdemes azonban megtanulni, hogyan kell „manuálisan” felépíteni, hogy megtudjuk, hogyan kell helyesen kiszámítani a logaritmust.

Függvény: y = ln x. Írjunk fel egy táblázatot azokról a pontokról, amelyeken a grafikon áthalad:

Magyarázzuk meg, miért választottuk az x argumentum ezen értékeit. Minden az identitásról szól: . A természetes logaritmus esetében ez az azonosság így fog kinézni:

A kényelem kedvéért öt referenciapontot vehetünk fel:

;

;

.

;

.

Így a természetes logaritmusok kiszámítása meglehetősen egyszerű feladat, ráadásul leegyszerűsíti a hatványokkal végzett műveletek számítását, átfordítja azokat közönséges szorzás.

Egy gráfot pontról pontra ábrázolva hozzávetőleges grafikont kapunk:

A természetes logaritmus definíciós tartománya (azaz az X argumentum összes érvényes értéke) minden szám nullánál nagyobb.

Figyelem! A természetes logaritmus definíciós tartománya csak pozitív számokat tartalmaz! A definíció hatálya nem tartalmazza az x=0-t. Ez a logaritmus létezésének feltételei alapján lehetetlen.

Az értéktartomány (azaz az y = ln x függvény összes érvényes értéke) az intervallumban lévő összes szám.

Természetes log határ

A gráfot tanulmányozva felmerül a kérdés: hogyan viselkedik a függvény y-nál<0.

Nyilvánvaló, hogy a függvény grafikonja hajlamos keresztezni az y tengelyt, de erre nem lesz képes, mivel x természetes logaritmusa<0 не существует.

Természetes határ logígy írható:

A logaritmus alapjának cseréjére szolgáló képlet

A természetes logaritmus kezelése sokkal könnyebb, mint egy tetszőleges bázisú logaritmus. Ezért megpróbáljuk megtanulni, hogyan lehet bármilyen logaritmust természetesre redukálni, vagy természetes logaritmuson keresztül tetszőleges bázisra kifejezni.

Kezdjük a logaritmikus azonossággal:

Ekkor tetszőleges y szám vagy változó a következőképpen ábrázolható:

ahol x tetszőleges szám (a logaritmus tulajdonságainak megfelelően pozitív).

Ez a kifejezés mindkét oldalon logaritmikusan felvehető. Tegyük ezt egy tetszőleges z alap használatával:

Használjuk a tulajdonságot (csak a „c” helyett van a kifejezés):

Innen kapjuk az univerzális képletet:

.

Különösen, ha z=e, akkor:

.

Két természetes logaritmus arányán keresztül tudtunk egy logaritmust egy tetszőleges alapra ábrázolni.

Problémákat oldunk meg

A természetes logaritmusok jobb megértése érdekében nézzünk meg néhány példát néhány problémára.

1. probléma. Meg kell oldani az ln x = 3 egyenletet.

Megoldás: A logaritmus definíciójával: ha , akkor , azt kapjuk, hogy:

2. probléma. Oldja meg az (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 egyenletet.

Megoldás: A logaritmus definíciójával: ha , akkor , kapjuk:

.

Használjuk ismét a logaritmus definícióját:

.

És így:

.

A választ hozzávetőlegesen kiszámíthatja, vagy meg is hagyhatja ebben az űrlapban.

3. feladat. Oldja meg az egyenletet.

Megoldás: Végezzünk behelyettesítést: t = ln x. Ekkor az egyenlet a következő formában jelenik meg:

.

Van egy másodfokú egyenletünk. Keressük meg a megkülönböztetőjét:

A statisztikában és a valószínűségszámításban nagyon gyakran előfordulnak logaritmikus mennyiségek. Ez nem meglepő, mert az e szám gyakran az exponenciális mennyiségek növekedési ütemét tükrözi.

A számítástechnikában, a programozásban és a számítástechnikában meglehetősen gyakran találnak logaritmusokat, például N bit memória tárolására.

A fraktálok és dimenziók elméletében folyamatosan alkalmazzák a logaritmusokat, mivel a fraktálok méreteit csak az ő segítségükkel határozzák meg.

A mechanikában és a fizikában Nincs olyan szakasz, ahol ne használtak volna logaritmust. A légköri eloszlás, a statisztikai termodinamika összes alapelve, a Ciolkovszkij-egyenlet stb. olyan folyamatok, amelyek matematikailag csak logaritmusokkal írhatók le.

