Умножение целых чисел, правила, примеры. Умножение натуральных чисел и его свойства
Разберем понятие умножение на примере:
Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.
Решение:
Рассмотрим задачу подробно.
В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.
Рассмотрим пример:
Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22
Подведем итог. Что такое умножение?
Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.
Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел , а числа m и n называют множителями .
Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел
.
Числа 7 и 12 называются множителями
.
В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:
Переместительный закон умножения.
Рассмотрим задачу:
Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.
Если мы умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.
Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m
⋅
n
=n⋅
m
Сочетательный закон умножения.
Рассмотрим на примере:
(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a
⋅
b
) ⋅
c
=
a
⋅(b
⋅
c
)
Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умножить на произведение двух чисел, можно его сначала умножить на первый множитель, а затем полученное произведение умножить на второй.
Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.
Эти законы верны для любых натуральных чисел.
Умножение любого натурального числа на единицу.
Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a
⋅1=a или 1⋅
a
=
a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.
Умножение любого натурального числа на нуль.
6⋅0=0 или 0⋅6=0
a
⋅0=0 или 0⋅
a
=0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.
Вопросы к теме “Умножение”:
Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.
Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18
Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.
Что означает запись умножения 3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15
Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0
Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27
Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с
Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.
Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.
Задача 1.2
Даны два целых числа Х и Т. Если они имеют разные знаки, то присвоить Х значение произведения этих чисел, а Т - значение их разности по модулю. Если числа имеют одинаковые знаки, то присвоить Х значение разности по модулю исходных чисел, а Т - значение произведения этих чисел. Новые значения Х и Т вывести на экран.
Задача тоже несложная. “Непонятки” могут возникнуть только в том случае, если вы забыли, что такое разность по модулю (надеюсь, что такое произведение двух целых чисел, вы всё-таки помните))).
Разность по модулю двух чисел
Разность по модулю двух целых чисел (хотя не обязательно целых - это не имеет значения, просто в нашей задаче числа целые) - это, говоря по простому, когда итогом вычисления является модуль разности двух чисел.
То есть сначала выполняется операция вычитания одного числа из другого. А затем вычисляется модуль результата этой операции.
Математически это можно записать так:
Если кто забыл, что такое модуль или как его вычислить в Паскале, то см. .
Алгоритм определения знаков двух чисел
Решение задачи в целом довольно простое. Трудность у новичков может вызвать лишь определение знаков двух чисел. То есть надо ответить на вопрос: как узнать, имеют числа одинаковые знаки или разные.
Сначала напрашивается поочерёдное сравнение чисел с нулём. Это допустимо. Но исходный код будет довольно большим. Поэтому более правильно использовать такой алгоритм:
- Умножить числа друг на друга
- Если результат меньше нуля, значит у чисел разные знаки
- Если результат равен нулю или больше нуля, то у чисел одинаковые знаки
Этот алгоритм я выполнил в виде отдельной . А сама программа получилась такой, как показано в примерах на Паскале и С++ ниже.
Решение задачи 1.2 на Паскале program checknums; var A, X, T: integer; //**************************************************************** // Проверяет, имеют ли числа N1 и N2 одинаковые знаки. Если да, то // возвращает TRUE, иначе - FALSE //**************************************************************** function ZnakNumbers(N1, N2: integer) : boolean; begin := (N1 * N2) >= 0; end; //**************************************************************** // ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА //**************************************************************** begin Write("X = "); ReadLn(X); Write("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Если числа имеют одинаковые знаки begin A:= (X - T); //Получить разность по модулю исходных чисел T:= X * T; end else //Если числа имеют разные знаки begin A:= X * T; T:= Abs(X - T); end; X:= A; //Записать в Х значение А WriteLn("X = ", X); //Вывести Х WriteLn("T = ", T); //Вывести Т WriteLn("The end. Press ENTER..."); ReadLn; end.
