Logarithmus Eine gegebene Zahl wird als Exponent bezeichnet, auf den eine andere Zahl erhöht werden muss Basis Logarithmieren Sie, um diese Zahl zu erhalten. Beispielsweise ist der Logarithmus zur Basis 10 von 100 2. Mit anderen Worten: 10 muss quadriert werden, um 100 zu erhalten (10 2 = 100). Wenn N– eine bestimmte Zahl, B– Basis und l– also Logarithmus b l = n. Nummer N auch Basisantilogarithmus genannt B Zahlen l. Beispielsweise ist der Antilogarithmus von 2 zur Basis 10 gleich 100. Dies kann in Form des Beziehungsprotokolls geschrieben werden b n = l und Antilog b l = N.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen:

Jede andere positive Zahl als Eins kann als Basis für Logarithmen dienen, aber leider stellt sich heraus, dass wenn B Und N Sind rationale Zahlen, dann gibt es in seltenen Fällen eine solche rationale Zahl l, Was b l = n. Es ist jedoch möglich, eine irrationale Zahl zu definieren l, zum Beispiel so, dass 10 l= 2; das ist eine irrationale Zahl l kann mit jeder erforderlichen Genauigkeit durch rationale Zahlen angenähert werden. Es stellt sich heraus, dass im gegebenen Beispiel l ist ungefähr gleich 0,3010, und diese Näherung des Basis-10-Logarithmus von 2 kann in vierstelligen Tabellen mit Dezimallogarithmen gefunden werden. Logarithmen zur Basis 10 (oder Logarithmen zur Basis 10) werden in Berechnungen so häufig verwendet, dass sie als „Logarithmen zur Basis 10“ bezeichnet werden normal Logarithmen und geschrieben als log2 = 0,3010 oder log2 = 0,3010, wobei die explizite Angabe der Basis des Logarithmus weggelassen wird. Logarithmen zur Basis e, eine transzendente Zahl, die ungefähr 2,71828 entspricht, werden aufgerufen natürlich Logarithmen. Sie finden sich hauptsächlich in Arbeiten zur mathematischen Analyse und ihren Anwendungen in verschiedenen Wissenschaften. Natürliche Logarithmen werden auch ohne explizite Angabe der Basis geschrieben, sondern mit der speziellen Notation ln: zum Beispiel ln2 = 0,6931, weil e 0,6931 = 2.

Verwendung von Tabellen mit gewöhnlichen Logarithmen.

Der reguläre Logarithmus einer Zahl ist ein Exponent, auf den 10 erhöht werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten. Da 10 0 = 1, 10 1 = 10 und 10 2 = 100, erhalten wir sofort log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 usw. für steigende ganzzahlige Potenzen 10. Ebenso ist 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 und daher log0,1 = –1, log0,01 = –2 usw. für alle negativen ganzzahligen Potenzen 10. Die üblichen Logarithmen der übrigen Zahlen werden zwischen den Logarithmen der nächsten ganzzahligen Potenzen von 10 eingeschlossen; log2 muss zwischen 0 und 1 liegen, log20 muss zwischen 1 und 2 liegen und log0,2 muss zwischen -1 und 0 liegen. Somit besteht der Logarithmus aus zwei Teilen, einer Ganzzahl und einer Dezimalzahl, die zwischen 0 und 1 eingeschlossen sind ganzzahliger Teil aufgerufen charakteristisch Logarithmus und wird durch die Zahl selbst bestimmt, der Bruchteil wird genannt Mantisse und können den Tabellen entnommen werden. Außerdem ist log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Der Logarithmus von 2 ist 0,3010, also ist log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Ebenso gilt log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Nach der Subtraktion erhalten wir log0,2 = – 0,6990. Es ist jedoch praktischer, log0,2 als 0,3010 – 1 oder als 9,3010 – 10 darzustellen; Es lässt sich auch eine allgemeine Regel formulieren: Alle Zahlen, die man aus einer gegebenen Zahl durch Multiplikation mit einer Zehnerpotenz erhält, haben identische Mantissen, die der Mantisse der gegebenen Zahl entsprechen. Die meisten Tabellen zeigen die Mantissen von Zahlen im Bereich von 1 bis 10, da die Mantissen aller anderen Zahlen aus den in der Tabelle angegebenen erhalten werden können.

Die meisten Tabellen geben Logarithmen mit vier oder fünf Dezimalstellen an, obwohl es siebenstellige Tabellen und Tabellen mit noch mehr Dezimalstellen gibt. Der Umgang mit solchen Tabellen lässt sich am einfachsten anhand von Beispielen erlernen. Um log3,59 zu finden, stellen wir zunächst fest, dass die Zahl 3,59 zwischen 10 0 und 10 1 liegt, ihre Charakteristik also 0 ist. Wir suchen die Zahl 35 (links) in der Tabelle und gehen entlang der Zeile zu Spalte, die oben die Nummer 9 hat; Der Schnittpunkt dieser Spalte und Zeile 35 beträgt 5551, also log3,59 = 0,5551. Um die Mantisse einer Zahl mit vier signifikanten Ziffern zu ermitteln, müssen Sie Interpolation verwenden. In einigen Tabellen wird die Interpolation durch die Proportionen erleichtert, die in den letzten neun Spalten auf der rechten Seite jeder Tabellenseite angegeben sind. Lassen Sie uns nun log736.4 finden; Die Zahl 736,4 liegt zwischen 10 2 und 10 3, daher ist die Charakteristik ihres Logarithmus 2. In der Tabelle finden wir eine Zeile, links davon steht 73 und eine Spalte 6. Am Schnittpunkt dieser Zeile und dieser Spalte befindet sich die Zahl 8669. Unter den linearen Teilen finden wir Spalte 4. Am Schnittpunkt von Zeile 73 und Spalte 4 befindet sich die Zahl 2. Durch Addition von 2 zu 8669 erhalten wir die Mantisse – sie ist gleich 8671. Also log736,4 = 2,8671.

