भिन्नों के उदाहरणों को हल करने के लिए, आपको सबसे छोटा आम भाजक खोजने में सक्षम होना चाहिए। नीचे एक विस्तृत निर्देश है।

सबसे कम आम भाजक कैसे खोजें - अवधारणा

कम से कम आम भाजक (एलसीडी) सरल शब्दों मेंवह न्यूनतम संख्या है जो इस उदाहरण में सभी भिन्नों के हर से विभाज्य है। दूसरे शब्दों में, इसे कम से कम सामान्य गुणक (LCM) कहा जाता है। NOZ का उपयोग केवल तभी किया जाता है जब भिन्नों के हर भिन्न हों।

सबसे कम आम भाजक कैसे खोजें - उदाहरण

आइए NOZ खोजने के उदाहरणों पर विचार करें।

गणना करें: 3/5 + 2/15।

समाधान (क्रियाओं का क्रम):

• हम भिन्नों के हरों को देखते हैं, सुनिश्चित करते हैं कि वे भिन्न हैं और व्यंजकों को यथासंभव कम किया गया है।
• हम सबसे छोटी संख्या पाते हैं जो 5 और 15 दोनों से विभाज्य है। यह संख्या 15 होगी। इस प्रकार, 3/5 + 2/15 = ?/15।
• हमने भाजक का पता लगाया। अंश में क्या होगा? एक अतिरिक्त गुणक हमें इसका पता लगाने में मदद करेगा। एक अतिरिक्त कारक एक विशेष अंश के हर द्वारा NOZ को विभाजित करके प्राप्त की गई संख्या है। 3/5 के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 3 है, क्योंकि 15/5 = 3 है। दूसरी भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 1 है, क्योंकि 15/15 = 1 है।
• अतिरिक्त गुणनखंड का पता लगाने के बाद, हम इसे भिन्नों के अंशों से गुणा करते हैं और परिणामी मान जोड़ते हैं। 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15।

उत्तर: 3/5 + 2/15 = 11/15।

यदि उदाहरण में 2 नहीं, बल्कि 3 या अधिक भिन्न जोड़े या घटाए गए हैं, तो NOZ को उतने ही भिन्नों के लिए खोजा जाना चाहिए जितने दिए गए हैं।

गणना करें: 1/2 - 5/12 + 3/6

समाधान (क्रियाओं का क्रम):

• सबसे कम आम भाजक ढूँढना। 2, 12 और 6 से विभाज्य न्यूनतम संख्या 12 है।
• हमें मिलता है: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12।
• हम अतिरिक्त गुणकों की तलाश कर रहे हैं। 1/2 - 6 के लिए; 5/12 - 1 के लिए; 3/6 - 2 के लिए
• हम अंशों से गुणा करते हैं और संबंधित संकेत देते हैं: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12।

उत्तर: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12।

लेकिन कई पूर्णांकोंअन्य प्राकृतिक संख्याओं से समान रूप से विभाज्य हैं।

उदाहरण के लिए:

संख्या 12, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;

संख्या 36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे संख्या विभाज्य है (12 के लिए यह 1, 2, 3, 4, 6 और 12 है) कहलाती है संख्या भाजक. एक प्राकृतिक संख्या का भाजक एकवह प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या को विभाजित करती है एकएक ट्रेस के बिना। वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, कहलाती है कम्पोजिट .

ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12. इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है। इन दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक एकतथा बीवह संख्या है जिससे दी गई दोनों संख्याएं बिना शेषफल के विभाज्य हैं एकतथा बी.

सामान्य बहुअनेक संख्याओं को वह संख्या कहा जाता है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 9, 18 और 45 में 180 का एक सामान्य गुणक है। लेकिन 90 और 360 भी उनके सामान्य गुणक हैं। सभी सामान्य गुणकों में हमेशा सबसे छोटा होता है, इस स्थिति में यह 90 होता है। इस संख्या को कहा जाता है कम से कमकॉमन मल्टीपल (LCM).

LCM हमेशा एक प्राकृत संख्या होती है, जो उन सबसे बड़ी संख्याओं से बड़ी होनी चाहिए जिनके लिए इसे परिभाषित किया गया है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)। गुण।

कम्यूटेटिविटी:

सहयोगीता:

विशेष रूप से, यदि और सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो:

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्त्य एमतथा एनअन्य सभी सामान्य गुणकों का भाजक है एमतथा एन. इसके अलावा, सामान्य गुणकों का सेट एम, एनएलसीएम के लिए गुणकों के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).