A kémiában a logaritmusokat a Nernst-egyenletekben és a redox folyamatok leírásában használják.

Meglepő módon még a zenében is logaritmusokat használnak az oktáv részeinek számának megállapításához.

Természetes logaritmus Az y=ln x függvény tulajdonságai

A természetes logaritmus fő tulajdonságának bizonyítása

főbb tulajdonságait.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

azonos indokok

Log6 4 + log6 9.

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot.

Példák logaritmusok megoldására

Mi van, ha a logaritmus alapja vagy argumentuma hatvány? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Természetesen ezeknek a szabályoknak akkor van értelme, ha a logaritmus ODZ-jét betartjuk: a > 0, a ≠ 1, x >

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Átállás egy új alapra

Legyen adott a logaritmus logax. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Lásd még:

A logaritmus alapvető tulajdonságai

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

A kitevő 2,718281828…. A kitevő emlékezéséhez tanulmányozhatja a szabályt: a kitevő egyenlő 2,7 és Leo Nikolaevich Tolsztoj születési évének kétszerese.

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

Ennek a szabálynak a ismeretében tudni fogja a kitevő pontos értékét és Lev Tolsztoj születési dátumát.

Példák logaritmusra

Logaritmus kifejezések

1. példa
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

A 3.5 tulajdonságok segítségével kiszámítjuk

2.

3.

4. Ahol .

2. példa Keresse meg az x-et, ha

3. példa Legyen megadva a logaritmusok értéke

Számítsa ki log(x) ha

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

A logaritmusok, mint minden szám, minden módon összeadhatók, kivonhatók és átalakíthatók. De mivel a logaritmusok nem egészen közönséges számok, itt vannak szabályok, amelyeket hívunk főbb tulajdonságait.

Ezeket a szabályokat feltétlenül ismerni kell – nélkülük egyetlen komoly logaritmikus probléma sem oldható meg. Ráadásul nagyon kevés van belőlük – egy nap alatt mindent megtanulhatsz. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: logaxot és logayt. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Tehát a logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, a különbség pedig a hányados logaritmusával. Kérjük, vegye figyelembe: a kulcspont itt az azonos indokok. Ha az okok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek a logaritmikus kifejezés kiszámításában még akkor is, ha annak egyes részeit nem veszi figyelembe (lásd a „Mi a logaritmus” című leckét). Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg:

Mivel a logaritmusoknak ugyanazok az alapjai, az összegképletet használjuk:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log2 48 − log2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log3 135 − log3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, így van:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Amint látható, az eredeti kifejezések „rossz” logaritmusokból állnak, amelyeket nem számítanak ki külön. De az átalakítások után teljesen normális számokat kapunk. Számos teszt ezen a tényen alapul. Igen, a tesztszerű kifejezéseket teljes komolysággal kínálják (néha gyakorlatilag változtatás nélkül) az egységes államvizsgán.

A kitevő kinyerése a logaritmusból

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá - bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartjuk a logaritmus ODZ-jét: a > 0, a ≠ 1, x > 0. És még valami: tanulja meg az összes képlet alkalmazását nemcsak balról jobbra, hanem fordítva is. , azaz Magába a logaritmusba beírhatja a logaritmusjel előtti számokat. Leggyakrabban erre van szükség.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log7 496.

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet segítségével:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Figyeljük meg, hogy a nevező logaritmust tartalmaz, melynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 24; 49 = 72. Van:

Azt hiszem, az utolsó példa némi pontosítást igényel. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk.

Logaritmus képletek. Logaritmus példák megoldások.

Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát hatványok formájában mutattuk be, és kivettük a kitevőket - „három emeletes” törtet kaptunk.

Most nézzük a fő tört. A számláló és a nevező ugyanazt a számot tartalmazza: log2 7. Mivel log2 7 ≠ 0, csökkenthetjük a törtet - 2/4 marad a nevezőben. A számtan szabályai szerint a négyet át lehet vinni a számlálóba, ez meg is történt. Az eredmény a válasz: 2.

Átállás egy új alapra

A logaritmusok összeadási és kivonási szabályairól szólva külön hangsúlyoztam, hogy ezek csak azonos alapokkal működnek. Mi van, ha az okok eltérőek? Mi van, ha nem ugyanazon szám hatványai?

