Logarithme un nombre donné est appelé l'exposant auquel un autre nombre doit être élevé, appelé base logarithme pour obtenir ce nombre. Par exemple, le logarithme en base 10 de 100 est 2. En d’autres termes, 10 doit être au carré pour obtenir 100 (10 2 = 100). Si n– un numéro donné, b– le socle et je– logarithme, alors b l = n. Nombre négalement appelé antilogarithme de base b Nombres je. Par exemple, l'antilogarithme de 2 en base 10 est égal à 100. Cela peut s'écrire sous la forme du journal des relations bn = je et antilog b l = n.

Propriétés de base des logarithmes :

Tout nombre positif autre que un peut servir de base aux logarithmes, mais malheureusement il s'avère que si b Et n sont des nombres rationnels, alors dans de rares cas, il existe un tel nombre rationnel je, Quoi b l = n. Cependant, il est possible de définir un nombre irrationnel je, par exemple, tel que 10 je= 2 ; c'est un nombre irrationnel je peut être approximé avec toute précision requise par des nombres rationnels. Il s'avère que dans l'exemple donné je est approximativement égal à 0,3010, et cette approximation du logarithme en base 10 de 2 peut être trouvée dans des tableaux à quatre chiffres de logarithmes décimaux. Les logarithmes en base 10 (ou logarithmes en base 10) sont si couramment utilisés dans les calculs qu'ils sont appelés ordinaire logarithmes et écrit sous la forme log2 = 0,3010 ou log2 = 0,3010, en omettant l'indication explicite de la base du logarithme. Logarithmes à la base e, nombre transcendantal approximativement égal à 2,71828, sont appelés naturel logarithmes. On les retrouve principalement dans les travaux sur l'analyse mathématique et ses applications à diverses sciences. Les logarithmes naturels s'écrivent également sans indiquer explicitement la base, mais en utilisant la notation spéciale ln : par exemple, ln2 = 0,6931, car e 0,6931 = 2.

Utiliser des tableaux de logarithmes ordinaires.

Le logarithme régulier d'un nombre est un exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir un nombre donné. Puisque 10 0 = 1, 10 1 = 10 et 10 2 = 100, on obtient immédiatement que log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, etc. pour des puissances entières croissantes 10. De même, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 et donc log0,1 = –1, log0,01 = –2, etc. pour toutes les puissances entières négatives 10. Les logarithmes habituels des nombres restants sont placés entre les logarithmes des puissances entières de 10 les plus proches ; log2 doit être compris entre 0 et 1, log20 doit être compris entre 1 et 2 et log0.2 doit être compris entre -1 et 0. Ainsi, le logarithme se compose de deux parties, un entier et une décimale, comprises entre 0 et 1. Le partie entière appelée caractéristique logarithme et est déterminé par le nombre lui-même, la partie fractionnaire est appelée mantisse et peuvent être trouvés dans les tableaux. De plus, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Le logarithme de 2 est 0,3010, donc log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. De même, log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Après soustraction, nous obtenons log0,2 = – 0,6990. Cependant, il est plus pratique de représenter log0,2 par 0,3010 – 1 ou par 9,3010 – 10 ; Une règle générale peut également être formulée : tous les nombres obtenus à partir d'un nombre donné par multiplication par une puissance de 10 ont des mantisses identiques égales à la mantisse du nombre donné. La plupart des tableaux montrent les mantisses des nombres compris entre 1 et 10, puisque les mantisses de tous les autres nombres peuvent être obtenues à partir de celles données dans le tableau.

La plupart des tableaux donnent des logarithmes avec quatre ou cinq décimales, bien qu'il existe des tableaux à sept chiffres et des tableaux avec encore plus de décimales. Le moyen le plus simple d’apprendre à utiliser de tels tableaux consiste à utiliser des exemples. Pour trouver log3,59, on remarque tout d'abord que le nombre 3,59 est compris entre 10 0 et 10 1, donc sa caractéristique est 0. On retrouve le nombre 35 (à gauche) dans le tableau et on se déplace le long de la ligne jusqu'à colonne qui porte le chiffre 9 en haut ; l'intersection de cette colonne et de la ligne 35 est 5551, donc log3,59 = 0,5551. Pour trouver la mantisse d’un nombre à quatre chiffres significatifs, vous devez utiliser l’interpolation. Dans certains tableaux, l'interpolation est facilitée par les proportions données dans les neuf dernières colonnes du côté droit de chaque page des tableaux. Trouvons maintenant log736.4 ; le nombre 736,4 est compris entre 10 2 et 10 3, donc la caractéristique de son logarithme est 2. Dans le tableau on trouve une ligne à gauche de laquelle se trouve 73 et la colonne 6. A l'intersection de cette ligne et de cette colonne il y a le nombre 8669. Parmi les parties linéaires on trouve la colonne 4 . A l'intersection de la ligne 73 et de la colonne 4 se trouve le nombre 2. En ajoutant 2 à 8669, on obtient la mantisse - elle est égale à 8671. Ainsi, log736.4 = 2,8671.