Решение задачи 1.2 на С++ #include #include using namespace std; int A, X, T; //**************************************************************** // Проверяет, имеют ли числа N1 и N2 одинаковые знаки. Если да, то // возвращает TRUE, иначе - FALSE //**************************************************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) { return ((N1 * N2) >= 0); } //**************************************************************** // ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА //**************************************************************** int main(int argc, char *argv) { cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Если числа имеют одинаковые знаки { A = abs(X - T); //Получить разность по модулю исходных чисел T = X * T; } else //Если числа имеют разные знаки { A = X * T; T = abs(X - T); } X = A; //Записать в Х значение А cout
Оптимизация
Эту простую программу можно ещё немного упростить, если не использовать функцию и немного переделать исходный код программы. При этом общее количество строк исходного кода немного сократится. Как это сделать - подумайте сами.
Сумма - это результат сложения, причем слово может относиться не только к цифрам.
Разность - это то, что получается после вычитания чисел.
Произведение - то что получается после умножения, слово имеет и другое значение.
Частное - это то, что получается после деления.
I . Математические понятия СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ взаимосвязаны с математическими терминами СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ .
Все определения даются здесь на множестве натуральных чисел.
Каждой паре чисел ставится в соответствие число, называемое их СУММОЙ .
Сумма состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах (слагаемых) из данной пары.
СУММА есть результат сложения чисел-слагаемых.
Вычитание - это операция, обратная сложению. Она состоит в нахождении одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Данная сумма называется уменьшаемым, данное слагаемое - вычитаемым, а искомое слагаемое - РАЗНОСТЬЮ .
РАЗНОСТЬ - это число, являющееся результатом вычитания, остаток вычитания.
Каждой паре чисел можно поставить в соответствие число, которое состоит из стольких единиц, сколько их содержится в первом числе из пары, взятых столько раз, сколько единиц содержится во втором числе из пары. Это соответствующее таким образом паре чисел (они называются сомножителями) число называется ПРОИЗВЕДЕНИЕМ .
ПРОИЗВЕДЕНИЕ - это результат умножения.
Деление есть операция, обратная умножению.
Деление - это нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. Данное произведение называется делимым, данный сомножитель - делителем, а искомый сомножитель - это ЧАСТНОЕ , то есть число, полученное от деления одного числа на другое.
II . ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВ СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ .
Все используемые в качестве математических понятий слова могут иметь и другие лексические значения.
СУММА в переносном значении означает совокупность, общее количество чего-либо.
Например. Профессионализм педагога заключается в сумме знаний, умений и навыков, передаваемых им своим ученикам. Отсутствие нужной суммы денег заставило отказаться от покупки.
РАЗНОСТЬ имеет значения разницы, несходства, отличия в чем-либо.
Например. Разность интересов намного хуже разницы в возрасте. Дружба может начаться с представления об общности взглядов, а вражда - с разности взглядов.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ означает что-либо произведенное в процессе труда, создание чего-нибудь, продукт труда, творчества, искусства и т.п.
Например. Высокое художественное произведение заставляет человека думать над своей жизнью. На конкурсе юных пианистов мальчик играл произведение П.И. Чайковского. Эта шкатулка - настоящее произведение искусства.
ЧАСТНОЕ - это что-то личное, персональное, принадлежащее только одному человеку, это его собственность, его и только его достояние. И будь то самоличные мысли, будь то имущество или что-нибудь другое, но оно принадлежит только ему, частному лицу.
Например. Подруга подарила мне записную книжку с надписью Частное. Хорошо ли противопоставлять частное общественному?
По сути, все четыре слова в вопросе, а именно сумма, разность, произведение и частное, отражаю четыре основные математические действия, которые являются азами. Именно с обучения данным действиям начинается увлекательный путь в мир математики. Таким образом,
Сумма, разность, произведение, частное - это результат математических дейтсвий, с которых мы все начинали свое знакомства с математикой. В жизни эти слова мы тоже используем, но значение вкладываем в них больше математическое, хоть складывать можем и не числа. Произведение еще может быть и художественным. Это совсем другое значение слова, которое мы применяем в жизни.
Все эти четыре термина употребляются преимущественно в математике.