Natürliche Logarithmen.

Die Tabellen und Eigenschaften natürlicher Logarithmen ähneln den Tabellen und Eigenschaften gewöhnlicher Logarithmen. Der Hauptunterschied zwischen beiden besteht darin, dass der ganzzahlige Teil des natürlichen Logarithmus für die Bestimmung der Position des Dezimalpunkts keine Rolle spielt und daher der Unterschied zwischen Mantisse und Charakteristik keine besondere Rolle spielt. Natürliche Logarithmen der Zahlen 5,432; 54,32 und 543,2 entsprechen jeweils 1,6923; 3.9949 und 6.2975. Die Beziehung zwischen diesen Logarithmen wird deutlich, wenn wir die Unterschiede zwischen ihnen betrachten: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; die letzte Zahl ist nichts anderes als der natürliche Logarithmus der Zahl 10 (so geschrieben: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; die letzte Zahl ist 2ln10. Aber 543,2 = 10´54,32 = 10 2´5,432. Also durch den natürlichen Logarithmus einer gegebenen Zahl A Sie können die natürlichen Logarithmen von Zahlen ermitteln, die den Produkten der Zahl entsprechen A für jeden Abschluss N Zahlen 10 wenn zu ln A addiere ln10 multipliziert mit N, d.h. ln( Aґ10N) = log A + N ln10 = ln A + 2,3026N. Zum Beispiel: ln0.005432 = ln(5.432´10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3´2.3026) = – 5.2155. Daher enthalten Tabellen mit natürlichen Logarithmen, wie auch Tabellen mit gewöhnlichen Logarithmen, normalerweise nur Logarithmen von Zahlen von 1 bis 10. Im System der natürlichen Logarithmen kann man von Antilogarithmen sprechen, häufiger spricht man jedoch von einer Exponentialfunktion oder einem Exponenten. Wenn X= Protokoll j, Das j = ex, Und j heißt der Exponent von X(Aus Gründen der typografischen Vereinfachung schreiben sie oft j= exp X). Der Exponent spielt die Rolle des Antilogarithmus der Zahl X.

Mithilfe von Tabellen mit dezimalen und natürlichen Logarithmen können Sie Tabellen mit Logarithmen in jeder Basis außer 10 und erstellen e. Wenn log b a = X, Das b x = A, und daher log c b x=log c a oder X Protokoll c b=log c a, oder X=log c a/Protokoll c b=log b a. Verwenden Sie daher diese Inversionsformel aus der Basislogarithmentabelle C Sie können Logarithmentabellen in jeder anderen Basis erstellen B. Multiplikator 1/log c b angerufen Übergangsmodul von der Basis C zur Basis B. Nichts hindert beispielsweise daran, die Umkehrungsformel zu verwenden oder von einem Logarithmensystem zu einem anderen zu wechseln, natürliche Logarithmen aus der Tabelle der gewöhnlichen Logarithmen zu finden oder den umgekehrten Übergang durchzuführen. Beispiel: log105.432 = log e 5,432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923 - 0,4343 = 0,7350. Die Zahl 0,4343, mit der der natürliche Logarithmus einer gegebenen Zahl multipliziert werden muss, um einen gewöhnlichen Logarithmus zu erhalten, ist der Modul des Übergangs zum System der gewöhnlichen Logarithmen.

Spezielle Tische.

Logarithmen wurden ursprünglich erfunden, um ihre Eigenschaften logarithmisch zu nutzen ab=log A+ Protokoll B und protokollieren A/B=log A-Protokoll B, verwandeln Sie Produkte in Summen und Quotienten in Differenzen. Mit anderen Worten, wenn log A und protokollieren B bekannt sind, können wir durch Addition und Subtraktion leicht den Logarithmus des Produkts und des Quotienten ermitteln. In der Astronomie werden jedoch häufig Werte von log angegeben A und protokollieren B Ich muss das Protokoll finden( A + B) oder log( A – B). Natürlich konnte man es zunächst anhand von Logarithmentabellen herausfinden A Und B, führen Sie dann die angegebene Addition oder Subtraktion durch und finden Sie unter erneuter Bezugnahme auf die Tabellen die erforderlichen Logarithmen. Für ein solches Verfahren müssten Sie jedoch dreimal auf die Tabellen zurückgreifen. Z. Leonelli veröffentlichte 1802 Tabellen der sogenannten. Gaußsche Logarithmen– Logarithmen zum Addieren von Summen und Differenzen – was es ermöglichte, sich auf einen Zugriff auf Tabellen zu beschränken.