Logarithmes naturels.

Les tableaux et propriétés des logarithmes naturels sont similaires aux tableaux et propriétés des logarithmes ordinaires. La principale différence entre les deux est que la partie entière du logarithme népérien n'est pas significative pour déterminer la position de la virgule décimale et que, par conséquent, la différence entre la mantisse et la caractéristique ne joue pas de rôle particulier. Logarithmes naturels des nombres 5,432 ; 54,32 et 543,2 sont respectivement égaux à 1,6923 ; 3,9949 et 6,2975. La relation entre ces logarithmes deviendra évidente si l'on considère les différences entre eux : log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026 ; le dernier nombre n'est rien d'autre que le logarithme népérien du nombre 10 (écrit ainsi : ln10) ; log543,2 – log5,432 = 4,6052 ; le dernier nombre est 2ln10. Mais 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Ainsi, par le logarithme naturel d'un nombre donné un vous pouvez trouver les logarithmes népériens de nombres égaux aux produits du nombre un pour n'importe quel diplôme n nombres 10 si à ln un ajouter ln10 multiplié par n, c'est à dire. ln( unґ10n) = journal un + n ln10 = ln un + 2,3026n. Par exemple, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Par conséquent, les tableaux de logarithmes naturels, comme les tableaux de logarithmes ordinaires, ne contiennent généralement que des logarithmes de nombres de 1 à 10. Dans le système des logarithmes naturels, on peut parler d'antilogarithmes, mais le plus souvent ils parlent d'une fonction exponentielle ou d'un exposant. Si X= journal oui, Que oui = ex, Et oui appelé l'exposant de X(pour des raisons de commodité typographique, ils écrivent souvent oui= exp X). L'exposant joue le rôle de l'antilogarithme du nombre X.

À l'aide de tableaux de logarithmes décimaux et naturels, vous pouvez créer des tableaux de logarithmes dans n'importe quelle base autre que 10 et e. Si journal b un = X, Que bx = un, et donc journaliser c b x=journal Californie ou X enregistrer cb=journal Californie, ou X=journal Californie/enregistrer cb=journal b un. Par conséquent, en utilisant cette formule d'inversion de la table du logarithme de base c vous pouvez construire des tableaux de logarithmes dans n'importe quelle autre base b. Multiplicateur 1/log cb appelé module de transition de la base cà la base b. Rien n'empêche, par exemple, d'utiliser la formule d'inversion ou de passage d'un système de logarithmes à un autre, de retrouver des logarithmes naturels à partir du tableau des logarithmes ordinaires ou d'effectuer la transition inverse. Par exemple, log105.432 = journal e 5,432/journal e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Le nombre 0,4343, par lequel le logarithme népérien d'un nombre donné doit être multiplié pour obtenir un logarithme ordinaire, est le module de transition vers le système des logarithmes ordinaires.

Tableaux spéciaux.

Les logarithmes ont été inventés à l'origine pour qu'en utilisant leurs propriétés, ils enregistrent un B=journal un+ journal b et connectez-vous un/b=journal un-enregistrer b, transformez les produits en sommes et les quotients en différences. En d'autres termes, si le journal un et connectez-vous b sont connus, alors en utilisant l'addition et la soustraction, nous pouvons facilement trouver le logarithme du produit et le quotient. En astronomie, cependant, on donne souvent des valeurs de log un et connectez-vous b besoin de trouver le journal ( un + b) ou journal( un – b). Bien sûr, on pourrait d'abord trouver à partir de tables de logarithmes un Et b, puis effectuez l'addition ou la soustraction indiquée et, en vous référant à nouveau aux tableaux, trouvez les logarithmes requis, mais une telle procédure nécessiterait de se référer aux tableaux trois fois. Z. Leonelli a publié en 1802 des tableaux de ce qu'on appelle. Logarithmes gaussiens– des logarithmes pour additionner des sommes et des différences – qui permettaient de se limiter à un seul accès aux tableaux.