Сумма - это когда происходит складывание двух чисел;
Разность- это вычитание одного числа из другого;
Частное - это деление одного числа на другое;
Произведение - это умножение одного числа на другое.
Частное - результат деления чисел, произведение - результат умножения чисел, сумма - результат сложения чисел, разность - результат вычетания. Это элементарные математические действия, которые можно проводить с числами.
Это такие математические понятия.
Сумма - это результат сложения. Числа, которые складывают, называют первое слагаемое и второе слагаемое. Обозначается таким знаком: +.
Разность - это результат вычитания. Числа, которые вычитают, называют уменьшаемое (то, которое больше) и вычитаемое (то, которое меньше). Обозначается таким знаком: -.
Произведение - это результат умножения. Числа, которые умножают, называются первым множителем и вторым множителем. Обозначается таким знаком: *.
Частное - это результат деления. Числа, которые делят, называются делимое (то, которое больше), делитель (то, которое меньше). Обозначается таим знаком: :.
Эти все понятия проходят в начальной школе.
В математике есть четыре простые операции, которые можно применить к двум числам и получить такие результаты:
сумма - это результат сложения чисел,
разность - это результат вычетания от одного числа другого,
произведение - это результат умножения чисел,
частное - это уже результат деления чисел.
Суммой в математике назовем число, которое получим в результате прибавления одного числа к другом. Разность это число противоположное сложению, это когда отнимают от большего числа меньшее. Произведением назовем число, которое получится в результате умножения одного числа на другое. Разность это противомоложное произведению число. Получаем разность так: делим одно число на другое.
Я математик по образованию, специальность: учитель математики. Проработала всю жизнь преподавателем математики в педвузе.
Необходимо оговориться. Речь в дальнейшем пойдет о сумме, разности, произведении, частном чисел.
Ответы на данные вопросы хотя и простые, но вызывают затруднения у учащихся. Чтобы можно было более подробно рассмотреть эту обобщающую тему, предлагаю вашему вниманию полезный материал по ней. Заметка называется Математика для блондинок.
Мне понравилась методика изучения.
Задается провокационный вопрос:
Разность - это поделить или умножить?
Пытаются заинтересовать (ни одна предложенная версия не является верной!)))
Затем отвечают:
Разность - это отнять. Результат вычитания называется разность.
Аналогично получают:
Сумма - это сложить. Результат сложения называется сумма.
Произведение - это умножить. Результат умножения называется произведение.
Частное - это деление. Результат деления называется частное.
Таким простым языком объясняются верные понятия суммы, разности, произедения и частного в математике. Немного упрощенно записаны лишь словосочетания: разность - это отнять, сумма - прибавить, произведение - умножить, частное - разделить. Если быть точными, так не утверждают.
Итак, результат сложения чисел (слагаемых) - это их сумма , результат вычитания чисел (уменьшаемого и вычитаемого) - это разность , результат умножения чисел (сомножителей) - это произведение , а результат деления чисел (делимого на делитель), причем делитель не должен быть равен нулю, иначе деление нельзя выполнить, есть частное этих чисел.
О других значениях данных слов не задумываюсь, математика затмевает все.)))
Слова Сумма, Разность, Произведение и Частное очень знакомо ученикам школ и других учебных заведений веди с этими определениям им приходиться на каждом уроке математики.
1) Сумма
Суммой является результат, полученный после сложения (+) двух или более чисел.
Суммой так же является итоговая стоимость товара (сумма к оплате), общая совокупность знаний, впечатлений и много чего.
2) Разность
В математике означает результат вычитания числе (-).
Слово разность так же может употребляться в качестве слова разницы чего-либо. Например, разность мнений, разность взглядов, разность показателей и т.д.
3) Произведение
Произведением является результат, полученный после умножения чисел (*).
Кроме математики это слово еще употребляется в качестве обозначения результата творческого процесса (произведение искусства), в качестве глагола от производить.
4) Честное
Этим словом обозначают результат деления двух чисел (:).
Слово частное мы так же можем услышать при обозначении принадлежности чего либо одному собственнику (частное лицо, частная собственность, частное дело).