Im Jahr 1624 schlug I. Kepler Tabellen proportionaler Logarithmen vor, d.h. Logarithmen von Zahlen A/X, Wo A– ein positiver konstanter Wert. Diese Tabellen werden hauptsächlich von Astronomen und Navigatoren verwendet.

Proportionale Logarithmen bei A= 1 aufgerufen werden durch Logarithmen und werden in Berechnungen verwendet, wenn es um Produkte und Quotienten geht. Koloarithmus einer Zahl N gleich dem Logarithmus der Kehrzahl; diese. colog N= log1/ N= – Protokoll N. Wenn log2 = 0,3010, dann colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Der Vorteil der Verwendung von Kologarithmen besteht darin, dass bei der Berechnung des Wertes des Logarithmus von Ausdrücken wie pq/R Dreifache Summe positiver Dezimalstellen log P+ Protokoll Q+kolog R ist leichter zu finden als das gemischte Summen- und Differenzprotokoll P+ Protokoll Q-Protokoll R.

Geschichte.

Das jedem Logarithmensystem zugrunde liegende Prinzip ist seit sehr langer Zeit bekannt und lässt sich auf die antike babylonische Mathematik (ca. 2000 v. Chr.) zurückführen. Damals wurde die Interpolation zwischen Tabellenwerten positiver ganzzahliger Potenzen ganzer Zahlen zur Berechnung des Zinseszinses verwendet. Viel später verwendete Archimedes (287–212 v. Chr.) Potenzen von 108, um eine Obergrenze für die Anzahl der Sandkörner zu ermitteln, die erforderlich waren, um das damals bekannte Universum vollständig zu füllen. Archimedes machte auf die Eigenschaft von Exponenten aufmerksam, die der Wirksamkeit von Logarithmen zugrunde liegt: Das Produkt der Potenzen entspricht der Summe der Exponenten. Am Ende des Mittelalters und zu Beginn der Neuzeit begannen sich Mathematiker zunehmend mit dem Zusammenhang zwischen geometrischen und arithmetischen Folgen zu befassen. M. Stiefel in seinem Aufsatz Ganzzahlarithmetik(1544) gab eine Tabelle der positiven und negativen Potenzen der Zahl 2:

Stiefel bemerkte, dass die Summe der beiden Zahlen in der ersten Reihe (der Exponentenreihe) gleich dem Exponenten von zwei ist, der dem Produkt der beiden entsprechenden Zahlen in der unteren Reihe (der Exponentenreihe) entspricht. Im Zusammenhang mit dieser Tabelle formulierte Stiefel vier Regeln, die den vier modernen Regeln für Operationen mit Exponenten bzw. den vier Regeln für Operationen mit Logarithmen entsprechen: Die Summe in der oberen Zeile entspricht dem Produkt in der unteren Zeile; Die Subtraktion in der oberen Zeile entspricht der Division in der unteren Zeile. Die Multiplikation in der oberen Zeile entspricht der Potenzierung in der unteren Zeile. Die Teilung in der oberen Zeile entspricht dem Rooten in der unteren Zeile.

Anscheinend führten Regeln, die denen von Stiefel ähneln, dazu, dass J. Naper das erste Logarithmensystem offiziell in sein Werk einführte Beschreibung der erstaunlichen Logarithmentabelle, veröffentlicht im Jahr 1614. Aber Napiers Gedanken waren mit dem Problem der Umrechnung von Produkten in Summen beschäftigt, denn mehr als zehn Jahre vor der Veröffentlichung seines Werkes erhielt Napier die Nachricht aus Dänemark, dass seine Assistenten am Tycho-Brahe-Observatorium über eine Methode verfügten, die es ermöglichte Es ist möglich, Produkte in Summen umzuwandeln. Die in der Nachricht, die Napier erhielt, besprochene Methode basierte auf der Verwendung trigonometrischer Formeln wie

Daher bestanden Napers Tabellen hauptsächlich aus Logarithmen trigonometrischer Funktionen. Obwohl das Konzept der Basis nicht explizit in der von Napier vorgeschlagenen Definition enthalten war, spielte die Zahl (1 – 10 –7)ґ10 7 die Rolle, die der Basis des Logarithmensystems in seinem System entspricht, ungefähr gleich 1/ e.

Unabhängig von Naper und fast zeitgleich mit ihm wurde 1620 von J. Bürgi in Prag ein dem Typ nach recht ähnliches Logarithmensystem erfunden und veröffentlicht Arithmetische und geometrische Fortschrittstabellen. Dabei handelte es sich um Tabellen mit Antilogarithmen zur Basis (1 + 10 –4) ґ10 4, eine ziemlich gute Annäherung an die Zahl e.