En 1624, I. Kepler proposa des tableaux de logarithmes proportionnels, c'est-à-dire logarithmes de nombres un/X, Où un– une valeur constante positive. Ces tables sont principalement utilisées par les astronomes et les navigateurs.

Logarithmes proportionnels à un= 1 sont appelés cologarithmes et sont utilisés dans les calculs lorsqu'il faut traiter des produits et des quotients. Cologarithme d'un nombre négal au logarithme du nombre réciproque ; ceux. Cologne n= journal1/ n= – journal n. Si log2 = 0,3010, alors colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. L'avantage d'utiliser des cologarithmes est que lors du calcul de la valeur du logarithme d'expressions comme pq/r triple somme de décimales positives log p+ journal q+colog r est plus facile à trouver que le journal de la somme et de la différence mélangées p+ journal q-enregistrer r.

Histoire.

Le principe qui sous-tend tout système de logarithmes est connu depuis très longtemps et remonte aux anciennes mathématiques babyloniennes (environ 2000 avant JC). À cette époque, l'interpolation entre les valeurs de table de puissances entières positives d'entiers était utilisée pour calculer les intérêts composés. Beaucoup plus tard, Archimède (287-212 avant JC) utilisa les puissances de 108 pour trouver une limite supérieure au nombre de grains de sable requis pour remplir complètement l'Univers alors connu. Archimède a attiré l'attention sur la propriété des exposants qui est à la base de l'efficacité des logarithmes : le produit des puissances correspond à la somme des exposants. À la fin du Moyen Âge et au début de l’ère moderne, les mathématiciens se sont de plus en plus intéressés à la relation entre les progressions géométriques et arithmétiques. M. Stiefel dans son essai Arithmétique entière(1544) a donné un tableau des puissances positives et négatives du nombre 2 :

Stiefel a remarqué que la somme des deux nombres de la première rangée (la rangée des exposants) est égale à l'exposant de deux correspondant au produit des deux nombres correspondants de la rangée du bas (la rangée des exposants). A propos de ce tableau, Stiefel a formulé quatre règles équivalentes aux quatre règles modernes pour les opérations sur les exposants ou aux quatre règles pour les opérations sur les logarithmes : la somme de la ligne du haut correspond au produit de la ligne du bas ; la soustraction sur la ligne du haut correspond à la division sur la ligne du bas ; la multiplication sur la ligne du haut correspond à l'exponentiation sur la ligne du bas ; la division sur la ligne du haut correspond à l'enracinement sur la ligne du bas.

Apparemment, des règles similaires à celles de Stiefel ont conduit J. Naper à introduire formellement le premier système de logarithmes dans son travail. Description de l'étonnante table des logarithmes, publié en 1614. Mais les pensées de Napier étaient occupées par le problème de la conversion des produits en sommes depuis que, plus de dix ans avant la publication de son ouvrage, Napier reçut du Danemark des nouvelles selon lesquelles, à l'Observatoire Tycho Brahe, ses assistants disposaient d'une méthode qui permettait de il est possible de convertir des produits en sommes. La méthode discutée dans le message reçu par Napier était basée sur l'utilisation de formules trigonométriques comme

les tableaux de Naper étaient donc principalement constitués de logarithmes de fonctions trigonométriques. Bien que la notion de base n'ait pas été explicitement incluse dans la définition proposée par Napier, le rôle équivalent à la base du système de logarithmes dans son système était joué par le nombre (1 – 10 –7)ґ10 7, approximativement égal à 1/ e.

Indépendamment de Naper et presque simultanément avec lui, un système de logarithmes, de type assez similaire, fut inventé et publié par J. Bürgi à Prague, publié en 1620. Tableaux de progression arithmétique et géométrique. Il s'agissait de tableaux d'antilogarithmes à la base (1 + 10 –4) ґ10 4, une assez bonne approximation du nombre e.