के लिए स्पर्शोन्मुख को कुछ संख्या-सैद्धांतिक कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

इसलिए, चेबीशेव समारोह. साथ ही:

यह लैंडौ फ़ंक्शन की परिभाषा और गुणों से निम्नानुसार है जी (एन).

अभाज्य संख्याओं के वितरण के नियम से क्या निकलता है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना।

अनापत्ति प्रमाण पत्र ( ए, बी) की गणना कई तरीकों से की जा सकती है:

1. यदि सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात है, तो आप LCM के साथ इसके संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

2. मान लीजिए कि दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन ज्ञात है:

कहाँ पे पी 1 ,...,पी केविभिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं, और घ 1 ,...,डीकेतथा ई 1,...,ईकेगैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं (यदि संगत अभाज्य विस्तार में नहीं है तो वे शून्य हो सकते हैं)।

फिर एलसीएम ( एक,बी) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

दूसरे शब्दों में, एलसीएम विस्तार में सभी प्रमुख कारक शामिल होते हैं जो कम से कम एक संख्या विस्तार में शामिल होते हैं ए, बी, और इस कारक के दो घातांक में से सबसे बड़ा लिया जाता है।

उदाहरण:

कई संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना को दो संख्याओं के LCM की कई क्रमिक गणनाओं में घटाया जा सकता है:

नियम।संख्याओं की एक श्रृंखला का एलसीएम खोजने के लिए, आपको चाहिए:

- संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;

- वांछित उत्पाद के कारकों के लिए सबसे बड़ा विस्तार स्थानांतरित करें (दिए गए लोगों की सबसे बड़ी संख्या के कारकों का उत्पाद), और फिर अन्य संख्याओं के विस्तार से कारक जोड़ें जो पहली संख्या में नहीं होते हैं या इसमें हैं कम संख्या में बार;

- अभाज्य गुणनखंडों का परिणामी गुणनफल दी गई संख्याओं का LCM होगा।

किन्हीं दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का अपना LCM होता है। यदि संख्याएँ एक-दूसरे की गुणज नहीं हैं या प्रसार में समान गुणनखंड नहीं हैं, तो उनका LCM इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

संख्या 28 (2, 2, 7) के अभाज्य गुणनखंडों को 3 (संख्या 21) के गुणनखंड के साथ पूरक किया गया, परिणामी उत्पाद (84) होगा सबसे छोटी संख्या, जो 21 और 28 से विभाज्य है।

सबसे बड़ी संख्या 30 के अभाज्य गुणनखंडों को संख्या 25 के 5 के गुणनखंड के साथ पूरक किया गया, परिणामी उत्पाद 150 सबसे बड़ी संख्या 30 से बड़ा है और शेष के बिना सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है। यह सबसे छोटा संभव गुणनफल (150, 250, 300...) है कि सभी दी गई संख्याएँ इसके गुणज हैं।

संख्याएँ 2,3,11,37 अभाज्य हैं, इसलिए उनका LCM दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

नियम. अभाज्य संख्याओं का LCM निकालने के लिए, आपको इन सभी संख्याओं को एक साथ गुणा करना होगा।

एक अन्य विकल्प:

आपको आवश्यक कई संख्याओं में से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने के लिए:

1) प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करें, उदाहरण के लिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) सभी प्रमुख कारकों की शक्तियों को लिखिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) इनमें से प्रत्येक संख्या के सभी अभाज्य भाजक (गुणक) लिखिए;

4) उनमें से प्रत्येक की सबसे बड़ी डिग्री चुनें, जो इन संख्याओं के सभी विस्तारों में पाई जाती है;

5) इन शक्तियों को गुणा करें।

उदाहरण. संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए: 168, 180 और 3024।

समाधान. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1।

हम सभी अभाज्य भाजक की सबसे बड़ी घातों को लिखते हैं और उन्हें गुणा करते हैं:

एलसीएम = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120।

नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम शीर्षक के तहत लेख से सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है - कम से कम सामान्य गुणक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध। यहां हम बात करेंगे कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना, तथा विशेष ध्यानआइए उदाहरणों पर एक नज़र डालें। आइए पहले दिखाते हैं कि इन संख्याओं के जीसीडी के रूप में दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके अल्पतम समापवर्त्य ज्ञात करने पर विचार करें। उसके बाद, हम तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने पर ध्यान केंद्रित करेंगे, और ऋणात्मक संख्याओं के एलसीएम की गणना पर भी ध्यान देंगे।

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gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना

एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित कम से कम सामान्य गुणक खोजने का एक तरीका है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा संबंध आपको ज्ञात महानतम के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के कम से कम सामान्य गुणकों की गणना करने की अनुमति देता है सामान्य भाजक. संबंधित सूत्र का रूप है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी) . उपरोक्त सूत्र के अनुसार LCM ज्ञात करने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस उदाहरण में a=126 , b=70 । आइए हम सूत्र द्वारा व्यक्त एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध का उपयोग करें एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी). यानी पहले हमें 70 और 126 संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना होगा, जिसके बाद हम लिखित सूत्र के अनुसार इन संख्याओं का LCM निकाल सकते हैं।

यूक्लिड के एल्गोरिथ्म का उपयोग करके gcd(126, 70) खोजें: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , इसलिए gcd(126, 70)=14 ।

अब हम आवश्यक कम से कम सामान्य गुणक पाते हैं: एलसीएम(126, 70)=126 70: जीसीएम(126, 70)= 126 70:14=630।

उत्तर:

एलसीएम(126, 70)=630।

उदाहरण।

एलसीएम (68, 34) क्या है?

समाधान।

इसलिये 68, 34 से समान रूप से विभाज्य है, फिर gcd(68, 34)=34 । अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: एलसीएम(68, 34)=68 34: एलसीएम(68, 34)= 68 34:34=68 ।

उत्तर:

एलसीएम (68, 34) = 68।

ध्यान दें कि पिछला उदाहरण धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए LCM खोजने के लिए निम्नलिखित नियम पर फिट बैठता है: यदि संख्या a, b से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक a है।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना

कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने का दूसरा तरीका अभाज्य संख्याओं में गुणनखंडन पर आधारित है। यदि हम इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, जिसके बाद हम इस गुणनफल से उन सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों को हटा देते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में मौजूद हैं, तो परिणामी उत्पाद इन संख्याओं के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।

एलसीएम खोजने के लिए घोषित नियम समानता से निम्नानुसार है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी). वास्तव में, संख्याओं a और b का गुणनफल, संख्याओं a और b के प्रसार में शामिल सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है। बदले में, gcd(a, b) उन सभी अभाज्य कारकों के गुणनफल के बराबर होता है जो संख्याओं a और b के विस्तार में एक साथ मौजूद होते हैं (जो कि अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके gcd खोजने पर अनुभाग में वर्णित है) )

आइए एक उदाहरण लेते हैं। बता दें कि 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । इन विस्तारों के सभी गुणनखंडों का गुणनफल लिखिए: 2 3 3 5 5 5 7 । अब हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करते हैं जो संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार में मौजूद हैं (ऐसे कारक 3 और 5 हैं), तो उत्पाद 2 3 5 5 7 का रूप लेगा। इस गुणनफल का मान 75 और 210 की संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर है, अर्थात्, एलसीएम(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

उदाहरण।

संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के बाद, इन संख्याओं में से सबसे छोटा सामान्य गुणज ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

हमें 441=3 3 7 7 और 700=2 2 5 5 7 मिलता है।

अब आइए इन संख्याओं के प्रसार में शामिल सभी कारकों का गुणनफल बनाएं: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 । आइए हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक कारक है - यह संख्या 7 है): 2 2 3 3 5 5 7 7 । इस तरह, एलसीएम(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

उत्तर:

एलसीएम (441, 700) = 44 100।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके एलसीएम को खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि हम संख्या b के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को संख्या a के विस्तार के गुणनखंडों में जोड़ दें, तो परिणामी गुणनफल का मान संख्याओं a और b के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।.