Im Naper-System wurde der Logarithmus der Zahl 10 7 als Null angenommen, und wenn die Zahlen abnahmen, nahmen die Logarithmen zu. Als G. Briggs (1561–1631) Napier besuchte, waren sich beide einig, dass es bequemer wäre, die Zahl 10 als Basis zu verwenden und den Logarithmus von Eins als Null zu betrachten. Dann, wenn die Zahlen zunahmen, würden ihre Logarithmen zunehmen. So erhielten wir das moderne System der dezimalen Logarithmen, dessen Tabelle Briggs in seinem Werk veröffentlichte Logarithmische Arithmetik(1620). Logarithmen zur Basis e, obwohl sie nicht genau die von Naper eingeführten sind, werden oft als Napers bezeichnet. Die Begriffe „charakteristisch“ und „Mantisse“ wurden von Briggs vorgeschlagen.

Die ersten Logarithmen verwendeten aus historischen Gründen Näherungen an die Zahlen 1/ e Und e. Etwas später wurde die Idee natürlicher Logarithmen mit der Untersuchung von Flächen unter einer Hyperbel in Verbindung gebracht xy= 1 (Abb. 1). Im 17. Jahrhundert Es wurde gezeigt, dass die von dieser Kurve begrenzte Fläche die Achse ist X und Ordinaten X= 1 und X = A(in Abb. 1 ist dieser Bereich mit fetteren und spärlicheren Punkten bedeckt) nimmt in der arithmetischen Folge zu, wenn A steigt exponentiell an. Genau diese Abhängigkeit ergibt sich in den Regeln für Operationen mit Exponenten und Logarithmen. Dies führte dazu, dass man Naperianische Logarithmen als „hyperbolische Logarithmen“ bezeichnete.

Logarithmische Funktion.

Es gab eine Zeit, in der Logarithmen ausschließlich als Berechnungsmittel galten, doch im 18. Jahrhundert entstand, vor allem dank der Arbeit von Euler, das Konzept einer logarithmischen Funktion. Graph einer solchen Funktion j= Protokoll X, dessen Ordinaten in einer arithmetischen Folge zunehmen, während die Abszissen in einer geometrischen Folge zunehmen, ist in Abb. dargestellt. 2, A. Diagramm der Umkehr- oder Exponentialfunktion (Exponentialfunktion). y = e x, dessen Ordinaten im geometrischen Verlauf zunehmen und deren Abszissen im arithmetischen Verlauf zunehmen, ist jeweils in Abb. dargestellt. 2, B. (Kurven j=log X Und j = 10Xähnliche Form wie Kurven j= Protokoll X Und j = ex.) Es wurden auch alternative Definitionen der logarithmischen Funktion vorgeschlagen, z.

kpi; und ebenso sind die natürlichen Logarithmen der Zahl -1 komplexe Zahlen der Form (2 k + 1)Pi, Wo k- ganze Zahl. Ähnliche Aussagen gelten für allgemeine Logarithmen oder andere Logarithmensysteme. Darüber hinaus kann die Definition von Logarithmen mithilfe der Euler-Identitäten verallgemeinert werden, um komplexe Logarithmen komplexer Zahlen einzuschließen.

Eine alternative Definition einer logarithmischen Funktion bietet die Funktionsanalyse. Wenn F(X) – stetige Funktion einer reellen Zahl X, mit den folgenden drei Eigenschaften: F (1) = 0, F (B) = 1, F (UV) = F (u) + F (v), Das F(X) ist als Logarithmus der Zahl definiert X bezogen auf B. Diese Definition hat gegenüber der am Anfang dieses Artikels gegebenen Definition eine Reihe von Vorteilen.

Anwendungen.

Ursprünglich wurden Logarithmen ausschließlich zur Vereinfachung von Berechnungen verwendet, und diese Anwendung ist immer noch eine ihrer wichtigsten. Die Berechnung von Produkten, Quotienten, Potenzen und Wurzeln wird nicht nur durch die breite Verfügbarkeit veröffentlichter Logarithmentabellen erleichtert, sondern auch durch die Verwendung sogenannter. Rechenschieber – ein Rechenwerkzeug, dessen Funktionsprinzip auf den Eigenschaften von Logarithmen basiert. Das Lineal ist mit logarithmischen Skalen ausgestattet, d.h. Abstand von Nummer 1 zu einer beliebigen Nummer X gleich log gewählt X; Durch die Verschiebung einer Skala relativ zur anderen ist es möglich, die Summen oder Differenzen von Logarithmen darzustellen, was es ermöglicht, die Produkte oder Quotienten der entsprechenden Zahlen direkt von der Skala abzulesen. Sie können auch die Vorteile der Darstellung von Zahlen in logarithmischer Form nutzen. logarithmisches Papier zum Zeichnen von Diagrammen (Papier mit aufgedruckten logarithmischen Skalen auf beiden Koordinatenachsen). Wenn eine Funktion ein Potenzgesetz der Form erfüllt y = kxn, dann sieht sein logarithmischer Graph wie eine gerade Linie aus, weil Protokoll j=log k + N Protokoll X– Gleichung linear bezüglich des Logarithmus j und protokollieren X. Wenn im Gegenteil der logarithmische Graph einer funktionalen Abhängigkeit wie eine gerade Linie aussieht, dann ist diese Abhängigkeit eine Potenzabhängigkeit. Semi-Log-Papier (wobei die y-Achse einen logarithmischen Maßstab und die x-Achse einen einheitlichen Maßstab hat) ist nützlich, wenn Sie Exponentialfunktionen identifizieren müssen. Gleichungen der Form y = kb rx treten immer dann auf, wenn eine Menge, beispielsweise eine Bevölkerung, eine Menge radioaktiver Stoffe oder ein Bankguthaben, proportional zur Bevölkerungszahl, radioaktiven Stoffen oder dem derzeit verfügbaren Geld proportional zunimmt oder abnimmt. Wenn eine solche Abhängigkeit auf halblogarithmischem Papier aufgetragen wird, sieht die Grafik wie eine gerade Linie aus.