Dans le système Naper, le logarithme du nombre 10 7 était considéré comme nul et, à mesure que les nombres diminuaient, les logarithmes augmentaient. Lorsque G. Briggs (1561-1631) visita Napier, tous deux s'accordèrent sur le fait qu'il serait plus pratique d'utiliser le nombre 10 comme base et de considérer le logarithme de un comme étant nul. Puis, à mesure que les nombres augmentaient, leurs logarithmes augmentaient. Nous avons ainsi obtenu le système moderne des logarithmes décimaux, dont Briggs a publié le tableau dans son ouvrage Arithmétique logarithmique(1620). Logarithmes à la base e, bien que pas exactement ceux introduits par Naper, sont souvent appelés Naper. Les termes « caractéristique » et « mantisse » ont été proposés par Briggs.

Les premiers logarithmes, pour des raisons historiques, utilisaient des approximations des nombres 1/ e Et e. Un peu plus tard, l'idée des logarithmes naturels a commencé à être associée à l'étude des aires sous une hyperbole xy= 1 (Fig.1). Au 17ème siècle il a été montré que l'aire délimitée par cette courbe, l'axe X et les ordonnées X= 1 et X = un(sur la figure 1, cette zone est couverte de points plus gras et plus clairsemés) augmente la progression arithmétique lorsque un augmente de façon exponentielle. C'est précisément cette dépendance qui apparaît dans les règles d'opérations avec exposants et logarithmes. Cela a donné lieu à l’appellation de logarithmes napériens de « logarithmes hyperboliques ».

Fonction logarithmique.

Il fut un temps où les logarithmes étaient considérés uniquement comme un moyen de calcul, mais au XVIIIe siècle, principalement grâce aux travaux d'Euler, le concept de fonction logarithmique s'est formé. Graphique d'une telle fonction oui= journal X, dont les ordonnées augmentent selon une progression arithmétique, tandis que les abscisses augmentent selon une progression géométrique, est présentée sur la Fig. 2, UN. Graphique d'une fonction inverse ou exponentielle y = ex, dont les ordonnées augmentent en progression géométrique, et dont les abscisses augmentent en progression arithmétique, sont présentées respectivement sur la Fig. 2, b. (Courbes oui=journal X Et oui = 10X forme similaire aux courbes oui= journal X Et oui = ex.) Des définitions alternatives de la fonction logarithmique ont également été proposées, par exemple,

kpi ; et, de même, les logarithmes naturels du nombre -1 sont des nombres complexes de la forme (2 k + 1)pi, Où k- un nombre entier. Des déclarations similaires sont vraies pour les logarithmes généraux ou d’autres systèmes de logarithmes. De plus, la définition des logarithmes peut être généralisée en utilisant les identités d'Euler pour inclure les logarithmes complexes de nombres complexes.

Une définition alternative d'une fonction logarithmique est fournie par l'analyse fonctionnelle. Si F(X) – fonction continue d'un nombre réel X, ayant les trois propriétés suivantes : F (1) = 0, F (b) = 1, F (UV) = F (toi) + F (v), Que F(X) est défini comme le logarithme du nombre X basé sur b. Cette définition présente de nombreux avantages par rapport à la définition donnée au début de cet article.

Applications.

Les logarithmes étaient à l'origine utilisés uniquement pour simplifier les calculs, et cette application est toujours l'une des plus importantes. Le calcul des produits, des quotients, des puissances et des racines est facilité non seulement par la large disponibilité de tableaux de logarithmes publiés, mais également par l'utilisation de ce qu'on appelle. règle à calcul - un outil de calcul dont le principe de fonctionnement est basé sur les propriétés des logarithmes. La règle est équipée d'échelles logarithmiques, c'est-à-dire distance du numéro 1 à n'importe quel numéro X choisi pour être égal à log X; En décalant une échelle par rapport à une autre, il est possible de tracer les sommes ou différences de logarithmes, ce qui permet de lire directement sur l'échelle les produits ou quotients des nombres correspondants. Vous pouvez également profiter des avantages de la représentation des nombres sous forme logarithmique. papier logarithmique pour tracer des graphiques (papier sur lequel sont imprimées des échelles logarithmiques sur les deux axes de coordonnées). Si une fonction satisfait une loi de puissance de la forme y = kxn, alors son graphique logarithmique ressemble à une ligne droite, car enregistrer oui=journal k + n enregistrer X– équation linéaire par rapport au log oui et connectez-vous X. Au contraire, si le graphique logarithmique d’une dépendance fonctionnelle ressemble à une ligne droite, alors cette dépendance est une dépendance en puissance. Le papier semi-logarithmique (où l'axe y a une échelle logarithmique et l'axe x a une échelle uniforme) est utile lorsque vous devez identifier des fonctions exponentielles. Équations de la forme y = kb rx se produit chaque fois qu'une quantité, telle qu'une population, une quantité de matières radioactives ou un solde bancaire, diminue ou augmente à un taux proportionnel à la quantité de population, de matières radioactives ou d'argent actuellement disponible. Si une telle dépendance est tracée sur du papier semi-logarithmique, le graphique ressemblera à une ligne droite.