Az új alapra való átállás képletei jönnek a segítségre. Fogalmazzuk meg őket tétel formájában:

Legyen adott a logaritmus logax. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Konkrétan, ha c = x-et állítunk be, akkor a következőket kapjuk:

A második képletből az következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma felcserélhető, de ebben az esetben a teljes kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben jelenik meg.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan problémák, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak egy új alapítványhoz költözni. Lássunk ezek közül párat:

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log5 16 log2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos hatványokat tartalmaz. Vegyük ki a mutatókat: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Most „fordítsuk meg” a második logaritmust:

Mivel a szorzat a faktorok átrendezésénél nem változik, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd a logaritmusokkal foglalkoztunk.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldási folyamat során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni. Ebben az esetben a következő képletek segítenek nekünk:

Az első esetben az n szám lesz az argumentum kitevője. Az n szám teljesen bármi lehet, mert ez csak egy logaritmusérték.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják: .

Valójában mi történik, ha a b számot olyan hatványra emeljük, hogy a b szám ehhez a hatványhoz adja az a számot? Így van: az eredmény ugyanaz a szám a. Olvassa el újra figyelmesen ezt a bekezdést – sokan elakadnak rajta.

Az új bázisra költözés képleteihez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Jegyezzük meg, hogy log25 64 = log5 8 – egyszerűen a logaritmus alapjából és argumentumából vette a négyzetet. Figyelembe véve a hatványok azonos bázisú szorzásának szabályait, a következőket kapjuk:

Ha valaki nem tudná, ez egy igazi feladat volt az egységes államvizsgáról :)

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Befejezésül két tulajdonságnak aligha nevezhető azonosságot mondok, hanem a logaritmus definíciójának következményei. Folyamatosan megjelennek a problémákban, és meglepő módon még a „haladó” tanulók számára is problémákat okoznak.

1. logaa = 1 van. Emlékezz egyszer s mindenkorra: magának a bázisnak a logaritmusa eggyel egyenlő.
2. loga 1 = 0 az. Az a bázis bármi lehet, de ha az argumentum egyet tartalmaz, akkor a logaritmus egyenlő nullával! Mivel a0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakorold ezek gyakorlatba ültetését! Töltse le a csalólapot a lecke elején, nyomtassa ki, és oldja meg a problémákat.

Lásd még:

A b logaritmusa a bázisra a kifejezést jelöli. A logaritmus kiszámítása azt jelenti, hogy meg kell találni egy x () hatványt, amelynél az egyenlőség teljesül

A logaritmus alapvető tulajdonságai

A fenti tulajdonságok ismerete szükséges, hiszen szinte minden logaritmushoz kapcsolódó probléma és példa ezek alapján megoldódik. A többi egzotikus tulajdonság matematikai manipulációkkal származtatható ezekkel a képletekkel

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

A logaritmusok összegének és különbségének képletének kiszámításakor (3.4) elég gyakran találkozunk. A többi kissé összetett, de számos feladatban nélkülözhetetlen az összetett kifejezések egyszerűsítéséhez és értékeinek kiszámításához.

A logaritmus gyakori esetei

Az elterjedt logaritmusok némelyike ​​olyan, amelyben az alap tíz, exponenciális vagy kettő.
A tízes alapú logaritmust általában decimális logaritmusnak nevezik, és egyszerűen lg(x) jelöli.

A felvételen jól látszik, hogy az alapok nincsenek leírva a felvételen. Például

A természetes logaritmus olyan logaritmus, amelynek bázisa egy kitevő (ln(x)).

A kitevő 2,718281828…. A kitevő emlékezéséhez tanulmányozhatja a szabályt: a kitevő egyenlő 2,7 és Leo Nikolaevich Tolsztoj születési évének kétszerese. Ennek a szabálynak a ismeretében tudni fogja a kitevő pontos értékét és Lev Tolsztoj születési dátumát.

És egy másik fontos logaritmus a kettes bázishoz jelölve

Egy függvény logaritmusának deriváltja egyenlő egy osztva a változóval

Az integrál vagy antiderivatív logaritmust a kapcsolat határozza meg

A megadott anyag elegendő a logaritmusokkal és logaritmusokkal kapcsolatos feladatok széles osztályának megoldására. Az anyag megértésének elősegítése érdekében csak néhány gyakori példát mondok az iskolai tantervből és az egyetemekről.

Példák logaritmusra

Logaritmus kifejezések

1. példa
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

A 3.5 tulajdonságok segítségével kiszámítjuk

2.
A logaritmusok különbségének tulajdonsága alapján megvan

3.
A 3.5 tulajdonságok felhasználásával azt találjuk

4. Ahol .

Egy bonyolultnak tűnő kifejezést számos szabály segítségével leegyszerűsítenek

Logaritmusértékek keresése

2. példa Keresse meg az x-et, ha

Megoldás. A számításhoz az utolsó tagú 5 és 13 tulajdonságokat alkalmazzuk

Feljegyezzük és gyászoljuk

Mivel az alapok egyenlőek, a kifejezéseket egyenlővé tesszük

Logaritmusok. Első szint.