Die logarithmische Funktion entsteht im Zusammenhang mit den unterschiedlichsten Naturformen. Blüten in Sonnenblumenblütenständen sind in logarithmischen Spiralen angeordnet, Molluskenschalen sind verdreht Nautilus, Bergschafhörner und Papageienschnäbel. Alle diese natürlichen Formen können als Beispiele für eine Kurve dienen, die als logarithmische Spirale bekannt ist, da ihre Gleichung in einem Polarkoordinatensystem lautet r = ae bq, oder ln R= Protokoll A + bq. Eine solche Kurve wird durch einen sich bewegenden Punkt beschrieben, dessen Abstand vom Pol im geometrischen Verlauf zunimmt und dessen Winkel, der durch seinen Radiusvektor beschrieben wird, im arithmetischen Verlauf zunimmt. Die Allgegenwärtigkeit einer solchen Kurve und damit der logarithmischen Funktion wird gut durch die Tatsache veranschaulicht, dass sie in so weit entfernten und völlig unterschiedlichen Bereichen auftritt, wie der Kontur einer exzentrischen Nocke und der Flugbahn einiger Insekten, die auf das Licht zufliegen.

Wir haben also Zweierpotenzen. Wenn Sie die Zahl aus der unteren Zeile nehmen, können Sie leicht die Potenz ermitteln, mit der Sie zwei erhöhen müssen, um diese Zahl zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die vierte Potenz erhöhen. Und um 64 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die sechste Potenz erhöhen. Dies ist aus der Tabelle ersichtlich.

Und nun eigentlich die Definition des Logarithmus:

Der Basislogarithmus von x ist die Potenz, mit der a erhöht werden muss, um x zu erhalten.

Notation: log a x = b, wobei a die Basis, x das Argument und b der tatsächliche Wert des Logarithmus ist.

Zum Beispiel: 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist drei, weil 2 3 = 8). Mit dem gleichen Erfolg ist log 2 64 = 6, da 2 6 = 64.

Die Operation, den Logarithmus einer Zahl zu einer gegebenen Basis zu ermitteln, wird Logarithmisierung genannt. Fügen wir also unserer Tabelle eine neue Zeile hinzu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Leider lassen sich nicht alle Logarithmen so einfach berechnen. Versuchen Sie beispielsweise, log 2 5 zu finden. Die Zahl 5 ist nicht in der Tabelle, aber die Logik schreibt vor, dass der Logarithmus irgendwo auf dem Intervall liegen wird. Weil 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Solche Zahlen nennt man irrational: Die Zahlen nach dem Komma können bis ins Unendliche geschrieben werden und wiederholen sich nie. Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, belässt man es besser dabei: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Es ist wichtig zu verstehen, dass ein Logarithmus ein Ausdruck mit zwei Variablen (der Basis und dem Argument) ist. Viele Menschen verwechseln zunächst die Grundlage und das Argument. Um ärgerliche Missverständnisse zu vermeiden, schauen Sie sich einfach das Bild an:

[Bildunterschrift]

Vor uns liegt nichts weiter als die Definition eines Logarithmus. Erinnern: Logarithmus ist eine Potenz, in die die Basis eingebaut werden muss, um ein Argument zu erhalten. Es ist die Basis, die zu einer Potenz erhoben wird – sie ist im Bild rot hervorgehoben. Es stellt sich heraus, dass die Basis immer unten ist! Ich erzähle meinen Schülern diese wunderbare Regel gleich in der ersten Unterrichtsstunde – und es entsteht keine Verwirrung.

Wir haben die Definition herausgefunden – jetzt müssen wir nur noch lernen, wie man Logarithmen zählt, d. h. Entfernen Sie das „Log“-Schild. Zunächst stellen wir fest, dass sich aus der Definition zwei wichtige Tatsachen ergeben:

1. Das Argument und die Basis müssen immer größer als Null sein. Dies folgt aus der Definition eines Grades durch einen rationalen Exponenten, auf den die Definition eines Logarithmus reduziert wird.
2. Die Basis muss von Eins verschieden sein, da Eins bis zu jedem Grad immer noch Eins bleibt. Aus diesem Grund ist die Frage „zu welcher Macht muss man erhoben werden, um zwei zu bekommen“ bedeutungslos. Einen solchen Abschluss gibt es nicht!

Solche Einschränkungen nennt man Bereich akzeptabler Werte(ODZ). Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus so aussieht: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Beachten Sie, dass es keine Einschränkungen für die Zahl b (den Wert des Logarithmus) gibt. Beispielsweise kann der Logarithmus durchaus negativ sein: log 2 0,5 = −1, weil 0,5 = 2 −1.