La fonction logarithmique apparaît en relation avec une grande variété de formes naturelles. Les fleurs des inflorescences de tournesol sont disposées en spirales logarithmiques, les coquilles de mollusques sont tordues Nautile, cornes de moutons de montagne et becs de perroquets. Toutes ces formes naturelles peuvent servir d'exemples d'une courbe connue sous le nom de spirale logarithmique car, dans un système de coordonnées polaires, son équation est r = aebq, ou ln r= journal un + bq. Une telle courbe est décrite par un point mobile dont la distance au pôle augmente en progression géométrique, et l'angle décrit par son rayon vecteur augmente en progression arithmétique. L'omniprésence d'une telle courbe, et donc de la fonction logarithmique, est bien illustrée par le fait qu'elle se produit dans des zones aussi éloignées et complètement différentes que le contour d'une came excentrique et la trajectoire de certains insectes volant vers la lumière.

Nous avons donc des puissances de deux. Si vous prenez le nombre de la ligne du bas, vous pouvez facilement trouver la puissance à laquelle vous devrez relancer deux pour obtenir ce nombre. Par exemple, pour obtenir 16, vous devez élever deux à la puissance quatrième. Et pour obtenir 64, il faut élever deux à la puissance sixième. Cela peut être vu sur le tableau.

Et maintenant, en fait, la définition du logarithme :

La base a du logarithme de x est la puissance à laquelle a doit être élevé pour obtenir x.

Notation : log a x = b, où a est la base, x est l'argument, b est ce à quoi le logarithme est réellement égal.

Par exemple, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (le logarithme en base 2 de 8 est trois car 2 3 = 8). Avec le même succès, log 2 64 = 6, puisque 2 6 = 64.

L'opération consistant à trouver le logarithme d'un nombre selon une base donnée est appelée logarithmisation. Alors, ajoutons une nouvelle ligne à notre tableau :

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
journal 2 2 = 1	journal 2 4 = 2	journal 2 8 = 3	journal 2 16 = 4	journal 2 32 = 5	journal 2 64 = 6

Malheureusement, tous les logarithmes ne se calculent pas aussi facilement. Par exemple, essayez de trouver le log 2 5. Le nombre 5 n'est pas dans le tableau, mais la logique veut que le logarithme se situe quelque part sur l'intervalle. Parce que 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

De tels nombres sont appelés irrationnels : les nombres après la virgule peuvent être écrits à l'infini et ils ne sont jamais répétés. Si le logarithme s'avère irrationnel, il vaut mieux le laisser ainsi : log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Il est important de comprendre qu’un logarithme est une expression à deux variables (la base et l’argument). Beaucoup de gens confondent au début où se trouve la base et où se trouve l’argument. Pour éviter des malentendus gênants, il suffit de regarder l'image :

[Légende de la photo]

Nous n’avons devant nous rien d’autre que la définition d’un logarithme. Souviens-toi: le logarithme est une puissance, dans lequel la base doit être construite pour obtenir un argument. C'est la base qui est élevée à une puissance - elle est surlignée en rouge sur la photo. Il s'avère que la base est toujours en bas ! J'enseigne cette merveilleuse règle à mes élèves dès la première leçon - et aucune confusion ne surgit.

Nous avons trouvé la définition - il ne reste plus qu'à apprendre à compter les logarithmes, c'est-à-dire débarrassez-vous du panneau « journal ». Pour commencer, notons que deux faits importants découlent de la définition :

1. L'argument et la base doivent toujours être supérieurs à zéro. Cela découle de la définition d'un degré par un exposant rationnel, à laquelle se réduit la définition d'un logarithme.
2. La base doit être différente de l'unité, puisque l'unité reste une à quelque degré que ce soit. De ce fait, la question « à quel pouvoir faut-il être élevé pour en obtenir deux » n’a pas de sens. Un tel diplôme n'existe pas !