उदाहरण के लिए, आइए सभी समान संख्याएं 75 और 210 लें, उनके विस्तार अभाज्य गुणनखंडों में इस प्रकार हैं: 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । संख्या 75 के अपघटन से गुणनखंड 3, 5 और 5 में, हम संख्या 210 के अपघटन से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 3 5 5 7 मिलता है, जिसका मान LCM(75) है , 210)।

उदाहरण।

84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

हम पहले संख्या 84 और 648 के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं। वे 84=2 2 3 7 और 648=2 2 2 2 3 3 3 3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के अपघटन से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के अपघटन से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 2 3 3 3 3 7 मिलता है। जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 की संख्याओं का वांछित न्यूनतम सामान्य गुणज 4,536 है।

उत्तर:

एलसीएम(84, 648)=4 536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करके ज्ञात किया जा सकता है। संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने का एक तरीका देता है।

प्रमेय।

मान लीजिए पूर्णांक दिए गए हैं सकारात्मक संख्या a 1 , a 2 , …, a k , इन संख्याओं का सबसे छोटा समापवर्तक m k अनुक्रमिक गणना द्वारा पाया जाता है m 2 = LCM (a 1 , a 2), m 3 = LCM (m 2 , a 3), …, m k = एलसीएम ( m k−1, a k) ।

चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण पर इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और 250 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए ।

समाधान।

इस उदाहरण में a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 ।

पहले हम पाते हैं एम 2 \u003d एलसीएम (ए 1, ए 2) \u003d एलसीएम (140, 9). ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम निर्धारित करते हैं gcd(140, 9) , हमारे पास 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 है, इसलिए, gcd( 140, 9)=1 , कहाँ से एलसीएम(140, 9)=140 9: एलसीएम(140, 9)= 140 9:1=1 260 . यानी एम 2 = 1 260।

अब हम पाते हैं एम 3 \u003d एलसीएम (एम 2, ए 3) \u003d एलसीएम (1 260, 54). आइए इसकी गणना gcd(1 260, 54) के माध्यम से करते हैं, जो यूक्लिड एल्गोरिथम द्वारा भी निर्धारित किया जाता है: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 । फिर gcd(1 260, 54)=18 , जहां से LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 । यानी एम 3 \u003d 3 780।

खोजने के लिए छोड़ दिया एम 4 \u003d एलसीएम (एम 3, ए 4) \u003d एलसीएम (3 780, 250). ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके GCD(3 780, 250) पाते हैं: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 । इसलिए, gcd(3 780, 250)=10 , जहां से gcd(3 780, 250)= 3 780 250:जीसीडी(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500। यानी एम 4 \u003d 94 500।

अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।

उत्तर:

एलसीएम (140, 9, 54, 250)=94,500.

कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक आसानी से मिल जाता है। इस मामले में, निम्नलिखित नियम का पालन किया जाना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक गुणनफल के बराबर होता है, जिसकी रचना इस प्रकार की जाती है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी गुणनखंडों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंड तीसरे नंबर को प्राप्त कारकों में जोड़ा जाता है, और इसी तरह।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

पाँच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए ।

समाधान।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं के विस्तार को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 अभाज्य गुणनखंड) और 143=11 13 ।

इन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के विस्तार में लुप्त गुणनखंड नहीं हैं, क्योंकि 2 और 3 दोनों पहले संख्या 84 के विस्तार में पहले से मौजूद हैं। आगे गुणनखंड 2 , 2 , 3 और 7 के अलावा हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं , हमें गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 का एक समुच्चय प्राप्त होता है । अगले चरण में इस सेट में गुणनखंड जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसमें पहले से ही 7 समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2 2 2 2 3 7 11 13 मिलता है, जो 48 048 के बराबर है।

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा 2

यदि एक प्राकृत संख्या a एक प्राकृत संख्या $b$ से विभाज्य है, तो $b$ को $a$ का भाजक कहा जाता है, और संख्या $a$ को $b$ का गुणज कहा जाता है।

मान लीजिए $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं। संख्या $c$ को $a$ और $b$ दोनों के लिए एक सामान्य भाजक कहा जाता है।

$a$ और $b$ संख्याओं के सार्व भाजक का समुच्चय परिमित है, क्योंकि इनमें से कोई भी भाजक $a$ से बड़ा नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि इन भाजक में सबसे बड़ा है, जिसे संख्याओं $a$ और $b$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जाता है, और इसे दर्शाने के लिए संकेतन का उपयोग किया जाता है:

$gcd \ (a;b) \ ​​या \ D \ (a;b)$

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना:

1. चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

उदाहरण 1

$121$ और $132 की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए।$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

उन संख्याओं को चुनिए जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$gcd=2\cdot 11=22$

उदाहरण 2

एकपदी $63$ और $81$ की GCD ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए:

आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

हम उन संख्याओं का चयन करते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

आइए चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$gcd=3\cdot 3=9$

आप संख्याओं के भाजक के सेट का उपयोग करके दो संख्याओं का GCD दूसरे तरीके से पा सकते हैं।

उदाहरण 3

$48$ और $60$ की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए।

समाधान:

$48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$ के भाजक का सेट खोजें

आइए अब $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$ के भाजक का सेट खोजें

आइए इन सेटों के प्रतिच्छेदन का पता लगाएं: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - यह सेट $48$ और $60 की संख्या के सामान्य भाजक के सेट को निर्धारित करेगा $. इस सेट में सबसे बड़ा तत्व $12$ की संख्या होगी। तो $48$ और $60$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $12$ है।

एनओसी . की परिभाषा

परिभाषा 3

प्राकृत संख्याओं का सार्व गुणज$a$ और $b$ एक प्राकृत संख्या है जो $a$ और $b$ दोनों का गुणज है।

संख्याओं के सामान्य गुणज वे संख्याएँ होती हैं जो शेषफल के बिना मूल से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए, $25$ और $50$ की संख्याओं के लिए, सामान्य गुणक संख्याएँ $50,100,150,200$, आदि होंगी।

कम से कम सामान्य गुणक को सबसे छोटा सामान्य गुणक कहा जाएगा और इसे LCM$(a;b)$ या K$(a;b)$ द्वारा दर्शाया जाएगा।

दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें
2. उन कारकों को लिखिए जो पहली संख्या का भाग हैं और उनमें उन गुणनखंडों को जोड़ें जो दूसरी संख्या का भाग हैं और पहली संख्या में नहीं जाते हैं।

उदाहरण 4

$99$ और $77$ की संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

$99=3\cdot 3\cdot 11$

पहले में शामिल कारकों को लिखिए

उन कारकों में जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हैं और पहले पर नहीं जाते हैं

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित लघुत्तम समापवर्त्य होगी

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

संख्याओं के भाजक की सूची संकलित करने में अक्सर बहुत समय लगता है। जीसीडी खोजने का एक तरीका है जिसे यूक्लिड का एल्गोरिदम कहा जाता है।

वे कथन जिन पर यूक्लिड का एल्गोरिथम आधारित है:

यदि $a$ और $b$ प्राकृत संख्याएँ हैं, और $a\vdots b$, तो $D(a;b)=b$

यदि $a$ और $b$ ऐसी प्राकृत संख्याएँ हैं कि $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ का उपयोग करके, हम विचाराधीन संख्याओं को क्रमिक रूप से तब तक घटा सकते हैं जब तक कि हम संख्याओं की एक जोड़ी तक नहीं पहुंच जाते, जैसे कि उनमें से एक दूसरे से विभाज्य हो। फिर इन संख्याओं में से छोटी संख्या $a$ और $b$ के लिए वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगा।

GCD और LCM के गुण

1. $a$ और $b$ का कोई भी सामान्य गुणक K$(a;b)$ . से विभाज्य है
2. अगर $a\vdots b$ , तो K$(a;b)=a$

यदि K$(a;b)=k$ और $m$-प्राकृतिक संख्या है, तो K$(am;bm)=km$

यदि $d$ $a$ और $b$ के लिए एक सामान्य भाजक है, तो K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

यदि $a\vdots c$ और $b\vdots c$ , तो $\frac(ab)(c)$ $a$ और $b$ का एक सामान्य गुणज है

किसी भी प्राकृतिक संख्या $a$ और $b$ के लिए समानता

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$ और $b$ का कोई भी सामान्य भाजक $D(a;b)$ . का भाजक है

कम से कम सामान्य गुणक खोजने के तीन तरीकों पर विचार करें।

फैक्टरिंग द्वारा ढूँढना

पहला तरीका यह है कि दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात किया जाए।