Allerdings betrachten wir jetzt nur numerische Ausdrücke, bei denen es nicht erforderlich ist, die VA des Logarithmus zu kennen. Alle Einschränkungen wurden von den Problemautoren bereits berücksichtigt. Wenn jedoch logarithmische Gleichungen und Ungleichungen ins Spiel kommen, werden DL-Anforderungen obligatorisch. Schließlich können Basis und Argument sehr starke Konstruktionen enthalten, die nicht unbedingt den oben genannten Einschränkungen entsprechen.

Schauen wir uns nun das allgemeine Schema zur Berechnung von Logarithmen an. Es besteht aus drei Schritten:

1. Drücken Sie die Basis a und das Argument x als Potenz aus, deren minimal mögliche Basis größer als eins ist. Unterwegs ist es besser, auf Dezimalstellen zu verzichten;
2. Lösen Sie die Gleichung für die Variable b: x = a b ;
3. Die resultierende Zahl b wird die Antwort sein.

Das ist alles! Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, wird dies bereits im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis größer als eins sein muss, ist sehr wichtig: Dies verringert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Das Gleiche gilt für Dezimalbrüche: Wenn Sie sie sofort in gewöhnliche Brüche umwandeln, treten viel weniger Fehler auf.

Sehen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie dieses Schema funktioniert:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 5 25

1. Stellen wir uns die Basis und das Argument als eine Fünferpotenz vor: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Wir erhielten die Antwort: 2.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus:

[Bildunterschrift]

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 4 64

1. Stellen wir uns Basis und Argument als Zweierpotenz vor: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Wir erhielten die Antwort: 3.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 16 1

1. Stellen wir uns Basis und Argument als Zweierpotenz vor: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Wir haben die Antwort erhalten: 0.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 7 14

1. Stellen wir uns die Basis und das Argument als eine Siebenerpotenz vor: 7 = 7 1 ; 14 kann nicht als Siebenerpotenz dargestellt werden, da 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Aus dem vorherigen Absatz folgt, dass der Logarithmus nicht zählt;
3. Die Antwort ist keine Änderung: Protokoll 7 14.

Eine kleine Anmerkung zum letzten Beispiel. Wie kann man sicher sein, dass eine Zahl keine exakte Potenz einer anderen Zahl ist? Es ist ganz einfach – faktorisieren Sie es einfach in Primfaktoren. Und wenn solche Faktoren nicht in Potenzen mit denselben Exponenten zusammengefasst werden können, dann ist die ursprüngliche Zahl keine exakte Potenz.

Aufgabe. Finden Sie heraus, ob es sich bei den Zahlen um exakte Potenzen handelt: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - exakter Grad, weil es gibt nur einen Multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ist keine exakte Potenz, da es zwei Faktoren gibt: 3 und 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - exakter Grad;
35 = 7 · 5 – wiederum keine exakte Potenz;
14 = 7 · 2 – wiederum kein exakter Grad;

Beachten Sie auch, dass die Primzahlen selbst immer exakte Potenzen ihrer selbst sind.

Dezimaler Logarithmus

Einige Logarithmen sind so häufig, dass sie einen besonderen Namen und ein besonderes Symbol haben.

Der dezimale Logarithmus von x ist der Logarithmus zur Basis 10, d. h. Die Potenz, mit der die Zahl 10 erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: lg x.

Beispiel: log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - usw.

Wenn in einem Lehrbuch von nun an ein Satz wie „Finde lg 0,01“ auftaucht, sollten Sie wissen, dass es sich hierbei nicht um einen Tippfehler handelt. Dies ist ein dezimaler Logarithmus. Wenn Sie mit dieser Notation jedoch nicht vertraut sind, können Sie sie jederzeit umschreiben:
log x = log 10 x

Alles, was für gewöhnliche Logarithmen gilt, gilt auch für dezimale Logarithmen.

Natürlicher Logarithmus

Es gibt einen weiteren Logarithmus, der eine eigene Bezeichnung hat. In mancher Hinsicht ist es sogar noch wichtiger als die Dezimalzahl. Wir sprechen vom natürlichen Logarithmus.

Der natürliche Logarithmus von x ist der Logarithmus zur Basis e, d. h. die Potenz, mit der die Zahl e erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: ln x .

Viele werden fragen: Was ist die Zahl e? Dies ist eine irrationale Zahl; ihr genauer Wert kann nicht gefunden und niedergeschrieben werden. Ich nenne nur die ersten Zahlen:
e = 2,718281828459...

Wir werden nicht im Detail darauf eingehen, was diese Nummer ist und warum sie benötigt wird. Denken Sie daran, dass e die Basis des natürlichen Logarithmus ist:
ln x = log e x

Somit ist ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - usw. Andererseits ist ln 2 eine irrationale Zahl. Im Allgemeinen ist der natürliche Logarithmus jeder rationalen Zahl irrational. Außer natürlich für die Einheit: ln 1 = 0.

Für natürliche Logarithmen gelten alle Regeln, die auch für gewöhnliche Logarithmen gelten.