De telles restrictions sont appelées plage de valeurs acceptables(ODZ). Il s'avère que l'ODZ du logarithme ressemble à ceci : log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Notez qu'il n'y a aucune restriction sur le nombre b (la valeur du logarithme). Par exemple, le logarithme peut très bien être négatif : log 2 0,5 = −1, car 0,5 = 2 −1.

Cependant, nous ne considérons maintenant que des expressions numériques, pour lesquelles il n'est pas nécessaire de connaître la VA du logarithme. Toutes les restrictions ont déjà été prises en compte par les auteurs des problèmes. Mais lorsque les équations logarithmiques et les inégalités entreront en jeu, les exigences DL deviendront obligatoires. Après tout, la base et l’argumentation peuvent contenir des constructions très fortes qui ne correspondent pas nécessairement aux restrictions ci-dessus.

Examinons maintenant le schéma général de calcul des logarithmes. Il se compose de trois étapes :

1. Exprimez la base a et l'argument x sous la forme d'une puissance avec la base minimale possible supérieure à un. En chemin, il vaut mieux se débarrasser des décimales ;
2. Résolvez l'équation de la variable b : x = a b ;
3. Le nombre résultant b sera la réponse.

C'est tout! Si le logarithme s’avère irrationnel, cela sera visible dès la première étape. L'exigence que la base soit supérieure à un est très importante : cela réduit le risque d'erreur et simplifie grandement les calculs. C’est la même chose avec les fractions décimales : si vous les convertissez immédiatement en fractions ordinaires, il y aura beaucoup moins d’erreurs.

Voyons comment ce schéma fonctionne à l'aide d'exemples spécifiques :

Tâche. Calculez le logarithme : log 5 25

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de cinq : 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 2.

Tâche. Calculez le logarithme :

[Légende de la photo]

Tâche. Calculez le logarithme : log 4 64

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 3.

Tâche. Calculez le logarithme : log 16 1

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 0.

Tâche. Calculez le logarithme : log 7 14

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de sept : 7 = 7 1 ; 14 ne peut pas être représenté comme une puissance de sept, puisque 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Il résulte du paragraphe précédent que le logarithme ne compte pas ;
3. La réponse est aucun changement : log 7 14.

Une petite note sur le dernier exemple. Comment être sûr qu’un nombre n’est pas la puissance exacte d’un autre nombre ? C'est très simple : il suffit de le prendre en compte en facteurs premiers. Et si de tels facteurs ne peuvent pas être regroupés en puissances ayant les mêmes exposants, alors le nombre d’origine n’est pas une puissance exacte.

Tâche. Découvrez si les nombres sont des puissances exactes : 8 ; 48 ; 81 ; 35 ; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - degré exact, car il n'y a qu'un seul multiplicateur ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - n'est pas une puissance exacte, puisqu'il y a deux facteurs : 3 et 2 ;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - degré exact ;
35 = 7 · 5 - encore une fois, ce n'est pas une puissance exacte ;
14 = 7 · 2 - encore une fois, ce n'est pas un degré exact ;

Notez également que les nombres premiers eux-mêmes sont toujours des puissances exactes d'eux-mêmes.

Logarithme décimal

Certains logarithmes sont si courants qu’ils portent un nom et un symbole spéciaux.

Le logarithme décimal de x est le logarithme en base 10, c'est-à-dire La puissance à laquelle il faut élever le nombre 10 pour obtenir le nombre x. Désignation : LG X.

Par exemple, log 10 = 1 ; journal 100 = 2 ; lg 1000 = 3 - etc.

Désormais, lorsqu'une phrase telle que « Find lg 0.01 » apparaît dans un manuel, sachez qu'il ne s'agit pas d'une faute de frappe. Il s'agit d'un logarithme décimal. Cependant, si vous n’êtes pas familier avec cette notation, vous pouvez toujours la réécrire :
journal x = journal 10 x

Tout ce qui est vrai pour les logarithmes ordinaires l’est également pour les logarithmes décimaux.

Un algorithme naturel

Il existe un autre logarithme qui a sa propre désignation. À certains égards, c'est encore plus important que le nombre décimal. Nous parlons du logarithme népérien.