Legyen megadva a logaritmusok értéke

Számítsa ki log(x) ha

Megoldás: Vegyük a változó logaritmusát, és írjuk fel a logaritmust a tagok összegére

Ez csak a kezdete a logaritmusokkal és tulajdonságaikkal való ismerkedésünknek. Gyakoroljon számításokat, gyarapítsa gyakorlati készségeit – a megszerzett tudásra hamarosan szüksége lesz a logaritmikus egyenletek megoldásához. Az ilyen egyenletek megoldásának alapvető módszereit tanulmányozva bővítjük ismereteit egy másik, ugyanolyan fontos témával - a logaritmikus egyenlőtlenségekkel...

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

A logaritmusok, mint minden szám, minden módon összeadhatók, kivonhatók és átalakíthatók. De mivel a logaritmusok nem egészen közönséges számok, itt vannak szabályok, amelyeket hívunk főbb tulajdonságait.

Ezeket a szabályokat feltétlenül ismerni kell – nélkülük egyetlen komoly logaritmikus probléma sem oldható meg. Ráadásul nagyon kevés van belőlük – egy nap alatt mindent megtanulhatsz. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: logaxot és logayt. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Tehát a logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, a különbség pedig a hányados logaritmusával. Kérjük, vegye figyelembe: a kulcspont itt az azonos indokok. Ha az okok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek a logaritmikus kifejezés kiszámításában még akkor is, ha annak egyes részeit nem veszi figyelembe (lásd a „Mi a logaritmus” című leckét). Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg:

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log6 4 + log6 9.

Mivel a logaritmusoknak ugyanazok az alapjai, az összegképletet használjuk:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log2 48 − log2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log3 135 − log3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, így van:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Amint látható, az eredeti kifejezések „rossz” logaritmusokból állnak, amelyeket nem számítanak ki külön. De az átalakítások után teljesen normális számokat kapunk. Számos teszt ezen a tényen alapul. Igen, a tesztszerű kifejezéseket teljes komolysággal kínálják (néha gyakorlatilag változtatás nélkül) az egységes államvizsgán.

A kitevő kinyerése a logaritmusból

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Mi van, ha a logaritmus alapja vagy argumentuma hatvány? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá - bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartjuk a logaritmus ODZ-jét: a > 0, a ≠ 1, x > 0. És még valami: tanulja meg az összes képlet alkalmazását nemcsak balról jobbra, hanem fordítva is. , azaz Magába a logaritmusba beírhatja a logaritmusjel előtti számokat.

Hogyan kell megoldani a logaritmusokat

Leggyakrabban erre van szükség.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log7 496.

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet segítségével:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Figyeljük meg, hogy a nevező logaritmust tartalmaz, melynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 24; 49 = 72. Van:

Azt hiszem, az utolsó példa némi pontosítást igényel. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk. Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát hatványok formájában mutattuk be, és kivettük a kitevőket - „három emeletes” törtet kaptunk.

Most nézzük a fő tört. A számláló és a nevező ugyanazt a számot tartalmazza: log2 7. Mivel log2 7 ≠ 0, csökkenthetjük a törtet - 2/4 marad a nevezőben. A számtan szabályai szerint a négyet át lehet vinni a számlálóba, ez meg is történt. Az eredmény a válasz: 2.

Átállás egy új alapra

A logaritmusok összeadási és kivonási szabályairól szólva külön hangsúlyoztam, hogy ezek csak azonos alapokkal működnek. Mi van, ha az okok eltérőek? Mi van, ha nem ugyanazon szám hatványai?

Az új alapra való átállás képletei jönnek a segítségre. Fogalmazzuk meg őket tétel formájában:

Legyen adott a logaritmus logax. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Konkrétan, ha c = x-et állítunk be, akkor a következőket kapjuk:

A második képletből az következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma felcserélhető, de ebben az esetben a teljes kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben jelenik meg.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan problémák, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak egy új alapítványhoz költözni. Lássunk ezek közül párat:

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log5 16 log2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos hatványokat tartalmaz. Vegyük ki a mutatókat: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Most „fordítsuk meg” a második logaritmust:

Mivel a szorzat a faktorok átrendezésénél nem változik, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd a logaritmusokkal foglalkoztunk.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldási folyamat során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni. Ebben az esetben a következő képletek segítenek nekünk:

Az első esetben az n szám lesz az argumentum kitevője. Az n szám teljesen bármi lehet, mert ez csak egy logaritmusérték.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják: .