मान लीजिए हमें संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करना है: 99, 30 और 28। ऐसा करने के लिए, हम इनमें से प्रत्येक संख्या को प्रमुख कारकों में विघटित करते हैं:

वांछित संख्या को 99, 30 और 28 से विभाज्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसमें इन भाजक के सभी अभाज्य गुणनखंड शामिल हों। ऐसा करने के लिए, हमें इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों को उच्चतम होने वाली घात तक ले जाना होगा और उन्हें एक साथ गुणा करना होगा:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

तो एलसीएम (99, 30, 28) = 13,860। 13,860 से कम कोई अन्य संख्या 99, 30, या 28 से समान रूप से विभाज्य नहीं है।

दी गई संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए, आपको उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना होगा, फिर प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को सबसे बड़े घातांक के साथ लेना होगा, और इन कारकों को एक साथ गुणा करना होगा।

चूँकि सहअभाज्य संख्याओं का कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है, उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, तीन संख्याएँ: 20, 49 और 33 सहअभाज्य हैं। इसीलिए

एलसीएम (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340।

विभिन्न अभाज्यों के कम से कम सामान्य गुणकों की तलाश करते समय भी ऐसा ही किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, एलसीएम (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231।

चयन द्वारा ढूँढना

दूसरा तरीका यह है कि फिटिंग द्वारा कम से कम सामान्य गुणक का पता लगाया जाए।

उदाहरण 1. जब दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या अन्य दी गई संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती है, तो इन संख्याओं का LCM उनमें से बड़ी संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, चार संख्याएँ दी गई हैं: 60, 30, 10 और 6. उनमें से प्रत्येक 60 से विभाज्य है, इसलिए:

एनओसी (60, 30, 10, 6) = 60

अन्य मामलों में, कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
2. इसके बाद, हम ऐसी संख्याएँ पाते हैं जो सबसे बड़ी संख्या के गुणज हैं, इसे आरोही क्रम में प्राकृतिक संख्याओं से गुणा करते हैं और जाँचते हैं कि क्या शेष दी गई संख्याएँ परिणामी गुणनफल से विभाज्य हैं।

उदाहरण 2. तीन संख्याएँ 24, 3 और 18 दी गई हैं। उनमें से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए - यह संख्या 24 है। इसके बाद, 24 के गुणज ज्ञात कीजिए, यह जाँचते हुए कि उनमें से प्रत्येक 18 और 3 से विभाज्य है या नहीं:

24 1 = 24 3 से विभाज्य है लेकिन 18 से विभाज्य नहीं है।

24 2 = 48 - 3 से विभाज्य लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 3 \u003d 72 - 3 और 18 से विभाज्य।

तो एलसीएम (24, 3, 18) = 72।

अनुक्रमिक खोज एलसीएम द्वारा ढूँढना

तीसरा तरीका एलसीएम को क्रमिक रूप से खोजकर कम से कम सामान्य गुणक खोजना है।

दो दी गई संख्याओं का LCM उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

उदाहरण 1. दो दी गई संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए: 12 और 8। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: GCD (12, 8) = 4। इन संख्याओं को गुणा करें:

हम उत्पाद को उनके GCD में विभाजित करते हैं:

अत: LCM(12, 8) = 24.

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. सबसे पहले, दी गई संख्याओं में से किन्हीं दो का LCM ज्ञात किया जाता है।
2. फिर, कम से कम सामान्य गुणक का एलसीएम और तीसरा दी गई संख्या.
3. फिर, परिणामी कम से कम सामान्य गुणक और चौथी संख्या का एलसीएम, और इसी तरह।
4. इस प्रकार एलसीएम खोज तब तक जारी रहती है जब तक संख्याएं होती हैं।

उदाहरण 2. आइए तीन दी गई संख्याओं का एलसीएम खोजें: 12, 8 और 9। हम पिछले उदाहरण में संख्याओं 12 और 8 के एलसीएम को पहले ही ढूंढ चुके हैं (यह संख्या 24 है)। यह 24 का सबसे छोटा सामान्य गुणक और तीसरी दी गई संख्या - 9 को खोजने के लिए बनी हुई है। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: gcd (24, 9) = 3. LCM को संख्या 9 से गुणा करें:

हम उत्पाद को उनके GCD में विभाजित करते हैं:

तो एलसीएम(12, 8, 9) = 72।