Le logarithme népérien de x est le logarithme en base e, c'est-à-dire la puissance à laquelle le nombre e doit être élevé pour obtenir le nombre x. Désignation : ln x .

Beaucoup se demanderont : quel est le nombre e ? Il s’agit d’un nombre irrationnel ; sa valeur exacte ne peut être trouvée ni écrite. Je ne donnerai que les premiers chiffres :
e = 2,718281828459...

Nous n'entrerons pas dans les détails de ce qu'est ce numéro et pourquoi il est nécessaire. N'oubliez pas que e est la base du logarithme népérien :
ln x = log e x

Ainsi ln e = 1 ; ln e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. En revanche, ln 2 est un nombre irrationnel. En général, le logarithme népérien de tout nombre rationnel est irrationnel. Sauf bien sûr un : ln 1 = 0.

Pour les logarithmes naturels, toutes les règles valables pour les logarithmes ordinaires sont valables.

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\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Expliquons-le plus simplement. Par exemple, \(\log_(2)(8)\) est égal à la puissance à laquelle \(2\) doit être élevé pour obtenir \(8\). De là, il est clair que \(\log_(2)(8)=3\).

Exemples:		\(\log_(5)(25)=2\)		parce que \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		parce que \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		parce que \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument et base du logarithme

Tout logarithme a l’« anatomie » suivante :

L'argument d'un logarithme est généralement écrit à son niveau, et la base est écrite en indice plus proche du signe du logarithme. Et cette entrée se lit comme ceci : « logarithme de vingt-cinq en base cinq ».

Comment calculer le logarithme ?

Pour calculer le logarithme, il faut répondre à la question : à quelle puissance faut-il élever la base pour obtenir l'argument ?

Par exemple, calculez le logarithme : a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) À quelle puissance faut-il élever \(4\) pour obtenir \(16\) ? Évidemment le deuxième. C'est pourquoi:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) À quelle puissance faut-il élever \(\sqrt(5)\) pour obtenir \(1\) ? Quel pouvoir fait d’un numéro un ? Zéro, bien sûr !

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) À quelle puissance faut-il élever \(\sqrt(7)\) pour obtenir \(\sqrt(7)\) ? Premièrement, tout nombre à la puissance première est égal à lui-même.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) À quelle puissance faut-il élever \(3\) pour obtenir \(\sqrt(3)\) ? Nous savons qu'il s'agit d'une puissance fractionnaire, ce qui signifie que la racine carrée est la puissance de \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemple : Calculer le logarithme \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Solution :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Nous devons trouver la valeur du logarithme, notons-le x. Utilisons maintenant la définition d'un logarithme : \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Qu'est-ce qui relie \(4\sqrt(2)\) et \(8\) ? Deux, car les deux nombres peuvent être représentés par deux : \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		A gauche on utilise les propriétés du degré : \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) et \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Les bases sont égales, on passe à l'égalité des indicateurs
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multipliez les deux côtés de l'équation par \(\frac(2)(5)\)
		La racine résultante est la valeur du logarithme

Répondre : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Pourquoi le logarithme a-t-il été inventé ?

Pour comprendre cela, résolvons l'équation : \(3^(x)=9\). Faites simplement correspondre \(x\) pour que l'égalité fonctionne. Bien sûr, \(x=2\).

Résolvez maintenant l’équation : \(3^(x)=8\). À quoi x est égal ? C'est le but.

Les plus malins diront : « X vaut un peu moins de deux ». Comment écrire exactement ce numéro ? Pour répondre à cette question, le logarithme a été inventé. Grâce à lui, la réponse ici peut s'écrire \(x=\log_(3)(8)\).

Je tiens à souligner que \(\log_(3)(8)\), comme tout logarithme n'est qu'un nombre. Oui, cela semble inhabituel, mais c'est court. Parce que si nous voulions l'écrire sous forme décimale, cela ressemblerait à ceci : \(1.892789260714.....\)

Exemple : Résolvez l'équation \(4^(5x-4)=10\)

Solution :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) et \(10\) ne peuvent pas être amenés à la même base. Cela signifie que vous ne pouvez pas vous passer d’un logarithme. Utilisons la définition du logarithme : \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Retournons l'équation pour que X soit à gauche
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Avant nous. Déplaçons \(4\) vers la droite. Et n’ayez pas peur du logarithme, traitez-le comme un nombre ordinaire.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Divisez l'équation par 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		C'est notre racine. Oui, cela semble inhabituel, mais ils ne choisissent pas la réponse.