Die Wahrung Ihrer Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Daten verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzpraktiken durch und teilen Sie uns mit, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Nutzung personenbezogener Daten

Unter personenbezogenen Daten versteht man Daten, die dazu genutzt werden können, eine bestimmte Person zu identifizieren oder mit ihr in Kontakt zu treten.

Sie können jederzeit um die Angabe Ihrer persönlichen Daten gebeten werden, wenn Sie mit uns Kontakt aufnehmen.

Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Arten personenbezogener Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Informationen verwenden können.

Welche personenbezogenen Daten erfassen wir:

• Wenn Sie auf der Website eine Bewerbung einreichen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer, Ihrer E-Mail-Adresse usw.

Wie wir Ihre persönlichen Daten verwenden:

• Die von uns erfassten personenbezogenen Daten ermöglichen es uns, Sie mit einzigartigen Angeboten, Werbeaktionen und anderen Veranstaltungen sowie bevorstehenden Veranstaltungen zu kontaktieren.
• Von Zeit zu Zeit können wir Ihre persönlichen Daten verwenden, um wichtige Mitteilungen und Mitteilungen zu versenden.
• Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke verwenden, beispielsweise zur Durchführung von Audits, Datenanalysen und verschiedenen Forschungsarbeiten, um die von uns bereitgestellten Dienste zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Diensten zu geben.
• Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einer ähnlichen Aktion teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen zur Verwaltung solcher Programme verwenden.

Weitergabe von Informationen an Dritte

Wir geben die von Ihnen erhaltenen Informationen nicht an Dritte weiter.

Ausnahmen:

• Wenn es erforderlich ist – in Übereinstimmung mit dem Gesetz, dem Gerichtsverfahren, in Gerichtsverfahren und/oder auf der Grundlage öffentlicher Anfragen oder Anfragen von Regierungsbehörden im Hoheitsgebiet der Russischen Föderation – Ihre personenbezogenen Daten offenzulegen. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir zu dem Schluss kommen, dass eine solche Offenlegung aus Sicherheits-, Strafverfolgungs- oder anderen Gründen von öffentlicher Bedeutung notwendig oder angemessen ist.
• Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den jeweiligen Nachfolger-Dritten weitergeben.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer –, um Ihre persönlichen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung zu schützen.

Respektieren Sie Ihre Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitsstandards an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Lassen Sie es uns einfacher erklären. Beispielsweise ist \(\log_(2)(8)\) gleich der Potenz, mit der \(2\) erhöht werden muss, um \(8\) zu erhalten. Daraus ist klar, dass \(\log_(2)(8)=3\).

Beispiele:		\(\log_(5)(25)=2\)		Weil \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		Weil \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		Weil \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument und Basis des Logarithmus

Jeder Logarithmus hat die folgende „Anatomie“:

Das Argument eines Logarithmus wird normalerweise auf seiner Ebene geschrieben, und die Basis wird tiefgestellt näher am Logarithmuszeichen geschrieben. Und dieser Eintrag lautet wie folgt: „Logarithmus von fünfundzwanzig zur Basis fünf.“

Wie berechnet man den Logarithmus?

Um den Logarithmus zu berechnen, müssen Sie die Frage beantworten: Auf welche Potenz muss die Basis erhöht werden, um das Argument zu erhalten?

Zum Beispiel, berechne den Logarithmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Auf welche Potenz muss \(4\) erhöht werden, um \(16\) zu erhalten? Offensichtlich das zweite. Deshalb:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Auf welche Potenz muss \(\sqrt(5)\) erhöht werden, um \(1\) zu erhalten? Welche Macht macht eine Nummer eins? Null, natürlich!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Auf welche Potenz muss \(\sqrt(7)\) erhöht werden, um \(\sqrt(7)\) zu erhalten? Erstens ist jede Zahl in der ersten Potenz gleich sich selbst.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Auf welche Potenz muss \(3\) erhöht werden, um \(\sqrt(3)\) zu erhalten? Wir wissen, dass es sich um eine Bruchpotenz handelt, was bedeutet, dass die Quadratwurzel die Potenz von \(\frac(1)(2)\) ist.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Beispiel : Berechnen Sie den Logarithmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lösung :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Wir müssen den Wert des Logarithmus finden, bezeichnen wir ihn als x. Lassen Sie uns nun die Definition eines Logarithmus verwenden: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Was verbindet \(4\sqrt(2)\) und \(8\)? Zwei, weil beide Zahlen durch Zweien dargestellt werden können: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Links verwenden wir die Eigenschaften des Grades: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) und \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Die Grundlagen sind gleich, wir kommen zur Gleichheit der Indikatoren
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \(\frac(2)(5)\)
		Die resultierende Wurzel ist der Wert des Logarithmus

Antwort : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Warum wurde der Logarithmus erfunden?

Um dies zu verstehen, lösen wir die Gleichung: \(3^(x)=9\). Passen Sie einfach \(x\) an, damit die Gleichung funktioniert. Natürlich ist \(x=2\).

Lösen Sie nun die Gleichung: \(3^(x)=8\). Womit ist x gleich? Das ist der Punkt.

Die Klügsten werden sagen: „X ist etwas kleiner als zwei.“ Wie genau schreibt man diese Nummer? Um diese Frage zu beantworten, wurde der Logarithmus erfunden. Dank ihm kann die Antwort hier als \(x=\log_(3)(8)\) geschrieben werden.