Valójában mi történik, ha a b számot olyan hatványra emeljük, hogy a b szám ehhez a hatványhoz adja az a számot? Így van: az eredmény ugyanaz a szám a. Olvassa el újra figyelmesen ezt a bekezdést – sokan elakadnak rajta.

Az új bázisra költözés képleteihez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Jegyezzük meg, hogy log25 64 = log5 8 – egyszerűen a logaritmus alapjából és argumentumából vette a négyzetet. Figyelembe véve a hatványok azonos bázisú szorzásának szabályait, a következőket kapjuk:

Ha valaki nem tudná, ez egy igazi feladat volt az egységes államvizsgáról :)

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Befejezésül két tulajdonságnak aligha nevezhető azonosságot mondok, hanem a logaritmus definíciójának következményei. Folyamatosan megjelennek a problémákban, és meglepő módon még a „haladó” tanulók számára is problémákat okoznak.

1. logaa = 1 van. Emlékezz egyszer s mindenkorra: magának a bázisnak a logaritmusa eggyel egyenlő.
2. loga 1 = 0 az. Az a bázis bármi lehet, de ha az argumentum egyet tartalmaz, akkor a logaritmus egyenlő nullával! Mivel a0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakorold ezek gyakorlatba ültetését! Töltse le a csalólapot a lecke elején, nyomtassa ki, és oldja meg a problémákat.

Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Logaritmus pozitív szám N a bázisra(b> 0, b 1 ) kitevőnek nevezzük x , amelyhez építeni kell b, hogy megkapja N .

Logaritmus jelölés:

Ez a bejegyzés egyenértékű a következővel:b x = N .

PÉLDÁK: napló 3 81 = 4, mivel 3 4 = 81;

Napló 1/3 27 = – 3, mivel (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

A logaritmus fenti definíciója felírható azonosságként:

A logaritmusok alapvető tulajdonságai.

1) log b= 1 , mert b 1 = b.

b

2) napló 1 = 0 , mert b 0 = 1 .

b

3) A szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusainak összegével:

log( ab) = log a+ napló b.

4) A hányados logaritmusa egyenlő az osztó és az osztó logaritmusa közötti különbséggel:

log( a/b) = log a– log b.

5) Egy hatvány logaritmusa egyenlő a kitevő és az alapja logaritmusának szorzatával:

log (b k ) = k log b.

Ennek a tulajdonságnak a következménye a következő:a gyök logaritmusa egyenlő a gyökszám logaritmusával osztva a gyök hatványával:

6) Ha a logaritmus alapja egy fok, akkor az érték a kitevő inverze, kivehető a log jelből rím:

Az utolsó két tulajdonság egybe kombinálható:

7) Átmeneti modulus képlet (pl. e . átmenet egy alapróllogaritmus másik bázisra):

Abban a speciális esetben, amikor N=a nekünk van:

Tizedes logaritmus hívott bázis logaritmus 10. Meg van jelölve lg, azaz napló 10 N = lg N. A 10, 100, 1000, ... számok logaritmusai p a számok rendre 1, 2, 3, …azok. annyi pozitívum van

egységek, hány nulla van egy logaritmikus számban egy után. Számok logaritmusai 0,1, 0,01, 0,001, ... p avna rendre –1, –2, –3, …, azaz annyi negatív van, ahány nulla van az egy előtt a logaritmikus számban ( számolás és nulla egész számok). Logaritmusok más számoknak van egy törtrésze mantissza. Egésza logaritmus egy részét ún jellegzetes. Gyakorlati használatraA decimális logaritmus a legkényelmesebb.

Természetes logaritmus hívott bázis logaritmus e. Ki van jelölve ln, azaz log eN = ln N. Szám eirracionális, ezhozzávetőleges érték 2,718281828. Azt az a határ, amelyre a szám hajlik(1 + 1 / n) n korlátlan emelésseln(cm. első csodálatos határ ).
Bármilyen furcsa is, a természetes logaritmus nagyon kényelmesnek bizonyult a függvények elemzésével kapcsolatos különféle műveletek végrehajtásakor.Logaritmusok számítása bázisraesokkal gyorsabban hajtják végre, mint bármely más okból.