Répondre : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logarithmes décimaux et naturels

Comme indiqué dans la définition d'un logarithme, sa base peut être n'importe quel nombre positif sauf un \((a>0, a\neq1)\). Et parmi toutes les bases possibles, il y en a deux qui apparaissent si souvent qu'une notation courte spéciale a été inventée pour les logarithmes avec elles :

Logarithme naturel : un logarithme dont la base est le nombre d'Euler \(e\) (égal à environ \(2,7182818…\)), et le logarithme s'écrit \(\ln(a)\).

C'est, \(\ln(a)\) est identique à \(\log_(e)(a)\)

Logarithme décimal : Un logarithme dont la base est 10 s'écrit \(\lg(a)\).

C'est, \(\lg(a)\) est identique à \(\log_(10)(a)\), où \(a\) est un nombre.

Identité logarithmique de base

Les logarithmes ont de nombreuses propriétés. L’une d’elles s’appelle « l’identité logarithmique de base » et ressemble à ceci :

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Cette propriété découle directement de la définition. Voyons exactement comment cette formule est née.

Rappelons une courte notation de la définition du logarithme :

si \(a^(b)=c\), alors \(\log_(a)(c)=b\)

Autrement dit, \(b\) est identique à \(\log_(a)(c)\). On peut alors écrire \(\log_(a)(c)\) au lieu de \(b\) dans la formule \(a^(b)=c\). Il s'est avéré que \(a^(\log_(a)(c))=c\) - l'identité logarithmique principale.

Vous pouvez trouver d’autres propriétés des logarithmes. Avec leur aide, vous pouvez simplifier et calculer les valeurs d'expressions avec des logarithmes, difficiles à calculer directement.

Exemple : Trouver la valeur de l'expression \(36^(\log_(6)(5))\)

Solution :

Répondre : \(25\)

Comment écrire un nombre sous forme de logarithme ?

Comme mentionné ci-dessus, tout logarithme n'est qu'un nombre. L’inverse est également vrai : n’importe quel nombre peut être écrit sous forme de logarithme. Par exemple, nous savons que \(\log_(2)(4)\) est égal à deux. Ensuite, vous pouvez écrire \(\log_(2)(4)\) au lieu de deux.

Mais \(\log_(3)(9)\) est également égal à \(2\), ce qui signifie qu'on peut aussi écrire \(2=\log_(3)(9)\) . De même avec \(\log_(5)(25)\), et avec \(\log_(9)(81)\), etc. Autrement dit, il s'avère

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Ainsi, si nous en avons besoin, nous pouvons écrire deux sous forme de logarithme avec n'importe quelle base n'importe où (que ce soit dans une équation, dans une expression ou dans une inégalité) - nous écrivons simplement la base au carré comme argument.

C'est la même chose avec le triple – il peut être écrit sous la forme \(\log_(2)(8)\), ou sous la forme \(\log_(3)(27)\), ou sous la forme \(\log_(4)( 64) \)... Ici, nous écrivons la base dans le cube comme argument :

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Et avec quatre :

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Et avec moins un :

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Et avec un tiers :

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Tout nombre \(a\) peut être représenté sous forme de logarithme de base \(b\) : \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemple : Trouver le sens de l'expression \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Solution :

Répondre : \(1\)

Qu'est-ce qu'un logarithme ?

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Qu'est-ce qu'un logarithme ? Comment résoudre des logarithmes ? Ces questions déroutent de nombreux diplômés. Traditionnellement, le sujet des logarithmes est considéré comme complexe, incompréhensible et effrayant. Surtout les équations avec des logarithmes.

Ce n'est absolument pas vrai! Absolument! Vous ne me croyez pas ? Bien. Maintenant, en seulement 10 à 20 minutes, vous :

1. Vous comprendrez qu'est-ce qu'un logarithme.

2. Apprenez à résoudre toute une classe d’équations exponentielles. Même si vous n’en avez pas entendu parler.

3. Apprenez à calculer des logarithmes simples.

De plus, pour cela il vous suffira de connaître la table de multiplication et comment élever un nombre à une puissance...

J'ai l'impression que vous avez des doutes... Bon, ok, marquez le pas ! Aller!

Tout d’abord, résolvez cette équation dans votre tête :

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