Ich möchte betonen, dass \(\log_(3)(8)\), wie Jeder Logarithmus ist nur eine Zahl. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber es ist kurz. Denn wenn wir es als Dezimalzahl schreiben wollten, würde es so aussehen: \(1.892789260714.....\)

Beispiel : Lösen Sie die Gleichung \(4^(5x-4)=10\)

Lösung :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) und \(10\) können nicht auf die gleiche Basis gebracht werden. Das bedeutet, dass Sie auf einen Logarithmus nicht verzichten können. Verwenden wir die Definition des Logarithmus: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Drehen wir die Gleichung um, so dass X auf der linken Seite steht
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Vor uns. Bewegen wir \(4\) nach rechts. Und haben Sie keine Angst vor dem Logarithmus, behandeln Sie ihn wie eine gewöhnliche Zahl.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Teilen Sie die Gleichung durch 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Das ist unsere Wurzel. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber sie wählen die Antwort nicht aus.

Antwort : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dezimale und natürliche Logarithmen

Wie in der Definition eines Logarithmus angegeben, kann seine Basis jede positive Zahl außer eins \((a>0, a\neq1)\) sein. Und unter all den möglichen Basen gibt es zwei, die so häufig vorkommen, dass mit ihnen eine spezielle Kurzschreibweise für Logarithmen erfunden wurde:

Natürlicher Logarithmus: ein Logarithmus, dessen Basis die Euler-Zahl \(e\) ist (ungefähr gleich \(2,7182818…\)), und der Logarithmus wird als \(\ln(a)\) geschrieben.

Also, \(\ln(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(e)(a)\)

Dezimallogarithmus: Ein Logarithmus mit der Basis 10 wird als \(\lg(a)\) geschrieben.

Also, \(\lg(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(10)(a)\), wobei \(a\) eine Zahl ist.

Grundlegende logarithmische Identität

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Eine davon heißt „Basic Logarithmic Identity“ und sieht folgendermaßen aus:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition. Mal sehen, wie genau diese Formel zustande kam.

Erinnern wir uns an eine kurze Notation der Definition des Logarithmus:

wenn \(a^(b)=c\), dann \(\log_(a)(c)=b\)

Das heißt, \(b\) ist dasselbe wie \(\log_(a)(c)\). Dann können wir in der Formel \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) anstelle von \(b\) schreiben. Es stellte sich heraus, dass \(a^(\log_(a)(c))=c\) die wichtigste logarithmische Identität ist.

Weitere Eigenschaften von Logarithmen finden Sie hier. Mit ihrer Hilfe können Sie die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen, die schwer direkt zu berechnen sind, vereinfachen und berechnen.

Beispiel : Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(36^(\log_(6)(5))\)

Lösung :

Antwort : \(25\)

Wie schreibe ich eine Zahl als Logarithmus?

Wie oben erwähnt, ist jeder Logarithmus nur eine Zahl. Das Umgekehrte gilt auch: Jede Zahl kann als Logarithmus geschrieben werden. Wir wissen zum Beispiel, dass \(\log_(2)(4)\) gleich zwei ist. Dann können Sie \(\log_(2)(4)\) anstelle von zwei schreiben.

Aber \(\log_(3)(9)\) ist auch gleich \(2\), was bedeutet, dass wir auch \(2=\log_(3)(9)\) schreiben können. Ebenso mit \(\log_(5)(25)\), und mit \(\log_(9)(81)\) usw. Das heißt, es stellt sich heraus

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Bei Bedarf können wir also zwei als Logarithmus mit beliebiger Basis an beliebiger Stelle schreiben (sei es in einer Gleichung, in einem Ausdruck oder in einer Ungleichung) – wir schreiben einfach das Quadrat der Basis als Argument.

Das Gleiche gilt für das Tripel – es kann als \(\log_(2)(8)\), oder als \(\log_(3)(27)\) oder als \(\log_(4)( 64) \)... Hier schreiben wir die Basis im Würfel als Argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Und mit vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Und mit minus eins:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Und mit einem Drittel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jede Zahl \(a\) kann als Logarithmus mit der Basis \(b\) dargestellt werden: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Beispiel : Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lösung :

Antwort : \(1\)

Was ist ein Logarithmus?

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als komplex, unverständlich und beängstigend. Besonders Gleichungen mit Logarithmen.

Das ist absolut nicht wahr. Absolut! Glauben Sie mir nicht? Bußgeld. Jetzt können Sie in nur 10 bis 20 Minuten:

1. Du wirst es verstehen Was ist ein Logarithmus?.

2. Lernen Sie, eine ganze Klasse von Exponentialgleichungen zu lösen. Auch wenn Sie noch nichts davon gehört haben.

3. Lernen Sie, einfache Logarithmen zu berechnen.

Darüber hinaus müssen Sie dazu nur das Einmaleins kennen und wissen, wie man eine Zahl potenziert ...

Ich habe das Gefühl, dass Sie Zweifel haben ... Na gut, nehmen Sie sich die Zeit! Gehen!

Lösen Sie zunächst diese Gleichung im Kopf:

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.